Primzahlen. Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. Es gilt: N=P Z {1} Definition: (Primzahlen) Definition: (zusammengesetzte Zahlen)
|
|
- Dieter Acker
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Primzahlen Definition: (Primzahlen) Definition: (zusammengesetzte Zahlen) Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. Es gilt: N=P Z {1} 22
2 Primzahlen Definition: (Mersenne-Primzahlen) Eine Mersenne-Primzahl M n ist eine Primzahl der Form 2 n -1 Satz: (Mersenne-Primzahlen) n N n P M n P Beispiel: (Mersenne-Primzahlen) 2 2-1= = = =127 23
3 Primzahlen Explizites Bildungsgesetz für Primzahlen? =2047=23 89 Mersenne-Zahlen spielen in der Zahlentheorie eine grosse Rolle GIMPS Seit diesem Jahr M 42 = bekannt Dr. Martin Nowak, ein Augenarzt aus Michelfeld, hat 2^ mit dem GIMPS-Mersenne-Programm auf einem seiner Praxiscomputer als prim nachgewiesen. Die Zahl besitzt Dezimalziffern. Insgesamt 24 PCs arbeiten im Augenzentrum des Arztes in ihrer "Freizeit" für das Internet-Projekt GIMPS. Ein 16-fach-Itanium-2-System (Bull NovaScale 5000 HPC) brauchte nur fünf Tage, um die Primalität der nunmehr 42. bekannten Mersenne-Primzahl zu bestätigen. GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) 24
4 Primzahlen Wieviele Primzahlen gibt es? Satz: P = Beispiel: Annahme: P={2,3,5,7} Z+1= =211 Annahme: P={2,3,5,7,11,13} Z+1= =30031=
5 Primzahlen Primzahlverteilung: n Prim(n) Twin(n) Time <0.01 sec <0.01 sec <0.01 sec <0.01 sec <0.01 sec sec sec sec sec sec 26
6 Primzahlen Primzahlverteilung: π(n)= {p p P p n} Theorem von Chebyshef c1* n/log(n) < pi(n) < c2* n/log(n) c1=0.92 c2=
7 Primzahlen Primzahlverteilung: n π(n) n / log(n) e r in % li(n) e r in %
8 Primzahlen Primzahlerzeugung Expliziter Algorithmus Resultatwert eine oder mehrere Primzahlen Sieb des Eratosthenes Bestimme zufällige Zahl p Prüfe ob p P Primzahltest Fermat Test Miller-Rabin Test 29
9 Primzahlen Das Sieb des Eratosthenes: (Algorithmus) 1. Die 1 wird gestrichen 2. Die nächste Zahl, die nicht gestrichen ist, wird als Primzahl markiert 3. Alle Vielfache dieser Zahl werden aus der Liste gestrichen, da sie keine Primzahlen sind 4. Wiederhole Schritt 2 und 3, bis man das Ende der Liste erreicht hat
10 Fermatscher Primzahltest: Ist b kein Vielfaches von p so gilt: Primzahlen Aussage leider falsch. z.b. ist 15 P aber mod p 15 ist kleinste Pseudoprimzahl Eingeschränkt auf Basis b=2 sind Pseudoprimzahlen wesentlich seltener Unter den ersten 1000 Primzahlen 3 Pseudoprimzahlen: 341, 561, 645 Bei 168 echten Primzahlen beträgt der Fehler Verbesserung der Genauigkeit -> Miller-Rabin Test 31
11 Sätze von Euler und Fermat Faktorisierung: Suche grosse Zahl N, die einfach zu generieren ist, aber deren Rückführung auf verwendete Faktoren hinreichend schwer ist N = p q
12 Sätze von Euler und Fermat Beispiel: n
13 Sätze von Euler und Fermat n
14 Sätze von Euler und Fermat Wiederholung ggt: ggt(60,13) NEU: xggt 60 = Vielfachsummendarstellung: 13 = = = = = ggt 35
15 Sätze von Euler und Fermat Praktische Umsetzung des xggt: 1 = = 3 1 (5 1 3) = = (8 1 5) = = 3 (13 1 8) = = ( ) = = 1 modulare Inverse: 36
16 Sätze von Euler und Fermat Satz von Euler-Fermat 37
17 Algorithmus RSA 1. Bestimme zufällige p,q P : p q, gleich gross 2. Bestimme N=p q 3. Berechne (N)=(p-1) (q-1) 4. Wähle eine Zahl e > 1 mit ggt(e, (N)) = 1 5. Bestimme d so, dass e d 1 mod (N) 6. Die Zahlen N und e bilden public key Die Zahlen d bildet private key Nachdem Whitfield Diffie und Martin Hellman eine Theorie zur Public-Key- Kryptografie veröffentlicht hatten, versuchten die drei Mathematiker Rivest, Shamir und Adleman, die Annahmen von Diffie und Hellmann zu widerlegen. Nachdem sie den Beweis bei verschiedenen Verfahren durchführen konnten, stießen sie schließlich auf eines, wo sie keinerlei Angriffspunkte fanden. Hieraus entstand dann RSA. Das Verfahren wurde 1977 entwickelt und basiert auf der Idee, dass die Faktorisierung einer großen Zahl, also ihre Zerlegung in (mindestens zwei) Faktoren, eine sehr aufwändige Angelegenheit ist, während das Erzeugen einer Zahl durch Multiplikation zweier Primzahlen trivial ist. Wenn nun eine Nachricht einem Empfänger verschlüsselt zugeleitet werden soll, generiert dieser einen öffentlichen Schlüssel. Der Nachrichtenabsender verwendet diesen öffentlich bekanntgemachten Schlüssel, indem er damit seine Botschaft verschlüsselt. Nur der Empfänger kann diese "dekodieren", da nur er die "Zusammensetzung" des von ihm erzeugten (öffentlichen) Schlüssels kennt. 38
