DOWNLOAD. Flächeninhalt und Umfang von n-ecken. Differenzierte Aufgaben zum Üben und Festigen für das Gymnasium. Bernard Ksiazek

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1 DOWNLOAD Bernard Ksiazek Flächeninhalt und Umfang von n-ecken Differenzierte Aufgaben zum Üben und Festigen für das Gymnasium Downloadauszug aus dem Originaltitel:

2 Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

3 Vorwort Dass eine der wichtigsten Ziele des Mathematikunterrichts darin besteht, die Schüler 1 dazu zu befähigen, Mathematik anzuwenden, ist wohl ebenso unumstritten wie die Tatsache, dass dies ein relativ schwieriges Unterfangen ist. Dies geht erfahrungsgemäß am besten, wenn Sie Ihren Lerngruppen Anwendungsaufgaben aus dem Alltag anbieten können. Und dies fällt bei dem Thema Flächen und Volumen von Figuren und Körpern eigentlich nicht besonders schwer, da diese Thematik fest in unseren Lebensalltag integriert ist. Wir brauchen diese Thematik, um viele alltägliche Situationen zu beschreiben bzw. zu hinterfragen. Es gibt wohl kein Thema im Mathematikunterricht, dass sich so nah an der Umwelt und am gegenwärtigen und zukünftigen Alltag der Schüler orientiert. Das Thema findet sogar seinen eigenen Platz in den mathematischen Leitideen der KMK Bildungsstandards für Mathematik. Weiterhin ist das Thema hervorragend geeignet, um die entsprechenden mathematischen Kompetenzen ( Argumentieren, Problemlösen, Modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen und Kommunizieren ) bei jedem Schüler auszubauen. Ziel der vorliegenden Veröffentlichung ist es, alle wesentlichen Inhalte der Größenthematik für die Klassen 7 bis 10 zu erarbeiten, zu üben und zu vertiefen. Dabei sollen len vor allem auch zahlreiche oben erwähnte mathematische Kompetenzen bei den Schülern ausgebaut ut werden. Bei der Konzeption der Arbeitsblätter wurde in allen Kapiteln eine besondere Akzentuierung ung auf den Aufbau von Größenvorstellungen gelegt. Diese e Größenvorstellungen ellun werden durch Übung und Anwendungen permanent ausgebaut und gefestigt. Innerhalb nerhal der vorliegenden Kopiervorlagen werden unterschiedliche Leistungsniveaus angeboten. Jeder Aufgabe wurden die drei Kompetenzklassen bzw. Anforderungsbereiche der Bildungsstandards ndards zugeordnet 2 : Anforderungsbereich I: Reproduzierenen Dieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren en in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden den Zusammenhang. Anforderungsbereich ngsbe eich II: Zusammenhänge herstellen Dieses s Niveau umfasst das Bearbeiten en bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung ng mit Mathematik auf verschiedenen Gebie- ten erworben wurden. Anforderungsbereich III: I: Verallgemeinern und Reflektieren Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, ung n, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Die entsprechende nde Angabe befindet sich in Klammern hinter jeder Aufgabe. Dabei steht R für den Bereich Reproduzieren, Z für den Bereich Zusammenhänge herstellen und V für den Bereich Verallgemeinern und Reflektieren. Das Symbol bedeutet, dass die Schüler die Aufgabe im Heft oder auf einem Extrablatt lösen sollen. Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg beim Einsatz dieses Buches. Bernard Ksiazek Marco Bettner Erik Dinges 1 Der Einfachheit halber verwenden wir hier die verallgemeinernde Form. Selbstverständlich sind auch alle weiblichen Personen angesprochen

4 Eigenschaften Rechteck/Quadrat 1 (V) a) Beschrifte das Rechteck vollständig. (Eckpunkte, Winkel, Seiten) b) Zeige, wie sich die Flächeninhaltsformel für ein Rechteck herleiten lässt. a) b) 1 cm 1 cm (Z) Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Winkelsummen en sind in einem Rechteck und einem em Quadrat unterschiedlich groß. Jedes Rechteck ck ist auch ein Quadrat. Jedes Quadrat ist auch gleichzeitig eitig ein Rechteck. Bei einem Rechteck sind die benachbarten Seiten gleich lang. Bei einem Quadrat sind alle Seiten en gleich lang. Ein Quadrat ist punktsymmetrisch. Ein Rechteck hat vier Symmetrieachsen. Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang und halbieren einander. Ein Rechteck ist kein Sehnenviereck. Der Flächeninhalt des Umkreises eines Quadrats ist doppelt so groß wie der des Inkreises. Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich aus der Summe der beiden Seitenlängen. 2

