Polynome im Einsatz: Bézier-Kurven im CAD
|
|
- Margarethe Maja Egger
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Polynome im Einsatz: Bézier-Kurven im CAD Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 25
2 Kurven im Raum Eine Kurve im R 3 ist durch eine Abbildung x(t) c : [a, b] R 3, t y(t) z(t) gegeben. Dabei kann man sich t als Zeitparameter vorstellen, so dass die Kurve c im Zeitraum von t = a bis t = b abgelaufen wird. 2 / 25
3 Kurven im Raum c(b) z x c(t) y c(a) 3 / 25
4 Tangenten Die Tangente einer Raumkurve c im Punkt c(t 0 ) ist die Gerade, die durch den Punkt c(t 0 ) in Richtung der Ableitung c nach dem Zeitparameter t zum Zeitpunkt t 0 verläuft: x (t 0 ) c (t 0 ) = y (t 0 ) z (t 0 ) Die Ableitung c (t 0 ) selbst ist ein Richtungsvektor, den man sich am Punkt c(t 0 ) befestigt vorstellen kann, und die Kurve entlanggleitet, wenn t 0 variiert. Die Länge c (t 0 ) der Ableitung kann als Geschwindigkeit aufgefasst werden. 4 / 25
5 Tangenten c (t 0 ) c(t 0 ) 5 / 25
6 Kurven im CAD Gewünscht: Eine glatte Kurve b(t), deren Verlauf durch Angabe von Kontrollpunkten vorgegeben wird. b 1 b 3 b 0 b 2 6 / 25
7 Kurven im CAD Forderungen: 1 Zum Zeitpunkt t = a soll die Kurve im Startpunkt liegen: b(a) = b 0. 2 Zum Zeitpunkt t = b soll die Kurve im Endpunkt liegen: b(b) = b 3. 3 In der ersten Hälfte des Kurvenverlaufs soll die Kurve stark zu b 1 hingezogen werden. 4 In der zweiten Hälfte des Kurvenverlaufs soll die Kurve stark zu b 2 hingezogen werden. 7 / 25
8 Kurven im CAD Ansatz: Zu jedem Zeitpunkt t [a, b] soll b(t) eine gewichtete Summe der Kontrollpunkte sein: b(t) = B 0 (t)b 0 + B 1 (t)b 1 + B 2 (t)b 2 + B 3 (t)b 3 mit B 0 (t) + B 1 (t) + B 2 (t) + B 3 (t) = 1 für alle t [a, b], B i (t) 0 für t [a, b], i = 0, 1, 2, 3. 8 / 25
9 Bernstein-Polynome Als Gewichtsfunktionen bieten sich die kubischen Bernstein-Polynome B0 3, B3 1, B3 2, B3 4 an: ( ) 3 Bk 3 = X k (1 X ) 3 k k 1 B 3 0 B 3 3 B 3 1 B 3 2 0=a 1=b 9 / 25
10 Bernstein-Polynome Die Bernstein-Polynome sind geeignete Gewichtsfunktionen: Sie sind eine Partition der 1, d.h. 1 = (X + (1 X )) 3 = 3 k=0 Auf dem Intervall [0, 1] gilt stets ( ) 3 X k (1 X ) 3 k = k Bk 3 (t) 0. (Für beliebige Intervalle [a, b]: Umparametrisieren.) 3 Bk 3. k=0 10 / 25
11 Bézier-Kurven Eine kubische Bézier-Kurve b(t) hat die Bernstein-Polynome als Gewichtsfunktionen: b(t) = B 3 0 (t)b 0 + B 3 1 (t)b 1 + B 3 2 (t)b 2 + B 3 3 (t)b 3 Somit hat die Kurve die gewünschten Eigenschaften: 1 Bei t = 0 ist B0 3(0) = 1 und B3 1 (0) = B3 2 (0) = B3 3 (0) = 0, also b(0) = b 0. 2 Bei t = 1 ist B3 3(0) = 1 und B3 0 (0) = B3 1 (0) = B3 2 (0) = 0, also b(1) = b 3. 3 In der ersten Hälfte des Kurvenverlaufs ist der Wert von B 3 1 (t) am größten, die Kurve wird also zu b 1 hingezogen. 4 In der zweiten Hälfte des Kurvenverlaufs ist der Wert von B 3 2 (t) am größten, die Kurve wird also zu b 2 hingezogen. 11 / 25
12 Bézier-Kurven Die beiden französischen Ingenieure Pierre Bézier ( ) und Paul Faget de Casteljau (1930- ) entwickelten in den 1960er Jahren unabhängig voneinander die Bézier-Kurven in der Automobilindustrie (der eine für Renault, der andere für Citroën). 12 / 25
13 Bézier-Kurven Die kubischen Bernstein-Polynome bilden eine Basis des Raums der Polynome vom Grad 3. Somit können alle Kurven, die auf einem Segment mit einer polynomialen kubischen Kurve übereinstimmen, als Bézier-Kurven dargestellt werden. Für polynomiale Kurvensegmente von beliebigem Grad n kann man die Bernstein-Polynome vom Grad n verwenden: ( ) n Bk n = X k (1 X ) n k. k 13 / 25