18 Beispiel RSA 1. p=11, q=13 N = p q = (N) = (143) = (p-1) (q-1) = Wähle e=23 ggt(23, (143)) = 1 4. Bedingung: 23 d 1 mod d = k d 120 k = Euklidischer Algorithmus liefert d = 47 und k = 9 7. e = 23 und N = 143 öffentlicher Schlüssel 8. d = 47 geheimer Schlüssel Das heißt: Das Produkt soll bei Division durch 120 den Rest 1 lassen. Man kann damit die Kongruenz als Gleichung schreiben 39
19 Verschlüsselung RSA Der Nachrichtensender benutzt den öffentlichen Schlüssel N = 143, e=23 Entschlüsselung Der Nachrichtenempfänger benutzt den privaten Schlüssel d=47 40
20 Nachweis: RSA Euler- Fermat 41
21 RSA Um Geheimtext zu entschlüsseln, benötigt Angreifer privaten Schlüssel d Wenn (N) bekannt wäre, ist d leicht zu berechnen Möglichkeit Primfaktorzerlegung von N Faktorisierung praktisch nicht durchführbar Unlösbarkeit allerdings nicht bewiesen Theorie zu Quantencomputern löst Problem polynominal Mit klassischen Rechentechniken relativ grosse Zahlen faktorisierbar 2003 Uni Bonn 174-stellige Dezimalzahl Momentan sicheres Verfahren Kann durch Hardware oder unbekannte Algorithmen schnell gelöst werden Verwendung in: X.509 Zertifkaten, SSL, PGP etc. 300 Dezimalstellen heute üblicher Schlüssel entfernt. 42
22 Beweise Beweis: (Mersenne-Primzahlen) 43
23 Beweise Beweis: (Mächtigkeit von P) 44
24 Beweise Beweis: (Euler-Fermat) 45
25 Sieb des Eratosthenes (Java) Programmcode public static Vector buildprime(int border){ Vector prime=new Vector(border); // Belege Vector mit allen Elementen < border for(int i=2;i<border;++i){ prime.add(new Integer(i)); } // Durchlaufe alle Faktoren bis sqrt(border) for(int i=2;i<math.sqrt(border);i++){ // Durchlaufe alle Elemente des Vektors for(int j=0;j<prime.size();j++){ // wenn Vektorelement Vielfaches von i, lösche Element if(((integer)prime.get(j)).intvalue()%i==0 && i!=((integer)prime.get(j)).intvalue()){ prime.remove(j); } } } return prime; } 46
26 Fermat-Test (Java) Programmcode public static void main(string[] args) { BigInteger basis=new BigInteger("2"); Vector prime=buildprime(1000); for(int i=3;i<=1000;++i){ BigInteger p=new BigInteger(""+i); BigInteger pm1=new BigInteger(""+(i-1)); } } BigInteger result=basis.modpow(pm1,p); if(result.compareto(biginteger.one)==0){ System.out.println(i+" "+((prime.indexof(new Integer(i))!=-1)? " ":"nicht prim")); } 47
27 Programmcode Erweiterter Euklidischer Algorithmus (C++) llint xgcd(llint a,llint b, sllint *x_k, sllint *y_k) { int l=1,q; llint r[2]={a,b}; llint x[3]={1,0,0}; llint y[3]={0,1,0}; while (r[1]!=0) { ++l; q=r[0]/r[1]; x[2]=q*x[1]+x[0]; y[2]=q*y[1]+y[0]; r[0]=r[1]; r[1]= (l%2==0)? x[2]*a-y[2]*b : -x[2]*a+y[2]*b; x[0]=x[1], x[1]=x[2]; y[0]=y[1], y[1]=y[2]; } l--; *x_k= (n%2==0)? x[0] : -x[0]; *y_k= (n%2==0)? -y[0] : y[0]; return (r[0]); } 48
28 Fastpow (C++) llint fastpow(llint nbase, llint nexp, llint nmod) { llint y=1; while (nexp>0) { nbase=nbase%nmod; if (nexp%2==1) { y=(y*nbase)%nmod; } nexp=(llint)(nexp/2); nbase=nbase*nbase; } return y; } Programmcode 49
3: Zahlentheorie / Primzahlen
Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 96 3: Zahlentheorie / Primzahlen 3: Zahlentheorie / Primzahlen Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 97 Definition 37 (Teiler, Vielfache, Primzahlen,
Mehr3: Primzahlen. 111 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 3: Primzahlen
3: Primzahlen 111 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 3: Primzahlen Definition 40 (Teiler, Vielfache, Primzahlen, zusammengesetzte Zahlen) Seien a, b N. a ist ein Teiler von b ( a b ), falls es ein k N gibt
MehrVI.3 RSA. - RSA benannt nach seinen Erfindern R. Rivest, A. Shamir und L. Adleman. - vorgestellt erstes Public-Key Verschlüsselungsverfahren
VI.3 RSA - RSA benannt nach seinen Erfindern R. Rivest, A. Shamir und L. Adleman - vorgestellt 1977 - erstes Public-Key Verschlüsselungsverfahren - auch heute noch das wichtigste Public-Key Verfahren 1
MehrPublic-Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Torsten Büchner
Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema Torsten Büchner 7.12.2004 1.Einleitung 1. symmetrische-, asymmetrische Verschlüsselung 2. RSA als asymmetrisches Verfahren 2.Definition von Begriffen 1. Einwegfunktionen
MehrPrimzahlen und Pseudoprimzahlen
1 Primzahlen und Pseudoprimzahlen Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS), Berlin 20. Tag der Mathematik 9. Mai 2015, Beuth Hochschule für Technik Berlin Primzahlen
MehrPublic Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Karsten Fischer, Sven Kauer
Public Key Kryptographie mit dem RSA Schema Karsten Fischer, Sven Kauer Gliederung I. Historischer Hintergrund II. Public Key Kryptographie III. Beispielszenario IV. Einweg-Funktion V. RSA Verfahren VI.
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrVorlesung 7. Tilman Bauer. 25. September 2007
Vorlesung 7 Universität Münster 25. September 2007 El. In Vorlesung 4 haben wir Modulo-Arithmetik behandelt. Definition Sei n N 1. Auf Z ist eine Äquivalenzrelation Kongruenz modulo n definiert durch x
MehrEl. Zahlentheorie I: Der kleine Satz von Fermat
Vorlesung 7 Universität Münster 25. September 2007 El. In Vorlesung 4 haben wir Modulo-Arithmetik behandelt. Definition Sei n N 1. Auf Z ist eine Äquivalenzrelation Kongruenz modulo n definiert durch x
MehrRSA-Verfahren Schnelle Ver- / Entschlüsselung Zusammenhang mit dem Faktorisierungsproblem. RSA-Verfahren. Herwig Stütz
2007-11-23 Überblick 1 2 Schnelle modulare Exponentiation Chinesischer Restsatz 3 Allgemeines Public-Key Methode Rivest, Shamir und Adleman 1977 Sicherheit des Verfahrens beruht auf Schwierigkeit der Primfaktorenzerlegung
MehrRSA (Rivest, Shamir, Adleman)
Juli 2012 LB 3 Kryptographie F. Kaden 1/11 1977 von Rivest, Shamir, Adleman am MIT (Massachusetts Institut of Technology) entwickelt asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren Ziel: email-verschlüsselung,
MehrZahlentheorie, Arithmetik und Algebra
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Seminar Hallo Welt für Fortgeschrittene 2008 Matthias Niessner June 20, 2008 Erlangen 1 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Übersicht 1
Mehrn ϕ n
1 3. Teiler und teilerfremde Zahlen Euler (1707-1783, Gymnasium und Universität in Basel, Professor für Physik und Mathematik in Petersburg und Berlin) war nicht nur einer der produktivsten Mathematiker
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (RSA-Verfahren)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (RSA-Verfahren) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
MehrAufgabe der Kryptografie
Aufgabe der Kryptografie Eve möchte die Unterhaltung mithören und/oder ausgetauschte Informationen ändern. Alice & Bob kommunzieren über einen unsicheren Kanal. Alice & Bob nutzen Verschlüsselung und digitale
Mehr11. Das RSA Verfahren
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2017) 53 11. Das RSA Verfahren Bei einer asymmetrischen Verschlüsselung lässt sich der Schlüssel zum Entschlüsseln nicht aus dem Schlüssel zum Verschlüsseln bestimmen und
MehrAsymmetrische Algorithmen
Asymmetrische Algorithmen Abbildung 9. Leonhard Euler Leonhard Euler, geboren am 15. April 1707 in Basel, gestorben am 18. September 1783 in Sankt Petersburg, war einer der produktivsten Mathematiker aller
MehrDas RSA Kryptosystem
Kryptografie Grundlagen RSA Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Kryptografie Grundlagen RSA mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 11 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität
Mehr$Id: ring.tex,v /05/03 15:13:26 hk Exp $
$Id: ring.tex,v 1.13 2012/05/03 15:13:26 hk Exp $ 3 Ringe 3.1 Der Ring Z m In der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten Ringe eingeführt, dies waren Mengen A versehen mit einer Addition + und einer
MehrVI.4 Elgamal. - vorgestellt 1985 von Taher Elgamal. - nach RSA das wichtigste Public-Key Verfahren
VI.4 Elgamal - vorgestellt 1985 von Taher Elgamal - nach RSA das wichtigste Public-Key Verfahren - besitzt viele unterschiedliche Varianten, abhängig von zugrunde liegender zyklischer Gruppe - Elgamal
MehrHallo Welt für Fortgeschrittene
Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Ibrahim Alagoez 22.06.2009 Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Motivation Eine Bande von 17 Räubern stahl
