Gleichungen, Ungleichungen, Beträge

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1 KAPITEL 2 Gleichungen, Ungleichungen, Beträge Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung x + 2 x 2 4 = 1. Nach Multiplikation beider Seiten mit x 2 4 ergibt sich die quadratische Gleichung x + 2 = x 2 4 x 2 4 x 2 = x 2 x 6 = 0. Die p q-formel ergibt x 1/2 = 1 2 ± = 1 2 ± = 1 2 ± 5 2 und damit die beiden Lösungen x 1 = 3 und x 2 = 2. Das ist falsch! Ein Plot ist kein Nachweis, aber eine gute Idee! 60

2 KAPITEL 2. GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRÄGE 61 Im Plot sieht man, dass x = 3 die einzige Lösung der Gleichung x+2 x 2 4 = 1 ist. Weiterhin liegt in x = 2 eine Polstelle vor. Ursache dafür ist, dass x 2 4 = (x 2)(x + 2) ist. Woran liegt das und was muss man beachten? Wegen x 2 4 = (x 2)(x + 2) ist der Nenner für x = 2 bzw. x = 2 nicht definiert, da durch Null dividiert wird. Für x 2 und x 2 gilt x + 2 x 2 4 = x + 2 (x + 2)(x 2) = 1 = 1 1 = x 2 x = 3. x 2 Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung x = 3. Da für x ±2 äquivalent umgeformt wurde, gibt es keine weiteren Lösungen.

3 KAPITEL 2. GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRÄGE 62 Merkregel R Lösungen der Gleichungen f (x) = 0 können nur x R sein für die die Funktion f definiert ist! Die Regeln für das Lösen von Gleichungen sind deshalb: 2.1 Äquivalentes Umformen Eine Gleichung kann immer als f (x) = 0 geschrieben und das Lösen dieser Gleichung bedeutet, die Nullstellen von f (x) zu bestimmen. Vorgehensweise: 1. Man bestimme den maximalen Definitionsbereich von f. 2. Durch äquivalentes Umformen vereinfache man f (x) so, dass die Lösung der Gleichung (die Nullstellen von f ) bestimmt werden können. Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun. 3. Äquivalente Umformungen: Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null, Division durch eine Zahl ungleich Null, Anwendung von Funktionen, wenn beide Seiten der Gleichung im Definitionsbereich der Funktion liegen. Beispiel Man löse die Gleichung x 2 x x x 1 = 1 + 2x x 2 1

4 KAPITEL 2. GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRÄGE 63 Maximaler Definitionsbereich: R\{ 1; 1} (x 2 1 = (x + 1)(x 1)). Hauptnenner bilden: (x 2)(x 1) + x 2 1 x(x + 1) x 2 1 = x 2 1 x x x 2 1 Multiplikation beider Seiten mit x 2 1 (äquivalente Umformung im Definitionsbereich) (x 2)(x 1) + x(x + 1) = (x 2 1) + 2x x 2 3x x 2 + x = x 2 2x + 1 x 2 4x + 3 = 0 p-q-formel x 1/2 = 4 ± ( 4) 2 3 = 2 ± 1. Von den beiden Lösungen der quadratischen Gleichung x 1 = 1 und x 2 = 3 liegt x 1 = 1 nicht im 2 4 Definitionsbereich. Deshalb ist x = 3 die einzige Lösung der Bruchgleichung.

5 KAPITEL 2. GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRÄGE Betrag Definition (Betrag) Der Betrag einer reellen Zahl ist definiert als x = { x, x 0, x, x < 0. Der Betrag x gibt den Abstand des Punkts x von 0 auf der Zahlengeraden an. Der Abstand ist nichtnegativ. Damit ist der Betrag eine Funktion, die jeder reellen Zahl eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet. Die Gleichung x = a, a R, a > 0, hat die Lösungen x 1 = a und x 2 = a. Analog gilt für Beträge von Funktionen (in ihrem Definitionsbereich): { f (x), f (x) 0, f (x) = f (x), f (x) < 0.

6 KAPITEL 2. GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRÄGE 65 Beispiel f (x) = x 1 Vorgehensweise beim Lösen einer Betragsgleichung f (x) = a 0 : 1. Substitution (i) Substitution w = f (x) und lösen der Gleichung w = a 0 ergibt w 1 = a und w 2 = a. (ii) Lösen der Gleichungen f (x) = a und f (x) = a. 2. Fallunterscheidung (i) f (x) = f (x) für f (x) 0 und löse f (x) = a für alle x mit f (x) 0, d.h. Lösung sind alle reellen x mit f (x) 0 und f (x) = a. (ii) f (x) = f (x) für f (x) < 0 und löse f (x) = a für alle x mit f (x) < 0, d.h. Lösung sind alle reellen x mit f (x) < 0 und f (x) = a. Beispiel Man löse die Gleichung 2x 1 = Substitution: w = 2 mit w 1 = 2 und w 2 = 2. Damit ergeben sich die Gleichungen w 1 = 2x 1 1 = 2 x = 1 2 und w 2 = 2x 2 1 =

7 KAPITEL 2. GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRÄGE 66 2 x = Fallunterscheidung: 2x 1 0 x 1 und 2x 1 = 2 2 x = 3 2. Weil ist, ist x 1 = x 1 < 0 x < 1 2 und 2x 1 = 2 x 2 = 1 2. Wegen 1 < ist x 2 = 1 die zweite Lösung Äquivalentes Umformen von Ungleichungen Vorgehensweise: wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert oder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht, wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellen Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das Relationszeichen nicht, wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen reellen Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich das Relationszeichen um,

8 KAPITEL 2. GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRÄGE 67 die Kehrwertbildung kann auf den Fall einer zweimaligen Multiplikation zurückgeführt werden, wobei eine Fallunterscheidung durchzuführen ist, ob der Ausdruck mit dem multipliziert wird positiv oder negativ ist. Beispiel (Betragsungleichung) x := { x, x 0, x, x < 0. Ungleichungen mit Beträgen führen zu einer Fallunterscheidung. Man bestimme alle x R für die gilt x < a. Für a 0 gibt es keine Lösung, da x 0 für alle x R gilt. Für a > 0 kann man wie folgt vorgehen: 1. Für x 0 ist x = x und die Ungleichung wird zu 0 x < a. 2. Für x < 0 x > 0 ist x = x und wir erhalten die Ungleichung 0 < x < a a < x < 0. x < a, für a > 0, ist äquivalent zu a < x < a.

9 KAPITEL 2. GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRÄGE 68 Beispiel Man löse die Betragsungleichung 2x < x 1. Fallunterscheidung: { x 1 = x 1, x 1 0 x 1, (x 1) = 1 x, x 1 < 0 x < 1. Für x 1 muss deshalb 2x < x 1 x < 1 gelten. Beide Bedingungen widersprechen sich, deshalb erfüllt kein x 1 die Ungleichung. Für x < 1 erhalten wir die Ungleichung 2x < 1 x 3x < 1 x < 1 3. Beide Bedingungen sind für x < 1 3 erfüllt. Für alle x < 1 gilt 2x < x 1. 3

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