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1 1 Mengen 1.1 Definition Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine Menge lässt sich durch verschiedene Möglichkeiten repräsentieren. Sie kann durch Aufzählung ihrer Elemente A = {1,2,3}, durch eine Eigenschaft B = {x N x > 3} oder mittels eines Venn/Euler-Diagramms dargestellt werden. x A bedeutet dabei, dass das Element x in A enthalten ist, analog dazu x / A, dass x nicht in Aenthalten ist. Eine Menge A wird als Teilmenge bezeichnet, wenn alle Elemente aus A auch in B enthalten sind. A B B A x A x B Die Menge B stellt hierbei die Obermenge von A dar B A. Eine Menge A wird hierbei als echte Teilmenge A B bezeichnet, wenn A B und A B ist Aufgaben Aufgabe 1: Gilt A B? a.) A = {1,2,3}, B = {1,3,4,2} b.) A = {4,e}, B = {1,3,4,f} c.) A = {x,e,ε}, B = {x,µ,5,e,ϱ,74,ε} d.) A = {a,6,9,b}, B = {a,6,9} e.) A = {1,2}, B = {1,2} Aufgabe 2: Geben Sie eine mögliche Teilmenge A von B = {a,b,d,e} an Aufgabe 3: Geben Sie an, ob die Menge A = {1,b,d,δ} Obermenge ist a.) B = {1,d} b.) B = {δ} 1

2 c.) B = {0,d} Aufgabe 4: Geben Sie die Menge(n) B an für die gilt B A und B A a.) für A = {1,3,4} b.) allgemein für eine beliebige Menge B Aufgabe 5: Zeichnen Sie das Venn-Diagramm für X = {a,b,d,e} Lösungen Lösung 1: a.) ja b.) nein c.) ja d.) nein e.) ja Lösung 2: z.b. A = {b,d} Lösung 3: a.) ja, A B b.) ja, A B c.) nein, A B Lösung 4: a.) B = {1,3,4} b.) laut den obigen Definitionen ist der vorliegende Fall nur dann erfüllt, wenn A = B ist 2

3 Lösung 5: a e b d 1.2 Allgemeine Mengen Es existieren eine Anzahl von Mengen, die eine allgemeine Bezeichnung aufgrund ihrer häufigen Verwendung erlangt haben. Interessant ist insbesondere die Leere Menge, die als Menge ohne Elemente definiert ist = {}. Die Leere Menge ist echte Teilmenge jeder Menge und Teilmenge von sich selbst. M : M Häufig verwendete Mengen Symbol Bezeichnung Beschreibung Leere Menge Menge die keine Elemente enthält N Natürliche Zahlen {1, 2, 3,..., n} N 0 Natürliche Zahlen mit 0 {0,1,2,3,...,n} Z Ganze Zahlen { n,..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...,n} Q Rationale Zahlen {x = m m Z,n N} n I Irrationale Zahlen {x m m Z,n N} n R Reelle Zahlen Q I C Komplexe Zahlen {x x = a+b i i 2 = 1 a,b R} B Boolsche Zahlen {0, 1} Daneben gibt es noch einige Bezeichnungen, um bestimmte Teilmengen zu charakterisieren. 3

4 Symbol Bezeichnung Beschreibung M + positive Teilmenge {x Y x > 0} M negative Teilmenge {x Y x < 0} M 0 + positive Teilmenge mit 0 {x Y x 0} M0 negative Teilmenge mit 0 {x Y x 0} [n] Menge bis n {x Y 0 < x n} ]a,b[ (a,b) Teilmenge von a bis b {x Y a < x < b} [a,b[ [a,b) Teilmenge von einschließlich a bis b {x Y a x < b} (a,b] (a,b] Teilmenge von a bis einschließlich b {x Y a < x b} [a,b] [a,b] Teilmenge von einschließlich a bis einschließlich b {x Y a x b} Anmerkung: für die letzten 4 häufig verwendeten Mengen ist x, soweit nicht näher spezifiziert, N Aufgaben Aufgabe 1: Für welche Mengen ist {0} echte Teilmenge? a.)n b.) N 0 c.) R + d.) C e.)i + f.)z g.)q Aufgabe 2: Geben Sie die Mengen [7,11), (3,4) und [6] in aufzählender Schreibweise an Aufgabe 3: Was ist der Unterschied zwischen und { }? Aufgabe 4: Welche der folgenden Mengen sind identisch? - A =, B = {1,2,3}, C = {1,2,3,3},D = {1,1,2,3,2},E = {1,2,4,3}, F = {4,2,1,3,3} Lösungen Lösung 1: Teilmenge für b.), f.), g.) Lösung 2: {7,8,9,10},,{1,2,3,4,5,6} Lösung 3: Die Leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält, während { } eine Menge bezeichnet, die die Leere Menge enthält. Es gilt also { }! 4

