Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche ϕ-funktion, RSA

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1 Klener Fermatscher Satz, Chnesscher Restsatz, Eulersche ϕ-funkton, RSA Manfred Gruber SS 2008, KW 15

2 Klener Fermatscher Satz Satz 1. Se p prm und a Z p. Dann st a p 1 mod p = 1 Bewes Betrachte de Abbldung f : Z p Z p, x a x. f st njektv, denn aus a x = a y folgt x = a 1 a x = a 1 a y = y. Da Z p endlch st, st f auch surjektv, also bjektv. Daher st {1,2,..., p 1} = {a 1, a 2,..., a (p 1)}, (wobe her ncht behauptet wrd, dass de Rehenfolge der Aufzählungen lnks und rechts de gleche st). Damt snd auch de folgenden Produkte glech: 1 (p 1) = f(1) f(p 1) = a p 1 1 (p 1). Dvdert man durch 1 (p 1), steht de Behauptung da. 1

3 Chnesscher Restsatz m Fall Z 6 Bespel 1. Se ψ : Z 6 Z 2 Z 3 de Abbldung x (ψ 1 (x), ψ 2 (x)) = (x mod 2, x mod 3). ψ st bjektv (nachprüfen!) und es glt ψ(x y) = (ψ 1 (x) ψ 1 (y), ψ 2 (x) ψ 2 (y)) (1) ψ(x y) = (ψ 1 (x) ψ 1 (y), ψ 2 (x) ψ 2 (y)) (2) Führt man n Z 2 Z 3 ene Addton und ene Multplkaton en, ndem man komponentenwese mt den vorhandenen Addtonen und Multplkatonen rechnet, dann kann man (1) und (2) als ψ(x y) = ψ(x) ψ(y) (3) ψ(x y) = ψ(x) ψ(y) (4) schreben. Dese Egenschaften machen ψ zu enem Rng-Homomorhsmus. 2

4 De Umkehrabbldung ψ 1 st ebenfalls en Rng- Homomorphsmus. Für a = ψ(x) und b = ψ(y) aus Z 2 Z 3 glt nämlch ψ 1 (a b) = ψ 1 (ψ(x) ψ(y)) = ψ 1 (ψ(x y)) = x y = ψ 1 (a) ψ 1 (b), und ψ 1 (a b) = ψ 1 (ψ(x) ψ(y)) = ψ 1 (ψ(x y)) = x y = ψ 1 (a) ψ 1 (b). 3

5 We berechnet man ψ 1 (x, y)? Es genügt, u 1 = ψ 1 (1,0) und u 2 = ψ 1 (0,1) zu kennen, denn ψ 1 (x, y) = ψ 1 (x,0) ψ 1 (0, y) = x ψ 1 (1,0) y ψ 1 (0,1). Für u 1 muss gelten: u 1 mod 2 = 1 und u 1 mod 3 = 0, Für u 2 muss gelten: u 2 mod 2 = 0 und u 2 mod 3 = 1. 2 und 3 snd telerfremd und erfüllen n Z de Glechung ( 1) 2 = 1. In Z 6 lest sch dese Glechung als 3 4 = 1. Der erste Summand hat de von u 1 geforderten Egenschaften, der zwete Summand hat de von u 2 geforderten Egenschaften. Also st u 1 = 3 und u 2 = 4. 4

6 Chnesscher Restsatz Satz 2. [Chnesscher Restsatz] Se m = m 1 m r N mt paarwese telerfremden Zahlen m > 1. Dann st ψ : Z m Z m1 Z m2... Z mr x (x mod m 1, x mod m 2,..., x mod m r ) en bjektver Homomorphsmus der Rnge. Bemerkung 1. Ist m N gegeben, so betet sch an, de Faktorserung m = p k1 1 pk r r mt paarwese dsjunkten Prmzahlen p zur somorphen Darstellung von Z m m Snne des Chnesschen Restsatzes zu nutzen: Z m = Zp k 1 1 Z p kr r. 5

7 Bemerkung 2. Bezechnet e das Element n Z m1 Z m2... Z mr, das an der -ten Stelle ene 1 und an den übrgen Stellen ene 0 hat, so kann man de für de Konstrukton der Umkehrabbldung ψ 1 wchtgen Gröÿen ψ 1 (e ) Z m der (vom erweterten eukldschen Algorthmus geleferten) Glechung a k m k + bm = 1 entnehmen: ψ 1 (e ) = ( a k m k ) mod m. 6