MehrVerschlüsselung durch Exponentiation (Pohlig, Hellman, 1976)
Verschlüsselung durch Exponentiation (Pohlig, Hellman, 1976) p : eine (grosse) Primzahl e : Zahl 0 < e < p mit ggt(e, p 1) = 1 d Inverses von e in Z p 1, dh d e 1 mod p 1 (= φ(p)) M : numerisch codierter
Mehr. Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Tobias Polzer. Tobias Polzer Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I.. /
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Tobias Polzer Tobias Polzer Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / Modulare Arithmetik Motivation Rechenregeln schnelle Potenzierung Gemeinsame Teiler euklidischer
MehrAlgorithmentheorie Randomisierung
Algorithmentheorie 03 - Randomisierung Prof. Dr. S. Albers Randomisierung Klassen von randomisierten Algorithmen Randomisierter Quicksort Randomisierter Primzahltest Kryptographie 2 1. Klassen von randomisierten
MehrZahlentheorie, Arithmetik und Algebra I
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Ulrich Rabenstein 18.06.2013 Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 18.06.2013 1 / 34 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler 3 Primzahlen Ulrich Rabenstein
MehrHast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor du dir die Lösungen anschaust!
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 1 14. Aufgabenblatt ZAHLENTHEORIE (für Master G und HRG) Lösungen Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor
Mehr4 Kryptologie. Übersicht
4 Kryptologie Übersicht 4.1 Der erweiterte euklidische Algorithmus................................ 38 4.2 Rechnen mit Restklassen modulo p................................... 39 4.3 Der kleine Satz von
MehrProbabilistische Primzahltests
23.01.2006 Motivation und Überblick Grundsätzliches Vorgehen Motivation und Überblick Als Primzahltest bezeichnet man ein mathematisches Verfahren, mit dem ermittelt wird, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl
MehrPrimzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st
Primzahlen Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn 12.08.2010 1 Die Primfaktorzerlegung Wir kennen die natürlichen Zahlen N = 1, 2,..., die ganzen Zahlen Z, die rationalen Zahlen (Brüche
MehrÜbungen zur Vorlesung Systemsicherheit
Übungen zur Vorlesung Systemsicherheit Asymmetrische Kryptographie Tilo Müller, Reinhard Tartler, Michael Gernoth Lehrstuhl Informatik 1 + 4 24. November 2010 c (Lehrstuhl Informatik 1 + 4) Übungen zur
MehrZufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp
Zufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp Fakultät für Mathematik und Informatik Universität of Bremen Übersicht des Vortrags 1 Einfache Kryptosysteme 2 Einmalschlüssel
MehrKurzskript MfI:AGS WS 2018/19 Teil II: Gruppen / Teil III: Ringe 34
Kurzskript MfI:AGS WS 2018/19 Teil II: Gruppen / Teil III: Ringe 34 Satz 4.2.11 (Chinesischer Restsatz, Ring-Version) Sind N teilerfremd (d.h. ggt( ) =1), so ist die Abbildung ein Ring-Isomorphismus. :
MehrAlgorithmische Kryptographie
Algorithmische Kryptographie Walter Unger Lehrstuhl für Informatik I 16. Februar 2007 Public-Key-Systeme: Rabin 1 Das System nach Rabin 2 Grundlagen Körper Endliche Körper F(q) Definitionen Quadratwurzel
MehrZahlentheorie. Diskrete Strukturen. Sommersemester Uta Priss ZeLL, Ostfalia. Hausaufgaben Primzahlen Teiler und Modulo Hashfunktion
Zahlentheorie Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Zahlentheorie Slide 1/27 Agenda Hausaufgaben Primzahlen Teiler und Modulo Hashfunktion Diskrete Strukturen
MehrZahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Katharina Falk Medizintechnik Master
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Katharina Falk Medizintechnik Master 13.06.2016 Gliederung Modulare Arithmetik Rechenregeln Schnelle Potenzierung Gemeinsamer Teiler Erweiterter Euklid Primzahlen
MehrZahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Felix Teufel 26.07.2017 Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Überblick Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen Eulersche Φ-Funktion RSA Quellen 26.07.2017
MehrKryptographie. Teilnehmer: Gruppenleiter: Humboldt-Universität zu Berlin.