5 Flächeninhalt und Umfang Rechteck 2 (Z) Übertrage die vorgegeben Eckpunkte A, B, C, eines Rechtecks in ein Koordinatensystem und lies die Koordinate des Punktes D ab. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Rechtecke. a) A (1 1), B (8 1), C (8 4) b) A (3 2), B (3 6), C ( 3 6) (R) Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der jeweiligen Rechtecke. a) a = 8 cm b) a = 12,3 dm c) a = 3 km d) a = 5 dm b = 3,5 cm b = 31 dm b = 250 km b = 9,9 cm (Z) Ein Rechteck ist 32 cm lang und 8 cm breit. Wie lang muss ein 20 cm breites Rechteck ck sein, wenn es denselben Flächeninhalt wie das erste haben soll? (Z) Berechne die fehlenden Größen. a) b) c) d) e) f) a 5,55 cm 16 m 19 cm 7,6 cm b 10,3 cm 8,7 m 11 dm 4 cm A R 448 m 2 33,93 m 2 A R U R 110 cm 114 dm Aufgabe 5 (II) Berechne jeweils den Flächeninhalt und den Umfang. b) 15 m a) 32 m 22 m 19 m 26 m 50 m 4 m 13 m 28 m 20 m 18 m 8 m 3

6 Flächeninhalt und Umfang Quadrat 3 (R) Zeichne Quadrate mit den vorgegebenen Maßen und berechne den Flächeninhalt. a) a = 8 cm b) a = 3,3 cm c) a = 0,55 dm d) a = 1,2 dm (Z) Zeichne ein Koordinatensystem und überprüfe, welches der Vierecke ein Quadrat ist. Berechne im Anschluss den Flächeninhalt und den Umfang. a) A (1 2), B (3 3), C (3 5), D (1 4) b) A (7 3), B (10 6), C (7 9), D (4 6) c) Trage ein weiteres Quadrat deiner Wahl ein und berechne U Q und A Q. (Z) Berechne die fehlenden Größen. a) b) c) d) e) f) a 7,6 cm 31,8 dm A Q 625 m 2 278,89 m 2 U Q 140 cm 86,4 cm (V) Was passiert mit dem Flächeninhalt lt eines Quadrats, wenn die Seitenlänge a verdoppelt wird? Begründe deine Aussage. Aufgabe 5 (Z) Frau Bauer besitzt einen quadratischen Bauplatz mit einer Seitenlänge von 43 m, der unter den beiden Söhnen aufgeteilt werden soll. Einer der beiden Söhne möchte sein Grundstück mit Maschendraht umzäunen. a) Wie groß sind die jeweiligen Grundstücke? b) Wie viel Meter Draht benötigt der eine Sohn? 4

7 Sachaufgaben Rechteck/Quadrat 4 (Z) Ein Hauseingang ist 3,80 m lang und 260 cm breit und soll mit quadratischen Platten ausgelegt werden, deren Seiten 30 cm lang sind. a) Berechne den Flächeninhalt vom Hauseingang. b) Wie viele Platten werden benötigt? (Z) Um ein 289 m 2 großes, quadratisches Schwimmbecken soll ringsherum ein 1,5 m breiter Weg gepflastert werden. 1 m 2 kostet 28. Fertige eine Skizze an und berechne die Kosten. (Z) Ein Teilstück einer Bundestraße soll nach dem Winter neu geteert werden. Sie ist 2,8 km lang und 8 m breit. 10 m 2 kosten Wie teuer wird das Teeren der Straße? (Z) Ein rechteckiges Grundstück ist 2400 m 2 groß. a) Wie lang ist das Grundstück, wenn es 30 m breit ist? b) Wie lang ist der Zaun, der das komplette Grundstück einzäunt? Aufgabe 5 (Z) Die nebenstehende Skizze zeigt den Außenumriss des Einfamilienhauses von Familie Schmidt. Berechne echne die Wohnfläche ihres Hauses, wenn sie zwei Etagen besitzen. 2 m 3 m 4 m 2 m 2 m 3 m 2 m 2 m 3 m 3 m 5