5 Lösung 4: B = C = D, E = F Anmerkung: Zwei Mengen sind dann gleich, wenn sie die selben wohlunterschiedenen(!) Elemente besitzen. 1.3 Operationen auf Mengen Wie auch in der normalen Arithmetik lassen sich verschiedene Operationen zwischen zwei Mengen A und B ausführen. Bezeichnung Symbol Veranschaulichung Definition A B Vereinigung A B = {x x A x B} A B Schnitt A B = {x x A x B} A B Differenz \ A\B = {x x A x / B} A B Differenz \ B \A = {x x / A x B} A B Symmetrische Differenz Die Vereinigung und der Schnitt sind kommutativ und assoziativ. Es gilt A (B C) = (A B) C = B (A C), bzw. A (B C) = (A B) C = B (A C) analog dazu für den Schnitt. Die Differenzmenge ist hingegen nicht kommutativ. A B = (A\B) (B \A) 5

6 1.3.1 Aufgaben Aufgabe 1: Ist die symmetrische Differenz kommutativ? Aufgabe 2: Berechnen Sie a.) {1,4,f,g} {g,4} {2,1,2,1} b.) {0,6,5,f,g} {a,5,8} {3,6} c.) {7} { } d.) [4] )4,7] e.) (0,3) (3,8] f.) [1,9] [5,7) Aufgabe 3: Wie lässt sich die Menge [x,z] als Differenz zweier Mengen der Form [n] darstellen? Aufgabe 4: Vereinfachen Sie a.) (X \Y) (X Y) b.) (F J) (F J) c.) (U A) (A U) Lösungen Lösung 1: Die symmetrische Differenz ist kommutativ. Es gilt A B = (A\B) (B \ A) B A = (B \ A) (A \ B). Dies lässt sich entweder mittels eines Venn-Diagramms beweisen oder aus der Tatsache folgern, dass die Symmetrische Differenz per Definition eine Vereinigung zweier Differenzen darstellt. Lösung 2: a.) {1,2,f} b.) {0,3,5,8,a,f,g} c.) { } d.) [4,7] e.) [1,8]\{3} {1,2,4,5,6,7,8} f.) {5,6} Lösung 3: 6

7 [x,z] = [z]\[x 1] Lösung 4: a.) X b.) F J c.) 1.4 Potenzmenge Die Potenzmenge gibt zu einer zugehörigen Menge A alle in A enthaltenen Teilmengen an. Dieser Sachverhalt lässt sich auch mathematisch ausdrücken: P(A) = {B B A} Neben der Schreibweise P(A) ist auch die Schreibweise 2 A geläufig Aufgaben Aufgabe 1: Geben Sie die Potenzmenge der Menge X = {a,b} an Aufgabe 2: Geben Sie die Potenzmenge der Menge H = {1,2,3,4} an Aufgabe 3: Geben Sie P( ) an Aufgabe 4: Geben Sie P({ }) an Aufgabe 5: Geben Sie P(P( )) an Lösungen Lösung 1: P(X) = {,a,b,{a,b}} Lösung 2: P(H) = {,1,2,3,4, {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,4},{1,2,3,4}} Lösung 3: 7

8 P( ) = { } Lösung 4: P({ }) = {,{ }} Lösung 5: P(P( )) = {,{ }} 1.5 Kardinalität Als Kardinalität oder Mächtigkeit einer Menge bezeichnet man die Anzahl an Elementen die eine Menge enthält. Die leere Menge hat dabei die Kardinalität 0. = 0 Die Kardinalität der Potenzmenge einer Menge beträgt P(A) = 2 A hiermit erklärt sich auch die alternative Schreibweise P(A) 2 A. Dieser Sachverhalt lässt sich auch einfach beweisen: Jede mögliche Teilmenge von A enthält entweder das Element x oder nicht x A : x B x / B wobei B A sei. Als Folgerung ergibt sich, dass es 2 A mögliche Teilmengen von A gibt. 1.6 Partitionen Eine Menge lässt sich in mehrere disjunkte Teilmengen mit k-elementen oder in k disjunkte Teilmengen zerlegen. Eine solche Zerlegung in nichtleere, disjunkte Teilmengen nennt man eine Partition. A = k A i = i=1 wobei x,y : A x A y und A j A k= A j A j x,y : A x A y A x = A y 8

