TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK"

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 11 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott, V. Prinz Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 11.1 (P) Kürzeste Wege Gegeben sei ein Graph mit n Knoten, der keine Kreise negativer Länge besitzt. a) Zeigen Sie, dass in einem Graphen alle Teilpfade eines kürzesten Weges auch wieder kürzeste Wege zwischen den entsprechenden Knoten sind. b) Angenommen von einem Knoten s sind alle anderen Knoten erreichbar. Zeigen Sie, dass man in dem Graphen einen an s gewurzelten Spannbaum finden kann, so dass jeder (gerichtete) Teilpfad dieses Baums ein kürzester Pfad zwischen seinen Endknoten ist. Hinweis: Nehmen Sie zunächst an, alle kürzesten Pfade wären eindeutig und betrachten Sie den Teilgraph bestehend aus allen kürzesten Pfaden, die bei s beginnen. Zeigen Sie, dass dieser Teilgraph ein Baum ist und erweitern Sie die Argumentation auf den Fall, wenn kürzeste Pfade nicht eindeutig sind. Lösungsvorschlag 11.1 a) Indirekter Beweis: Angenommen, es gibt in einem Graphen einen kürzesten Pfad (v 0,v 1,...,v k ) zwischen zwei Knoten v 0 und v k, so dass ein Teilpfad p 2 = (v i,...,v j ) kein kürzester Pfad zwischen v i und v j ist. Das würde bedeuten, dass es einen kürzeren Pfad p 2 gibt. Da sich die Länge des kürzesten Weges zwischen v 0 und v k aus den Längen der Teilpfade p 1 = (v 0,...,v i ), p 2 = (v i,...,v j ) und p 3 = (v j,...,v k ) zusammensetzt, könnte man einen kürzeren Pfad zwischen v 0 und v k konstruieren, indem man p 2 durch p 2 ersetzt, was im Widerspruch zur Annahme steht, dass der ursprüngliche Pfad (v 0,v 1,...,v k ) von minimaler Länge sein sollte. Die Annahme muss also falsch sein, und damit kann man keinen Teilpfad eines kürzesten Pfades finden, der selbst kein kürzester Pfad zwischen seinen Endknoten ist. b) Da der Graph keine Kreise negativer Länge enthält und da jeder Knoten vom Knoten s erreichbar ist, muss es von s aus zu jedem anderen Knoten mindestens einen kürzesten Pfad geben, in dem kein Knoten mehr als einmal vorkommt. (Sollte auf einem kürzesten Weg zu einem Knoten t ein Knoten v mehrmals vorkommen, dann kann der Teilpfad zwischen dem ersten und dem letzten Auftreten von v nur die Länge 0 haben. Für eine Länge echt kleiner als Null, wäre dies ein verbotener Kreis negativer Länge. Für eine Länge echt größer als Null wäre der Teilpfad von v nach v kein kürzester Pfad, was ein Widerspruch wäre. Einen Kreis der Länge Null könnte man aber entfernen, so dass v nur einmal im kürzesten Pfad enthalten wäre.) Wenn wir nun annehmen, dass zwischen jedem Paar (s,v i ) von Knoten nur jeweils ein kürzester Pfad von s nach v i existiert, dann ist die entstehende Struktur, die die