Kryptographie Teilnehmer: Kevin Huber Philippe Gruse Vera Koldewitz Philipp Jakubahs Julian Zimmert Maximilian Werk Hermann-Hesse-Oberschule Heinrich-Hertz-Oberschule Gruppenleiter: Ulf Kühn Humboldt-Universität
MehrPrimzahlen im Schulunterricht wozu?
Primzahlen im Schulunterricht wozu? Franz Pauer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Tag der Mathematik Graz 6. Februar 2014 Einleitung Eine (positive) Primzahl ist
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 5.2 ElGamal Systeme 1. Verschlüsselungsverfahren 2. Korrektheit und Komplexität 3. Sicherheitsaspekte Das ElGamal Verschlüsselungsverfahren Public-Key Verfahren von
MehrZahlentheorie I. Christoph Egger. 18. Juni Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni / 32
Zahlentheorie I Christoph Egger 18. Juni 2010 Christoph Egger Zahlentheorie I 18. Juni 2010 1 / 32 Übersicht 1 Modulare Arithmetik Addition & Subtraktion Multiplikation schnelles Potenzieren 2 Teiler Definition
MehrAlgorithmentheorie Randomisierung. Robert Elsässer
Algorithmentheorie 03 - Randomisierung Robert Elsässer Randomisierung Klassen von randomisierten Algorithmen Randomisierter Quicksort Randomisierter Primzahltest Kryptographie 2 1. Klassen von randomisierten
MehrDiskreter Logarithmus und Primkörper
Diskreter Logarithmus und Primkörper Neben dem RSA-Verfahren ist die ElGamal-Verschlüsselung 8 ein weiteres klassische Public-Key-Verfahren, welches von Taher ElGamal auf der Konferenz CRYPTO 84 vorgestellt
MehrDer Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena. Dr. Gerold Jäger
Der Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena Dr. Gerold Jäger Habilitationsvortrag Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Institut für Informatik 19. Januar 2011 Dr. Gerold Jäger Habilitationsvortrag
MehrKryptographie. ein erprobter Lehrgang. AG-Tagung Informatik, April 2011 Alfred Nussbaumer, LSR für NÖ. LSR für NÖ, 28. April 2011 Alfred Nussbaumer
Kryptographie ein erprobter Lehrgang AG-Tagung Informatik, April 2011 Alfred Nussbaumer, LSR für NÖ 1 Variante: Kryptographie in 5 Tagen Ein kleiner Ausflug in die Mathematik (Primzahlen, Restklassen,
MehrPRIMZAHLEN PATRICK WEGENER
PRIMZAHLEN PATRICK WEGENER 1. Einführung: Was sind Primzahlen? Eine ganze Zahl p, welche größer als 1 ist, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Mit teilbar meinen wir hier
MehrVolker Kaatz. Faktorisierung. Faktorisierung. Problem und Algorithmen. Relevanz in der Kryptographie
Faktorisierung Problem und Algorithmen Relevanz in der Kryptographie Inhalt Begriff Faktorisierung Algorithmen (Übersicht) Strategie und Komplexität Pollard p-1 Algorithmus Pseudocode, mathematische Basis,
MehrPublic Key Kryptographie
3. Juni 2006 1 Algorithmen für Langzahlen 1 RSA 1 Das Rabin-Kryptosystem 1 Diskrete Logarithmen Grundlagen der PK Kryptographie Bisher: Ein Schlüssel für Sender und Empfänger ( Secret-Key oder symmetrische
MehrPrimzahlen im Schulunterricht wozu?
