Primzahlen. Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. Es gilt: N=P Z {1} Definition: (Primzahlen) Definition: (zusammengesetzte Zahlen)

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1 Primzahlen Definition: (Primzahlen) Definition: (zusammengesetzte Zahlen) Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. Es gilt: N=P Z {1} 22

2 Primzahlen Definition: (Mersenne-Primzahlen) Eine Mersenne-Primzahl M n ist eine Primzahl der Form 2 n -1 Satz: (Mersenne-Primzahlen) n N n P M n P Beispiel: (Mersenne-Primzahlen) 2 2-1= = = =127 23

3 Primzahlen Explizites Bildungsgesetz für Primzahlen? =2047=23 89 Mersenne-Zahlen spielen in der Zahlentheorie eine grosse Rolle GIMPS Seit diesem Jahr M 42 = bekannt Dr. Martin Nowak, ein Augenarzt aus Michelfeld, hat 2^ mit dem GIMPS-Mersenne-Programm auf einem seiner Praxiscomputer als prim nachgewiesen. Die Zahl besitzt Dezimalziffern. Insgesamt 24 PCs arbeiten im Augenzentrum des Arztes in ihrer "Freizeit" für das Internet-Projekt GIMPS. Ein 16-fach-Itanium-2-System (Bull NovaScale 5000 HPC) brauchte nur fünf Tage, um die Primalität der nunmehr 42. bekannten Mersenne-Primzahl zu bestätigen. GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) 24

4 Primzahlen Wieviele Primzahlen gibt es? Satz: P = Beispiel: Annahme: P={2,3,5,7} Z+1= =211 Annahme: P={2,3,5,7,11,13} Z+1= =30031=

5 Primzahlen Primzahlverteilung: n Prim(n) Twin(n) Time <0.01 sec <0.01 sec <0.01 sec <0.01 sec <0.01 sec sec sec sec sec sec 26

6 Primzahlen Primzahlverteilung: π(n)= {p p P p n} Theorem von Chebyshef c1* n/log(n) < pi(n) < c2* n/log(n) c1=0.92 c2=

7 Primzahlen Primzahlverteilung: n π(n) n / log(n) e r in % li(n) e r in %

8 Primzahlen Primzahlerzeugung Expliziter Algorithmus Resultatwert eine oder mehrere Primzahlen Sieb des Eratosthenes Bestimme zufällige Zahl p Prüfe ob p P Primzahltest Fermat Test Miller-Rabin Test 29

9 Primzahlen Das Sieb des Eratosthenes: (Algorithmus) 1. Die 1 wird gestrichen 2. Die nächste Zahl, die nicht gestrichen ist, wird als Primzahl markiert 3. Alle Vielfache dieser Zahl werden aus der Liste gestrichen, da sie keine Primzahlen sind 4. Wiederhole Schritt 2 und 3, bis man das Ende der Liste erreicht hat

10 Fermatscher Primzahltest: Ist b kein Vielfaches von p so gilt: Primzahlen Aussage leider falsch. z.b. ist 15 P aber mod p 15 ist kleinste Pseudoprimzahl Eingeschränkt auf Basis b=2 sind Pseudoprimzahlen wesentlich seltener Unter den ersten 1000 Primzahlen 3 Pseudoprimzahlen: 341, 561, 645 Bei 168 echten Primzahlen beträgt der Fehler Verbesserung der Genauigkeit -> Miller-Rabin Test 31

11 Sätze von Euler und Fermat Faktorisierung: Suche grosse Zahl N, die einfach zu generieren ist, aber deren Rückführung auf verwendete Faktoren hinreichend schwer ist N = p q

12 Sätze von Euler und Fermat Beispiel: n

13 Sätze von Euler und Fermat n

14 Sätze von Euler und Fermat Wiederholung ggt: ggt(60,13) NEU: xggt 60 = Vielfachsummendarstellung: 13 = = = = = ggt 35

15 Sätze von Euler und Fermat Praktische Umsetzung des xggt: 1 = = 3 1 (5 1 3) = = (8 1 5) = = 3 (13 1 8) = = ( ) = = 1 modulare Inverse: 36