14 de Casteljau-Algorithmus Bernstein-Polynome haben einige verblüffende algebraische Eigenschaften. Daraus lässt sich der de Casteljau-Algorithmus ableiten, mit dem eine Bézier-Kurve an der Stelle t sehr effizient ausgewertet werden kann: b 0 t b 1 t 1 b 1 0 t t b 1 t 2 b 1 1 t 1 b 2 0 t t t b 3 1 t b 1 2 t b t b(t) 14 / 25
15 de Casteljau-Algorithmus Mit dem de Casteljau-Algorithmus kann man auch Ableitungen der Kurve berechnen. Unterteilung des Kontrollpolygons zur Approximation der Kurve berechnen: b 1 b 3 b 0 b 2 15 / 25
16 Splines Eine Spline-Kurve ist eine Kurve s, die sich stückweise aus polynomialen Kurvensegmenten zusammensetzt, aber nicht global eine polynomiale Kurve sein muss. 16 / 25
17 Splines Statt stückweise durch Bézier-Kurven, kann man Splines auch als Linearkombination von B-Splines ( B für Basis) darstellen. B-Splines sind keine Polynome, aber stimmen über gewissen Intervallen mit Polynomen überein. Vorteil: Kontrollpunkte beeinflussen den Kurvenverlauf nur lokal. In der Industrie bekannt als Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS). 17 / 25
18 Klassisches Problem: Interpolation Bei einem Interpolationsproblem werden Punkte p 1,..., p k R n vorgegeben, durch die eine Kurve gelegt werden soll ,5 0 2, In der Regel sind noch Nebenbedingungen an die Kurve gegeben. 18 / 25
19 Klassisches Problem: Interpolation Interpolation leicht durch Polynome zu lösen (es ist nur ein LGS zu lösen). Aber: Für k Punkte Polynom vom Grad k notwendig - dies kann zu schlechten Lösungen führen: ,5 0 2, Besser: Kurve stückweise aus Polynomen zusammensetzen. 19 / 25
20 Klassisches Problem: Interpolation Hermite-Interpolation: Ableitungen der Kurve in den Interpolationspunkten werden zusätzlich vorgegeben. Durch Bézier-Kurven ohne Aufwand lösbar. Ableitungen der Bézier-Kurve sind durch das Kontrollpolygon vorzugeben. 20 / 25
21 Klassisches Problem: Interpolation Spline-Interpolation: Beliebig viele Interpolationspunkte, aber Kurve nur stückweise polynomial vom Grad 3. Kurve ist Linearkombination von B-Splines. Linearkombination wird durch Lösen eines LGS bestimmt: 4 1 c 0 p c 0 p = c k 1 p 1 4 c k 1 k p k 21 / 25
22 Anwendungen Freiformkurven (und -flächen) in der Computergraphik. Laufwege für Roboter und Maschinen. Schriftsätze als Vektorgraphiken. Modellierung von 3D-Daten. Numerische Simulation physikalischer Prozesse. 22 / 25
23 Weitere Grundlagen Die Theorie der Bézier- und Spline-Kurven berührt auch folgende Bereiche der Mathematik: Differentialgeometrie. Numerische Mathematik. Projektive Geometrie. 23 / 25
24 CAD in Karlsruhe IBDS Prautzsch Institut für angewandte Geometrie und Computergraphik Vorlesung: Kurven und Flächen im CAD Vorlesung: Unterteilungsalgorithmen Vorlesung: Rationale Splines Vorlesung: Netze und Punktwolken Praktikum: Geometrisches Modellieren 24 / 25
25 G. Farin: Curves and Surfaces for CAGD (Morgan Kaufmann) H. Prautzsch, W. Boehm, M. Paluszny: Bézier and B-Spline Techniques (Springer) 25 / 25
9. Parametrische Kurven und Flächen
9. Parametrische Kurven und Flächen Polylinien bzw. Polygone sind stückweise lineare Approximationen für Kurven bzw. Flächen Nachteile: hohe Zahl von Eckpunkten für genaue Repräsentation erforderlich interaktive