2 2 kürzesten Wege von s aus repräsentiert, ein (gerichteter) Baum mit der Wurzel s, denn es gibt in diesem Graph nur gerichtete Pfade, die entweder (eindeutige, kreisfreie) kürzeste Pfade von s zu einem Knoten sind, oder eben deren Teilpfade, die nach Teilaufgabe a) auch (eindeutige) kürzeste Pfade sind. (Es gibt keine Pfade, die die Wurzel überqueren, und auch keine Pfade, die von unterschiedlichen Knoten zum selben Zielknoten führen.) Sollte es Paare von Knoten geben, für die es mehr als einen kreisfreien kürzesten Pfad gibt, dann kann man die Anzahl der Kanten reduzieren, in dem man bei einem Knoten x mit Eingangsgrad größer als Eins eine eingehende Kante entfernt. Dieser Knoten ist nach wie vor von s erreichbar (und jeder solche Pfad muss ein kürzester Pfad sein). Alle gerichteten Wege zu diesem Knoten x sind also nach wie vor kürzeste Wege, denn sie sind (immer noch) Teilpfade eines kürzesten Pfades von s nach x. Diese Kantenlöschung kann man fortsetzen, bis alle Knoten außer s Eingangsgrad Eins haben. In diesem Fall ist der resultierende Graph wieder ein gerichteter Baum mit Wurzel s. Aufgabe 11.2 (P) Lange Wege Betrachten Sie die folgenden Währungen (AUD = Australische Dollar, BRL = Brasilianische Real, CNY = Chinesische Renminbi Yuan, EUR = Euro, GBP = Groß Britanische Pfund, JPY = Japanische Yen, USD = US Dollar) und ihre Wechselkurse (gerundete interbank rate, Stand: ) AUD BRL CNY EUR GBP JPY USD AUD 1,00 1,59 5,45 0,57 0,49 76,48 0,80 BRL 0,63 1,00 3,44 0,36 0,31 48,24 0,50 CNY 0,18 0,29 1,00 0,11 0,09 14,07 0,15 EUR 1,74 2,77 9,50 1,00 0,85 133,28 1,39 GBP 2,06 3,28 11,25 1,18 1,00 157,73 1,64 JPY 0,01 0,02 0,07 0,01 0,01 1,00 0,01 USD 1,26 2,00 6,85 0,72 0,61 96,00 1,00 Zur Vereinfachung nehmen wir an, das keine Wechselgebühren anfallen. a) Tauschen sie 100 EUR in USD. Suchen Sie einen Weg um mehr als die dem Kurs entsprechenden 139 USD zu erhalten. b) Läßt sich dieses Problem mit einem Algorithmus aus der VL automatisieren? Welche Modifikationen muss man dazu vornehmen? c) Was entspricht in dieser Situation einem Kreis negativen Gewichts? d) Gibt es in obigem Graphen einen solchen Kreis? Was bedeutet das? e) Für Interessierte: Finden Sie einen Algorithmus (modifizieren Sie obigen) der, gegeben eine solche Kursmatrix, Kreise negativen Gewichts ausgibt. f) Für Interessierte: Betrachten Sie die Situation mit Wechselgebühren.

3 3 Lösungsvorschlag 11.2 a) Tauscht man zunächst zu CNY erhält man 142, 50 USD Durch Rundungsfehler ist der Tausch von JPY zu GBP sehr vorteilhaft. Zum Beispiel erreicht man mit der Folge EUR JPY GBP USD absurde USD. b) Es handelt sich um ein kürzeste Wege -Problem, wobei die Wechselkurse den Kantengewichten entsprechen. Allerdings arbeitet man hier multiplikativ. Man muss die Gewichte eines Weges multiplizieren anstatt sie zu addieren um das Gewicht des Weges zu bestimmen. Des Weiteren interessieren uns möglichst gute, also hohe, nicht niedrige, Kurse. Entsprechend sucht man längste Wege und vergleicht mit statt. Es ist zu beachten, das Kurse kleiner 1 negativen Gewichten entsprechen, wodurch Dijkstras Algorithmus unbrauchbar wird (mit obigen Modifikationen sind die positiven Gewichte das Problem). Für den Bellman-Ford Algortihmus sind zusätzlich und + zu vertauschen. c) Eine Folge von Wechseln an deren Ende man die Ausgangswährung zurück hat, aber einen Gesamtkurs echt größer 1. d) Ja, tauscht man die 142, 50 USD aus Teil a) wieder zurück erhält man 102, 60 EUR. Das bedeutet, dass man durch einfaches Geldwechseln ohne Risiko oder Investition Profit erzeugen kann auch Arbitrage genannt. Auch mit Gebühren und ungerundeten Kursen existieren solche Kreise und werden genutzt. Dieses Verfahren ist jedoch hochgradig inflationär und bestenfalls fragwürdig. f) Wenn im Bellman-Ford Algorithmus die infect(w) Methode aufgerufen wird existiert auf dem Pfad zu w ein negativer Kreis. Da positive Kreise nicht vorkommen, folgt man von w aus den Vaterverweisen solange, bis sich ein Knoten (u) wiederholt und gibt u mit den Knoten zwischen den beiden Vorkommen von u aus. e) Für prozentuale Gebühren kann man einfach die Wechselkurse um diesen Wert senken. Feste Gebühren können zumindest abgeschätzt werden, indem man einen üblichen Wechselbetrag wählt. Aufgabe 11.3 [5 Punkte] (H) Dijkstra Laden Sie sich die Klassen WeightedGraph.java, WeightedEdge.java und Node.java von der Übungsseite. Implementieren Sie eine Klasse Dijkstra, die eine Methode computeshortestpaths bereitstellt. Parameter der Methode sind eine Instanz eines gewichteten Graphen sowie ein Knoten des Graphen als Startknoten. Die Methode soll, basierend auf dem Algorithmus von Dijkstra, alle kürzesten Wege des gewichteten Graphen berechnen. Anschließend soll für jeden Knoten die Distanz zum Startknoten sowie der direkte Vorgängerknoten (parent) ausgegeben werden. Testen Sie Ihre Implementierung anhand des gewichteten Graphen aus Blatt 10, Aufgabe 5. Vergleichen Sie Ihre Ausgabe mit der zugehörigen Lösung. Geben Sie Ihre Implementierung mit dem Testfall ab. Lösungsvorschlag 11.3 s. Dijkstra.java, DijkstraItem.java, DijkstraItemComparator.java

