2 1.4 Sind folgende Funktionen injektiv? Wenn ja, bestimmen Sie die Umkehrfunktion!
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- Brit Hauer
- vor 7 Jahren
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1 . Übung: Grundlagen. Es gibt ein seltsames Buch, da steht auf jeder Seite genau ein Satz; auf Seite : In diesem Buch steht mindestens ein falscher Satz., auf Seite : In diesem Buch stehen mindestens zwei falsche Sätze. usw. bis zur (letzten) Seite : In diesem Buch stehen mindestens falsche Sätze. Stehen wahre Sätze in diesem Buch? Wenn ja, wo? Wie ist es, wenn man überall mindestens durch höchstens ersetzt?. In einer Boeing 747 übernehmen 3 Bordrechner R, R, R 3 gleichzeitig die Navigationsaufgaben ( TMR = Triple Modular Redundancy). Die drei Einheiten überprüfen sich in einer Systemselbstdiagnose gegenseitig: R prüft R, R prüft R 3, R 3 prüft schließlich R. Es wird dabei vorausgesetzt, dass höchstens ein Computer nicht korrekt arbeitet. a) Es meldet R, dass R intakt ist, R meldet R 3 als defekt und R 3 diagnostiziert R als defekt. Was ist los? b) Bezeichnen wir mit A x die Aussage, dass Bordrechner R x intakt ist, so wird die Wahrheit von B =(A A ) (A A 3 ) (A 3 A ) vorausgesetzt. Untersuchen Sie mit einer Wahrheitstabelle, ob (A A ) (A A 3 ) (A 3 A ) und B äquivalent sind..3 Gegeben ist f : IR IR durch { x für <x<, f(x) = sonst. Skizzieren Sie die Graphen von f und von folgenden vier Funktionen f k : IR IR (k =,, 3, 4), die aus der Funktion f hervorgehen: a) f (x) =f(x +); b) f (x) =f(x)+; c) f 3 (x) = f(x) ( ) x ; d) f 4 (x) =f..4 Sind folgende Funktionen injektiv? Wenn ja, bestimmen Sie die Umkehrfunktion! a) f : IR IR,f(x) = x +x x + x + ; b) f : IR \{} IR,f(x) =x 4 x..5 Finden Sie Funktionen f, g : IN IN so, dass f g injektiv ist, aber f nicht..6 Gegeben ist f : IR IR durch f(x) =x für x IR. Bestimmen Sie f f und f f f. Können Sie ein allgemeines Bildungsgesetz für f... f erraten?.7 Gegeben sind die vier Funktionen f :], [ IR, f(x) = x ; g :], [ IR, g(x) =/x ; h : IR IR, h(x) =+x ; r : IR IR, r(x) =x. a) Bestimmen Sie f h g r h. b) Stellen Sie u : IR IR als Verknüpfung der vier Funktionen dar: u(x) = + +x.
2 .8 Bestimmen Sie alle Nullstellen und zerlegen Sie wenn möglich in Linearfaktoren: a) f : IR IR,f(x) =(x 3 x +) (x 4 + x 3 + x ); b) f : IR IR,f(x) =3x 3 +4x x Zerlegen Sie f : IR IR mit f(x) = x4 +8x 3 +6x +44x +8 x +6x + in der Form f = p + r, wobei p ein Polynom und r eine echt rationale Funktion ist.. Übung: Grenzwerte. Weisen Sie die Konvergenz der Folge (a n ) n IN nach, indem Sie zu jedem ε> ein geeignetes N(ε) angeben (wie in Definition 3.3 verlangt): a n = 3n +6n + 9n 3n +5, n IN. Von welchem n IN an kann man garantieren, dass a n vom Grenzwert weniger als 3 abweicht?. Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n IN auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz: a) a n = n 3n + ; b) a n = n n ; c) a n = ( )n+ 4 n + ( )n 5 n ; d) a n = ( 3)n n ; e) a n = nn +( n) n +n n..3 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte: ( ) 3n a) n lim n +3 6n5 4n 4 +7 ; b) lim n n(n +3) (3n 4) n 5 + n 3 +7n ; c) n lim ( n +3n ( n +6n) ; d) lim + ) 4n ; n n e) lim n ( ) n +3 3n 5 ; f) lim n + n ( ) n n. n.4 Gegeben ist eine Folge (a n ) n IN durch a n = (n ) (n +) (n ) n n. Überprüfen Sie Monotonie und Beschränktheit der Folge. Sie können so Konvergenz der Folge nachweisen, ohne den Grenzwert zu bestimmen (...der auch nicht leicht zu berechnen ist!).
3 .5 Zur näherungsweisen Berechnung von Quadratwurzeln dient folgendes Verfahren (von Heron,. Jahrhundert n. Chr.): Gesucht sind z.b. Näherungen für 3. Starte mit b => 3. Berechne a = 3, dann ist a < 3. b Berechne b = a + b = ( 3 + b ), dann ist b > 3. b Nimm b als neuen Startwert und iteriere bis zur gewünschten Genauigkeit, bilde also b n+ = ( 3 + b n ),n=,, 3,... b n a) Testen Sie das Verfahren mit dem Taschenrechner. b) Weisen Sie nach: () b n 3für alle n IN. (Tipp: Für s, t ist stets st s + t.) () Die Folge (b n ) n IN ist monoton fallend. (3) lim n b n = 3. (Tipp: n lim b n = n lim b n+.) c) Wie ändert man das Verfahren zur Bestimmung von a, a >? 3. Übung: Trigonometrische Funktionen 3. Skizzieren Sie die Schaubilder folgender Funktionen: a) f :[, π] IR,f(x) = sin (x) und g :[, π] IR,g(x) = sin (4x) im gleichen Koordinatensystem; ( b) f :], ] IR,f(x) = cos ; x) c) f :[ π, π] IR,f(x) =x sin x. 3. a) In der Vorlesung wurde das Additionstheorem für die Kosinusfunktion: cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y, x, y IR, angegeben. Leiten Sie daraus das Additionstheorem für den Sinus her! b) Finden Sie das Additionstheorem für den Kotangens. 3.3 a) Leiten Sie folgende Formeln her: ( ) x cos cos x =, x IR, ( ) x sin + cos x =, x IR. b) Bestimmen Sie mit diesen Formeln die exakten Werte von cos 7π 8 und sin 5π. 3
4 3.4 Gegeben sei ein beliebiges, aber nicht ausgeartetes Dreieck (d.h. die Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden). Mit den Bezeichnungen der Skizze gilt γ b a α c β a) a sin β = b sin α, b) a = b + c bc cos α. Geben Sie Begründungen für beide Formeln an! 3.5 Die Formeln aus A 3.4 sind für Berechnungen in allgemeinen Dreiecken nützlich. a) An einer Straße steht ein Turm. Im Winkel von π 5 zur Fahrtrichtung sieht man einen zweiten Turm. Nach.8 km Fahrt auf der schnurgeraden Straße steht der zweite Turm im Winkel von 5π 75 zur Fahrtrichtung. Der Fahrer behauptet, die beiden Türme seien weniger als 3 km voneinander entfernt. b) Die Seitenlängen eines Dreiecks stehen im Verhältnis : 3 : 4. Berechnen Sie den größten Winkel in diesem Dreieck. 3.6 Bestimmen Sie alle Lösungen x IR der folgenden Gleichungen: a) sin (x) = cot x ; b) 4 cos x 4 sin x =. 3.7 Weisen Sie die Gültigkeit folgender Formeln nach: a) cos x cos y = sin x + y sin y x, x,y IR; b) cos (4x) = 8 cos 4 x 8 cos x +, x IR; tan x + tan y c) tan x tan y =, wenn alle Terme definiert sind ; cot x + cot y x d) arccos = arccot x, x IR. +x 4
5 4. Übung: Differentiation 4. Differenzieren Sie elementar, d.h. durch Grenzwertberechnung des Differenzenquotienten: f : IR IR, f(x) = +x. 4. Differenzieren Sie mit den Ableitungsregeln die Funktionen f : IR IR: a) f(x) = sin(cos(sin x)); b) f(x) = sin x sin ( x); 3 5x +x c) f(x) = ; 4+5x d) f(x) = (x 5 +6x 3 +7) 8 ; ( e) f(x) = cos 4 sin 3 (x 6 +) f) f(x) = (x x ), x < ; x g) f(x) = arccos ; +x h) f(x) = arctan x; i) f(x) = 7 x, x >. ) ; +x ( h) und i) mit der Umkehrfunktionsregel!) 4.3 Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f : IR IR mit f(x) =x sin( x ). 4.4 Bestimmen Sie alle Tangenten an den Graphen von f : IR IR,f(x) = x 3 + x, die durch den Punkt (x,y ) mit x =,y = 3 gehen. 4.5 Gegeben sind Polynome P, Q durch P (x) =x 7x + 9 bzw. Q(x) = x + x +3. Bestimmen Sie alle Geraden, die gleichzeitig Tangenten an den Graphen von P und an den Graphen von Q sind. 4.6 Finden Sie das Bildungsgesetz für die n-te Ableitung (n IN)vonf :], [ IR, f(x) = +x x. 4.7 Berechnen Sie für f :], [ IR,f(x) = x, den Term f (x) (+(f (x)) ) 3. 5
6 5. Übung: Anwendungen der Differentiation 5. Führen Sie für folgende Funktionen f : IR IR eine ausführliche Kurvendiskussion durch: a) f(x) = 3x 4 8x 3 +6x, b) f(x) = sin x sin x, c) f(x) = x + + x An den Graphen von f :[, ] IR mit f(x) =x 3 soll eine Tangente so angelegt werden, dass der Flächeninhalt des Dreiecks, das Tangente, x-achse und die Parallele zur f(x)-achse durch x = bilden, möglichst groß ist. 5.3 Eine Konservendose soll bei gegebenem Volumen minimale Oberfläche haben. 5.4 Ein Trapez liegt so in einem Halbkreis, dass eine der parallelen Trapez Seiten der Halbkreis Durchmesser ist. Wann ist der Flächeninhalt des Trapezes maximal? 6. Übung: Integration I 6. Bestimmen Sie die Stammfunktionen (bei jeweils passendem Definitionsbereich): a) ( 4 x 3 4 x 3 5x +6x) dx ; b) cos(x +3)dx ; c) e) x x + dx ; d) x + x dx ; x sin (x ) dx ; f) x sin xdx; g) cos 4 xdx; h) sin ( x) dx. 6. Berechnen Sie die bestimmten Integrale a) 5x 4 dx ; b) 4 5x x +dx ; c) π/ cos x sin xdx; d) π/4 tan xdx; e) (x )(x +) 99 dx ; f) 3 x +9 dx. 6
7 6.3 Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die die Graphen von f : IR IR,g: IR IR mit f(x) =x +,g(x) =x +x zwischen ihren Schnittpunkten einschließen. 6.4 Das Flächenstück, das der Graph von f : IR IR, f(x) =4 x, zwischen den Nullstellen mit der x Achse einschließt, soll durch einen geraden Schnitt, der parallel zur x Achse verläuft, halbiert werden. 6.5 In einer Formelsammlung steht tan x cos x dx = tan x, cos x. Ein Computerprogramm liefert dagegen tan x cos x dx =, cos x. cos x Ist etwas nicht in Ordnung? 6.6 Häufig ist die Berechnung eines Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion nicht möglich. Dann ist man auf Näherungformeln angewiesen, zum Beispiel auf für stetiges f :[a, b] IR. b a f(x) dx b a (f(a)+f(b)) a) Erklären Sie graphisch, warum diese Näherungsformel Trapez-Regel heißt. b) Wenden Sie die Trapez-Regel an auf das Integral 4 +x dx, vergleichen Sie Näherung und exakten Integralwert. c) Finden Sie ein Integral, bei dem die Trapez-Regel wenig nützlich ist. 7. Übung: Integration II, spezielle Funktionen 7. Differenzieren Sie f : D IR und achten Sie auf den Definitionsbereich: a) f(x) = exp ( ln x ); b) f(x) = (sin x) / cos x ; + tan x c) f(x) =ln tan x ; d) f(x) =(x +) x cos3 x. 7
8 7. Bestimmen Sie alle Lösungen x IR der folgenden Gleichungen: a) 3 x+3 +9 x =8; b) ln( x) ln( x) =ln. 7.3 Bestimmen Sie folgende Stammfunktionen: a) c) e) 3x 5 7x + dx, 7x + ; b) x ln x dx, x > ; d) sin x e x dx ; f) 7.4 Berechnen Sie die bestimmten Integrale x 3 dx, x IR ; +x x ln xdx; sin (ln x) dx, x >. a) 3 5x +5 3x +x + dx ; b) x + x +x + dx ; c) π/4 tan xdx; d) x e x dx ; e) (e 3)/ ln (x +3)dx ; f) π/3 sin x cos x (ln cos x) dx. 7.5 Bei einer Wechselspannung, die zur Zeit t den Wert U(t) und die Periode T hat, bezeichnet man als Effektivspannung die Wurzel aus dem quadratischen Mittel über eine Periode, also U eff = T U (t) dt. T Berechnen Sie das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivspannung bei einem sinusförmigem Spannungsverlauf mit Kreisfrequenz ω = πν: U(t) =U sin(ωt). 7.6 a) Ein Kapital von 5 C-- soll sich bei jährlicher Verzinsung in Jahren verdoppeln. Welcher Zinssatz ist dazu erforderlich? b) Wieviele Jahre dauert es, bis sich ein Kapital von 5 C-- verdreifacht hat, wenn es jährlich mit 4.5% verzinst wird? c) Wie lauten die Ergebnisse von a) und b), wenn statt mit jährlicher Verzinsung mit dem Grenzwert der stetigen Verzinsung gerechnet wird? 8
9 8. Übung: Lineare Gleichungssysteme 8. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme: a) x y + 4z = 3x + y z = x + 3y 7z = 3 ; b) x + y z = 4 3x y + z = 5 x + y 3z = ; c) x + y + 3z = 7 4x + 5y + 6z = 5 5x + 7y z = Untersuchen Sie die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems λ x λy + z = /λ x + λy + λ z = λ x y + z = λ in Abhängigkeit von dem Parameter λ IR \{}. 8.3 Das folgende lineare Gleichungssystem.985 x y = a.953 x +.65 y = b hat für a =3.343, b =.65 die (eindeutige) Lösung x = y = (Probe!). Lösen Sie das System mit der geringfügigen Änderung a =3.34, b = Ein Zoohändler kauft eine Anzahl Kanarienvögel und ebenso viele Wellensittiche ein. Für Kanarienvögel zahlt er doppelt so viel wie für Wellensittiche, Wellensittiche gibt es aber nur als Pärchen. In einer Sonderpreisaktion verkauft er die Tiere mit nur % Aufschlag. Nachdem er alle Tiere bis auf 7 verkauft hat, stellt er fest, dass er seinen Einkaufspreis genau wieder eingenommen hat. 8.5 Berechnen Sie die Determinanten a) ; b) Bestimmen Sie alle Parameter λ IR,für die die Vektoren im IR 3 linear abhängig sind. x =(,, λ), y =(, 3, 4), z =(λ, 4, 5) 9
10 9. Übung: Elementare Vektorrechnung, Geraden und Ebenen 9. Im IR 3 sind die Vektoren a =(,, ), b =(,, ) und c =(3,, ) gegeben. a) Bestimmen Sie alle Lösungen x IR 3 der Vektorgleichung ( c +5 x )+4 ( b 4 a ) b =3 ( a b + c )+4 x. b) Bestimmen Sie alle Skalare α, β, γ aus α a + β b + γ c = (, 3, ). c) Untersuchen Sie, ob a, b, c linear unabhängig sind. 9. Gegeben sind im IR 3 die Vektoren x =(3,, ), y =(,, 5) und z =(,, λ). Für welche