8 Eigenschaften Parallelogramm 5 (V) Lisa und Abraham fragen sich, warum das Parallelogramm Parallelogramm heißt? Welche Antwort gibst du Ihnen? (R) Trage bei dem Parallelogramm alle fehlenden Bezeichnungen en ein. (Eckpunkte, Winkel, Seiten, Symmetrien, Höhe) (Z) Kreuze e die richtigen Aussagen an. Die Diagonalen alen in einem Parallelogramm halbieren einander. Ein Parallelogramm besitzt immer einen rechten Winkel. Jedes Parallelogramm ist auch ein Rechteck. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Das Parallelogramm ist Achsen- und Punktsymmetrisch. Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegende Seiten gleich lang. Jedes Quadrat ist auch ein Parallelogramm. Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu

9 Flächenberechnung Parallelogramm 6 (R) Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Parallelogramme. a) g = 6 cm b) g = 3,6 dm c) g = 92 cm d) g = 34 m h g = 9 cm h g = 8,8 dm h g = 117 cm h g = 55,2 m (Z) Übertrage die Abbildung in dein Heft und vervollständige diese zu Parallelogrammen. Berechne im Anschluss den Flächeninhalt von jedem einzelnen Parallelogramm. a) b) c) d) (Z) Berechne die fehlenden Größen. a) b) c) d) e) f) g 7,7 cm 5,3 m 18 cm 5,5 cm 6,8 m h g 3,3 cm 35 dm 25 cm 9,1 m g A P 8,4 dm 2 17,6 m 2 96,25 cm 2 (Z) Berechne jeweils die Höhe h c der Parallelogramme. a) A cm p = 112 b) A p = 32 dm 2 c) A p = 65 m 2 d) A p = 85 cm 2 c = 50 cm c = 20 dm c = 13 m c = 68 cm Aufgabe 5 (Z) Berechne den Flächeninhalt ohne zu Messen. 7

10 Umfangsberechnung Parallelogramm 7 (R) Gib die Formel für die Umfangsberechnung an. Formel: (R) Berechne den Umfang der jeweiligen Parallelogramme. a) a = 11 cm b) a = 4,2 dm c) a = 134 cm d) a = 62,5 m b = 17,2 cm b = 7,7 dm b = 88 cm b = 99 m (Z) Übertrage die vorgegebenen Eckpunkte A, B, C eines Parallelogramms in ein Koordinatensystem und lies die Koordinate des Punktes D ab. Berechne im Anschluss die Fläche und den Umfang der jeweiligen Parallelogramme. lelogramme a) A ( 3 1), B (1 1), C (2 4) b) A (7 2), B (2 2), C (3 2) c) A (2 4), B (2 1), C (4 2) d) A (1 3), B ( 2 2), 2), C ( 2 7) 7) (Z) Berechne den Umfang der Abbildung. 12 m 30 m 585 m 28,5 m Aufgabe 5 (V) Sebastian behauptet, dass wenn flächengleiche Parallelogramme und Rechtecke eine gemeinsame Grundseite besitzen, ein Parallelogramm immer den größeren Umfang der beiden besitzt. Hat er Recht? Überprüfe seine Behauptung und begründe dein Ergebnis. 8

11 Eigenschaften Dreieck 8 (R) Zeichne jeweils ein a) gleichseitiges, ein b) gleichschenkliges und ein c) rechtwinkliges Dreieck in das Kästchen und beschrifte sie vollständig. (Eckpunkte, Seiten, Winkel). (Z) Schreibe die Eigenschaften der in genannten Dreiecke auf. a) Gleichseitiges Dreieck: b) Gleichschenkliges Dreieck: c) Rechtwinkliges Dreieck: (R) Gib die Flächeninhalts- und Umfangsformel an. Flächeninhalt: Umfang: (Z) Schreibe Beispiele aus deiner Umwelt auf, in der die Form eines Dreiecks vorkommt. 9

12 Flächeninhalt und Umfang Dreieck 1 9 (R) Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Dreiecke. a) a = 15 cm b) a = 31,1 m c) a = 1,2 dm d) a = 9,8 cm h a = 7,7 cm h a = 19 m h a = 3,5 dm h a = 22,4 cm (Z) Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der jeweiligen Dreiecke. Entnimm die benötigten Größen aus der Zeichnung. a) b) c) d) (Z) Von einem Dreieck sind der Umfang und zwei Seitenlängen gegeben. Berechne echne die dritte Seitenlänge. a) U = 55 cm; a = 9 cm; b = 15 cm b) U = 32,8 cm; b = 16,1 cm; c = 4,9 cm c) U = 3,3 cm; a = 1,2 cm; c = 1,8 cm d) U = 125 m; a = 48 m; b = 36 m (V) Die Grundseite eines Dreiecks wird halbiert. Wie muss die Höhe verändert werden, damit sich der Flächeninhalt des Dreiecks e nicht verändert? Aufgabe 5 (Z) Familie Bauer möchte in ihrer Dachgeschosswohnung eine dreieckige Fensterfront einsetzen. Die Grundseite der Fensterfront beträgt 3,25 m und die Höhe 28 dm. a) Wie viel m 2 Glas werden bei Familie Bauer verbaut? b) Wie viel muss Familie Bauer bezahlen, wenn sie pro m 2 32 zahlen muss? 10