4 4 Aufgabe 11.4 [5 Punkte] (H) Bellman-Ford Algorithmus Betrachten Sie folgenden Graphen G: e -8, e 11 2, e 12 d 1, e 10 0, e 7 5, e 8-3, e 6 b 8, e 4-1, e 5 a 4, e 2 f c -3, e 9 6, e 1 s 3, e 3 Berechnen Sie unter Verwendung des Bellman-Ford Algorithmus, ausgehend von s, alle kürzesten Wege. Geben Sie die aktuellen Distanzen von s und den aktuellen Vater aller Knoten nach jedem Durchlauf des Algorithmus über alle Graphkanten an. Arbeiten Sie die Kanten in der Reihenfolge e 1,e 2,e 3,...,e 12 ab. Tragen Sie die Ergebnisse in eine Tabelle der in Abbildung 1 dargestellten Form ein. Skizzieren Sie zudem den resultierenden Baum, der alle kürzesten Wege enthält. Lösungsvorschlag 11.4 s a b c d e f Start 0, s,,,,,, Zwischenergebnis bis e 4 0, s 6, s 4, s 3, s,,, Runde 1 0, s 6, s 2, c 3, s 2, b 9, f 7, b Runde 2 0, s -1, d 2, c 3, s 1, e 9, f 7, b Runde 3 0, s -2, d 2, c 3, s 1, e 9, f 7, b Runde 4-6 0, s -2, d 2, c 3, s 1, e 9, f 7, b Runde 7 0, s -2, d 2, c 3, s 1, e 9, f 7, b fertig, da in der 7. Runde keine Änderung passiert.

5 5 e d f b a c s Abbildung 1: Skizze aller kürzesten Wege.

10. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010

10. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders G.V. Batz, C. Schulz, J. Speck 0. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 00 http//algo.iti.kit.edu/algorithmeni.php

Mehr

Algo&Komp. - Wichtige Begriffe Mattia Bergomi Woche 6 7

Algo&Komp. - Wichtige Begriffe Mattia Bergomi Woche 6 7 1 Kürzeste Pfade Woche 6 7 Hier arbeiten wir mit gewichteten Graphen, d.h. Graphen, deren Kanten mit einer Zahl gewichtet werden. Wir bezeichnen die Gewichtsfunktion mit l : E R. Wir wollen einen kürzesten

Mehr

Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 4: Suchstrategien Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. April 2017 HALBORDNUNG TOPOLOGISCHE ORDNUNG TOPOLOGISCHES

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester

Mehr

8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0.

8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0. 8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 8.4.1 Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0. k 4 5 1 s 1 3 2 C k 0 k 3 1 1 1 k 1 k 2 v Sollte ein Pfad von s nach C und

Mehr

1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum

1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum 1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum 11+4+8 Punkte v 1 v 2 1 3 4 9 v 3 v 4 v 5 v 7 7 4 3 5 8 1 4 v 7 v 8 v 9 3 2 7 v 10 Abbildung 1: Der Graph G mit Kantengewichten (a) Bestimme mit Hilfe des Algorithmus

Mehr

Algorithmen & Komplexität

Algorithmen & Komplexität Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) WS 2011/12 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2011ws/ds/uebung/ 25. Januar 2012 ZÜ DS ZÜ XIII

