Finanzmathematik. = K 0 (1+i) n = K 0 q n

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1 Fiazmathematik 1. Kapitalverzisug: Beispiel 1: Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% verzist. Wie viel bekommt ma am Ede eies Jahres samt Zise? Die Zise Z werde so berechet: Z = K 0 p/100 = /100 = 0. Das Edkapital am Ede des Jahres beträgt da K 1 = K 0 + Z = 30 Wie geht es ohe Zwischeschritt? K 1 = K 0 + K 0 p/100 = K 0 (1 + p/100) = K 0 q K 1 = 3000 (1+5/100) = ,05 = 30 ud damit sid wir für die Turbospeed-Berechug vo Kapitalie ud Zise ud Ziseszise bereit! Beispiel 2: Ei Kapital vo 3000 soll 4 Jahre mit 5% Zise verzist werde. Wie viel ist der Edbetrag? Mit der lagsame Methode müsste ma jedes Jahr die Zise bereche ud da dazu schlage, mit der TURBO-Methode geht es scheller: Für jedes Jahr muss ma mit q multipliziere, so dass sich ach 4 Jahre ergibt: K 4 = K 0 q 4 = 3000 (1+5/100) 4 = ,05 4 = 34,52 K = K 0 (1+p/100) = K 0 (1+i) = K 0 q Beispiel 3: 1.Umkehraufgabe: Welches Kapital muss ich heute alege, um ach 10 Jahre bei 3% Verzisug zu bekomme? Wir köe die Formel zuerst umforme: K 0 = K / (1+p/100) 10 = / 1,03 10 = 14881,88 Beispiel 4: 2.Umkehraufgabe: Bei welchem Zissatz wurde ei Kapital vo 4500 agelegt, we es i 5 Jahre auf 5344,59 agewachse ist? Jetzt probiere wir das Eisetze i die Formel ohe vorheriges Umforme: K = K 0 q 5344,59 = 4500 q 5 : ,189 = q 5 5.Wurzel ziehe q = 5 1, 189 = 1,035 1+p/100 = 1,035 p=3,5% Dr. Mafred Gurter 2010 Fiazmathematik 1

2 Beispiel 5: 3.Umkehraufgabe: Wie lage muss ich ei Kapital vo 1000 auf der Bak zu 4,5% liege lasse, damit ich 2000 bekomme? Hier hilft ur systematisches (biäres) Probiere, we ma de Logarithmus icht ket: , = 52,9 zu weig , = 2411,1 zu viel ,045 = 1935,28 etwas zu weig ,045 1 = 2022,3 etwas zu viel also müsse wir ca. ½ Jahre warte bis sich das Kapital verdoppelt. 2. Reterechug: Beispiel : Welches Edkapital erhält ma i 10 Jahre, we ma heute 3000 eilegt, i 3 Jahre 2000 eilegt ud i Jahre 500 eilegt? (Zissatz 3%) Zum bessere Überblick lege wir eie Zeitleiste a: q = 1,03 Dazu müsse wir eigetlich ur summiere: E = 3000 q q q 3 = 13594,22 We ma die Kapitalie ohe Zise summiert, erhält ma: = 100, also erhält ma a Ziseszise: 13594, = 2094,22 NUN WIRD ES ERNST MIT DER RENTE: Beispiel : Wie viel erhält ma ach 10 Jahre, we ma 10 Jahre lag jedes Jahr am Begi (=vorschüssig) 500 auf ei Koto eilegt, das mit 5% verzist wird? Diese Problem brigt mich icht aus der Ruhe, ich zeiche eie Zeitleiste: Also ist der Edwert aller Eilage: E = 500 q q q q q also tippe ich sie alle ei ud erhalte: E = 03,39 Für M2/M3 gibt es ja die Formel für die geometrische Reihe: s = b 1 q 1 Die Reihe fägt hier vo rechts mit 500 q a ud wächst mit dem Faktor q ach liks a, also ist b 1 =500 q, der Rest bleibt gleich, also ist die Formel mit der Bezeichug R (Rete) für die regelmäßige Zahlug vo 500 so umgeformt: q 1 E v = R q 1,05 1 = 500 1,05 = 03,39 1,05 1 Dr. Mafred Gurter 2010 Fiazmathematik 2