MehrSplines. Bézier-Kurven. Beispiel zur Approximation. Interpolation & Approximation. Schiffbau Automobilbau Architektur. f(x) f(x) =
Institut für Geometrie Abteilung für Geometrie im Bauwesen und im Scientific Computing Prof. Dr. H. Pottmann Interpolation & Approximation Splines Geg: Menge von Punkten Ges: Kurve, welche die Punkte interpoliert
MehrTeil 2: Kurven und Flächen. Kurven und Flächen. Kurven. Parametrische Objekte. Kurven: 1D-Objekte Flächen: 2D-Objekte, basierend auf Kurven
Parametrische Objekte Kurven und Flächen Kurven: 1D-Objekte Flächen: 2D-Objekte, basierend auf Kurven Kurven Welche Form der Darstellung? Beispiel: 2D-Linie Explizit: y = k x + d x = (x, y) T Implzit:
MehrTeil 2: Kurven und Flächen
Parametrische Objekte Kurven und Flächen Kurven: 1D-Objekte Flächen: 2D-Objekte, basierend auf Kurven Kurven Welche Form der Darstellung? Beispiel: 2D-Linie Explizit: y = k x + d x = (x, y) T Implzit:
Mehr0.1 Modellierung von Kurven und Flächen mittels B-Splines
Vorlesung vom 28.04.06 Skript erstellt von Antonia Wittmers und Maria Gensel 0.1 Modellierung von Kurven und Flächen mittels B-Splines Das Wort Spline, übersetzt mit längliches, dünnes Stück Holz oder
MehrComputergraphik I. Freiformkurven. aus: Farin Curven und Flächen im CAGD. Oliver Deussen Freiformkurven 1
Freiformkurven aus: Farin Curven und Flächen im CAGD Oliver Deussen Freiformkurven 1 Definition für gebogene Kurven und Flächen Anwendungen: CAD: Automobil-, Flugzeug-, Schiffsbau Computergraphik: Objektmodellierung
MehrApproximationsverfahren für die Kurvendarstellung
Approximationsverfahren für die Kurvendarstellung (a) Bézier-Kurven spezielle Form polynomialer Kurven spezifiziert durch n+1 Kontrollpunkte P 0, P 1,..., P n Kurve läuft nicht durch alle Kontrollpunkte,
MehrDarstellung von Kurven und Flächen
Darstellung von Kurven und Flächen Technische Universität Dresden Fakultät Informatik Institut für Software- und Multimediatechnik Dozent: Dr. Mascolous Referent: Gliederung / Einleitung 1 / 25 1. Kurven
MehrUnterteilungskurven und -flächen
Unterteilungskurven und -flächen Martin Peternell TU Wien 30. Fortbildungstagung für Geometrie 2009, Strobl 1 Unterteilungskurven Allgemein Das wiederholte Unterteilen eines Polygons erzeugt in der Grenze
MehrKurven. Markus Kraxner 22. Januar 2015
Kurven Markus Kraxner 22. Januar 2015 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Einleitung Kurven 4 2.1 Parameterdarstellung von Kurven.................. 4 2.2 Ebene Kurven............................. 4 2.3
Mehr11. Darstellung von Kurven und Flächen
H.J. Oberle Approximation WS 23/4. Darstellung von Kurven und Flächen Bézier Kurven. Unser Ziel ist es, polynomiale Kurven auf dem Rechner möglichst effizient darzustellen. Hierzu nutzen wir die Basisdarstellung
MehrThema des Referats: Darstellung von Kurven und Flächen
Technische Universität Dresden im WS 2004/05 Fakultät Informatik Institut für Institut für Software- und Multimediatechnik Proseminar:Computergrafik Dozent:Dr. Mascolous Referent: Patrick Brausewetter
MehrSplines und B-Splines
5. Mai 2009 Wozu Splines? Ausgangssituation: Punkte Möglichst weiche Kurve mittels der Punkte generieren Interpolation zwischen den Punkten Lineare Interpolation replacements P(1) P(0) P(t) P(t) = t P(1)
MehrKurven und Flächen. Interaktive Kontrolle und Präsentation komplexer Kurven und Flächen (=Modellierung) 3D Modellierung Prof. Dr.-Ing. H.-P.
