Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 2. Abbildungsgeometrie. Teil 2

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1 Kapitel 2 Abbildungsgeometrie Teil 2 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

2 Kapitel 2 Abbildungsgeometrie 2.1 2,3,4 Geradenspiegelungen 2.2 Sinn & Orientierung 2.3 Größen ohne Maße Vergleichen und Addieren 2.4 Kongruenzsätze 2.5 Abschluss: Kongruenzabbildungstypen 2.6 Ähnlichkeit und weitere Abbildungen 2 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

3 2.5 Abschluss: Kongruenzabbildungstypen Wir blicken zurück auf die Hintereinanderausführung von zwei Geradenspiegelungen und halten einerseits Beobachtungen fest, die bereits gemacht wurden und nun beweisbar sind, andererseits formulieren wir auch ein paar neue. Wie zu Beginn des Kapitels unterscheiden wir verschiedene Fälle nach Lage der Symmetrieachsen. 3 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

4 orthogonale Symmetrieachsen Satz 2.20 Für g, h G gilt: g h g = h S g S h = S h S g Für g h gilt mit g h = {Z} außerdem: S g S h = S Z = S h S g 4 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

5 Satz 2.21 (Eigenschaften einer Punktspiegelung S Z ) (a) S Z ist eine involutorische Kongruenzabbildung (b) S Z kann als Hintereinanderausführung von zwei Geradenspiegelungen an zueinander senkrechten Geraden, die sich in Z schneiden, dargestellt werden (c) jede Gerade durch Z ist Fixgerade von S Z (d) jede Gerade g ist parallel zu ihrem Bild S Z (g) (e) jede Gerade g ist zu ihrem Bild S Z (g) entgegengesetzt orientiert (f) jede Gerade g hat den gleichen Abstand zu Z wie ihr Bild S Z (g) 5 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

6 Symmetrieachsen mit einem Schnittpunkt Satz 2.22 Seien g, h G mit g h = {Z} und (g, h) = α. Dann gilt: S h S g = D Z,2α ( 2α beschreibt die Drehung in Richtung der Orientierung von α um 2 α ) Mit diesem Satz lassen sich sämtliche grundlegende Eigenschaften der Drehung (Behauptung zu Beginn des Kapitels) leicht nachweisen. 6 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

7 Beweis Satz 2.22 Wir müssen zeigen: 1. Z ist Fixpunkt (das ist trivial) 2. P E\Z PZP = 2 (g, h) das zeigen wir zunächst für ein bel. P g, dann für ein bel. Q g (i) P g P = S h S g (P) = S h (P) h ist damit die Symmetrieachse von P und P und Winkelhalbierende von PZP (da Z h ) Also gilt PZP = 2 (g, h) (ii) Q g Q ZQ = a Es gibt eine Gerade b, so dass gilt: S h S g = S b S a und (g, h) = (a, b) Der weitere Beweis wiederholt den ersten Teil des Beweises. 7 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

8 echt parallele Symmetrieachsen Satz 2.23 Seien g, h G mit g h = φ. Seien weiter P, Q E mit g PQ h und PQ = 2 d(g, h) Dann gilt: S h S g = T PQ Mit diesem Satz lassen sich sämtliche grundlegende Eigenschaften der Verschiebung (Behauptung zu Beginn des Kapitels) leicht nachweisen 8 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

9 Beweis analog zum vorherigen. Siehe Skizze: Der folgende Satz stellt eine alternative Definition der Verschiebung dar. Satz 2.24 Eine Kongruenzabbildung der Ebene, die jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abbildet und keinen Fixpunkt besitzt, ist eine echte Verschiebung. 9 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

10 Erinnerung 1: Es gibt Hintereinanderausführungen von drei Geradenspiegelungen, die nicht durch eine oder zwei Geradenspiegelungen ersetzt werden können. Erinnerung 2: Eine Abbildung G g,pq : E E heißt Schubspiegelung oder Gleitspiegelung, wenn sie die Verkettung einer Achsenspiegelung S g mit einer Verschiebung T PQ ist. Dabei gilt PQ g. Mit P = Q gilt G g,pq = S g Damit ist eine Geradenspiegelung eine Schubspiegelung. 10 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

11 Die Hintereinanderausführung von drei Geradenspiegelungen ist immer durch eine Schubspiegelung darstellbar. Diese Aussage wird hier nicht bewiesen. Man beachte die Konstruktionsaufgabe von Übungsblatt09 ( Drehspiegelung ) und Satz 2.34 (Bestimmung der Schubspiegelungsachse), den wir später leicht mit einem Strahlensatz beweisen können. Korollar Jede gleichsinnige Kongruenzabbildung ist eine Drehung oder eine Verschiebung, jede ungleichsinnige ist eine Schubspiegelung. 11 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