Primzahlen im Schulunterricht wozu? Franz Pauer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2013 5. April 2013 Einleitung Eine (positive)
MehrSatz von Euler. Satz von Euler. Korollar 1. Korollar 2 Kleiner Fermat. Sei (G, ) eine endl. abelsche Gruppe. Dann gilt a G = 1 für alle a G.
Satz von Euler Satz von Euler Sei (G, ) eine endl. abelsche Gruppe. Dann gilt a G = 1 für alle a G. Beweis: Sei G = {g 1,..., g n } und a G. Betrachte die Abbildung f : G G, g ag. Da a G, besitzt a ein
MehrDas RSA-Verfahren. Proseminar Kryptographische Protokolle SS Armin Litzel
in der Praxis Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 5.5.2009 in der Praxis Gliederung 1 Grundlegendes über RSA 2 in der Praxis Allgemeine Vorgehensweise zur Verschlüsselung Signieren mit RSA 3
MehrSatz von Euler. Satz von Euler. Korollar 1. Korollar 2 Kleiner Fermat. Sei (G, ) eine endl. abelsche Gruppe. Dann gilt a G = 1 für alle a G.
Satz von Euler Satz von Euler Sei (G, ) eine endl. abelsche Gruppe. Dann gilt a G = 1 für alle a G. Beweis: Sei G = {g 1,..., g n } und a G. Betrachte die Abbildung f : G G, g ag. Da a G, besitzt a ein
MehrPublic-Key-Kryptographie
Kapitel 2 Public-Key-Kryptographie In diesem Kapitel soll eine kurze Einführung in die Kryptographie des 20. Jahrhunderts und die damit verbundene Entstehung von Public-Key Verfahren gegeben werden. Es
MehrAbsolut geheim! Fakultät für Physik Universität Bielefeld schnack/
Absolut geheim! Jürgen Schnack Fakultät für Physik Universität Bielefeld http://obelix.physik.uni-bielefeld.de/ schnack/ Preisverleihung Mathematikolympiade Kreis Gütersloh Städtisches Gymnasium Gütersloh,
MehrZahlentheorie. Kapitel 6. Verständnisfragen. Sachfragen. 1. Erläutern Sie die ganzzahlige Division! 2. Was versteht man unter a mod b für a, b Z?
Kapitel 6 Zahlentheorie Verständnisfragen Sachfragen 1. Erläutern Sie die ganzzahlige Division! 2. Was versteht man unter a mod b für a, b Z? 3. Erläutern sie a b für a, b Z! 4. Was ist eine Primzahl?
MehrVorlesung Sicherheit
Vorlesung Sicherheit Dennis Hofheinz ITI, KIT 15.05.2017 1 / 25 Überblick 1 Hashfunktionen Angriffe auf Hashfunktionen Zusammenfassung Hashfunktionen 2 Asymmetrische Verschlüsselung Idee Beispiel: RSA
MehrPublic Key Kryptographie
4. Dezember 2007 Outline 1 Einführung 2 3 4 Einführung 1976 Whitefield Diffie und Martin Hellman 2 Schlüsselprinzip Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren public Key private Key Anwendung E-Mail PGP openpgp
MehrGewinnung und Test großer Primzahlen
16. Mai 2007 1 Einführung 2 Primzahlgewinnung 3 Primzahlentest 4 Aktuelles 5 Appendix 1 Einführung Anwendung Notation und Grundlagen Ordnung Eulersche φ-funktion Kleiner Satz von Fermat Anwendung Verwendung
MehrBeispiel für simultane Kongruenz
Beispiel für simultane Kongruenz Jetzt wollen wir das Lemma der letzten Einheit anwenden. Wenn man eine Zahl sucht, die kongruent zu y modulo m und kongruent zu z modulo n ist, so nehme man zam + ybn wobei
Mehr9. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04
9. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 KATHRIN TOFALL, MICHAEL NÜSKEN Die mit * gekennzeichneten Aufgabenteile und Aufgaben sind freiwillig. Die dort erworbenen Punkte werden als
MehrAsymmetrische Kryptographie u
Asymmetrische Kryptographie u23 2015 Simon, Florob e.v. https://koeln.ccc.de Cologne 2015-10-05 1 Zahlentheorie Modulare Arithmetik Algebraische Strukturen Referenzprobleme 2 Diffie-Hellman Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch
MehrVorlesung Sicherheit
Vorlesung Sicherheit Dennis Hofheinz ITI, KIT 12.05.2014 1 / 26 Überblick 1 Hashfunktionen Erinnerung Angriffe auf Hashfunktionen Zusammenfassung Hashfunktionen 2 Asymmetrische Verschlüsselung Idee Beispiel:
MehrBsp: Die kleinsten Carmichael-Zahlen sind 561, 1105, 1729, Es gibt unendlich viele Carmichael-Zahlen (Beweis 1994).