Kurven und Flächen Interaktive Kontrolle und Präsentation komplexer Kurven und Flächen (=Modellierung) 154 Modellieren mit Freiformkurven und -flächen Modellierungsprozesse (Taping) in der Automobilindustrie
MehrNURBS- und Loft- Modelling in Blender von Carina Schiller 2 /27
2 Inhaltsverzeichnis: 1. Zu Blender 2. Grundlagen der Kurven 3. NURBS- Modellierung 4. Loft- Modellierung 5. Zusammenfassung 3 1. Zu Blender Allgemeine Informationen Geschichte - 1988 Gründung NeoGeo durch
MehrOberflächenrepräsentationen Kontinuierliche Kurven Bezier-Kurven. Freiformflächen. Diskret
Oberflächenrepräsentationen Kontinuierliche Kurven Bezier-Kurven Thomas Jung Freiformflächen NURBS Die Modellierung von Objekten erfordert die geeignete Repräsentation der Oberfläche Je nach Anforderung
MehrKurven und Flächen. Vorlesung Ergänzung zur Graphischen Datenverarbeitung Sommersemester 2000 Johann-Wolfgang Goethe Universität, Frankfurt am Main
Kurven und Flächen Vorlesung Ergänzung zur Graphischen Datenverarbeitung Sommersemester 2 Johann-olfgang Goethe Universität, Frankfurt am Main Motivation Benötigen Kurven in der Computergraphik: Modellierung
MehrInterpolation, numerische Integration
Interpolation, numerische Integration 8. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 8. Mai 2014 Gliederung 1 Interpolation polynomial Spline 2 Numerische
MehrApproximation durch Polynome
durch n Anwendungen: zur Vereinfachung einer gegebenen Funktion durch einen Polynomausdruck. Dann sind übliche Rechenoperation +,,, / möglich. zur Interpolation von Daten einer Tabelle n Beispiel Trotz
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 20 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Math Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 6 Übungsblatt:
Mehrgekrümmte Flächen / Freiformflächen (analog zur Kurvendarstellung)
7. Modelle für Flächen gekrümmte Flächen / Freiformflächen (analog zur Kurvendarstellung) man unterscheidet 2 Typen: finite Interpolationen / Approximationen: endliche Zahl von Stützstellen / Kontrollpunkten
MehrInterpolation und Approximation
Interpolation und Approximation Fakultät Grundlagen Mai 2006 Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Übersicht 1 Problemstellung Polynominterpolation 2 Kubische Fakultät Grundlagen Interpolation
MehrDarstellung von Kurven und Flächen
Darstellung von Kurven und Flächen Christoph Dähne 17. Juli 2008 1 Christoph Dähne Darstellung von Kurven und Flächen Überblick 1 Polygonnetze 2 Parametrisierte kubische Kurven 3 Hermite-Kurven 4 Bézier-Kurven
MehrKurze Geschichte der linearen Algebra
Kurze Geschichte der linearen Algebra Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 20 Entwicklung Die Historische Entwicklung
MehrPrüfungsdauer: 120 Minuten
Computergraphik und Multimediasysteme Seite 1 von 6 Klausur: Computergraphik II Probeklausur Semester: Prüfer: Prüfungsdauer: 1 Minuten Hilfsmittel: Schreibgeräte, Lineal, nichtprogrammierbarer Taschenrechner
MehrSpline Morphing. Softwarepraktikum im IWR. Carl Friedrich Bolz. Carl Friedrich Bolz
Spline Morphing Softwarepraktikum im IWR Einführung Motivation: Splines sind die Grundlage von jeglicher Vektorgrafik, 3D-Grafik, CAD/CAM,... Splines werden häufig zur Beschreibung von Schrift verwendet,
MehrInterpolation und Approximation von Funktionen
Kapitel 6 Interpolation und Approximation von Funktionen Bei ökonomischen Anwendungen tritt oft das Problem auf, dass eine analytisch nicht verwendbare (oder auch unbekannte) Funktion f durch eine numerisch
MehrMichael Bender Martin Brill. Computergrafik. Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch. 2., überarbeitete Auflage HANSER
Michael Bender Martin Brill Computergrafik Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch 2., überarbeitete Auflage HANSER Inhaltsverzeichnis Vorwort XI 1 Einleitung 1 1.1 Die Entwicklung der Computergrafik 1 1.2
MehrComputergrafik. Michael Bender, Manfred Brill. Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch ISBN Inhaltsverzeichnis
Computergrafik Michael Bender, Manfred Brill Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch ISBN 3-446-40434-1 Inhaltsverzeichnis Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/3-446-40434-1 sowie
MehrSie braucht weniger Speicherplatz als das Polygon und
Kapitel 7 Kurven Die bisher besprochenen 2D-Objekte haben bis auf den Kreis den Nachteil, daß sie im weitesten Sinne eckig sind. Wenn ein Objekt mit runder Form verlangt wird, z.b. ein Herz, ein Schiffsrumpf,
MehrGeometrisches Modellieren - Körper -Modelle Repräsentationsschemata Primitive Instancing Decomposition Models Constructive Models
$PDWRXGXOWPHGD Theorie und Praxis Parametrischer Kurven und Flächen Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker *RHWKH8YHUVWlWÃ)UDNIXUW *UDSKVFKHÃ'DWHYHUDUEHWXJ 5 FNEOFN Geometrisches Modellieren - Körper -Modelle Repräsentationsschemata
MehrKurven. Wie können oder sollten Kurven repräsentiert werden?