13 Flächeninhalt und Umfang Dreieck 2 10 (Z) Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und berechne den Flächeninhalt der Dreiecke. a) A (0 3), B (0 7); C( 4 4) b) A (2 1), B (8 1), C (4 3) c) A ( 4 2), B( 4 4), C( 1 1) d) A (1 1), B (1 9), C (4/7) (Z) Berechne die fehlenden Größen. a) b) 5,6 cm 7 cm 18,8 m 22 m 4,2 cm A D = 92 m 3,9 cm 11,5 m c) d) 4,4 dm 5,8 dm 24 cm 36 cm 2,2 dm A D = 124 m 3 dm 12,4 cm (Z) Ein Dachgiebel eines Fachwerkhauses hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die Grundseite ist 8,5 m lang, die Giebelfläche beträgt 51 m 2. Wie hoch ist der Giebel? (V) Lisa behauptet, dass der Flächeninhalt des Rechtecks in der ersten Figur zwei Mal so groß ist, wie der der Flächeninhalt des Dreiecks in Figur zwei. Begründe, warum sie Recht hat. C C A H B A H B Figur 1 Figur 2 11

14 Eigenschaften Raute/Drachenviereck 11 (R) Gib jeweils die Formel für die Flächenberechnung einer Raute und eines Drachenvierecks an. Formel Raute: Formel Drachenviereck: (Z) Wo findest du in deiner Umwelt Gegenstände mit einer Rautenform? Notiere sie. (Z) Bei welchen Figuren handelt es sich um Drachenvierecke und Rauten? Kreise die entsprechenden Figuren in verschiedenen enen Farben ein. (Drachenviereck ereck = blau / Rauten = grün) (V) Kreuze e die richtigen Aussagen an. Jede Raute ist auch ein Quadrat. Jede e Raute ist auch ein Parallelogramm. Die Diagonalen eines Drachenvierecks stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. Ein Drachen, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind, ist eine Raute. Ein Drachen zählt zu den Tangentenvierecken. Die Gegenüberliegenden Seiten sind in einer Raute nicht parallel. Jeder Innenwinkel wird in einer Raute durch eine Diagonale halbiert. In einer Raute bilden die beiden Diagonalen die Symmetrieachsen. 12

15 Flächeninhalt und Umfang Raute 12 (V) Notiere die Formel für die Umfangsberechnung einer Raute. Mit welcher bereits dir bekannten Figur, ist diese Formel identisch? Begründe. (R) Berechne den Flächeninhalt der jeweiligen Rauten. a) e = 12 cm b) e = 14,6 cm c) e = 38 m d) e = 24,1 cm f = 10 cm f = 19,3 cm f = 77,7 m f = 8,9 cm (Z) Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und berechne den Flächeninhalt und den Umfang der jeweiligen Rauten. a) A (1 3), B (5 5), C (7 9), D (3 7) b) A (1 6), B (4 3), C (7 6), D (4 9) (Z) Berechne die fehlenden en Größen. a) b) c) d) e) f) e 6,9 m 22,6 cm 11 dm 18,4 cm 2,8 m f 9,5 cm 41,8 cm 1,8 cm 4,4 m A Raute 82,8 m 2 76 cm 2 88 dm 2 Aufgabe 5 (Z) Entnimm m die Größen aus der Zeichnung und berechne den Umfang und den Flächeninhalt. a) b) c) 13

16 Flächeninhalt und Umfang Drachenviereck 13 (R) Berechne den Umfang der jeweiligen Drachen. a) a = 7,5 cm b) a = 3 dm c) a = 46 cm d) a = 148 m b = 21 cm b = 5,2 dm b = 29,2 cm b = 211,8 m (Z) Tim und Sebastian wollen sich einen Drachen bauen. Sie haben bereits zwei Holzstäbe mit einer Länge von 40 cm und 60 cm. Der Drachen soll von beiden Seiten mit Pergamentpapier beklebt werden. Wie viel Pergamentpapier benötigen Sie? (Z) Entnimm die benötigten Größen aus der Zeichnung und berechne den Umfang und den Flächeninhalt. a) b) c) d) (V) Der Flächeninhalt eines Drachens beträgt 588 dm 2. a) Berechne echne die Länge der Diagonalen f, wenn die Diagonale e = 42 dm lang ist. b) Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn man die Diagonale f verdoppelt? c) Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn man beide Diagonalen verdoppelt? 14

