Das RSA Kryptosystem

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1 Kryptografie Grundlagen RSA Institut für Mathematik Technische Universität Berlin

2 Kryptografie Grundlagen RSA mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice und Bob Einigen sich auf einen geheimen Schlüssel. Alice Verschlüsselt eine Nachricht mit dem geheimen Schlüssel und schickt sie an Bob. Bob Entschlüsselt die Nachricht mit dem geheimen Schlüssel. Nachteil: Alice und Bob müssen miteinander kommunizieren um sich auf einen geheimen Schlüssel zu einigen, den sie für sichere Kommunikation verwenden.

3 Kryptografie Grundlagen RSA mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel Bob Erzeugt öffentlichen und privaten Schlüssel. Veröffentlicht den öffentlichen Schlüssel Alice Erhält Bobs öffentlichen Schlüssel aus dem Schlüsselverzeichnis. Verschickt eine mit Bobs öffentlichem Schlüssel verschlüsselte Nachricht. Bob Entschlüsselt die Nachricht von Alice mit seinem privaten Schlüssel.

4 Kryptografie Grundlagen RSA mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Realisierung von Kryptografie mit öffentlichen Schlüsseln Einweg Funktionen mit Trapdoor Können leicht berechnet werden, aber nicht in vertretbarer Zeit invertiert werden. Kennt man aber eine geheime Zusatzinformation, so kann man die Funktion auch effizient invertieren. Beispiele Multiplizieren ist sehr viel einfacher als Faktorisieren. In endlichen Strukturen ist Exponenzieren sehr viel einfacher als Wurzeln zu ziehen. In endlichen Strukturen ist Exponenzieren sehr viel einfacher als Logarithmen zu berechnen.

5 Division mit Rest Kryptografie Grundlagen RSA mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Definition Seien a, b N. Dann gibt es q, r N mit a = qb + r und 0 r < b. Die Zahl r heißt Rest der Division von a durch b und wird mit r = a mod b bezeichnet. Bemerkung Wenn r = a mod b, dann gibt es q Z mit r a = qb. Beispiele 8 mod 5 = 3 17 mod 2 = mod 23 = mod = 14769

6 Kleiner Fermatscher Satz Kryptografie Grundlagen RSA mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Satz Sei p eine Primzahl, dann gilt x p 1 mod p = 1 für alle x {1,..., p 1}. Beweis (i) Sei 1 a p 1. Wenn x, y {1,..., p 1} mit x y dann ax mod p ay mod p. Angenommen ax mod p = ay mod p dann a(x y) mod p = 0. Da (p 1) < x y < p 1 folgt x y = 0. (ii) Sei 1 a p 1. Wegen (i) gilt {1,..., p 1} = {a 1 mod p,..., a (p 1) mod p}. Also p 1 b=1 b mod p = p 1 b=1 ab mod p = ap 1 p 1 b=1 b mod p und damit a p 1 mod p = 1.

7 Euklidischer Algorithmus Kryptografie Grundlagen RSA mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Algorithmus Seien r 0, r 1 N mit r 0 > r 1. Bestimme q 2 und 0 < r 2 < r 1 so dass r 0 = q 2 r 1 + r 2.. Bestimme q i+2 und 0 < r i+2 < r i+1 so dass r i = q i+2 r i+1 + r i+2.. Bis zu q m mit r m 1 = q m r m. r m ist größter gemeinsamer Teiler von r 0 und r 1. r m teilt r m 1, r m teilt r m 2,...,r m teilt r 1 und r m teilt r 0. Also ist r m Teiler von r 0 und r 1. Ein gemeinsamer Teiler t von r 0 und r 1 teilt auch r i für i m. Also teilt jeder gemeinsame Teiler von r 0 und r 1 sie Zahl r m. Daher ist r m der grösste gemeinsame Teiler von r 0 und r 1.

8 Kryptografie Grundlagen RSA mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Euklidischer Algorithmus Beispiel r 0 = 74188, r 1 = 391 r 0 = = r 1 = 391 = r 2 = 289 = r 3 = 102 = r 4 = 85 = Es gibt b, c Z mit br 0 + cr 1 = r m = ggt(r 0, r 1 ). r 2 = r 0 q 1 r 1, r 3 = r 1 q 2 r 2 = (1 + q 1 q 2 )r 1 q 2 r 0,... Also läßt sich r m als Linearkombination vom r 0 und r 1 darstellen. Zu a, n N mit ggt(a, n) = 1 bestimme b Z mit ba mod n = 1. Es gibt b, c Z mit ba + cn = 1, also ba = 1 cn und ba mod n = 1.