Kurven 1/2 1/2 Wie können oder sollten Kurven repräsentiert werden? 2 1/2 2 1/2 1/2 2 2 1/2 Torniello kam mit Geraden und Kreisen aus. Einige versuchten es nur mit Punkten und Geraden (etwa Hershey im
MehrNachklausur am Donnerstag, den 7. August 2008
Nachklausur zur Vorlesung Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2008 Prof. Dr. Martin Rumpf Dr. Martin Lenz Dipl.-Math. Nadine Olischläger Nachklausur am Donnerstag, den 7. August 2008 Bearbeitungszeit:
MehrSplines. Splines. Vom Gebilde zur Geometrie. Katharina Birner. Institut für Angewandte Geometrie Splines
Vom Gebilde zur Geometrie 10.6.2016 Motivation Figure: Schrift Figure: Bézierkurve Motivation Wir wollen etwas in 2D zeichnen. Was benötigen wir? Geraden Kurven Motivation Wir wollen etwas in 2D zeichnen.
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik Mathematisches Praktikum (MaPra) Sommersemester Aufgabe 5
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Mathematisches Praktikum (MaPra) Sommersemester 01 Prof. Dr. Wolfgang Dahmen Yuanjun Zhang, M.Sc., Dipl.-Math.
MehrGrundlagen der geometrischen Datenverarbeitung
Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung Von Prof. Dr. rer. nat. Josef Hoschek und Dr. rer. nat. Dieter Lasser Technische Hochschule Darmstadt Mit zahlreichen Figuren B. G. Teubner Stuttgart 1989
MehrGitterfreie Methoden. Florian Hewener. 29. Oktober 2013
Gitterfreie Methoden 1D 2D Florian Hewener 29. Oktober 2013 Gliederung 1 Interpolationsprobleme Problemstellung Haar-Räume 2 Mehrdimensionale Polynominterpolation 3 Splines Kubische Splines und natürliche
MehrGliederung. Interpolation vs. Approximation. Gliederung (cont.)
- Trajektoriengenerierung Gliederung Jianwei Zhang zhang@informatik.uni-hamburg.de Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 5. Juni 2012 Allgemeine
Mehr5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
MehrDarstellung von Kurven und Flächen
Darstellung von Kurven und Flächen Proseminar Computergraphik, 10. Juni 2008 Christoph Dähne Seite 1 Inhalt Polygonnetze 3 Knotenliste 3 Kantenliste 3 Parametrisierte kubische Kurven 4 Definition 4 Stetigkeit
MehrComputergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2!
Coputergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2! 1 2 3 4 5 6 7 8 Historie, Überblick, Beispiele Begriffe und Grundlagen Objekttransforationen Objektrepräsentation und -Modellierung Sichttransforationen
MehrNumerik für Ingenieure I Wintersemester 2008
1 / 32 Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 23.1.2009 2 / 32 Wiederholung Stückweise Polynominterpolation Stückweise lineare Interpolierende
Mehr6. Polynom-Interpolation
6. Polynom-Interpolation 1 6.1. Klassische Polynom-Interpolation 2 6.2. Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen 3 6.3. Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen 4 6.4. Fehlerabschätzung für
MehrAlgebraische Kurven. Holger Grzeschik
Algebraische Kurven Holger Grzeschik 29.04.2004 Inhaltsübersicht 1.Einführung in die Theorie algebraischer Kurven 2.Mathematische Wiederholung Gruppen, Ringe, Körper 3.Allgemeine affine Kurven 4.Singuläre
MehrNumerik Hauptsache, man hat Zahlen 'raus Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik Fallen und Fußangeln in der Numerik. Numerik.
Hauptsache, man hat Zahlen 'raus Was man exakt nicht schafft, das macht man mit bewältigt vieles in den Anwendungen Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Hauptsache, man hat wenigstens Zahlen
MehrKAPITEL 9 Splinefunktionen
KAPITEL 9 Splinefunktionen 9.1 Splineräume und Approximationsgüte Bei der Behandlung von Splines ist es bequemer, statt mit dem Grad von Polynomen, mit der Ordnung k := Grad + 1 zu arbeiten. Für eine Knotenmenge
MehrNumerik. Was man exakt nicht schafft, das. Fallen und Fußangeln in der Numerik
Numerik Hauptsache, man hat Zahlen 'raus Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik Fallen und Fußangeln in der Numerik Numerik Numerik bewältigt vieles in den Anwendungen Fallen und Fußangeln
MehrDas Kontrollnetz von Zyklidenstücken
Das Kontrollnetz von Zyklidenstücken Hans-Peter Schröcker Arbeitsbereich für Geometrie und CAD Universität Innsbruck Dresden, 9. Juni 2009 Übersicht Dupinsche Zykliden und Superzykliden Das Kontrollnetz
MehrProseminar Bernsteinpolynome Bézier-Flächen. Dana Eckhardt Matr.-Nr:
Proseminar Bernsteinpolynome Bézier-Flächen Dana Eckhardt Matr.-Nr: 4291637 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 1.1 Grundidee und Darstellung....................... 2 1.2 Satz 3.20.................................