17 Eigenschaften Trapez 14 (V) a) Zeichne in eines der Kästchen ein rechtwinkliges Trapez und beschrifte es vollständig. (Eckpunkte, Winkel, Seiten) b) Zeichne in das andere Kästchen ein allgemeines Trapez, beschrifte es vollständig und veranschauliche die Herleitung der Flächeninhaltsformel. a) b) (V) Kreuze die richtigen Aussagen an. Jedes Trapez ist auch ein Quadrat. Jedes Rechteck ck ist auch ein Trapez. Bei einem Trapez sind die gegenüberliegende enüberlie nde Seiten gleich lang. Ein rechtwinkliges Trapez gehört nicht zu den Tangentenvierecken. Ein rechtwinkliges Trapez besitzt t immer drei rechte Winkel. Bei einem Trapez ist ein gegenüberliegendes Seitenpaar parallel. In einem gleichschenkligen Trapez sind die beiden Diagonalen unterschiedlich lang. (R) Kreise die Figuren ein, bei denen es sich um Trapeze handelt. 15

18 Flächeninhalt und Umfang Trapez 15 (R) Berechne den Flächeninhalt des Trapezes (a c). a) a = 13,5 cm; c = 8 cm; h = 4,8 cm b) a = 3,5 cm; c = 7,6 cm; h = 39 cm c) m = 25,3 dm; h = 11 dm d) m = 9 m; h = 19,4 m e) a = 10 cm; c = 4,5 cm; h = 3,5 cm f) m = 42 dm; h = 55,1 dm (Z) Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und berechne den Flächeninhalt und den Umfang, ohne zu messen. a) A (2 1), B (6 1), C (5 4), D (3 4) b) A ( 2 4), B (0 2), C (0 0), D ( 2 2) c) A (4 5), B (0 5), C (0 2), D (2 2) d) A ( 5 5), B ( 4 3), C ( 4 4), D ( 5 2) (Z) Berechne die fehlende Größe. a) A T = 232 dm 2 ; c = 24 dm; h = 8 dm; Gesucht: a = b) A T = 720 cm 2 ; a = 53 cm; h = 18 cm; Gesucht: c = c) A 28 T = cm 2 ; a = 8 cm; m;c= 6 cm; Gesucht: h = d) a = 7,6 m; ;c = 3,4 m; h = 4 m; Gesucht: A T (Z) Der Flächeninhalt eines es trapezförmigen Fußbodens mit den Maßen a = 7,5 m, c = 3,8 m und h = 5,2 m soll berechnet echne werden. Aufgabe 5 (Z) Die trapezförmige Wand einer Bauhütte soll mit Wellblech verkleidet werden. Wie viel m 2 Blech werden benötigt? 2,95 m 3,5 m 5,2 m 16

19 Vermischte Aufgaben Trapez 16 (V) Wie ändert sich der Flächeninhalt des Trapez, wenn a) die Seiten a und c verdoppelt werden? b) die Höhe halbiert wird? c) die Höhe verdreifacht wird? (R) Bestimme den Umfang der jeweiligen Trapeze. a) a = 8,2 cm; b = 4,5 cm; c = 38 cm; d = 7 cm ; U = b) a = 5,6 cm; b = 7,8 cm; c = 15 cm; d = 6 cm; U = c) a = 14 cm; b = 10,5 cm; c = 21,3 cm; d = 12,8 cm; U = Aufgabe 3 (Z) Berechne die fehlenden Größen. a) b) c) d) e) f) a 2,6 cm 1,36 dm 4,25 cm 11 cm 5,2 dm c 6 m 7 cm m 1,29 dm 4,025 cm 4,8 m 3,65 dm h 3,5 cm 3,4 dm 5,5 cm 4,5 dm A T 14,7 cm 2 9,66 cm 2 15,3 m 2 (V) Ein Trapez hat einen Flächeninhalt von A T = 47,6 m 2. Die Höhe beträgt 3,4 m. Berechne die Seiten a und c, wenn die zu a parallele Seite c drei Mal so lang wie a ist. 17