Werte von λ IR gibt es eine Linearkombination der Form x = α y + β z, α,β IR? Gibt es auch eine Linearkombination der Form y = γ x + δ z, γ,δ IR? 9.3 Untersuchen Sie die Geraden g,g auf gegenseitige Lage (parallel, gleich, Schnittpunkte): a) g : x =(, ) + λ (, ),λ IR ; g : x =(, ) + λ (, ),λ IR ; b) g : x =(, 6, 3) + λ (4, 4, 3),λ IR ; g IR 3 enthält x =(5, 4, 3) und x =(3, 4, 3); c) g : x =(, 3, 5) + λ (, 5, 8),λ IR ; g IR 3 enthält x = (9, 7, 77) und x =( 4, 3, 3). 9.4 Untersuchen Sie die Ebenen E,E IR 3 auf gegenseitige Lage: a) E : x =(, 3, ) + λ (,, ) + µ (,, ),λ,µ IR; E enthält x =(4,, ), x =(6, 3, ) und x 3 =(6,, 3); b) E : x =(,, 4) + λ (,, 3) + µ (,, ),λ,µ IR ; E : x =(, 3, ) + λ (4,, 3) + µ (6,, 6),λ,µ IR. 9.5 Untersuchen Sie auf gegenseitige Lage: a) Die Gerade g aus A 9.3 c) und die Ebene E aus A 9.4 b). b) Die Gerade g aus A 9.3 b) und die Ebene E aus A 9.4 a).. Übung: Skalarprodukt und Anwendungen, Kegelschnitte. Gegeben sind a =(6,, ), b =(,, ) und c =(, 9, 3) im IR 3. a) Zerlegen Sie a in eine Summe von zwei Vektoren, von denen einer ein Vielfaches von b und der andere senkrecht zu b ist. b) Bestimmen Sie alle x IR 3 mit den drei Eigenschaften: () x, b, c sind linear abhängig, () x a, (3) x =.
11 . Von zwei Vektoren u, v des IR 3 ist bekannt: () 4 u + v =3 u v, () ( u +3 v) ( u 3 v). Berechnen Sie den Kosinus des Winkels, den u und v einschließen..3 Bestimmen Sie die Hesse-Normalform a) der Geraden im IR, die x =(4, ), x =(7, ) enthält; b) der Ebene im IR 3, die x =(,, ), x =(,, ), x 3 =(8,, ) enthält..4 Berechnen Sie den Abstand a) des Punktes P =(, 5) IR zur Geraden g aus Ü 9.3 a); b) des Punktes P =(,, ) IR 3 zur Geraden g aus Ü 9.3 b); c) der Geraden g, g aus Ü 9.3 b); d) der Ebenen E, E aus Ü 9.4 b)..5 Im IR ist ein nicht ausgeartetes Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C gegeben. Weisen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes nach: Ist die Strecke von A nach B Durchmesser eines Kreises K, so liegt C genau dann auf K, wenn das Dreieck bei C einen rechten Winkel hat. Welchen Namen trägt dieser klassische Lehrsatz?.6 Welchen Abstand haben die Mittelpunkte der Kreise im IR mit den Kreisgleichungen Schneiden sich die beiden Kreise? x + y +x 4y =88, x + y x 8y +3=?.7 Durch die Punkte P =(3, 3), P =(, ), P 3 =(, ) IR geht ein Kreis. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises..8 Bestimmen Sie alle Tangenten an die Ellipse im IR mit der Gleichung 8x +6y =3, die durch den Punkt Q =(, 4/3) IR gehen..9 Auf welcher Kurve liegen die Mittelpunkte aller Kreise im IR, die die Gerade g IR mit der Gleichung y = 4 und den Kreis K IR mit der Gleichung x + y =4 berühren?. Auf welcher Kurve liegen die Mittelpunkte aller Kreise im IR, die den Kreis K IR mit der Gleichung (x+) +y = berühren und durch den Punkt P =(, ) gehen?
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