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) WS 2013/14 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2013ws/ds/uebung/ 22. Januar 2014 ZÜ DS ZÜ XIII

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen WS 2010/11 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2010ws/ds/uebung/ 2. Februar 2011 ZÜ DS ZÜ XIII 1. Übungsbetrieb:

Mehr

Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 2.1 (P) O-Notation Beweisen Sie die folgenden Aussagen für positive Funktionen f und g:

Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 2.1 (P) O-Notation Beweisen Sie die folgenden Aussagen für positive Funktionen f und g: TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 2 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,

Mehr

Übungsblatt 2 - Lösung

Übungsblatt 2 - Lösung Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 2 - Lösung Vorlesung Algorithmentechnik im WS 08/09 Ausgabe 04. November 2008 Abgabe 8. November, 5:0 Uhr (im Kasten vor Zimmer

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen):

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS14 F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): a) Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden, wenn

Mehr

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008 Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar -

Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Sommersemster 2010 Outline 1. Übungsserie: 3 Aufgaben, insgesamt 30 28 Punkte A1 Spannbäume (10 8

Mehr

9. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2016

9. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 2016 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Dennis Hofheinz Lukas Barth, Lisa Kohl 9. Übungsblatt zu Algorithmen I im SoSe 06 https//crypto.iti.kit.edu/index.php?id=algo-sose6

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines

Mehr

Programmierkurs Python II

Programmierkurs Python II Programmierkurs Python II Stefan Thater & Michaela Regneri Universität des Saarlandes FR 4.7 Allgemeine Linguistik (Computerlinguistik) Übersicht Topologische Sortierung (einfach) Kürzeste Wege finden

Mehr

Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 31. Mai Programmieren II. 12. Übungsblatt

Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 31. Mai Programmieren II. 12. Übungsblatt Technische Universität Braunschweig Dr. Werner Struckmann Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 1. Mai 01 Programmieren II 1. Übungsblatt Hinweis: Dieses Übungsblatt enthält die dritte Pflichtaufgabe.

Mehr

FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen WS 2008/09 Einführung in die Informatik 2 Übungsblatt 10 Prof. Dr. Helmut Seidl, T. M. Gawlitza,

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

2. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017

2. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog Michael Axtmann. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 016/017 Aufgabe

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Das Steinerbaumproblem

Das Steinerbaumproblem Das Steinerbaumproblem Natalie Richert Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik, Universität Paderborn 4. Februar 008 / 3 Überblick Problembeschreibung Vorstellung von zwei Approimationsalgorithmen

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Starke Zusammenhangskomponenten):

Tutoraufgabe 1 (Starke Zusammenhangskomponenten): für Informatik Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoen Allgemeine Hinweise: Datenstrukturen und Algorithmen SS1 Übungsblatt (Abgabe 4.0.01) Christian Dehnert, Friedrich Gretz, Benjamin Kaminski, Thomas Ströder

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon

Mehr

Routing A lgorithmen Algorithmen Begriffe, Definitionen Wegewahl Verkehrslenkung

Routing A lgorithmen Algorithmen Begriffe, Definitionen Wegewahl Verkehrslenkung Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über

Mehr

Kap. 6.6: Kürzeste Wege

Kap. 6.6: Kürzeste Wege Kap. 6.6: Kürzeste Wege Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 1./. VO DAP SS 009./9. Juli 009 1 Nachtest für Ausnahmefälle Di 1. Juli 009, 16:00 Uhr,

Mehr

11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010

11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders G.V. Batz, C. Schulz, J. Speck 11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010 http://algo2.iti.kit.edu/algorithmeni.php

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

1 Kürzeste Pfade in Graphen

1 Kürzeste Pfade in Graphen Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 3) 03.11.2011 1 1 Kürzeste Pfade in Graphen Es sei ein gerichteter Graph G = (V, E) mit V = n Knoten, E = m Kanten und Kantengewichten c : E R gegeben. Ein Pfad in G

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume)

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Diskrete Mathematik 1

Diskrete Mathematik 1 Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof. Dr. Alexander May M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Blatt

Mehr

Wie wird ein Graph dargestellt?