12 Satz 2.25 S g T PQ = G g,pq = T PQ S g Beweisidee: Die Schubspiegelung wird als Hintereinanderausführung von drei Geradenspiegelungen dargestellt. Dabei steht eine Spiegelachse senkrecht auf den anderen beiden. Damit kann ein Teil der Hintereinanderausführung auch als Punktspiegelung betrachtet werden 12 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

13 2.6 Ähnlichkeit & weitere Abbildungen WWW ist kein Kongruenzsatz! Gegeben sind zwei Dreiecke ABC und BDE BAC DBE CBA EBD } ABC BDE ACB BED Die beiden Dreiecke sind ähnlich! 13 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

14 Satz Scheitelwinkel sind kongruent - Stufenwinkel an parallelen Geraden sind kongruent (andere nicht) - Wechselwinkel an parallelen Geraden sind kongruent (andere nicht) 14 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

15 Wir suchen eine Abbildung E E, die ABC auf BDE abbildet, eine Abbildung, die ABC auf ADF abbildet, eine, die BDE auf ADF abbildet Solche Abbildungen bilden jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade ab. Wir nennen diese Dilatationen. 15 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

16 Eine Dilatation bildet jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade ab. Dilatationen sind winkeltreu eine Verschiebung ist eine Dilatation (Fast alle anderen Kongruenzabbildungen sind keine Dilatationen) eine Verschiebung ist eine Dilatation ohne Fixpunkt Wir suchen eine Dilatation mit Fixpunkt. Diese hat unendlich viele Fixgeraden: nämlich alle Geraden durch den Fixpunkt Eine von der Identität verschiedene Dilatation hat keinen weiteren Fixpunkt 16 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

17 Eine Dilatation mit einem Fixpunkt Z nennen wir zentrische Streckung. Der Fixpunkt Z heißt dabei Streckungszentrum. Eine zentrische Streckung Z Z,k ordnet jedem Punkt P genau einen Bildpunkt P so zu, dass Z PP und ZP = k ZP ist. Dabei ist k R\{0} und heißt Streckungsfaktor. Ist k R +, dann erhält die Streckung die Orientierung auf der Geraden: Z < P Z < P Ist k R, wird die Orientierung auf der Geraden umgekehrt: Z < P P < Z Ist k {1, 1}, dann sprechen wir von einer uneigentlichen Streckung. 17 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

18 Satz 2.27 Seien A, B E beliebig und Z Z,k (A) = A und Z Z,k (B) = B. Dann gilt: A B = k AB Ist k R +, dann sind AB und A B gleich orientiert. Ist k R, dann sind AB und A B entgegengesetzt orientiert. 18 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

19 Satz 2.28 Zentrische Streckungen sind streckenverhältnis- und orientierungstreu. Das Längenverhältnis zweier Bildstrecken unter einer zentrischen Streckung ist gleich dem Längenverhältnis ihrer Urbildstrecken. Sind [AB], [CD] Strecken und [A B ], [C D ] ihre Bildstrecken, so gilt A B C D = AB CD Außerdem wird bei einer zentrischen Streckung ein Dreieck auf ein Dreieck mit gleicher Orientierung abgebildet. 19 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

20 Satz 2.29 (die Strahlensätze) Für zwei verschiedene Geraden a, b mit a b = {Z} und vier verschiedene Punkte A, A a und B, B b gilt: Genau dann wenn AB A B, gilt: ZA ZA = ZB ZB = A B AB 20 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

21 Werden zwei verschiedene Geraden a, b mit Schnittpunkt von parallelen Geraden geschnitten, dann ist das Verhältnis der Längen der Abschnitte auf a gleich dem Verhältnis der Längen der Abschnitte auf b (1. Strahlensatz) und gleich dem Verhältnis der Längen der Strecken [AB] und [A B ] (2. Strahlensatz). Sind a, b nicht parallel, gilt diese Verhältnisgleichheit nicht. 21 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

22 Eine Ähnlichkeitsabbildung ist die Hintereinanderausführung von endlich vielen zentrischen Streckungen und endlich vielen Kongruenzabbildungen. Es gilt sogar: Jede Ähnlichkeitsabbildung lässt sich als Hintereinanderausführung einer Kongruenzabbildung und einer zentrischen Streckung darstellen. Ähnlichkeitsabbildungen sind geradentreu, winkelmaßtreu, parallelentreu und verhältnistreu. Sie sind nicht längentreu. 22 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