16 Sätze von Euler und Fermat Satz von Euler-Fermat 37

17 Algorithmus RSA 1. Bestimme zufällige p,q P : p q, gleich gross 2. Bestimme N=p q 3. Berechne (N)=(p-1) (q-1) 4. Wähle eine Zahl e > 1 mit ggt(e, (N)) = 1 5. Bestimme d so, dass e d 1 mod (N) 6. Die Zahlen N und e bilden public key Die Zahlen d bildet private key Nachdem Whitfield Diffie und Martin Hellman eine Theorie zur Public-Key- Kryptografie veröffentlicht hatten, versuchten die drei Mathematiker Rivest, Shamir und Adleman, die Annahmen von Diffie und Hellmann zu widerlegen. Nachdem sie den Beweis bei verschiedenen Verfahren durchführen konnten, stießen sie schließlich auf eines, wo sie keinerlei Angriffspunkte fanden. Hieraus entstand dann RSA. Das Verfahren wurde 1977 entwickelt und basiert auf der Idee, dass die Faktorisierung einer großen Zahl, also ihre Zerlegung in (mindestens zwei) Faktoren, eine sehr aufwändige Angelegenheit ist, während das Erzeugen einer Zahl durch Multiplikation zweier Primzahlen trivial ist. Wenn nun eine Nachricht einem Empfänger verschlüsselt zugeleitet werden soll, generiert dieser einen öffentlichen Schlüssel. Der Nachrichtenabsender verwendet diesen öffentlich bekanntgemachten Schlüssel, indem er damit seine Botschaft verschlüsselt. Nur der Empfänger kann diese "dekodieren", da nur er die "Zusammensetzung" des von ihm erzeugten (öffentlichen) Schlüssels kennt. 38

18 Beispiel RSA 1. p=11, q=13 N = p q = (N) = (143) = (p-1) (q-1) = Wähle e=23 ggt(23, (143)) = 1 4. Bedingung: 23 d 1 mod d = k d 120 k = Euklidischer Algorithmus liefert d = 47 und k = 9 7. e = 23 und N = 143 öffentlicher Schlüssel 8. d = 47 geheimer Schlüssel Das heißt: Das Produkt soll bei Division durch 120 den Rest 1 lassen. Man kann damit die Kongruenz als Gleichung schreiben 39

19 Verschlüsselung RSA Der Nachrichtensender benutzt den öffentlichen Schlüssel N = 143, e=23 Entschlüsselung Der Nachrichtenempfänger benutzt den privaten Schlüssel d=47 40

20 Nachweis: RSA Euler- Fermat 41

21 RSA Um Geheimtext zu entschlüsseln, benötigt Angreifer privaten Schlüssel d Wenn (N) bekannt wäre, ist d leicht zu berechnen Möglichkeit Primfaktorzerlegung von N Faktorisierung praktisch nicht durchführbar Unlösbarkeit allerdings nicht bewiesen Theorie zu Quantencomputern löst Problem polynominal Mit klassischen Rechentechniken relativ grosse Zahlen faktorisierbar 2003 Uni Bonn 174-stellige Dezimalzahl Momentan sicheres Verfahren Kann durch Hardware oder unbekannte Algorithmen schnell gelöst werden Verwendung in: X.509 Zertifkaten, SSL, PGP etc. 300 Dezimalstellen heute üblicher Schlüssel entfernt. 42

22 Beweise Beweis: (Mersenne-Primzahlen) 43

23 Beweise Beweis: (Mächtigkeit von P) 44

24 Beweise Beweis: (Euler-Fermat) 45

25 Sieb des Eratosthenes (Java) Programmcode public static Vector buildprime(int border){ Vector prime=new Vector(border); // Belege Vector mit allen Elementen < border for(int i=2;i<border;++i){ prime.add(new Integer(i)); } // Durchlaufe alle Faktoren bis sqrt(border) for(int i=2;i<math.sqrt(border);i++){ // Durchlaufe alle Elemente des Vektors for(int j=0;j<prime.size();j++){ // wenn Vektorelement Vielfaches von i, lösche Element if(((integer)prime.get(j)).intvalue()%i==0 && i!=((integer)prime.get(j)).intvalue()){ prime.remove(j); } } } return prime; } 46

26 Fermat-Test (Java) Programmcode public static void main(string[] args) { BigInteger basis=new BigInteger("2"); Vector prime=buildprime(1000); for(int i=3;i<=1000;++i){ BigInteger p=new BigInteger(""+i); BigInteger pm1=new BigInteger(""+(i-1)); } } BigInteger result=basis.modpow(pm1,p); if(result.compareto(biginteger.one)==0){ System.out.println(i+" "+((prime.indexof(new Integer(i))!=-1)? " ":"nicht prim")); } 47

27 Programmcode Erweiterter Euklidischer Algorithmus (C++) llint xgcd(llint a,llint b, sllint *x_k, sllint *y_k) { int l=1,q; llint r[2]={a,b}; llint x[3]={1,0,0}; llint y[3]={0,1,0}; while (r[1]!=0) { ++l; q=r[0]/r[1]; x[2]=q*x[1]+x[0]; y[2]=q*y[1]+y[0]; r[0]=r[1]; r[1]= (l%2==0)? x[2]*a-y[2]*b : -x[2]*a+y[2]*b; x[0]=x[1], x[1]=x[2]; y[0]=y[1], y[1]=y[2]; } l--; *x_k= (n%2==0)? x[0] : -x[0]; *y_k= (n%2==0)? -y[0] : y[0]; return (r[0]); } 48

28 Fastpow (C++) llint fastpow(llint nbase, llint nexp, llint nmod) { llint y=1; while (nexp>0) { nbase=nbase%nmod; if (nexp%2==1) { y=(y*nbase)%nmod; } nexp=(llint)(nexp/2); nbase=nbase*nbase; } return y; } Programmcode 49

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