3 Beispiel 8: 1.Umkehraufgabe: Welches Kapital muss ich eilege, um Jahre hidurch jährlich eie Rete vo 5000 am Ede des Jahres (=achschüssig) zu bekomme (bei 4% Zise)? 5000 R Faktor q B = = ,2 B = q q 1 q ohe Zise wäre es 5000 = 35000, die ma eizahle müsste Jetzt ist die Zeitrichtug umgekehrt: Es iteressiert der BARWERT der Auszahluge, d.h. welches K 0 ma eilege muss, um K zu bekomme. B = q q q q Wieder begie wir vo rechts ud erkee eie geometrische Reihe mit dem Startwert 5000 ud dem q Beispiel 9: 2.Umkehraufgabe: Welche Rete bekomme ich durch Jahre hidurch jährlich am Ede des Jahres, we ich heute gewie ud auf ei Koto lege, das mit % verzist wird? Der Barwert ist ud die Formel ergibt damit: B = = R 1,0 1,0 1 1, ,0 (1,0 R q (1,0 1) = R R = 2059,2 1) Beispiel 10: 3.Umkehraufgabe: Welche Zissatz habe ich bekomme, we ich regelmäßig 00 pro Jahr Jahre lag (am Begi des Jahres) eigezahlt habe ud am Ede bekomme. Hier ist wieder die Edwertformel a der Reihe: E = R q = 00 q = q??? Hier muss ma wieder probiere, bis ma erreicht: q = 1,10 q q = 1,05 q q = 1,04 q = 8,48 - zu groß =,14 - zu groß =,89 - zu klei q 1 q = 1,045 q =,02 - fast richtig der Zissatz liegt bei 4,5% Dr. Mafred Gurter 2010 Fiazmathematik 3

4 Übuge: 1) Bereche Sie de Edwert K eies Kapitals für: a) K0 = p = 4% = b) K0 = 5400 p = 3,5% = 12 c) K0 = 2000 p = 3% = 50 d) K0 = 4000 p = 4,5% = 4,5 2) Bereche Sie Afagswert K0, we: a) K = p = 4% b) K12 = 5400 p = 3,5% c) K = 2000 p = 3% = 50 3) Bestimme Sie de Zissatz p, we: a) K0 = K = 1422,83 = 8 b) K0 = 500 K5 =1003,9 c) K0 = 511,04 K12 = ) Bereche (oder schätze) Sie die Verzisugsdauer für: a) K0 = 4500 K = 122,20 p = 8% b) K0 = 4000 K = 500 p = 5,5 % c) K0 = K = ,93 p = 4,5% d) K0 = 8000 K = p = 5,5% 5) Welche Betrag muss ma heute alege, um bei % Ziseszis i 5 Jahre über zu verfüge? ) I welchem Fall erreicht ei mit Ziseszis agelegtes Kapital eie höhere Wert we es 8 Jahre zu 5% oder 5 Jahre zu 8% verzist wird? Wie müsste die Atwort bei eifachem Zis laute? (vermute begrüde achreche) ) Beim Verkauf eier Wohug werde 3 Agebote gemacht: A bietet i bar, B will i 5 Jahre zahle, C bietet i bar ud will i 10 Jahre weitere zahle. Welches Agebot ist für de Verkäufer am güstigste, we mit eier Verzisug vo 4,5% gerechet wird? Wie sieht der Vergleich ohe Zise aus? (Barwertvergleich) 8) Bei der Versteigerug eies Gutes wurde folgede Agebote gemacht: A: Millioe i bar; B: 2,5 Millioe i bar ud 4 Millioe i 5 Jahre; C: i 4 Jahre. Welches Agebot ist bei 5% Ziseszise a höchste? Wie sieht der Vergleich ohe Zise aus? (Barwertvergleich) 9) Eie Schuld vo 0 000, die zu % Ziseszis verzist wird, wird i drei Rate getilgt, die ach 4,8, ud 12 Jahre fällig sid. Die erste Rate beträgt , die zweite beträgt Wie hoch muss die dritte Rate sei? (Barwertvergleich) 10) Ei Kapital vo 5000 wird 5 Jahre lag mit 5,5%, daach 4 Jahre lag mit 5% ud schließlich 3 Jahre mit 4,5% verzist auf welche Betrag ist es zuletzt agewachse? (Edwert) 12) Die Jahreszise eie Stiftug vo , die zu 8,5% agelegt sid, solle als Stipedie a auslädische Studete ausbezahlt werde, we die Stiftugssumme auf agewachse ist. Nach wie viel Jahre ist dies der Fall? Dr. Mafred Gurter 2010 Fiazmathematik 4