Wie wird ein Graph dargestellt? Wie wird ein Graph dargestellt? Für einen Graphen G = (V, E), ob gerichtet oder ungerichtet, verwende eine Adjazenzliste A G : A G [i] zeigt auf eine Liste aller Nachbarn von Knoten i, wenn G ungerichtet

Mehr

Graphdurchmusterung, Breiten- und Tiefensuche

Graphdurchmusterung, Breiten- und Tiefensuche Prof. Thomas Richter 18. Mai 2017 Institut für Analysis und Numerik Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg thomas.richter@ovgu.de Material zur Vorlesung Algorithmische Mathematik II am 18.05.2017 Graphdurchmusterung,

Mehr

Minimal spannender Baum

Minimal spannender Baum Minimal spannender Baum 16 1 2 21 5 11 19 6 6 3 14 33 10 5 4 18 Die Kreise zeigen die vorgesehenen Standorte neu zu errichtender Filialen einer Bank. Entlang der bestehenden Straßen sollen Telefonleitungen

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

Einheit 11 - Graphen

Einheit 11 - Graphen Einheit - Graphen Bevor wir in medias res (eigentlich heißt es medias in res) gehen, eine Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Notationen für Graphen. Graphen bestehen aus Knoten (vertex, vertices)

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik

Mehr

Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:...

Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:... Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 IBR - Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Dr. Christiane Schmidt Stephan Friedrichs Klausur Netzwerkalgorithmen 16.07.2013 Name:.....................................

Mehr

Digraphen, DAGs und Wurzelbäume

Digraphen, DAGs und Wurzelbäume Digraphen (gerichtete Graphen) Slide 1 Digraphen, DAGs und Wurzelbäume Digraphen (gerichtete Graphen) Slide 2 Eingangs- und Ausgangsgrad Bei einer gerichteten Kante e = (u,v) E heißt u Startknoten von

Mehr

4.2 Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition 4.2.1

4.2 Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition 4.2.1 Allgemeines. Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition.. (a) Ein Graph G =(V, E) heißt kreisfrei, wenn er keinen Kreis besitzt. Beispiel: Ein kreisfreier Graph: FG KTuEA, TU Ilmenau

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen

Mehr

2. November Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37

2. November Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37 2. November 2011 Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37 Satz von Erdős und Gallai Eine Partition einer natürlichen Zahl ist genau dann die Gradfolge

Mehr

Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 27. Mai Programmieren II. 12. Übungsblatt

Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 27. Mai Programmieren II. 12. Übungsblatt Technische Universität Braunschweig Dr. Werner Struckmann Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 27. Mai 206 Programmieren II 2. Übungsblatt Hinweis: Auf diesem und den folgenden Übungsblättern

Mehr

3. Minimale Spannbäume. Definition 99 T heißt minimaler Spannbaum (MSB, MST) von G, falls T Spannbaum von G ist und gilt:

3. Minimale Spannbäume. Definition 99 T heißt minimaler Spannbaum (MSB, MST) von G, falls T Spannbaum von G ist und gilt: 3. Minimale Spannbäume Sei G = (V, E) ein einfacher ungerichteter Graph, der o.b.d.a. zusammenhängend ist. Sei weiter w : E R eine Gewichtsfunktion auf den Kanten von G. Wir setzen E E: w(e ) = e E w(e),

Mehr

Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen

Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen 6. Juni 2017 Guido Brückner INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2013 / 2014 Vorlesung 13, Donnerstag, 30.

Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 2013 / 2014 Vorlesung 13, Donnerstag, 30. Algorithmen und Datenstrukturen (ESE) Entwurf, Analyse und Umsetzung von Algorithmen (IEMS) WS 0 / 04 Vorlesung, Donnerstag, 0. Januar 0 (Kürzeste Wege, Dijkstras Algorithmus) Junior-Prof. Dr. Olaf Ronneberger

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen in der Bioinformatik Viertes Übungsblatt WS 05/06 Musterlösung

Algorithmen und Datenstrukturen in der Bioinformatik Viertes Übungsblatt WS 05/06 Musterlösung Konstantin Clemens Johanna Ploog Freie Universität Berlin Institut für Mathematik II Arbeitsgruppe für Mathematik in den Lebenswissenschaften Algorithmen und Datenstrukturen in der Bioinformatik Viertes

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Perlen der Informatik I Wintersemester 2012 Aufgabenblatt 7

Perlen der Informatik I Wintersemester 2012 Aufgabenblatt 7 Technische Universität München WS 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. H.-J. Bungartz Prof. Dr. T. Huckle Prof. Dr. M. Bader Kristof Unterweger Perlen der Informatik I Wintersemester 2012 Aufgabenblatt