20 Flächeninhalt Vielecke 17 (V) Vergleiche den Flächeninhalt der beiden Vielecke a) durch geschickte Zerlegung, b) durch geschicktes Ergänzen. a) b) (Z) Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem stem und berechne im Anschluss von dem Vieleck, durch geschickte Zerlegung, den Flächeninhalt. a) A ( 5 0), B ( 2 1), C (0 5), D (6 1), E (4 3), F (3 8) b) A (1 4), B (2 6), C (0 4), D ( 1 5), E ( 3 4), F ( 2 3) c) A ( 2 5), B (3 5), C (2 1), D (6 5), E ( 1 5), F ( 5 1) (Z) Berechne den Flächeninhalt der Vielecke durch geschicktes Zerlegen, in kleinere, dir bekannte Flächen. a) b) 18

21 Lösungen Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen und unregelmäßigen n-ecken 1. Eigenschaften Rechteck/Quadrat a) D α b) b A α a a α α C b B b = 5 Kästchen A R = a b A R = 5 7 = 35 Kästchen a = 7 Kästchen Die richtigen Antworten: Jedes Quadrat ist auch gleichzeitig ein Rechteck. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. Ein Quadrat ist punktsymmetrisch. Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang und halbieren einander. Der Flächeninhalt des Umkreises s eines Quadrats ist doppelt so groß wie der des Inkreises. 3. Flächeninhalt und Umfang Quadrat a) A Q = 64 cm 2 b) A Q = 10,89 cm 2 c) A Q = 0,3025 dm 2 d) A Q = 1,44 dm 2 a) Ist kein Quadrat b) Ist ein Quadrat. A Q = 18 cm 2 ; U Q = 16,97 cm. c) Individuelle Lösungen a) b) c) d) e) f) a 7,6 cm 35 cm 25 m 31,8 dm 16,7 m 21,6 cm A Q 57,76 cm cm m ,24 dm 2 278,89 m 2 466,56 cm 2 U Q 30,4 cm 140 cm 1000 m 127,2 dm 66,8 m 86,4 cm Er vervierfacht sich, da die verdoppelte Seitenlänge quadriert wird. Aufgabe 5 a) Die jeweiligen Grundstücke sind 924,5 m 2 groß. b) Der Sohn benötigt 121,64 m Maschendraht. 4. Sachaufgaben Rechteck/Quadrat eck t a) Der Flächeninhalt halt beträgt A = 9,88 R 8 m 2. b) Es werden 110 Platten benötigt. 2. Flächeninhalt halt und Umfang Rechteck a) Punkt D (1 4); U R =20 cm; A R = 21 cm 2 b) Punkt D ( 3 2); U R = 28 cm; A R = 48 cm 2 1,5 m 1,5 m Insgesamt sind 111 m 2 zu plastern. Die Kosten belaufen sich auf a) A R = 28 cm 2 b) A = 381,3 dm R U R = 23 cm U R = 86,6 dm c) A R = 750 km 2 d) A = 495 cm 2 R U R = 506 km U R = 119,8 cm Es muss 12,8 cm lang sein. a) b) c) d) e) f) a 5,5 cm 16 m 3,9 m 19 cm 46 dm 7,6 cm b 10,3 cm 28 m 8,7 m 36 cm 11 dm 4 cm A R 56,65 cm m 2 33,93 m cm dm 2 30,4 cm 2 U R 31,6 cm 88 m 25,2 m 110 cm 114 dm 23,2 cm Aufgabe 5 a) A = 547 m 2 ; U = 154 m b) A = m 2 ; U = 214 m Das Teeren der Straße kostet a) Das Grundstück ist 80 m lang. b) Der Zaun ist 220 m lang. Aufgabe 5 Die Wohnfläche beträgt 82 m Eigenschaften Parallelogramm Ein Parallelogramm ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel sind. Aufgrund dieser Eigenschaft heißt es Parallelogramm. D c C δ γ d Punktsymmetrisch b h α β A a B 19