5 13. Bereche Sie die Edwerte der folgede Rete bei eier jährliche Verzisug vo i = %: a. R = 00 am Begi jedes Jahres, Laufzeit 8 Jahre b. R = 1000 am Begi jedes Jahres, Laufzeit 12 Jahre c. R = 400 am Begi jedes Jahres, Laufzeit Jahre 14. Bereche Sie die Barwerte der folgede Rete bei eier jährliche Verzisug vo i = 4%: a. R = 1200 am Ede jedes Jahres, Laufzeit Jahre b. R = 800 am Ede jedes Jahres, Laufzeit 9 Jahre c. R = 50 am Ede jedes Jahres, Laufzeit 4 Jahre. Frau A. will i 10 Jahre aspare. Welche Rate muss sie am Begi jedes Jahres eizahle? (i = 5%) 1. Herr B. hat 000 gewoe ud will davo 5 achschüssige Jahresrate beziehe. Wie hoch ist eie Rate? (i = %) 1. Welche Edwert erhält ma, we ma durch 3 Jahre hidurch am Jahresbegi 3000 auf ei Bakkoto legt, das mit 4,5% verzist wird? Reche Sie mit ud ohe Reteformel. 18. Bei der Geburt ihres Sohes vereibare die Elter, am Begi jedes Jahres 500 auf ei Sparkoto zu lege, das mit 4,5% verzist wird. Das Geld soll der Soh am 18.Geburtstag bekomme. Wie groß ist dieser Edwert? 19. Ei Ladwirt verkauft seie Hof gege eie achschüssige Rete vo 300 über 25 Jahre. Der eue Besitzer möchte die Rete sofort i bar auszahle. Welcher Betrag (Barwert) ist dazu erforderlich, we mit 5% Ziseszise gerechet wird? 20. Eie Versadfirma bietet a: Statt heute 3400 i bar zu erlege, köe Sie auch 5 achschüssige Jahresrate mit 800 zahle. Ist dieses Agebot güstig? Bereche Sie de Barwert der Rete, we 5% Ziseszis ageomme wird. 21. Wie groß ka eie Rete sei, we auf ei Koto mit 5% Zise gelegt wird ud durch 20 Jahres lag jährlich achschüssig (= am Ede des Jahres) ausbezahlt werde soll? (Wie groß wäre sie ohe Zise?) 22. Wie viel ka Herr Peter jährlich für Jahre hidurch als Studieuterstützug für die Tochter Ake vo eiem Sparbuch mit zu 4% Zise abhebe? Dr. Mafred Gurter 2010 Fiazmathematik 5

6 Lösuge: a) b) c) d) 1) 183,83 89, 8,81 48,22 2) 9483, 353,3 45,21 3) 4% % 3% 4) 4 Jahre etwa 9 Jahre 12 Jahre etwa 4 Jahre 5) 42,58 ) 8 Jahre ergibt mehr Ziseszise (14,4 statt 149,33 bei 1000 Afagskapital) bei eifache Zise gäbe es keie Uterschied. (40% : 1400 ) ) Agebot C ( ) > Agebot B( ) > Agebot A( ) ohe Zise: C( 000) > B(12 500) > A( ) 8) Agebot A ( Mill.) > Agebot C (5,9 Mill.) > Agebot B (5, Mill.) 9) 58 92,24 - fast die ursprügliche Schuld 10) 904,39 11) ,43 1 StudetIe 12) ach 5 Jahre 13) a) 294,9 b) 1 882,14 c) 295,54 14) a) 290,5 b) 5948,2 c) 2359,43 ) 908,2 1) 350,95 1) 9834,5 18) 14031,8 19) 5038,20 20) 343,58, relativ güstig zu Vergleichsagebote, aber teurer als i bar - we mit 5% gerechet wird 21) 8024,2 (5000 ) 22) 54,3 Dr. Mafred Gurter 2010 Fiazmathematik

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