9 bzw. x,y : A x A y = außer für x = y. Für die Zerlegung einer n-elementigen Menge A in k Teilmengen gibt es S n,k Möglichkeiten. Man spricht auch von einer k-partition. S n,k bezeichnet hierbei die Stirlingzahlen zweiter Art, die in einem späteren Abschnitt ausführlich behandelt werden. Für die Partition einer n-elementigen Menge A in k-elementige Teilmengen gilt, dass deren Anzahl ) n/k ( n k i i=0 ( k n ) k! beträgt. Anzumerken ist dabei, dass logischerweise natürlich k n gelten muss. Dieser Sachverhalt lässt sich auch darüber plausibel machen, dass das Bilden einer k-elementigen Teilmenge dem Ziehen von k Elementen aus einer mit n Elementen gefüllten Menge entspricht. Bei einer Zerlegung in k-elementige Teilmengen wird eine Partition aus n/k disjunkten, nichtleeren Teilmengen erzeugt. Da es jedoch nebensächlich ist, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilmengen vorkommen ist durch(n/k)! zu dividieren, um die Permutationen als gleichwertig zu behandeln. Für M = {a,b,c,d,e,f} mit M = n = 6 und k = 2 sähe eine beispielshafte Partition in 2-elementige Teilmengen wie folgt aus: M = {a,b} {c,d} {e,f} Für die erste Teilmenge ergeben sich dabei ( 6 ( 2) Möglichkeiten, für die zweite 4 ) 2 usw. Für die Gesamtzahl der Anzahl an Möglichkeiten eine n-elementige Menge A zupartitionieren,gilt,dasssiederbellschenzahlb n entspricht. Eineeinfache Berechnung von B n gelingt dabei mittels der Formel B n = n k=0 S n,k Aufgaben Aufgabe 1: Geben Sie alle möglichen Partitionen von A = {a,b,c} mit zwei Teilmengen an Aufgabe 2:GebenSieallePartitionenvonB = {1,2,3,4}mit2-Elementigen Teilmengen an 9

10 Aufgabe 3: Geben Sie alle möglichen Partitionen von {3,4,5,6} an und den Zahlenwert von B 4 Aufgabe 4: Wie viele Möglichkeiten gibt es die Menge V = {a,b,c,5,ζ,ξ} in 1, 2, 3, 6 elementige Teilmengen zu partitionieren? Lösungen Lösung 1: {a} {b,c} {b} {a,c} {c} {a,b} Lösung 2: {1,2} {3,4} {1,3} {2,4} {1,4} {2,3} Lösung 3: B 4 = 15 {3} {4} {5} {6} {3,4} {5} {6} {3,5} {4} {6} {3,6} {4} {5} {4,5} {3} {6} {4,6} {3} {5} {5,6} {3} {4} {3,4} {5,6} {3,5} {4,6} {3,6} {4,5} {3,4,5} {6} {3,4,6} {5} {3,5,6} {4} {4,5,6} {3} {3,4,5,6} 10

11 Lösung 4: 1-elementige: 1 2-elementige: 4)( (6 4 2)( 2 2) 3! 3-elementige: 3)( (6 3 3) 2! 6-elementige: Kartesisches Produkt Unter dem kartesischen Produkt zweier Mengen A, B versteht man die Menge aller geordneten Paare der Form (a,b) wobei a A und b B A B = {(a,b) a A b B} Damit ergeben sich A B verschiedene geordnete Tupel (a, b). Die mehrmalige Ausführung des kartesischen Produktes auf einer Menge A lässt sich auch in Potenzschreibweise darstellen A A... A }{{} = A n n Das kartesische Produkt ist assoziativ aber nicht kommutativ Aufgaben Aufgabe 1: Geben Sie für A = {a,b,c} und B = {c,d} das kartesische Produkt an Aufgabe 2: Bestimmen Sie B 3 und B Lösungen Lösung 1: A B = {(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,c),(c,d)} Lösung 2: B 3 = {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} B 3 = 8 11

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