Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, Henning Meyerhenke

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1 Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, Henning Meyerhenke 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke: Landes Baden-Württemberg und nationales Algorithmische Forschungszentrum Methoden in der Helmholtz-Gemeinschaft zur Netzwerkanalyse

2 Inhalt Krankheitsausbreitung in Netzwerken Einführung Krankheits- und Netzwerkmodelle Zusammenfassung Vorlesungsinhalt 2 Henning Meyerhenke:

3 Einleitung und Motivation Modellierung von Krankheitsausbrüchen wichtiges Anwendungfeld Reale Epidemien SARS EHEC AIDS... Computerschädlinge Viren Würmer... Image sources: Henning Meyerhenke:

4 Einleitung und Motivation Modellierung von Krankheitsausbrüchen wichtiges Anwendungfeld Reale Epidemien SARS EHEC AIDS... Computerschädlinge Viren Würmer... Image sources: Henning Meyerhenke:

5 Verwandte Prozesse Randomisiertes Broadcasting Aktualisierung verteilter Datenbanken Ausbreitung von Informationen, z. B. Ideen oder Tratsch 4 Henning Meyerhenke:

6 Verwandte Prozesse Randomisiertes Broadcasting Aktualisierung verteilter Datenbanken Ausbreitung von Informationen, z. B. Ideen oder Tratsch Alles Prozesse, die in Netzwerken passieren 4 Henning Meyerhenke:

7 Ein erster Modellierungsansatz Verzweigungsprozesse Simples Modell Verzweigungsprozess: (Erste Welle) Eine infizierte Person erreicht eine Population und gibt die Krankheit an jede kontaktierte Person mit Wkt. p weiter. Annahme: k Personen werden kontaktiert (Zweite Welle) Jede der k Personen trifft nun wiederum k Personen. Man erhält also eine zweite Welle von k 2 Personen. Weitergabe bei Infektion mit Wkt. p Weitere Wellen analog 5 Henning Meyerhenke:

8 Ein erster Modellierungsansatz Verzweigungsprozesse Simples Modell Verzweigungsprozess: (Erste Welle) Eine infizierte Person erreicht eine Population und gibt die Krankheit an jede kontaktierte Person mit Wkt. p weiter. Annahme: k Personen werden kontaktiert (Zweite Welle) Jede der k Personen trifft nun wiederum k Personen. Man erhält also eine zweite Welle von k 2 Personen. Weitergabe bei Infektion mit Wkt. p Weitere Wellen analog Erzeugt Baum (Annahme: Kontakte sind jeweils disjunkt) Der Ausbreitungsgrad hängt von k p ab 5 Henning Meyerhenke:

9 Verzweigungsprozess [D. Easley, J. Kleinberg: Epidemics. Ch. 21 of Networks, Crowds, and Markets...] 6 Henning Meyerhenke:

10 Einfluss der Reproduktionszahl Wird in einer Welle niemand neu infiziert, dann stirbt der Prozess aus Entweder Abbruch oder unendliche Fortsetzung 7 Henning Meyerhenke:

11 Einfluss der Reproduktionszahl Wird in einer Welle niemand neu infiziert, dann stirbt der Prozess aus Entweder Abbruch oder unendliche Fortsetzung Abhängig von Reproduktionszahl R 0 : Erwartete Zahl neuer Fälle, die durch eine einzelne Person hervorgerufen werden In unserem Modell: R 0 = pk Theorem Falls R 0 < 1, dann stirbt die Krankheit mit Wkt. 1 nach endlich vielen Schritten. Falls R 0 > 1, dann bleibt die Krankheit mit Wkt. größer als 0 erhalten und infiziert in jeder Welle mindestens eine Person. 7 Henning Meyerhenke:

12 Inhalt Krankheitsausbreitung in Netzwerken Einführung Krankheits- und Netzwerkmodelle Zusammenfassung Vorlesungsinhalt 8 Henning Meyerhenke:

13 Modellierung Verschiedene Krankheitsmodelle: SI: susceptible (anfällig) und infected (infiziert) SIR: S, I und recovered (geheilt) SIS: S, I und wieder S SIRS: S, I, R und wieder S 9 Henning Meyerhenke:

14 Modellierung Verschiedene Krankheitsmodelle: SI: susceptible (anfällig) und infected (infiziert) SIR: S, I und recovered (geheilt) SIS: S, I und wieder S SIRS: S, I, R und wieder S Übertragungsrate β (Wkt. der Übertragung bei Kontakt in einem Zeitschritt) 9 Henning Meyerhenke:

15 Modellierung Verschiedene Krankheitsmodelle: SI: susceptible (anfällig) und infected (infiziert) SIR: S, I und recovered (geheilt) SIS: S, I und wieder S SIRS: S, I, R und wieder S Übertragungsrate β (Wkt. der Übertragung bei Kontakt in einem Zeitschritt) Kommt auf die Krankheit und weitere Umstände an, welches Modell besser passt 9 Henning Meyerhenke:

16 Grenzbetrachtungen SI n Knoten O(1) Knoten zum Zeitpunkt t = 0 infiziert, der Rest anfällig Mit Wkt. β pro Zeitschritt geben infizierte Knoten die Krankheit an ihre anfälligen Nachbarn weiter 10 Henning Meyerhenke:

17 Grenzbetrachtungen SI n Knoten O(1) Knoten zum Zeitpunkt t = 0 infiziert, der Rest anfällig Mit Wkt. β pro Zeitschritt geben infizierte Knoten die Krankheit an ihre anfälligen Nachbarn weiter SI: Für allgemeine Graphen schwierig lösbar, Rückgriff auf Computer-Simulationen Grenzwertbetrachtungen (t ) aber möglich Klar: Jeder, der infiziert werden kann (ZHK), wird irgendwann infiziert (falls β > 0) ZHK des anfangs infizierten Knoten bestimmt Infektionsgrad 10 Henning Meyerhenke:

18 Grenzbetrachtungen SIR SIR birgt interessantere Eigenschaften (im Vgl. zu SI) Individuen bleiben nur für eine bestimmte Zeit τ (fix) infektiös Sie geben die Krankheit danach nicht mehr weiter (entweder wegen Immunität oder Tod) ZHK wird nicht zwangsläufig vollständig infiziert 11 Henning Meyerhenke:

19 Grenzbetrachtungen SIR SIR birgt interessantere Eigenschaften (im Vgl. zu SI) Individuen bleiben nur für eine bestimmte Zeit τ (fix) infektiös Sie geben die Krankheit danach nicht mehr weiter (entweder wegen Immunität oder Tod) ZHK wird nicht zwangsläufig vollständig infiziert Betrachten wir im Folgenden zeitabhängige Eigenschaften von SIR 11 Henning Meyerhenke:

20 Zeitabhängigkeit bei SIR Modellbeschreibung s i : Wkt., dass Knoten i empfänglich ist x i : Wkt., dass Knoten i infiziert ist r i : Wkt., dass Knoten i geheilt ist Heilungsrate γ: Wkt. pro Zeitschritt, dass ein Infizierter geheilt wird 12 Henning Meyerhenke:

21 Zeitabhängigkeit bei SIR Modellbeschreibung s i : Wkt., dass Knoten i empfänglich ist x i : Wkt., dass Knoten i infiziert ist r i : Wkt., dass Knoten i geheilt ist Heilungsrate γ: Wkt. pro Zeitschritt, dass ein Infizierter geheilt wird Die Veränderung der ersten drei Wkt. lässt sich approximieren durch: ds i dt dx i dt = βs i A ij x j j ) = βs i ( A ij x j γx i j dr i dt = γx i 12 Henning Meyerhenke:

22 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit Seien zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt c = O(1) Individuen infiziert Also: s i (0) =... Also: x i (0) =... Also: r i (0) = Henning Meyerhenke:

23 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit Seien zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt c = O(1) Individuen infiziert Also: s i (0) = 1 c/n 13 Henning Meyerhenke:

24 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit Seien zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt c = O(1) Individuen infiziert Also: s i (0) = 1 c/n Also: x i (0) = c/n 13 Henning Meyerhenke:

25 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit Seien zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt c = O(1) Individuen infiziert Also: s i (0) = 1 c/n Also: x i (0) = c/n Also: r i (0) = 0 13 Henning Meyerhenke:

26 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit Seien zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt c = O(1) Individuen infiziert Also: s i (0) = 1 c/n Also: x i (0) = c/n Also: r i (0) = 0 Exakte analytische Lösung der Differentialgleichungen nicht möglich Näherung für Veränderung von x i für t 0 und n ( s i 1): ( ) dx i = β A dt ij x j γx i = (βa ij γδ ij )x j, j j mit δ ij als Kronecker-Delta 13 Henning Meyerhenke:

27 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit Seien zum Zeitpunkt t = 0 insgesamt c = O(1) Individuen infiziert Also: s i (0) = 1 c/n Also: x i (0) = c/n Also: r i (0) = 0 Exakte analytische Lösung der Differentialgleichungen nicht möglich Näherung für Veränderung von x i für t 0 und n ( s i 1): ( ) dx i = β A dt ij x j γx i = (βa ij γδ ij )x j, j j mit δ ij als Kronecker-Delta Matrix-Schreibweise: dx dt = βmx mit M = A γ β I 13 Henning Meyerhenke:

28 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit (Forts.) Beobachtung: M = A γ β I hat die gleichen Eigenvektoren wie A Die Eigenwerte sind um γ/β verschoben 14 Henning Meyerhenke:

29 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit (Forts.) Beobachtung: M = A γ β I hat die gleichen Eigenvektoren wie A Die Eigenwerte sind um γ/β verschoben Darstellung des Vektors x(t) anhand der Eigenvektoren v r : x(t) = n a r (0)v r e (βκ r γ)t r=1 14 Henning Meyerhenke:

30 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit (Forts.) Beobachtung: M = A γ β I hat die gleichen Eigenvektoren wie A Die Eigenwerte sind um γ/β verschoben Darstellung des Vektors x(t) anhand der Eigenvektoren v r : x(t) = n a r (0)v r e (βκ r γ)t r=1 Der Exponent hängt von β, den Eigenwerten κ r und γ ab Am schnellsten wächst der erste Summand wegen κ 1 14 Henning Meyerhenke:

31 Zeitabhängigkeit bei SIR Infektionsgeschwindigkeit (Forts.) Beobachtung: M = A γ β I hat die gleichen Eigenvektoren wie A Die Eigenwerte sind um γ/β verschoben Darstellung des Vektors x(t) anhand der Eigenvektoren v r : x(t) = n a r (0)v r e (βκ r γ)t r=1 Der Exponent hängt von β, den Eigenwerten κ r und γ ab Am schnellsten wächst der erste Summand wegen κ 1 Wenn der erste Summand über die Zeit verschwindet, dann auch all die anderen Der epidemische Grenzwert unseres Modells wird erreicht für: βκ 1 γ = 0 β γ = 1 κ 1 14 Henning Meyerhenke:

32 Zeitabhängigkeit bei SIR Diskussion Der epidemische Grenzwert hängt vom führenden Eigenwert ab Ist der führende Eigenwert klein, muss β groß oder γ klein sein, damit die Krankheit sich gut ausbreiten kann Intuitiv ergibt das Sinn: Ein kleiner Wert für κ 1 bedeutet tendentiell eine eher dünn besetzte Adjazenzmatrix 15 Henning Meyerhenke:

33 Zeitabhängigkeit bei SIR Diskussion Der epidemische Grenzwert hängt vom führenden Eigenwert ab Ist der führende Eigenwert klein, muss β groß oder γ klein sein, damit die Krankheit sich gut ausbreiten kann Intuitiv ergibt das Sinn: Ein kleiner Wert für κ 1 bedeutet tendentiell eine eher dünn besetzte Adjazenzmatrix Unsere Rechnungen waren nur Approximationen Dennoch zeigen sie einen Zusammenhang zwischen Spektrum, Netzwerkeigenschaften und Ausbreitungsgeschwindigkeiten Übertragung auf den Entwurf technischer Netze!?! 15 Henning Meyerhenke:

34 Inhalt Krankheitsausbreitung in Netzwerken Einführung Krankheits- und Netzwerkmodelle Zusammenfassung Vorlesungsinhalt 16 Henning Meyerhenke:

35 Agenda (geplant vs. durchgeführt) Zusammenhang, ZHK Kürzeste Wege, Durchmesser Zentrale Elemente, soziales Marketing Ausfallsicherheit, Anfälligkeit für Krankheiten, Simulation von Epidemien Verbundenheit einzelner Teile Aufteilung in Teilnetzwerke (Partitionierung, Clusteranalyse / Community Detection) Gradfolgen (Existenz und Realisierung) Zusammenhang, ZHK, auch dynamisch Kürzeste Wege 17 Henning Meyerhenke:

36 Agenda (geplant vs. durchgeführt) Zusammenhang, ZHK Kürzeste Wege, Durchmesser Zentrale Elemente, soziales Marketing Ausfallsicherheit, Anfälligkeit für Krankheiten, Simulation von Epidemien Verbundenheit einzelner Teile Aufteilung in Teilnetzwerke (Partitionierung, Clusteranalyse / Community Detection) Gradfolgen (Existenz und Realisierung) Zusammenhang, ZHK, auch dynamisch Kürzeste Wege Zentralitätsmaße Durchmesser k-kerne Cluster-Koeffizienten, Bloom-Filter 17 Henning Meyerhenke:

37 Agenda (geplant vs. durchgeführt) Zusammenhang, ZHK Kürzeste Wege, Durchmesser Zentrale Elemente, soziales Marketing Ausfallsicherheit, Anfälligkeit für Krankheiten, Simulation von Epidemien Verbundenheit einzelner Teile Aufteilung in Teilnetzwerke (Partitionierung, Clusteranalyse / Community Detection) Gradfolgen (Existenz und Realisierung) Zusammenhang, ZHK, auch dynamisch Kürzeste Wege Zentralitätsmaße Durchmesser k-kerne Cluster-Koeffizienten, Bloom-Filter Zufallsgraphen Partitionierung, Clusteranalyse Epidemien auf Netzwerken 17 Henning Meyerhenke:

38 Thematische Zusammenhänge Konstruktion von Graphen: Gradfolgen Zufallsgraphen Eigenschaften von Knoten: Zentralitätsmaße Cluster-Koeffizienten Verbindung EV-Zentralität - Krankheitsausbreitung 18 Henning Meyerhenke:

39 Thematische Zusammenhänge Konstruktion von Graphen: Gradfolgen Zufallsgraphen Eigenschaften von Knoten: Zentralitätsmaße Cluster-Koeffizienten Verbindung EV-Zentralität - Krankheitsausbreitung Grapheigenschaften: ZHK Kürzeste Wege, Durchmesser k-kern-struktur Cluster-Struktur Methoden: Numerische Algorithmen Kombinatorische Algorithmen Probabilistische Analysen Relaxierung, Approximation Reduktion 18 Henning Meyerhenke: