Definition Formale Sprache Eine formale Sprache ist eine (Teil-)Menge A Σ* von Worten über einem Alphabet Σ.

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1 Reguläre Sprachen Sprache was ist das? Definition Formale Sprache Eine formale Sprache ist eine (Teil-)Menge A Σ* von Worten über einem Alphabet Σ. Wir beschäftigen uns in diesem Teil mit den regulären Sprachen. Das sind solche Sprachen, die von rechtslinearen Grammatiken erzeugt und von endlichen Automaten erkannt werden. Reguläre Sprachen werden auch als reguläre Mengen bezeichnet. Für Alphabete sind folgenden Operationen auf Teilmengen aus Σ* definiert: Definitionen von Operationen auf Teilmengen X und Y aus Σ* (Σ ist Alphabet) - Komplexprodukt: XY := {xy x X, y Y} - X^n (n 0) : X^0 := {ε} - X^(n+1) := X^n X - Sternoperation: X* := X^n für n 0 - X plus: X^+ := X^n = X* X für n 1 - Komplement: X oben quer := Σ*\X - Spiegelung: X^R := {x^r x X} wobei (x1x2...xn)^r = xn...x2x1 Definition reguläre Menge Sei Σ ein Alphabet: 1. ist eine reguläre Menge über Σ. Ist a Σ, so ist die Wortmenge {a} eine reguläre Menge über Σ. 2. Sind X und Y reguläre Mengen über Σ so auch X Y, XY und X* 3. jede reguläre Menge lässt sich durch Anwendung von 1 und 2 [rekursiv] definieren. Satz Jede reguläre Menge ist rekursiv. Jede endliche Teilmenge M von Σ* ist regulär. Die Rekursivität folgt aus der Definition der regulären Menge. Die Regularität der Teilmengen zeigt man per Induktion über die Wortlänge. Definition reguläre Ausdrücke, Syntax und Semantik Es sei Σ ein Alphabet mit {,(,),*, } Σ= und :={,(,),*, } Σ 1. Die Menge Reg(Σ) * der regulären Ausdrücke über Σ ist induktiv wie folgt definiert: - ist ein regulärer Ausdruck und für jedes a Σ ist das Wort a * ein regulärer Ausdruck. - Wenn α und β reguläre Ausdrücke sind, dann sind auch die Worte (α β), (αβ) und α* aus * reguläre Ausdrücke. - Andere reguläre Ausdrücke gibt es nicht. 2. Die Semantikfunktion L : Reg(Σ) 2^(Σ*) sei definiert durch die Gleichungen: L( ):= L(a):={a} L((α β)):=l(α) L(β) L((αβ)):=L(α)L(β) L(α*):=(L(α))* für alle a Σ und alle α,β Reg(Σ). Die so definierte Semantikfunktion L ordnet jedem regulären Ausdruck α Reg(Σ) eine Sprache L(α) Σ* zu. Wobei links vom Gleichheitzeichen jeweils die Symbole aus und rechts vom Gleichheitzeichen als normale mathematische Symbole genutzt werden. Satz Das Bild(L) der Semantikfunktion L aus Definition ist die Menge der regulären Mengen über Σ. d.h. man kann mit diesen Vorschriften jede reguläre Sprache erzeugen.

2 Ein weiteres Verfahren zur Erzeugung bzw. Beschreibung regulärer Sprachen ist die Verwendung von rechtslinearen Grammatiken. Eine Grammatik ist allgemein nach Definition Definition Grammatiken (allgemein, Chomsky-Typ 0-Grammatik) Eine Grammatik ist ein Quadrupel G:=(Π,Σ,R,S) mit : Π ist Nichtterminalalphabet Σ ist Terminalalphabet, wobei Π Σ= gilt. R ist die endliche Regelmenge, der Form R ((Σ Π)*\Σ*)X(Σ Π)* S Π ist Startsymbol. Chomsky unterteilt die Grammatiken weiter in unterschiedliche Hierarchiestufen. Wobei für die unterschiedlichen Stufen zusätzliche Einschränkungen für die Regelmengen gelten. Definition (Chomsky-Hierarchie) Eine Grammatik G:=(Π,Σ,R,S) heisst: - Typ-1-Grammatik oder kontextsensitiv genau dann, wenn: (U,V) R. (lg(u) lg(v) U=S) V (Σ (Π\{S}))* - Typ-2-Grammatik oder kontextfrei genau dann, wenn: (U,V) R. U Π^1 - Typ-3-Grammatik oder rechtlinear genau dann, wenn: (U,V) R. U Π^1 V Σ* (Σ*Π) Für die Teilmengenbeziehung der von den Grammatiken erzeugten Sprachen gilt: Typ-0 Typ-1 Typ-2 Typ-3 Die zugehörigen Sprachklassen werden entsprechend bezeichnet. Uns interessieren hier im Zusammenhang mit den regulären Sprachen ausschliesslich die Typ-3 Grammatiken, denn nach Lemma Gibt es zu jeder regulären Menge L eine rechtslineare Grammatik G mit L(G)=L. Eine Grammatik ist nach obiger Definition rechtslinear, wenn alles Regeln in R die Form: A wb oder A w haben, wobei A,B Π und w Σ* gilt. Definition Normalformen für rechtslineare Grammatiken Sei G :=(Π,Σ,R,S) eine rechtslineare Grammatik. G ist eine rechtslineare Normalformgrammatik genau dann, wenn R ΠX({ε} ΣΠ) gilt. In einer rechtslinearen Normalformgrammatik existieren also nur noch Regeln der Form: A ab oder A ε, wobei A,B Π und a Σ gilt. Das heisst in rechtslinearen Grammatiken wird jedem Nichtterminal ein Wort aus ggfs. mehreren Terminalzeichen und einem Nichtterminal zugeordent. In rechtslinearen Normalformgrammatiken wird ein Terminalzeichen und ein Nichtterminal zugeordnet oder das leere Wort. Lemma Zu jeder rechtslinearen Sprache L gibt es eine rechtlineare Normalformgrammatik g mit L=L(G). Ist L eine rechtslineare Sprache, so existiert zu L eine rechtslineare Grammatik G :=(Π,Σ,R,S). Diese lässt sich nach folgendem Schema in eine rechtslineare Normalformgrammatik G :=(Π,Σ,R,S) umformen: a) Normieren der Terminalregeln. (NT) Das heisst, es wird eine neue Regel E ε in R eingefügt und aus allen Regeln der Form A w werden neue Regeln in R der Form A we gebildet. Wobei E Π aber natürlich E Π gilt. b) Verkürzen der Regellängen: (VR)

3 Das heisst, für alte Regeln aus R der Form: A abb werden neue Regeln in R der Form: A ac und C bb. Wobei C Π aber natürlich C Π gilt. Und a,b Σ ist. c) Eliminieren längentreuer Regeln: (LR) Das heisst, enthält R Regeln der Form A a D und D d so lautet die neue Regel A in R A a d Definition Endliche Automaten 1. Ein endlicher Automat A ist ein Quintupel A:=(Σ,Q,q0,F,δ) mit: Eingabealphabet Σ, endlicher Zustandmenge Q, Anfangszustand q0 Q, Endzustandsmenge F Q und Überführungsrelation δ QXΣXQ 2. Für alle n N sei δ^n QXΣ*XQ rekursiv definiert durch: δ^0={(q,ε,q) q Q} δ^(n+1)={(p,xa,q) x Σ*,a Σ, r Q.(p,x,r) δ^n (r,a,q) δ} [Betrachtung einzelner Zeichen] Weiter sei δ* := δ^n für n 0 die reflexive und transitive Hülle von δ. 3.Die von A erkannte (akzeptierte) Sprache heisst L(A):= { x Σ* q F. (q0,x,q) δ*}= { x Σ* δ* ({q0}x{x}xf) } d.h. die Menge derjenigen x Σ* für die q0 in einen Endzustand überführbar ist. 4.Der Automat A heisst - determiniert genau dann, wenn: p Q, a Σ. #{q Q (p,a,q) δ} 1 d.h. für jeden Zustand Q gibt es für jedes Zeichen aus Σ maximal einen Folgezustand. - vollständig genau dann, wenn: p Q, a Σ. #{q Q (p,a,q) δ} 1 d.h. für jeden Zustand Q gibt es für jedes Zeichen aus Σ mindestens einen Folgezustand. Graphische werden endliche Automaten durch Übergangs-(Transitions-)graphen dargestellt. Wobei die Zustände durch Kreise und die Übergangsrelation durch beschriftete Pfeile dargestellt werden. Der Anfangszustand wird mit einem eingehenden Pfeil aus dem Nichts und die Endzustände mit einem zusätzlichen Kreis gekennzeichnet. Lemma Zusammenhang von rechtslinearen Normalformgrammatiken und endlichen Automaten 1.Eine Transformation T von den rechtslinearen Normalformgrammatiken in die endlichen Automaten sei definiert durch T (G) = T((Π,Σ,R,S)) := (Σ,Π,S,F,δ) mit F={A Π (A ε) R} und δ={(a,a,b) A ab}. Dann gilt: L(G)=L(T(G)) für jede rechtslineare Normalformgrammatik G. 2.Eine formale Sprache K ist rechtslinear, genau dann, wenn sie von einem endlichen Automaten erkannt wird. d.h. anschaulich Π,Σ bleiben gleich. Aus Nichtterminalen werden Zustände. Das Startsymbol wird Startzustand. Die Menge der Endzustände ergibt sich als Teilmenge der Regelmenge mit allen Regeln aus R für die ein Nichtterminal auf ε abgebildet wird. Und die Übergangsrelation ergibt sich durch Andere Schreibung der Regelmenge R aus A ab wird (A,a,B) Definition verallgemeinerter endlicher Automat 1. Ein verallgemeinerter endlicher Automat A ist ein Quintupel A:=(Σ,Q,q0,F,δ) mit: Eingabealphabet Σ, endlicher Zustandmenge Q, Anfangszustand q0 Q, Endzustandsmenge F Q und Überführungsrelation δ QXΣXQ, δ ist endlich 2. Für alle n N sei δ^n QXΣ*XQ rekursiv definiert durch: δ^0={(q,ε,q) q Q} δ^(n+1)={(p,vw,q) v,w Σ*, r Q.((p,v,r) δ^n (r,w,q) δ)} [Betrachtung von Zeichenketten] Weiter sei δ* := δ^n für n 0 3.Die von A erkannte (akzeptierte) Sprache heisst L(A):= { x Σ* q F. (q0,x,q) δ*}= { x Σ* δ* ({q0}x{x}xf) } - 4.Ein verallgemeinerter endlicher Automat A heisst ε-automat, genau dann, wenn δ QX(Σ^1 {ε})xq ist. Man kann die endlichen Automaten aus Def als Spezialfälle von ε-automaten und damit auch von verallgemeinerten endlichen Automaten auffassen.