Primzahltest Wir wollen testen, ob eine gegebene Zahl n eine Primzahl ist Effizienter Algorithmus zum Faktorisieren ist unbekannt Kontraposition des Kleinen Satzes von Fermat liefert: Falls a n 1 1 mod
MehrVortrag zum Proseminar: Kryptographie
Vortrag zum Proseminar: Kryptographie Thema: Oliver Czernik 6.12.2005 Historie Michael Rabin Professor für Computerwissenschaft Miller-Rabin-Primzahltest Januar 1979 April 1977: RSA Asymmetrisches Verschlüsselungssystem
Mehr3. Vortrag: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematik Sommersemester 2017 Seminar: Verschlüsselungs- und Codierungstheorie Leitung: Thomas Timmermann 3. Vortrag: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren Hendrik
MehrDiskrete Mathematik 1
Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof. Dr. Alexander May M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik 1 WS 008/09 Blatt
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 4 Public Key Kryptographie mit RSA 1. Ver- und Entschlüsselung 2. Schlüsselerzeugung und Primzahltests 3. Angriffe auf das RSA Verfahren 4. Sicherheit von RSA Probleme
MehrUniversität Tübingen WS 2015/16. Kryptologie. Klausur
Universität Tübingen WS 2015/16 Kryptologie Klausur 31.3.2016 Name: Matrikel-Nr.: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Summe 10 15 10 10 8 10 12 5 10 10 100 Aufgabe 1 a) (8P) Testen Sie mit Miller-Rabin, ob 13 eine Primzahl
MehrEinleitung. Wir schauen uns einige Probleme an, die wir im Laufe der Vorlesung genauer untersuchen werden.
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2018) 1 Einleitung Wir schauen uns einige Probleme an, die wir im Laufe der Vorlesung genauer untersuchen werden. (1) Zahlbereiche Unsere Zahlentheorie spielt sich im Bereich
MehrIT-Sicherheit Kapitel 4 Public Key Algorithmen
IT-Sicherheit Kapitel 4 Public Key Algorithmen Dr. Christian Rathgeb Sommersemester 2014 1 Einführung Der private Schlüssel kann nicht effizient aus dem öffentlichen Schlüssel bestimmt werden bzw. die
MehrVon Primzahlen und Pseudoprimzahlen
1 Von Primzahlen und Pseudoprimzahlen Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS), Berlin 23. Tag der Mathematik 21. April 2018, Technische Universität Berlin Primzahlen
MehrMathematische Grundlagen der Kryptografie (1321) SoSe 06
Mathematische Grundlagen der Kryptografie (1321) SoSe 06 Klausur am 19.08.2006: Lösungsvorschläge zu den Aufgaben zu Aufgabe I.1 (a) Das numerische Äquivalent zu KLAUSUR ist die Folge [10, 11, 0, 20, 18,
MehrMusterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck
Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 114 Punkte, 100 Punkte= 100 %, keine Abgabe 1. Es seien m = 1155 und n = 1280.
Mehr2008W. Vorlesung im 2008W Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz
Mathematik Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/ml Inhalt Definierende Eigenschaften Definition 0 ist eine natürliche Zahl;
MehrKryptographische Protokolle
Kryptographische Protokolle Lerneinheit 4: Schlüsselvereinbarung Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2017 8.5.2017 Einleitung Einleitung In dieser Lerneinheit
Mehr3 Public-Key-Kryptosysteme
Stand: 05.11.2013 Vorlesung Grundlagen und Methoden der Kryptographie Dietzfelbinger 3 Public-Key-Kryptosysteme 3.1 Verschlüsselung von Nachrichten Wir betrachten ganz einfache Kommunikationsszenarien.
MehrDas RSA-Verfahren - Einsatz von Standardalgorithmen in der Kryptologie
Das RSA-Verfahren - Einsatz von Standardalgorithmen in der Kryptologie 2 Verschlüsseln durch modulares Rechnen modulares Addieren modulares Multiplizieren modulares Potenzieren Verschlüsselung mit öffentl.