MehrComputionale Algebraische Geometrie und Kopplerkurven in der Mechanik
Computionale Algebraische Geometrie und Kopplerkurven in der Mechanik Universität des Saarlandes E-Mail: schreyer@math.uni-sb.de. 14. Januar, 2008 Definition: Algebraische Geometrie Beispiele Was ist Algebraische
MehrEinsatz von Maple bei der Lehramtsausbildung
Karlsruher Institut für Technologie Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität - gegründet 1825 Fakultät für Mathematik 18. Februar 2009 Numerische Mathematik für das Lehramt Pflichtveranstaltung
MehrSeminar How to make a PIXAR movie
Seminar How to make a PIXAR movie Übersicht Punktwolken Volumenmodelle Oberflächenmodelle Polygonmodelle Parametrische Oberflächen Subdivision Surfaces Punktwolken Punktwolke: eine Menge ungeordneter kartesischer
MehrNumerisches Programmieren (IN0019)
Numerisches Programmieren (IN0019) Frank R. Schmidt Winter Semester 2016/2017 5. Interpolation.................................................................................................. 2 Interpolation
MehrKapitel 7. Interpolation und Approximation II. Inhalt: 7.1 Spline-Interpolation 7.2 Trigonometrische Interpolation 7.3 Tschebyscheff-Approximation
Kapitel 7. Interpolation und Approximation II Inhalt: 7.1 Spline-Interpolation 7.2 Trigonometrische Interpolation 7.3 Tschebyscheff-Approximation Numerische Mathematik I 275 Interpolation als lineares
MehrAnalysis in einer Variable für LAK SS Priv.-Doz. Dr.(USA) Maria Charina
Analysis in einer Variable für LAK SS 2018 Priv.-Doz. Dr.(USA) Maria Charina Analysis in einer Variable für LAK SS 2018 Priv.-Doz. Dr.(USA) Maria Charina Analysis ist die Theorie der Differential- und
Mehr5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
MehrNumerische Mathematik für die Fachrichtungen Informatik und Ingenieurwesen. Andreas Rieder
Numerische Mathematik für die Fachrichtungen Informatik und Ingenieurwesen Andreas Rieder UNIVERSITÄT KARLSRUHE (TH) Institut für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung und Institut
Mehrum diese Formen spater (eventuell in einem vergroerten Mastab) rekonstruiren zu konnen (Modellruckfuhrung). Das Problem der Datenreduktion und der dam
GRUNDLAGEN DER CAD/CAM ENTWICKLUNG MIT SPLINEKURVEN - EINE EINFUHRUNG - Dan - Eugen Ulmet Fachhochschule Esslingen - Hochschule fur Technik, Kanalstr. 33, 7378 Esslingen ZUSAMMENFASSUNG Splinekurven und
MehrDierentialrechnung mit einer Veränderlichen
Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben
MehrComputergrafik. Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch. Bearbeitet von Michael Bender, Manfred Brill
Computergrafik Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch Bearbeitet von Michael Bender, Manfred Brill 1. Auflage 2003. Taschenbuch. 528 S. Paperback ISBN 978 3 446 22150 5 Format (B x L): 16,9 x 24,1 cm Gewicht:
MehrBeispiele. zum Tutorium Numerisches Rechnen und Lineare Algebra WS 2016/2017
Beispiele zum Tutorium Numerisches Rechnen und Lineare Algebra WS 6/7 Zur positiven Beurteilung der LV ist es notwendig, dass aus jedem der 9 Abschnitte (Lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Vektorräume,
MehrHistorisches zur Gruppentheorie
Historisches zur Gruppentheorie Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 20 Gruppen: Abstrakte Definition Eine Gruppe
MehrAngewandte Mathematik am Rechner 1
Michael Wand Institut für Informatik. Angewandte Mathematik am Rechner 1 SOMMERSEMESTER 2017 Kapitel 5 Grundlagen Analysis Kontinuierliche Mengen Vollständige Mengen Folgen Iterative Berechnungen Grenzwert:
MehrAlgebraische Kurven. Vorlesung 24. Tangenten bei Parametrisierungen. (Q)) die Richtung der Tangente von C in P.
