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1 Tontechnik 2 Digitale Filter Audiovisuelle Medien HdM Stuttgart Digitale Filter Zuordnung diskrete digitale Signale neue diskrete digitale Signale lineares, zeitinvariantes, diskretes System (LTD-System) Linear Timeinvariant Discrete System Anwendung einer linearen gleichbleibenden Funktion exakte Zeitverschiebung von gefiltert und ungefiltert digitaler Rechner aus 3 Bauelementen 1. Addition 2. Multiplikation Multiplikation im Frequenzbereich Faltung im Zeitbereich Multiplikation im Zeitbereich Faltung im Frequenzbereich 3. Verzögerung 1

2 Digitale Filter Filterkoeffizienten bestimmen Frequenzgang hohe Genauigkeit sehr genaue Reproduzierbarkeit streng lineare Phase möglich zwei unterschiedliche Prinzipien von LTD-Systemen: nicht rekursiv rekursiv Quelle: Michael Dickreiter, Handbuch der Tonstudiotechnik; Daniel Ch. von Grünigen: Digitale Signalverarbeitung Nichtrekursive Filter FIR-Filter (Finite Impuls Response) System ohne Rückführungspfad keine Instabilitäten Impulsantwort des Filters ist Fourier-Transformierte der Übertragungsfunktion Frequenzgang wiederholt sich periodisch um n f A ±f A /2 für n = 0, 1, 2,... 2

3 Quelle: Michael Dickreiter, Handbuch der Tonstudiotechnik Prinzip FIR-Filter (nichtrekursiv) Quelle: Daniel Ch. von Grünigen: Digitale Signalverarbeitung FIR-Filter in Transversalfilterstruktur nichtrekursives Digitalfilter: NRDF 3

4 Quelle: Gernot Winkler: Tonaufzeichnung Digital, Elektor Verlag Prinzip FIR-Filter (nichtrekursiv) Quelle: Gernot Winkler: Tonaufzeichnung Digital, Elektor Verlag Vereinfachtes Prinzip FIR-Filter 4

5 Eigenschaften nichtrekursiver Digitalfilter Darstellung als Transversalfilter am häufigsten verwendet einfache, regelmäßige Struktur keine Rückkopplung stabil linearer Phasengang konstante Gruppenlaufzeit Verzögerung, aber keine Phasen -Verzerrung relativ unempfindlich bezüglich ungenauer Filterkoeffizienten Wertequantisierung, Bit-Auflösung endliche Impulsantwort FIR-Filter Eigenschaften nichtrekursiver Digitalfilter symmetrisch!!! 5

6 nichtrekursives Digitalfilter Amplitudengang (Kammfiltereffekt) Phasengang Gruppenlaufzeit Eigenschaften nichtrekursiver Digitalfilter 6

7 Quelle: Michael Dickreiter, Handbuch der Tonstudiotechnik; Daniel Ch. von Grünigen, Digitale Signalverarbeitung Rekursive Filter IIR-Filter (Infinite Impulse Response) unendliche Impulsantwort System mit mindestens einem Rückführungspfad, d. h. Teil des Ausgangs wird in den Eingang zurückgeleitet Neigung zu Instabilitäten, muss sorgfältig dimensioniert werden Frequenzgang wiederholt sich periodisch um n f A ±f A /2 für n = 0, 1, 2,... Quelle: Michael Dickreiter, Handbuch der Tonstudiotechnik Prinzip IIR-Filter (rekursiv) IIR-Filter 1. Ordnung 7

8 Prinzip IIR-Filter (rekursiv) rekursives Digitalfilter: RDF nicht rekursiv, wenn alle a i = 0 y(n)= - a i y(n-i) + b i x(n-i) Eigenschaften nichtrekursiver Digitalfilter stabil, wenn Pol- und Nullstellen innerhalb des Kreises!!! imaginäre Werte für quadratische Nennerpolynome Übertragungsfunktion H(z) 8

9 Beschreibung von LTD-Systemen Übertragungsfunktion Quotient aus Ausgangs- und Eingangssequenz Differenzengleichung Algorithmus zur Realisierung eines Digitalfilters häufig in Koeffizientenform y(n)= b i x(n-i) - a i y(n-i) Ordnung des Filters Anzahl der Verzögerungselemente Beschreibung von LTD-Systemen Impulsantwort Fouriertransformierte der Übertragungsfunktion Reaktion des Systems (Ausgangssequenz), wenn an den Eingang ein Einheitsimpuls angelegt wird mathematisch: Faltung von Eingangssequenz und Impulsantwort = Ausgangssequenz Beschreibung im Zeitbereich, zeitliches Verhalten des Filters (unendlich = IIR) oder endlich (FIR) 9

10 Digitalfilterstrukturen Direktstrukturen werden direkt aus den Differenzengleichungen hergeleitet transponierte Direktstruktur nach dem Transponierungstheorem: Werden alle Signalflussrichtungen umgekehrt, alle Addierer durch Knoten und alle Knoten durch Addierer ersetzt und Eingang und Ausgang vertauscht, dann ändert sich die Übertragungsfunktion nicht. Transponierte Direktstrukturen vom Typ 2 minimale Anzahl von Verzögerungsgliedern, Multiplizierern und Addierern Direktstruktur 1 und 2 (rekursiv) Zweige getrennt (direkt und Rückführung) 10