MehrKryptographie - eine mathematische Einführung
Kryptographie - eine mathematische Einführung Rosa Freund 28. Dezember 2004 Überblick Grundlegende Fragestellungen Symmetrische Verschlüsselung: Blockchiffren, Hashfunktionen
MehrKapitel 2. Elementare Zahlentheorie Primfaktorzerlegung
Kapitel 2. Elementare Zahlentheorie 2.1. Primfaktorzerlegung Menge der ganzen Zahlen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Addition Inverse Multiplikation Z Z Z, Z Z, Z Z Z, (a, b) a + b a a (a, b) a b Ausgezeichnete
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 4.2 Primzahltests 1. Deterministische Primzahltests 2. Der Primzahltest von Solovay-Strassen 3. Der Milner-Rabin Test Wozu Primzahltests? RSA Schlüssel benötigen sehr
MehrRegine Schreier
Regine Schreier 20.04.2016 Kryptographie Verschlüsselungsverfahren Private-Key-Verfahren und Public-Key-Verfahren RSA-Verfahren Schlüsselerzeugung Verschlüsselung Entschlüsselung Digitale Signatur mit
MehrKleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche '-Funktion, RSA
Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz, Eulersche '-Funktion, RSA Manfred Gruber http://www.lrz-muenchen.de/~gruber SS 2009, KW 15 Kleiner Fermatscher Satz Satz 1. Sei p prim und a 2 Z p. Dann
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 4 Public Key Kryptographie mit RSA 1. Ver- und Entschlüsselung 2. Schlüsselerzeugung und Primzahltests 3. Angriffe auf das RSA Verfahren 4. Sicherheit von RSA Probleme
Mehr6.2 Asymmetrische Verschlüsselung
6.2 Asymmetrische Verschlüsselung (asymmetric encryption, public-key encryption) Prinzip (Diffie, Hellman, Merkle 1976-78): Statt eines Schlüssels K gibt es ein Schlüsselpaar K E, K D zum Verschlüsseln
MehrProseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren
Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren Herwig Stütz 2007-11-23 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Das RSA-Verfahren 2 2.1 Schlüsselerzeugung.................................
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 4.4 Semantische Sicherheit 1. Sicherheit partieller Informationen 2. Das Verfahren von Rabin 3. Sicherheit durch Randomisierung Semantische Sicherheit Mehr als nur
MehrZahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Monika Huber 24.6.2015 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 24.6.2015 1 / 52 Übersicht Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen
MehrPrimzahlen, Primzahltests, Primfaktorzerlegung Ac
Primzahlen, Primzahltests, Primfaktorzerlegung Ac 2013-2018 Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie durch genau 2 Zahlen teilbar ist, nämlich durch 1 und durch sich selbst. Demnach ist 1 keine Primzahl!
MehrInhalt 2007W. Vorlesung im 2007W
Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/ml Inhalt Definierende Eigenschaften 0 ist eine natürliche Zahl; Zu jeder natürlichen Zahl
MehrProseminar Bakkalaureat TM 2008/2009 Datensicherheit und Versicherungsmathematik Public-Key-Kryptosystem
Proseminar Bakkalaureat TM 2008/2009 Datensicherheit und Versicherungsmathematik Technische Universität Graz 29. Dezember 2008 Überblick Unterschied zwischen symmetrischen und asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 4.2 Primzahltests 1. Deterministische Primzahltests 2. Der Primzahltest von Solovay-Strassen 3. Der Milner-Rabin Test Wozu Primzahltests? RSA Schlüssel benötigen sehr
MehrCarmichael-Zahlen und Miller-Rabin-Test
Institut für Mathematik Universität Hannover Proseminar: Zahlentheorie und Kryptographie Prof. Dr. C. Bessenrodt Carmichael-Zahlen und Miller-Rabin-Test Felix Pape 15. Mai 2003 1 Carmichael-Zahlen 1.1
MehrElementare Zahlentheorie II
Schülerzirel Mathemati Faultät für Mathemati. Universität Regensburg Elementare Zahlentheorie II Der Satz von Euler-Fermat und die RSA-Verschlüsselung Die Mathemati ist die Königin der Wissenschaften,
Mehr3. Diskrete Mathematik
Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,
MehrHallo Welt für Fortgeschrittene
Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Florian Habur Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Übersicht Modulare Arithmetik Rechenregeln Fast Exponentiation
MehrMathematik für alle. Bernhard Riemann. die acht bedeutendsten Mathematiker, gemessen an nach ihnen benannten Objekten. Abitur 1846 am Johanneum
Mathematik für alle die acht bedeutendsten Mathematiker, gemessen an nach ihnen benannten Objekten Bernhard Riemann Abitur 1846 am Johanneum Lüneburg 1 Mathematik für alle 1 Million Dollar gibt die Clay-Stiftung
MehrKapitel 3 Elementare Zahletheorie
Kapitel 3 Elementare Zahletheorie 89 Kapitel 3.1 Ganze Zahlen, Gruppen und Ringe 90 Die ganzen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Es gibt zwei Operationen Addition: Z Z Z, (a,b)
Mehr