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 24 Tangenten bei Parametrisierungen Satz 24.1. Es sei K ein unendlicher Körper und ϕ: A 1 K A n K eine durch n Polynome ϕ = (ϕ 1 (t),...,ϕ
MehrInterpolation, numerische Integration, Eigenwerte
Neunte Vorlesung, 29. Mai 2008, Inhalt Interpolation, numerische Integration, Eigenwerte Polynomiale Interpolation (Lagrange, Newton, Neville) Splines und weitere Interpolationsverfahren numerische Integration
MehrNumerische Verfahren
Numerische Verfahren Interpolation Prof Dr-Ing K Warendorf, Prof Dr-Ing P Wolfsteiner Hochschule für Angewandte Wissenschaften München Fakultät 03 WS 13/14 Prof Dr-Ing K Warendorf (Fakultät 03) Numerische
MehrBézierkurven in der SII
Bézierkurven in der SII Das geometrische Modellieren (CAGD) ist ein junges Gebiet im Schnittbereich von Mathematik und Informatik. Bézierkurven eignen sich wegen ihrer Einfachheit besonders als Zugang
MehrFEM isoparametrisches Konzept
FEM isoparametrisches Konzept home/lehre/vl-mhs--e/deckblatt.tex. p./ Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente. Finite-Element-Typen. Geometrie. Interpolations-Ansatzfunktion
MehrComputergrafik / Animation. künstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten).
Computergrafik / Animation künstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten). Punkte, werden auch «Kontrollpunkte» genannt Wesentlicher Punkt:
MehrPolynominterpolation. Allgemeines Problem: Beispiel 1 (Teil 1):
. Großübung Polynominterpolation Allgemeines Problem: Aufgrund gegebener Messwerte (Paare aus Werten i und Funktionswerten f( i )) soll ein Funktionsverlauf rekonstruiert bzw. zumeist angenähert werden.
MehrGrundlagen der geometrischen Datenverarbeitung
4 \ 11 Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung Von Prof. Dr. rer. nat. Josef Hoschek Technische Hochschule Darmstadt und Dr. rer. nat. Dieter Lasser Universität Kaiserslautern 2., neubearbeitete
Mehr1. Aufgabenblatt zur Algebra II
Prof.Dr. K. Hulek, Dr. M. Lönne, Hannover, 0.0.003. Aufgabenblatt zur Algebra II Abgabe: Mo 7.0.003 in der Vorlesung Aufgabe : Geben Sie ein Ideal I an, das zwei windschiefe Geraden im C 3 bestimmt. Geben
MehrQUASI-SPLINE-INTERPOLATION BEZÜGLICH GLEICHMÄSSIGER UNTERTEILUNGEN
QUASI-SPLINE-INTERPOLATION BEZÜGLICH GLEICHMÄSSIGER UNTERTEILUNGEN IRYNA FEUERSTEIN Es wir ein Verfahren zur Konstruktion einer quasiinterpolierenden Funktion auf gleichmäßig verteilten Konten vorgestellt.
MehrModellierung. Oliver Hartmann
Modellierung Oliver Hartmann oliver.hartmann@uni-ulm.de Inhalt Boolesche Operationen Splines B-Splines Bezier-Kurven NURBS Anwendung Sculpting Volumengrafik Marching Cubes Ray Casting Texture Mapping Boolesche
MehrBezier-Kurven. Hamid Fetouaki, Emma Skopin. 28. Januar 2009. Universität Kassel FB Mathematik/Informatik
Ableitungen von Universität Kassel FB Mathematik/Informatik 28. Januar 2009 Ableitungen von Motivation Bis in den späten 50er Jahren: Zeichnung der Kurven am Papier Fertigung der Modelle aus Holz und Ton
MehrMathematische Aspekte von fig2lat. Dirk Krause 23. September 2017
Mathematische Aspekte von figlat Dirk Krause 3. September 017 1 Inhaltsverzeichnis 1 Gedrehte Ellipsen 3 1.1 Abstand eines Punktes zu einer Geraden durch den Nullpunkt...... 3 1. Bounding-Box für gedrehte
MehrDifferentialgeometrie I (Kurventheorie) SS 2013
Differentialgeometrie I (Kurventheorie) SS 2013 Lektion 1 18. April 2013 c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion 1 18. April 2013 1 / 23 Organisatorisches Allgemeines Dozentin: Dr. Darya Apushkinskaya
MehrErmittlung von Stützpunkten zur quintischen Spline-Interpolation
Ermittlung von Stützpunkten zur quintischen Spline-Interpolation Dipl.-Ing. Xitian, Tian 1 Einleitung Die quintische Spline-Interpolation wurde in numerischen Steuerungen (NC), bei der NC-Programmierung
MehrGrundlagen der Computergraphik Klausur SS08
Grundlagen der Computergraphik Klausur SS08 Prof. Dr. Holger Theisel 23. Juli 2008 Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Anzahl zusätzlicher Blätter: Die Tabelle wird bei der Korrektur ausgefüllt! Aufgabe
MehrKlassische Polynom Interpolation.