22 Lösungen Die richtigen Antworten: Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren einander. Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegende Seiten gleich lang. Jedes Quadrat ist auch ein Parallelogramm. 6. Flächenberechnung Parallelogramm Aufgabe 5 Ja, Sebastian hat recht. Das Parallelogramm hat den größeren Umfang, da die Höhe als kürzeste Verbindung zweier paralleler Geraden nicht wie beim Rechteck mit der zweiten Seitenlänge übereinstimmt. 8. Eigenschaften Dreieck a) C b) C a) A P = 54 cm 2 b) A P = 31,68 dm 2 c) A P = cm 2 d) A P = 1 876,8 m 2 a 60 a b γ a a) b) c) d) A a B A α c β B c) C A α b c γ β a B a) A P = 6 cm 2 b) A = 2 P 5 cm c) A P = 13 cm 2 d) A 2 P = 11 cm a) b) c) d) e) f) g 7,7 cm 0,24 dm 5,3 m 18cm 5,5 cm 6,8 m h g 3,3 cm 35 dm 3,32 m 25 cm 17,5 cm 9,1 m A P 25,41 cm 2 8,4dm 17,6 m cm 2 96,25 cm 2 61,88 m 2 a) h c = 2,24 cm b) h = 1,6 dm c c) h c = 5 m d) h c = 1,25 cm Aufgabe 5 a) A P = 7,5 cm 2 b) A = 12 cm 2 P 7. Umfangsberechnung g Parallelogramm Umfangsformel: U P = 2 (a + b) a) U P = 56,4 cm b) U P = 23,8 dm c) U P = 444 cm d) U P = 323 m a) D ( 2 4); A P = 20 cm 2 ; U P = 18,20 cm b) D (8 2); A P = 20 cm 2 ; U P = 18,25 cm c) D (4 5); A P = 6 cm 2 ; U P = 10,47 cm d) D (1 8); A P = 15 cm 2 ; U P = 16,32 cm U = m a) In einem gleichseitigen eit Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und somit auch alle Winkel mit einer Größe von 60 zueinander nder kongruent. b) In einem gleichschenkligen henkli Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang. Diese Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis. Die beiden Basis- winkel sind gleich groß. c) Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel und einer Winkelsumme von 180. Flächeninhaltsformel: A D = 1 2 g h Umfang: U D = a + b + c Zum Beispiel: Geodreieck, Verkehrsschilder, Triangel, Kleiderbügel, Nussecken 9. Flächeninhalt und Umfang Dreieck 1 a) A D = 57,75 cm 2 b) A D = 295,45 m 2 c) A D = 2,1 dm 2 d) A D = 109,76 cm 2 a) A D = 2,5 cm 2 b) A D = 4 cm 2 U D = 7,2 cm U D = 9,6 cm c) A D = 2,2 cm 2 d) A D = 2,5 cm 2 U D = 8,7 cm U D = 7,8 cm a) c = 31 cm b) a = 11,8 cm c) b = 0,3 cm d) c = 41 m 20

23 Lösungen Die Höhe muss verdoppelt werden. Aufgabe 5 a) Insgesamt werden bei Familie Bauer 4,55 m 2 Glas verbaut. b) Sie müssen 145,6 bezahlen. 10. Flächeninhalt und Umfang Dreieck 2 a) A D = 8 cm 2 b) A D = 12 cm 2 c) A D = 3 cm 2 d) A D = 12 cm 2 a) A D = 8,19 cm 2 b) h = 16 m U D = 16,5 cm U D = 52,3 m c) A D = 3,3 dm 2 d) h = 20 cm U D = 13,2 dm U D = 72,4 cm Der Giebel hat eine Höhe von 12 m. Figur 1: Das Dreieck wird um zwei flächengleiche Dreiecke vergrößert, sodass dieses Rechteck entsteht. Figur 2: Die zwei kleinen Teildreiecke des Dreiecks finden wir nach Drehung, um 180, als Teile des Rechtecks wieder. 11. Eigenschaften Raute/Drachenviereck Formel Raute: A f Raute = 1 2 e Formel Drachenviereck: A DV = 1 2 e f Zum Beispiel in der Landesflagge agge von Bayern, Vorfahrschild, Fußballwappen von Werder Bremen. Ein Drachen, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind, ist eine Raute. Ein Drachen zählt zu den Tangentenvierecken. Jeder Innenwinkel wird in einer Raute durch eine Diagonale halbiert. In einer Raute bilden die beiden Diagonalen die Symmetrieachsen. 12. Flächeninhalt und Umfang Raute U Raute = 4 a Der Umfang von Quadraten wird mit der gleichen Formel berechnet, da Quadrate und Rauten jeweils vier gleich lange Seiten haben. a) A Raute = 60 cm b) A = 140,89 cm 2 Raute c) A Raute = 1476,3 m 2 d) A Raute = 107,25 cm 2 a) A Raute = 12,000 cm 2.; U Raute = 17,89 cm b) A Raute cm 2 = 18 ; U Raute = 16,97 cm a) b) c) d) e) f) e 6,9 m 16 cm 22,6 cm 11 dm 18,4 cm 2,8 m f 24 m 9,5 cm 41,8 cm 16 dm 1,8 cm 4,4 m A Raute 82,8 m 2 76 cm 2 472,34 cm 2 88 dm 2 16,56 cm 6,16 m 2 Aufgabe 5 a) A Raute b) A Raute = 1,19 cm 2 = 3,4 cm 2 U Raute = 9,2 cm U Raute = 6,8 cm c) A Raute = 6,13 cm 2 U Raute = 9,9 cm 13. Flächeninhalt und Umfang Drachenviereck a) U DV = 57 cm b) U DV = 16,4 dm c) U DV = 150,4 cm d) U DV = 719,6 m Sie benötigen cm 2 Pergamentpapier. a) A DV = 5,7 cm 2 b) A DV = 8,3 cm 2 U DV = 10 cm U DV = 12,4 cm c) A DV = 3,3 cm 2 d) A DV = 8,3 cm 2 U DV = 9 cm U DV = 12 cm a) Die Länge der Diagonalen f beträgt 28 dm. b) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. c) Der Flächeninhalt vervierfacht sich. Die richtigen Antworten: Jede Raute ist auch ein Parallelogramm. 21