23 Es gibt vier Abbildungstypen der Ähnlichkeitsabbildungen: Drehstreckung D Z,α,k (mit Zentrum Z, Drehwinkel α, Streckungsfaktor k) mit Streckung Z Z,k = D Z,0,k und Drehung D Z,α = D Z,α,1 Klappstreckung K Z,k,g (mit Zentrum Z, Streckungsfaktor k, Spiegelachse g) mit Geradenspiegelung S g = K Z,1,g Parallelverschiebung T PQ Gleitspiegelung G g,pq Damit gilt: Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Kongruenzabbildung, eine Drehstreckung oder eine Klappstreckung. 23 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

24 weitere Abbildungen Affinitäten sind bijektive Abbildungen der Ebene auf sich (allgemein: eines affinen Raumes) mit folgenden Eigenschaften: Kollinearität wird erhalten (geradentreu) Teilt ein Punkt B die Strecke [AC], und sind A, B, C ihre Bildpunkte, so gilt: AB BC = A B B C (teilverhältnistreu) jedes Paar paralleler Geraden wird auf ein Paar paralleler Geraden abgebildet (parallelentreu) 24 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

25 Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeitsabbildungen sind damit Affinitäten. Somit sind Affinitäten nicht längen- und flächentreu (Bsp.: zentrische Streckung). Außerdem werden im Allgemeinen unter Affinitäten Streckenverhältnisse und Winkelgrößen nicht erhalten. Für eine Affinität φ gilt: φ ist streckenverhältnistreu φ ist winkeltreu φ ist eine Ähnlichkeitsabbildung Affinitäten erhalten Punktsymmetrie und Flächenverhältnisse. 25 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

26 Affinitäten bilden mit der Verknüpfung eine nicht abelsche Gruppe; Ähnlichkeitsabbildungen und Kongruenzabbildungen sind Untergruppen. Wir nennen eine ebene Affinität Achsenaffinität, wenn genau eine Gerade punktweise fix bleibt. Dazu gehören Schrägspiegelung und Scherung. Schrägspiegelungen und Scherungen erhalten auch den Flächeninhalt. Das sieht man leicht mit Blick auf die Flächeninhaltsformel für Dreiecke (nächstes Kapitel). 26 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

27 Schrägspiegelung Es sind zwei Geraden g (Spiegelachse) und r (Richtung) mit r a gegeben. Eine Abbildung der Ebene auf sich heißt Schrägspiegelung, wenn gilt: g ist Fixpunktgerade der Abbildung die Abbildung ordnet jedem Punkt P g den Bildpunkt P so zu, dass g die Strecke [PP ] halbiert, und PP r 27 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

28 Scherung Es ist ein Winkel α (0 < α < 90 oder 270 < α < 360) und eine Gerade g gegeben. Eine Abbildung der Ebene auf sich heißt Scherung, wenn gilt: g ist Fixpunktgerade der Abbildung die Abbildung ordnet jedem Punkt P g den Bildpunkt P so zu, dass PP g und PLP = α, wobei L der Lotfußpunkt des Lots auf g durch P ist. 28 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

29 Sätze aus den Übungen zu Kapitel 2 Satz 2.30 (Rechteck) Für ein Viereck ABCD mit ausschließlich rechtwinkligen Innenwinkeln (Def. Rechteck) gilt: m [AB] = m [CD] und m [AD] = m [BC] sind die zwei Symmetrieachsen des Rechtecks [AB] [CD] [AD] [BC] [AB] [CD] [AD] [BC] (gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel) 29 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

30 Satz 2.31 (Kreis) Für einen Kreis mit Mittelpunkt M gilt: M ist Mittelpunkt jedes Durchmessers Jede Gerade durch M ist eine Zentrale Die Mittelsenkrechte jeder Sehne ist eine Zentrale Satz 2.32 (Kreis) Ein Kreis k ist durch drei verschiedene, nicht kollineare Punkte auf k eindeutig bestimmt. (es reicht zu zeigen: der Mittelpunkt ist eindeutig bestimmt) 30 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

31 Satz 2.33 (Drachen und Raute) Ein Viereck mit zwei Paaren kongruenter benachbarter Seiten (Def. Drachenviereck) hat eine Diagonale als Symmetrieachse. Damit gilt auch: Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Genau dann, wenn sich außerdem die Diagonalen gegenseitig halbieren, dann sind beide Diagonalen Symmetrieachsen des Drachenvierecks Dann sind außerdem alle Seiten gleich lang (Def. Raute). 31 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

32 Satz 2.34 (Bestimmung der Schubspiegelungsachse) Bei einer Schubspiegelung G g,pq gilt für jeden Punkt A E und sein Bild A : M [AA ] g 32 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau

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