8 De Eulersche ϕ-funkton Se ϕ(m) de Anzahl der Elemente n Z m (Eulersche ϕ-funkton). Se m = p k 1 1 pk r r (m N) mt paarwese dsjunkten Prmzahlen p. Nach dem Chnesschen Restsatz st en x Z m genau dann nverterbar, wenn alle x mod p k n Z p k nverterbar snd, also st ϕ(m) = ϕ(p k 1 1 ) ϕ(pk r r ). In jedem Z k p snd alle Elemente zu p k telerfremd ausser Velfache von p. Von desen Velfachen gbt es p k 1 Also st Stück, nämlch 0 p,1 p,2 p,..., (p k 1 1) p. ϕ(p k ) = pk p k 1 = p k (1 1/p ) und nsgesamt ϕ(m) = p k (1 1/p ) = m (1 1/p ). 7

9 Bespel = ϕ( ) = (1 1/2) (1 1/19) = /2 18/19 = =

10 RSA: Schlüsselerzeugung 1. Man bestmmt groÿe Prmzahlen p und q (groÿ snd z.b Bt-Zahlen) und berechnet N = pq. N st der Modulus. 2. Man berechnet ϕ(n) = (p 1)(q 1) und wählt ene zu ϕ(n) telerfremde Zahl e zwschen 1 und ϕ(n). e st der öentlche Exponent. 3. Man bestmmt das ϕ(n)-modulare Inverse d zu e, d.h. dejenge Zahl d zwschen 1 und ϕ(n), für de d e mod ϕ(n) = 1 glt. d st der prvate Exponent. 4. (N, e) st der öentlche Schlüssel. Es st kene enfache Methode bekannt, N zu faktorseren, oder aus (N, e) den prvaten Exponenten d zu berechnen. 9

11 RSA: Ver- und Entschlüsseln En Sender wll enem Empfänger ene geheme Botschaft schcken. Der öentlche Schlüssel des Empfängers se (N, e). De Botschaft kann ene belebge Zahl x Z N = {z mod N z Z} sen. 1. Der Sender verschlüsselt x mt der Verschlüsselungsfunkton E : Z N Z N, x x e mod N und sendet E(x) = x e mod N. 2. Der Empfänger entschlüsselt E(x) mt der Entschlüsselungsfunkton D : Z N Z N, y y d mod N und kommt so wegen D(E(x)) = E(x) d mod N = (x e ) d mod N = x zum Klartext der Botschaft. Wesentlch st her: (x e ) d mod N = x. 1 1 Erklärung nächste Sete. 10

12 RSA: (x e ) d mod N = x, warum? Betrachte de Botschaft x n Z p Z q : x = (x mod p, x mod q). Es st (x mod p) ed = x mod p und (x mod q) ed = x mod q, denn ed mod ϕ(n) = 1, d.h. ed = kϕ(n) + 1 = k(p 1)(q 1) + 1, folglch (Klener Fermat!) (x mod p) ed = ((x mod }{{ p) p 1 } ) k(q 1) (x mod p) =1 (x mod q) ed = ((x mod }{{ q) q 1 } ) k(p 1) (x mod q). =1 11

13 RSA: Bespel Bespel 3. (Unrealstsch, Zahlen vel zu klen.) 1. Wr wählen p = 97, q = 103 N = pq = ϕ(n) = (p 1)(q 1) = = Wr wählen als Verschlüsselungsexponent e = 193 (telerfremd zu 9792). 3. Wr bestmmen pro forma mt dem erweterten eukldschen Algorthmus den ggt(193, 9792) (der natürlch 1 st) und bekommen de Darstellung ( 53) = 1, der wr entnehmen, dass 2689 das 9792-modulare Inverse zu 193 st. Der Entschlüsselungsexponent d st also De Botschaft x se De verschlüsselte Botschaft st dann y = mod 9991 = Zur Entschlüsselung von y berechnet man y 2689 mod 9991 = mod 9991 = 1000 und bekommt so den Klartext der Botschaft weder. 12

14 Lteratur [CM] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnk, Concrete Mathematcs: A Foundaton for Computer Scence. Addson-Wesley, 1989; second edton, html [AZ] Otto Forster, Algorthmsche Zahlentheore, Veweg-Verlag, books/azth/algzth.html 13