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester

Mehr

Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen

Routing Algorithmen. Begriffe, Definitionen Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über

Mehr

Wintersemester 2004/ Februar 2005

Wintersemester 2004/ Februar 2005 Lehrstuhl für Praktische Informatik III Norman May B6, 29, Raum C0.05 68131 Mannheim Telefon: (0621) 181 2517 Email: norman@pi3.informatik.uni-mannheim.de Matthias Brantner B6, 29, Raum C0.05 68131 Mannheim

Mehr

Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz

Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz Definition Eigenschaften von Graphen Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. 1 Die Nachbarschaftschaft Γ(u) eines Knoten u V ist Γ(u) := {v V {u, v} E}. 2 Der Grad

Mehr

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung. Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Heapsort

3. Musterlösung. Problem 1: Heapsort Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 3. Musterlösung Problem : Heapsort ** 2 3 4 5 Algorithmus : Heapsort (A) Eingabe : Array A der Länge n Ausgabe : Aufsteigend

Mehr

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE 34 Kürzeste Wege im Graphen Motivation! Heute:! Kürzeste Wege von einem Knoten (SSSP)! Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (APSP)! Viele Anwendungen:! Navigationssysteme!

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Bäume & Graphen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr, o.n.v. Sommersemester

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/42 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon an vielen Stellen

Mehr

Kürzeste Wege in einem gewichteten Graphen. Anwendungen

Kürzeste Wege in einem gewichteten Graphen. Anwendungen Kürzeste Wege in einem gewichteten Graphen Dazu werden die Gewichte als Weglängen interpretiert. Der kürzeste Weg zwischen zwei Knoten in einem zusammenhängenden Graphen ist derjenige, bei dem die Summe

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen 13. Übung minimale Spannbäume, topologische Sortierung, AVL-Bäume Clemens Lang Übungen zu AuD 4. Februar 2010 Clemens Lang (Übungen zu AuD) Algorithmen und Datenstrukturen

Mehr

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt. Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e

Mehr

Isomorphie von Bäumen

Isomorphie von Bäumen Isomorphie von Bäumen Alexandra Weinberger 23. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Grundlagen und Definitionen 2 1.1 Bäume................................. 3 1.2 Isomorphie..............................

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen 2. Klausur SS 2001

Datenstrukturen und Algorithmen 2. Klausur SS 2001 UNIVERSITÄT PADERBORN FACHBEREICH 7 (MATHEMATIK INFORMATIK) Datenstrukturen und Algorithmen 2. Klausur SS 200 Lösungsansätze Dienstag, 8. September 200 Name, Vorname:...................................................

Mehr

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) 5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!

Mehr

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36

Mehr

a) Fügen Sie die Zahlen 39, 38, 37 und 36 in folgenden (2, 3)-Baum ein:

a) Fügen Sie die Zahlen 39, 38, 37 und 36 in folgenden (2, 3)-Baum ein: 1 Aufgabe 8.1 (P) (2, 3)-Baum a) Fügen Sie die Zahlen 39, 38, 37 und 36 in folgenden (2, 3)-Baum ein: Zeichnen Sie, was in jedem Schritt passiert. b) Löschen Sie die Zahlen 65, 70 und 100 aus folgendem

Mehr

Teil 2: Graphenalgorithmen

Teil 2: Graphenalgorithmen Teil : Graphenalgorithmen Anwendungen Definitionen Datenstrukturen für Graphen Elementare Algorithmen Topologisches Sortieren Kürzeste Wege Problemstellung Ungewichtete Graphen Distanzgraphen Gewichtete

Mehr

9. Übung Algorithmen I

9. Übung Algorithmen I Timo Bingmann, Christian Schulz INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Timo Universität Bingmann, des LandesChristian Baden-Württemberg Schulz und nationales Forschungszentrum in der

Mehr

Organisatorisches. Programmierpraktikum Das Canadian Traveller Problem. Organisatorisches. Organisatorisches

Organisatorisches. Programmierpraktikum Das Canadian Traveller Problem. Organisatorisches. Organisatorisches Organisatorisches Programmierpraktikum Das Canadian Traveller Problem Rainer Schrader Birgit Engels Anna Schulze Zentrum für Angewandte Informatik Köln. April 006 Prof. Dr. Rainer Schrader Tel.: 470-600

Mehr

Graphen und Bäume. A.1 Graphen

Graphen und Bäume. A.1 Graphen Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt

Mehr

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl

Mehr

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E.