Klassische Polynom Interpolation. Bestimme ein Polynom (höchstens) n ten Grades p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, das die gegebenen Daten interpoliert, d.h. p n (x i ) = f i, 0 i n. Erster
Mehrkünstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten).
Computergrafik / Animation künstliches Objekt, dargestellt durch Anzahl von Punkten in Raum und Zeit (bei bewegten, animierten Objekten). Punkte, werden auch "Kontrollpunkte" genannt Wesentlicher Punkt:
MehrKlausur Mathematik I
Klausur Mathematik I (E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). September 7 (Hans-Georg Rück) Aufgabe (6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft Re(z) = und (z
MehrB-Spline-Kurve und -Basisfunktionen
48 B-Spline-Kurve und -Basisfunktionen Eine B-Spline-Kurve der Ordnung k ist ein stückweise aus B-Splines (Basisfunktion) zusammengesetztes Polynom vom Grad (k 1), das an den Segmentübergängen im allgemeinen
MehrPflichtteil - Exponentialfunktion
Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h()
MehrAlgorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Multivariate Bezier-Interpolation Transfinite Interpolation Spline-Funktionen Ulrich Rüde
MehrVorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker
Technische Universität Ilmenau SS 2010 Institut für Mathematik Inf Prof. Dr. Michael Stiebitz Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker 1 Lineare Algebra Aufgabe 1 Schauen Sie sich die
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrGMA. Grundlagen Mathematik und Analysis. Nullstellen und Fixpunkte Reelle Funktionen 3. Christian Cenker Gabriele Uchida
GMA Grundlagen Mathematik und Analysis Reelle Funktionen 3 Christian Cenker Gabriele Uchida Data Analytics and Computing Nullstellen cos log : 0, 0,? 1 Fixpunkte Beispiel 1 Beispiel 2 1 0 0 und 1 1sin,?
MehrZur Berechnung ganzer Punkte auf Mordellkurven über globalen Körpern
Zur Berechnung ganzer Punkte auf Mordellkurven über globalen Körpern Michael E. Pohst Institut für Mathematik Technische Universität Berlin 4. Februar, 2015 Mordells Gleichung ist y 2 = x 3 + κ mit einer
MehrÜbungen mit dem Applet Interpolationspolynome
Interpolationspolynome 1 Übungen mit dem Applet Interpolationspolynome 1 Ziele des Applets... 2 2 Übungen mit dem Applet... 2 2.1 Punkte... 3 2.2 y=sin(x)... 3 2.3 y=exp(x)... 4 2.4 y=x 4 x 3 +2x 2 +x...
MehrGliederung. Gliederung (cont.) Gliederung (cont.)
- Gliederung Jianwei Zhang zhang@informatik.uni-hamburg.de Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 11. Mai 2010 Allgemeine Informationen Einführung
Mehr1 Polynome III: Analysis
1 Polynome III: Analysis Definition: Eine Eigenschaft A(x) gilt nahe bei a R, falls es ein δ > 0 gibt mit A(x) gilt für alle x (a δ, a + δ)\{a} =: U δ (a) Beispiele: x 2 5 nahe bei 0 (richtig). Allgemeiner:
MehrOrthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen
Anna Weller Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen 1 Orthogonalpolynome Einführung, Eigenschaften und Anwendungen Anna Weller Seminar zur Numerik im SS 2018, Universität zu Köln 10.
MehrThemen Lagrange-Interpolation Hermite-Interpolation. Splines. Bézier-Kurven. 5 Interpolation. Interpolation Die Lagrangesche Interpolationsaufgabe
5 Themen Lagrange- Bézier-Kurven saufgabe sformel Der sfehler 5.1 saufgabe È n = Raum der reellen Polynome vom Grad n. saufgabe sformel Der sfehler 5.1 saufgabe È n = Raum der reellen Polynome vom Grad
MehrAufgabe 2: Analysis (WTR)
Abitur Mathematik: Nordrhein-Westfalen 2013 Aufgabe 2 a) (1) STARTPUNKT BERECHNEN Der x Wert des Startpunktes ist mit 8 gegeben. Der zugehörige y Wert ist 8 1 50 8 3 106 8 4,24. 4 25 Der Startpunkt liegt
MehrMathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 37 Wir haben schon im ersten Semester gewöhnliche Differentialgleichungen samt einiger Lösungsverfahren besprochen. Dort ging
MehrLineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Algebra und Geometrie Dr. Klaus Spitzmüller Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik Lösungen zum
Mehr