Diophantische Gleichungen

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1 Diophantische Gleichungen Pythagoras, Fermat und Homer Simpson Tag der Mathematik 2013 Lars Kindler, Freie Universität Berlin

2 Benannt nach Diophant von Alexandrien (~ 250 v.chr) Sein wichtigstes Werk war Arithmetica Von den ursprünglichen 13 Bänden sind nur 10 bis heute erhalten

3 Definition Eine diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form f(x 1,...,x n )=0 wobei ein Polynom in f Unbekannten mit ganzzahligen Koeffizienten ist, d.h. f(x 1,...,x n ) 2 Z[x 1,...,x n ]

4 Man ist an ganzzahligen Lösungen interessiert, d.h. an ganzen Zahlen so dass Viele bekannte Gleichungen sind von dieser Form!

5 Beispiele hat zwei Lösungen: hat keine ganzzahligen Lösungen. hat keine ganzzahligen Lösungen. hat keine ganzzahligen Lösungen. hat unendliche viele Lösungen:

6 hat auch unendlich viele ganzzahlige Lösungen. hat keine ganzzahligen Lösungen, weil für alle a, b 2 Z a 2 + b 2 0 Wie sieht es mit x 2 + y 2 = z 2 aus?

7 Pythagoräische Tripel Lösungen der Gleichung werden Pythagoräische x 2 + y 2 = z 2 Tripel genannt Es gibt unendlich viele Lösungstripel: z.b. etc.

8 Pythagoräische Tripel Es gibt ein sehr altes Verfahren um alle Lösungen dieser Gleichung zu finden: Für zwei natürliche Zahlen u, v 2 N,u>v ist a = u 2 v 2,b=2uv, c = u 2 + v 2 ein pythagoräisches Tripel.

9 Beweis: Seien u, v 2 N,u>v und a = u 2 v 2,b=2uv, c = u 2 + v 2 Dann rechnen wir nach:

10 Nachdem man die Gleichung x 2 + y 2 = z 2 und ihre Lösungen gut verstanden hat kann man sich mit Gleichungen der Form x n + y n = z n,n>2 beschäftigen. Heute werden sie Fermat-Gleichungen genannt.

11 Pierre de Fermat Geboren Anfang des 17. Jahrhunderts in Frankreich Studierter Jurist, aber viele Beiträge zur Mathematik.

12 Fermats Vermutung Fermats berühmte Randnotiz in Arithmetica: Ist n 3, so hat die Gleichung x n + y n = z n keine Lösungen in den natürlichen Zahlen. Dafür habe ich einen wunderbaren Beweis gefunden, doch dieser Rand ist zu schmal um ihn zu fassen. (1637)

13 Fermats letzter Satz Fermat hinterließ viele Behauptungen. Die meisten stellten sich als richtig heraus und wurden bald bewiesen. Der Große Satz von Fermat blieb unbewiesen...bis mehr als 350 Jahre motivierte Fermats Vermutung die Entwicklung neuer Mathematik.

14 Fermat selbst beweist seine Vermutung für den Exponenten n =4, daher genügt es die Vermutung für n eine ungerade Primzahl zu beweisen: Jede Zahl ist entweder durch oder durch eine ungerade Primzahl teilbar. Ist ein Teiler von n, und, dann gilt auch

15 Euler löst den Fall n =3 Dirichlet und Legendre: Kummer gibt einen Beweis für reguläre Primzahl. n eine sog. Mit Computerhilfe (1993): Vermutung richtig für alle

16 Euler Dirichlet Legendre Kummer

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19 1994 vollendet Andrew Wiles mit Hilfe von Richard Taylor den Beweis der fermatschen Vermutung. Der Beweis war bahnbrechend und benutzte neueste Methoden. Ein elementarer Beweis der fermatschen Vermutung ist nicht bekannt, und es wird bezweifelt, das Fermat einen kannte.

20 Homer Simpson (1999)

21

22 Homer Simpson behauptet = und der Taschenrechner stimmt ihm zu. Was geht hier schief? Wir prüfen unsere Rechnung am besten nochmal anders:

23

24 Es muss also daran liegen, wie der Taschenrechner die 12. Wurzel zieht... Wir probieren mal einen bessern Taschenrechner :

25

26 Hausaufgabe/Projektthema: Finde mehr solcher Fast-Fermat Gleichungen!! z.b. Hier sieht man leicht, dass es keine Gleichung ist. Wie? Aber:

27 Jetzt, da wir wissen was passiert, können wir uns ja die Gleichung = nochmal genauer anschauen! Wer sieht jetzt auf anhieb, warum es keine Gleichheit sein kann?

28 Catalans Gleichungen Eine weiter interessante Klasse diophantischer Gleichungen: Wenn oder, dann ist es nicht so schwierig herauszufinden, ob es eine Lösung gibt. Gibt es Lösungen mit?

29 Eugène Charles Catalan Geboren 1814 in Brügge, Belgien auch bekannt für die Catalan Zahlen

30 Wir grübeln also ein bisschen mehr, und finden heraus: Catalan vermutete 1844: Das ist die einzige Lösung mit ganzen Zahlen Diese Vermutung wurde 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen.

31 Preda Mihăilescu 1955 geboren, rumänischer Mathematiker momentan Professor an der Georg-August- Universität Göttingen sein Beweis benutzt ganz andere Methoden als Wiles Beweis.

32 Hausaufgabe/Projektthema: Finde Fast-Catalan Lösungen, d.h. finde ganze Zahlen, so dass Dein Taschenrechner sagt:

33 Fermat-Catalan Jetzt wird es etwas komplizierter, wir kombinieren die Vermutungen von Fermat und Catalan zu einer Fermat-Catalan Vermutung.

34 Fermat-Catalan Gleichung Die Gleichung heißt Fermat-Catalan Gleichung, falls: sind ganze Zahlen sind teilerfremd und

35 Was hat diese Art von Gleichung mit denen von Fermat und Catalan zu tun? Ist ein Gegenbeispiel zur Vermutung von Fermat mit teilerfremd, so ist die Gleichung eine Fermat-Catalan Gleichung: weil.

36 Ist ein Gegenbeispiel zur catalanschen Vermutung, so sind Wir schreiben anders: für irgendein und weil wir leicht prüfen können, dass es keine Lösungen mit gibt, folgt für ein geeingetes.

37 Fermat-Catalan Vermutung: Es gibt nur endlich viele Fermat- Catalan Gleichungen, d.h. nur endlich viele 6-Tupel ganzer Zahlen, mit teilerfremd, und

38 Wir haben gesehen, dass die Vermutung nicht ganz korrekt sein kann: ist für alle richtig. Man betrachtet diese Lösungen als Ausnahme und zählt sie nicht mit.

39 Wenn die Vermutung wahr wäre, und wenn man eine vollständige Liste der Lösungen hätte, dann hätte man einen neuen Beweis der Vermutungen von Fermat und Catalan gefunden. Bis heute kennt man nur folgende Lösungen:

40 Sind das alle Lösungen? Viel Erfolg und vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

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