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Das Komplement Ḡ = (V, ( V ) \ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Ein Graph H = (V, E )

Mehr

10. Übung Algorithmen I

10. Übung Algorithmen I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK 1 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Institut für Theoretische www.kit.edu Informatik Bäume

Mehr

II. Wissenschaftliche Argumentation

II. Wissenschaftliche Argumentation Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

Graphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers

Graphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers Graphalgorithmen 2 Oleksiy Rybakov 3. Juni 2015 Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers 1 / 40 Inhaltsverzeichnis 1 Minimale Spannbäume und Datenstrukturen 2 Kürzeste Wege 3 Spezielle Graphen 2 / 40 Minimale

Mehr

Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1)

Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) 2 Kanten. Bew: Abzählen! Definition 111. Graphen mit n paarweise zyklisch verbundenen Kanten heißen Kreise (vom Grad n) und werden mit C n bezeichnet. Beispiel

Mehr

Kürzeste Wege. Ein Startknoten, nichtnegative Gewichte

Kürzeste Wege. Ein Startknoten, nichtnegative Gewichte Kürzeste Wege Gegeben ein Digraph D = (V, A) mit Bogengewichten c(a). Aufgabe: Finde einen Weg W von einem Knoten zu allen anderen oder zu einem bestimmten mit c(w) minimal. Problem: negative Gewichte

Mehr

Übungsblatt Nr. 5. Lösungsvorschlag

Übungsblatt Nr. 5. Lösungsvorschlag Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Nico Döttling Dirk Achenbach Tobias Nilges Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Übungsblatt Nr. 5 svorschlag Aufgabe 1

Mehr

Einführung in die Informatik 2

Einführung in die Informatik 2 Einführung in die Informatik 2 Bäume & Graphen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz http://www.inf.uni-konstanz.de/algo/lehre/ss08/info2 Sommersemester 2008 Sven Kosub

Mehr

Vorlesung Datenstrukturen

Vorlesung Datenstrukturen Vorlesung Datenstrukturen Graphen (1) Darstellung Traversierung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 441 Generalisierung von Bäumen Verallgemeinerung (von Listen zu Graphen)

Mehr

Graphalgorithmen 2. Dominik Paulus Dominik Paulus Graphalgorithmen / 47

Graphalgorithmen 2. Dominik Paulus Dominik Paulus Graphalgorithmen / 47 Graphalgorithmen Dominik Paulus.0.01 Dominik Paulus Graphalgorithmen.0.01 1 / 7 1 Spannbäume Kruskal Prim Edmonds/Chu-Liu Datenstrukturen Fibonacci-Heap Union/Find Kürzeste Pfade Dijkstra Bellman-Ford

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen D-INFK

Datenstrukturen und Algorithmen D-INFK Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik Peter Widmayer

Mehr

Datenstrukturen Teil 2. Bäume. Definition. Definition. Definition. Bäume sind verallgemeinerte Listen. Sie sind weiter spezielle Graphen

Datenstrukturen Teil 2. Bäume. Definition. Definition. Definition. Bäume sind verallgemeinerte Listen. Sie sind weiter spezielle Graphen Bäume sind verallgemeinerte Listen Datenstrukturen Teil 2 Bäume Jeder Knoten kann mehrere Nachfolger haben Sie sind weiter spezielle Graphen Graphen bestehen aus Knoten und Kanten Kanten können gerichtet

Mehr

Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,...

Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,... Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,..., k, so dass gilt M = k c i P i i=1 k c i = r. i=1 Diskrete Strukturen 7.1 Matchings

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Martin Lercher Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Teil 10 Suche in Graphen Version vom 13. Dezember 2016 1 / 2 Vorlesung 2016 / 2017 2 /

Mehr

p = (v 0, v 1,..., v k )

p = (v 0, v 1,..., v k ) 1 Routenlaner Hamburg 300 km 200 km Berlin 450 km Köln 200 km 400 km Frankfurt 50 km 200 km 150 km Mannheim Saarbrücken 100 km 250 km Stuttgart 200 km Dresden 300 km Nürnberg 200 km München Berechne den

Mehr