9 Chinesischer Restsatz Kryptografie Grundlagen RSA mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Seien a, b, p, q N mit ggt(p, q) = 1, 0 a < p und 0 b < q. Es gibt ein modulo pq eindeutig bestimmtes x N mit x mod p = a und x mod q = b. Existenz Bestimme c, d N mit qc mod p = 1 und pd mod q = 1. Setze x = acq + bdp mod pq. Dann x mod p = a und x mod q = b. Eindeutigkeit Zu jeder der pq Kombinationen von 0 a < p und 0 b < q gibt es ein x. Es gibt pq Zahlen mit 0 x < pq also ist x eindeutig.

10 RSA Kryptografie Grundlagen RSA RSA Grundlagen Beschreibung Challenges 1977 von Ron Rivest, Adi Shamir und Len Adleman erfunden. RSA war das erste Kryptosystem mit öffentlichem Schlüssel und ist noch heute das am weitesten verbreitete. Einsatzgebiete Homebanking und e-commerce, SSL/TLS und IPSec, automatische Softwareupdates, Chipkarten und Reisepässe.

11 Kryptografie Grundlagen RSA RSA Grundlagen Beschreibung Challenges RSA Grundlagen Satz Seien p, q Primzahlen mit ggt(p, q) = 1. Für alle a {0,..., pq 1} gilt a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a. Beweis (i) p teilt a, ggt(a, q) = 1. Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt a (q 1) mod q = 1. Also a 1+c(p 1)(q 1) mod q = a. Weiterhin folgt aus a mod p = 0, dass a 1+c(p 1)(q 1) mod p = 0. Nach dem chinesischen Restsatz ist a 1+c(p 1)(q 1) mod pq eindeutig bestimmt. Daher a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a. (ii) ggt(a, pq) = 1. Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt: a 1+c(p 1)(q 1) mod p = a und a 1+c(p 1)(q 1) mod q = a. Die Aussage folgt wiederum mit dem chinesischen Restsatz.

12 Kryptografie Grundlagen RSA RSA Grundlagen Beschreibung Challenges RSA Beschreibung Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel: (n, e). Alice Verschlüsselt Nachricht m zu x = m e mod n. Bob Findet zwei große Primzahlen p und q Wählt e N mit ggt ( e, (p 1)(q 1) ) = 1. Berechnet d mit ed mod (p 1)(q 1) = 1. Veröffentlicht e und n = pq. Bob Entschlüsselt die Nachricht mittels x d mod n = m. Bemerkung Nach Satz gilt für 0 m < n = pq x d mod n = (m e ) d mod n = m ed mod n = m da ed mod (p 1)(q 1) = 1.

13 Kryptografie Grundlagen RSA RSA Grundlagen Beschreibung Challenges RSA Beispiel Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel: (n = 391, e = 5) Alice Verschlüsselt 8 zu x = 8 5 mod 391 = 315 Bob Wählt Primzahlen 17 und 23 Wählt e = 5 mit ggt ( e, ) = 1. Berechnet d =141 mit d 5 mod = 1. Veröffentlicht e = 5 und n = pq = 391. Bob Entschlüsselt die Nachricht mittels x d mod n = mod 391 = 8. Die Sicherheit von RSA hängt davon ab ob schnellere Faktorisierungsalgorithmen entdeckt werden, schnellere Computer gebaut werden.

14 Kryptografie Grundlagen RSA RSA Grundlagen Beschreibung Challenges RSA Challenges Die Firma RSA hat Preise für die Faktorisierung von ganzen Zahlen in für das RSA Kryptosystem relevanter Größenordnung ausgelobt. RSA-140 Die Zahl RSA-140 (140 Dezimalstellen) ist Sie wurde 1999 zerlegt in die Primfaktoren und Der Preis betrug US$. Die Faktorisierung dauerte 8,9 CPU Jahre.

15 Kryptografie Grundlagen RSA RSA Grundlagen Beschreibung Challenges RSA Challenges Die Firma RSA hat Preise für die Faktorisierung von ganzen Zahlen in für das RSA Kryptosystem relevanter Größenordnung ausgelobt. RSA-640 Die Zahl RSA-640 (193 Dezimalstellen) ist Sie wurde 2005 zerlegt in die Primfaktoren und Der Preis betrug US$. Die Faktorisierung dauerte GHz-Opteron-CPU Jahre.

16 Kryptografie Grundlagen RSA RSA Grundlagen Beschreibung Challenges RSA Challenges Die Firma RSA hat Preise für die Faktorisierung von ganzen Zahlen in für das RSA Kryptosystem relevanter Größenordnung ausgelobt. RSA-1024 Die Zahl RSA-1024 (309 Dezimalstellen) ist Der ausgelobte Preis beträgt US$.

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