4 Lemma Potenzautomat Zu jedem endlichen Automaten A gibt es einen vollständigen, determinierten endlichen Automaten B mit L(A)=L(B). Die Überführung von einem endlichen Automaten in einen Potenzautomaten erfolgt mittels folgendem Verfahren (siehe Kurstext KE6 Seite 13f.) q a b W\V q0 {1} {2} {1},{2} {1} {2} {2} {2} Lemma Für jeden endlichen Automaten gilt: Die akzeptierte Sprache L(A) ist regulär. Lemma Sei L eine formale Sprache, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. Es gibt eine rechtslineare Grammatik G mit L=L(G) 2. Es gibt einen verallgemeinerten endlichen Automaten A mit L=L(A) Dies folgt direkt aus den bisher gemachten Aussagen. Insgesamt folgt Satz Die folgenden Aussagen sind äquivalent: L ist eine reguläre Menge [1] Es gibt eine rechtslineare Grammatik G mit L(G)=L (L ist Typ-3 Sprache) [2] Es gibt eine Grammatik G in rechtslinearer Normalform mit L(G)=L [3][ wg. Lemma 8.2.6] Es gibt einen endlichen Automaten A mit L(A)=L [4] [ wg. Lemma 8.3.5] Es gibt einen verallgemeinerten endlichen Automaten A mit L(A)=L [5] Es gibt einen vollständigen deterministischen endlichen Automaten A mit L(A)=L [6] [1] [2] wg. Lemma [2] [3] wg. Lemma [3] [4] wg. Lemma [4] [1] wg. Lemma [4] [6] wg. Lemma [6] [4] trivial [2] [5] wg. Lemma Abschlusseigenschaften Satz Abschlusseigenschaften Reguläre Mengen sind abgeschlossen unter: Vereinigung, Komplexprodukt, Stern, Durchschnitt, Mengendifferenz, Komplementbildung und Spiegelung. Entscheidungsprobleme bzgl. eines Wortes x und zweier Sprachen L1 und L2 Ist das Wort x Element von L? Ist L1 Teilmenge von L2? Ist L1 gleich L2? L gleich der leeren Menge? Ist L endlich?

5 Satz Sei das Alphabet für die regulären Ausdrücke Reg(Σ) über Σ (s.def ). REG(Σ) die Menge der regulären Sprachen über Σ, id: Σ* Σ* die identische Notation ( x.id(x)=x) von Σ* und vr : * REG(Σ) vr(α):=l(α) für α Def(vR) := Reg(Σ). Dann sind folgende Mengen vr-, (vr,vr)- bzw. (vr,id)-rekursiv (es sei stets L,L1,L2 REG(Σ) und x Σ*): - Wortproblem: P = {(L,x) x L) (Ist das Wort x Element von L?) - Inklusionsproblem P = {(L1,L2) L1 L2} (Ist L1 Teilmenge von L2?) - Äquivalenzproblem P= = {(L1,L2) L1=L2} (Ist L1 gleich L2?) - Leerheitsproblem P = {L L= } (Ist L gleich der leeren Menge?) - Endlichkeitsproblem: PE = {L #L< } (Ist L endlich?) Satz Pumping-Lemma für reguläre Mengen Sie L Σ* regulär. Dann gilt: Es gibt ein n N, so dass für alle t,y,z Σ* mit tzy L und lg(z)=n gilt: u,v,w Σ*. (z=uvw v ε k 0.t u v^k w y L). Für n kann man die Zustandszahl eines endlichen Automaten A mit L(A)=L wählen. Das Pumpinglemma wird im allgemeinen dazu verwendet, nachzuweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist. Beweisverfahren L nicht regulär: Annahme L regulär. Anschliessend zeigen, dass es ein i gibt, für dass L das Pumpinglemma nicht erfüllt. L ist nicht regulär.