11 Transponierte Direktstruktur 2 Eigenschaften rekursiver Digitalfilter Vielzahl von Strukturen Kaskadenstruktur am häufigsten verwendet regelmäßige Struktur: Grundmuster, die sich innerhalb der Gesamtstruktur wiederholen theoretisch unendlich lange Impulsantwort IIR-Filter Ausnahme, wenn alle Pole mit Nullstellen zusammenfallen dann FIR-Filter!!! alle Multiplikatoren im Rückführungspfad = 0 in der Praxis Impulsantwort nur wenige ms lang 11

12 Eigenschaften rekursiver Digitalfilter mögliche Instabilität wegen vorhandener Rückkopplung Einschwingzeit!!! Phasengang nicht linear Gruppenlaufzeit nicht konstant minimalphasiges LTD-System wenn negativer Phasengang bei gegebenen Amplitudengang minimal dann Gruppenlaufzeit ebenfalls minimal geringere Latenz als FIR rekursives Digitalfilter Amplitudengang Phasengang Gruppenlaufzeit 12

13 Eigenschaften rekursiver Digitalfilter empfindlich bezüglich ungenauer Filterkoeffizienten (wegen Wertequantisierung, Bit-Auflösung) mögliche Auswirkungen ungenauer Filterkoeffizienten ggf. starke Abweichungen zwischen Ist- und Sollwerten Instabilität Quantisierungsrauschen durch Rundungsfehler nach der Multiplikation (ggf. deutlich hörbar) unerwünschte Schwingungen (sog. Grenzzyklen ), d. h. periodisches Ausgangssignal bei nur 1 Eingangssignal Eigenschaften rekursiver Digitalfilter nicht symmetrisch!!! 13

14 Digitale Filter Fouriertransformation Simulation digitaler Filter ggf. Vorecho bei symmetrischer Impulsantwort Eigenschaften rekursiver Digitalfilter 14

15 Eigenschaften rekursiver Digitalfilter stabil, wenn Pol- und Nullstellen innerhalb des Kreises Eigenschaften rekursiver Digitalfilter weicher als bei nichtrekursiv!!! 15

16 Einteilung der klassischen Digitalfilter Amplitudengang eines zeitdiskreten Systems ist symmetrisch und periodisch 4 grundlegende Filterfunktionen 16

17 4 grundlegende Approximationsarten Eigenschaften von 4 IIR-Filterarten 17

18 Eigenschaften von 4 IIR-Filterarten Digitalfilter / Grundsätzliches Koeffizientenwerte der Übertragungsfunktion Wahl der Toleranzgrenzen abhängig von Anwendung je enger der Toleranzbereich desto höher die Ordnungszahl desto höher der technische Aufwand 18

19 Abtastfrequenz vs. Anforderungen je höher die Abtastfrequenz, desto höher die Anforderungen an Genauigkeit der Filterkoeffizienten der Multiplikations- und Additionsergebnisse bei tiefer Abtastfrequenz: höhere Anforderungen an das Antialiasingfilter geringerer Realisierungsaufwand (Anzahl der Verzögerungsglieder, Multiplizierer und Addierer) Problematik bei Digitalfiltern Grenzen der Genauigkeit bei Abtastwerten Koeffizienten Ergebnisse von Additionen und Multiplikationen Festkomma-Darstellung Gleitkomma-Darstellung 19

20 Digitalfilter / Grundsätzliches Nichtlinearität des Phasengangs ist ein Indikator für die Gruppenlaufzeit je höher die Linearität (= Annäherung an einen linearen Phasengang), umso konstanter die Gruppenlaufzeit Digitalfilter - Vorteile keine Schwankungen durch Toleranz der Bauteile keine Alterung der Bauteile kein manueller Abgleich in der Fertigung notwendig, daher raschere Endprüfung von Geräten Filterfunktionen möglich, die mit Analogfiltern nur schwer oder gar nicht realisierbar sind, z. B. Filter mit linearer Phase. 20

21 Digitalfilter - Nachteile begrenzter Frequenzbereich (durch periodische Fortsetzung des Spektrums) begrenzter Wertebereich (durch Wertequantisierung) interne Rundungs-, Abschneide- und Begrenzungsoperationen zur Wortlängenbegrenzung Quantisierungsrauschen nichtlineare Effekte auf vor allem in rekursiven Filtern höherer Ordnung feinere Quantisierung, Nutzung von Gleitkommazahlen nötig Gegenüberstellung FIR- und IIR-Filter FIR-Filter (nicht rekursiv) linearer Phasengang; frequenzunabhängige Gruppenlaufzeit immer stabil relativ unempfindlich gegenüber Quantisierungseffekten, weil nichtrekursiv bei gegebenen Toleranzbereich höhere Ordnungszahl als IIR-Filter hoher Rechenaufwand hoher Realisierungsaufwand Approximationsverfahren beim Entwurf von FIR-Filtern, Schätzungsproblematik (Bestätigung oder neuer Versuch) IIR-Filter (rekursiv) nichtlinearer Phasengang; Gruppenlaufzeit frequenzabhängig, aber meist kleiner als bei FIR-Filter können instabil sein empfindlich gegenüber Quantisierungseffekten / ungenauen Filterkoeff. (abhängig von Bit-Auflösung) bei gegebenen Toleranzbereich geringere Ordnungszahl als FIR-Filter geringer Rechenaufwand geringer Realisierungsaufwand Entwurfsverfahren für Analogfilter (zeitkontinuierlich) können bei IIR-Filtern angewendet werden 21

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