24 Lösungen 14. Eigenschaften Trapez a) D c C δ γ d b α β A a C Aufgabe 5 Es werden 16,77 m 2 Wellblech benötigt. 16. Vermischte Aufgaben Trapez a) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. b) Der Flächeninhalt halbiert sich. c) Der Flächeninhalt verdreifacht sich. a) U T = 57,7 cm b) U T = 34,4 cm c) U T = 58,6 cm b) D c C a) b) c) d) e) f) d h m b a 2,6 cm 1,36 dm 4,25 cm 3,6 m 11 cm 5,2 dm c 5,8 cm 1,22 dm 3,8 cm 6 m 7 cm 2,1 dm m 4,2 cm 1,29 dm 4,025 cm 4,8 m 9 cm 3,65 dm A a C h 3,5 cm 3,4 dm 2,4 cm 3,19 m 5,5 cm 4,5 dm A T 14,7 cm 2 4,39 dm 2 9,66 cm 2 15,3 m 2 49,5 cm 2 16,43 dm 2 zu b) Wenn man ein allgemeines Trapez, wie gezeigt, zerlegt, kann man es wieder zu einem Rechteck zusammensetzen. Somit ist die Strecke AB = a und die Strecke CD = c. m ist der Mittelwert der Streckenlänge von a und c, also m = 1 (a + c) 2 Daraus folgt: A T = m h. Die richtigen Antworten: Jedes Rechteck ck ist auch ein Trapez. Ein rechtwinkliges es Trapez gehört nicht zu den Tangentenvierecken. Bei einem Trapez ist ein gegenüberliegendes Seitenpaar parallel. Die Figuren b) und e) sind Trapeze. a = 7 m; c = 21 m; m = 14 m 17. Flächeninhalt Vielecke a) Beide gleich groß b) 1. Figur ist größer a) A = 20 cm 2 b) A = 16 cm 2 D 4 cm 2 E D 15. Flächeninhalt und Umfang Trapez a) A T = 51,6 cm 2 b) A T = 216,45 cm 2 c) A T = 278,3 dm 2 d) A T = 174,6 m 2 e) A T = 25,38 cm 2 f) A T = 2 314,2 dm 2 a) A T = 9 cm 2 b) A T = 8 cm 2 U T = 12,32 cm U T = 13,66 cm c) A T = 9 cm 2 d) A T = 2 cm 2 U T = 12,61 cm U T = 6,83 cm a) a = 34 dm b) c = 27 cm c) h = 4 cm d) A T = 22 m 2 Der Flächeninhalt beträgt 29,38 m 2. A E C A B 10 cm 2 a) b) A = 16 cm 2 11,25 cm 2 C 12 cm 2 B 11,88 cm 2 22

25 Bergedorfer Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ertung ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit Persen Verlag, Hamburg AAP Lehrerfachverlage age GmbH Alle Rechte vorbehalten. en. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berech gt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gesta et, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dri e oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schri lichen Zus mmung des Verlages. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfäl g geprü. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garan eren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Ha ung aus. Grafik: Julia Flasche, Marion El-Khalafawi, Fotolia S. 5, 6 Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth Bestellnr.: 23372DA2

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