Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:"

Transkript

1 A. Kirchhoff, T. Pfrommer, M. Kutter, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Stetigkeit Bestimmen Sie möglichst große Teilmengen von R, auf denen die folgenden Definitionen sinnvoll sind: (a f : cos Lösungshinweise hierzu: Der Definitionsbereich ist D = R {, }. In D ist die Funktion, als Verknüpfung stetiger Funktionen, stetig. Aus Beispiel (..5 ist bekannt dass Daran ist ersichtlich dass sin( + sin( = sin( = = Bereits aus der Schule ist bekannt dass sin ( = cos ( +. Wir substituieren zunächst u = + beziehungsweise = u+ und beachten dass sich im Limes auch die Grenzen ändern. cos ( = u cos ( u + (u + u substituiere v = u beziehungsweise u = v = v = = u ( sin u (u + u ( sin (v ( v + v = sin(v v v ( v v + { + als linksseitiger Grenzwert Wir erhalten also die Grenzwerte f ( ± als rechtsseitiger Grenzwert f ( = + Somit ist die Funktion nicht stetig fortsetzbar. (b f : ln ( ln( + f ( = +. Lösungshinweise hierzu: Die ln-funktion ist definiert für alle >, streng monoton steigend und größer oder gleich für alle. Fassen wir diese beiben Aussagen zusammen, und verwenden wieder das Argument der Verknüpfung stetiger Funktionen, erhalten wir, dass die Funktion f stetig ist für alle. Außerdem ist D = R {}. Wir erhalten ± f (. Die Funktion ist nicht stetig fortsetzbar.

2 . Gruppenübung Höhere Mathematik (c f 3 : + Lösungshinweise hierzu: Mit den gleichen Argumenten wie zuvor folgt D 3 = R {}. In D 3 ist die Funktion stetig. Wir betrachten zunächst Hiermit folgern wir f 3( = Die Funktion ist also nicht stetig fortsetzbar. (d f : Lösungshinweise hierzu: Wir können f schreiben als f : f 3( = + 3( + ( ( ( + ( + ( ( Für D = R {,, } ist die Funktion stetig. Ferner gilt f ( 9 ± f ( 5 +± f ( 8. +± Durch f ( = 9, f ( = 5 und f ( = 8, ist die Funktion folglich stetig fortsetzbar. (e f 5 : cos(3 sin( Lösungshinweise hierzu: Zunächst sei bemerkt, dass sin( = für = k mit k Z. Folglich ist D 5 = R { k : k Z}. Wir wissen cos(3 ist -periodisch und sin( 3 ist -periodisch. Somit ist f 5 eine -periodische Funktion, die auf D 5 stetig ist. Unter Verwendung der Additionstheoreme (.. erhalten wir sin( = cos( sin( cos(3 = cos( + = cos( cos( sin( sin( Hiermit können wir den Limes schreiben wie folgt cos(3 cos( cos( sin( = sin( sin( sin( sin( cos( cos( = cos( sin( sin( cos( = sin( sin(

3 . Gruppenübung Höhere Mathematik Also +k 3 +k cos( sin( sin( cos( sin( sin( = = 3 = ( + = 3 Also gilt mit k Z f 5( (+k f 5( + (+k f 5( + (+k+ f 5( (+k+ ( +k± f 5 ( 3 ( 3 +k± f 5 ( + 3 Durch ( f 5 + k = 3 3 f 5 + k = + 3 mit k Z können wir die Funktion stetig fortsetzen. (f f 6 : a wobei a,b R b Lösungshinweise hierzu: Unter Beachtung des Nenners folgt, dass f 6 für D 6 = R {b}, als Verknüpfung stetiger Funktionen selbst wieder stetig ist. Wir unterscheiden folgende Fälle a = b: Dann ist f 6( b f 6( b+ a > b: Dann ist f 6( b± a < b: Dann ist f 6( + b± Im Fall a = b, und nur in diesem Fall, ist die Funktion durch f 6 (b = stetig fortsetzbar. Untersuchen Sie diese Funktionen auf Stetigkeit, und bestimmen Sie jeweils die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Lücken in den Definitionsbereichen. An welchen dieser Lücken sind die Funktionen stetig fortsetzbar? Aufgabe H 5. Stetigkeit und Folgen

4 . Gruppenübung Höhere Mathematik Sei f : (, (, stetig und f( < für alle >. Für die reelle Folge (a n n N gelte a n > und a n+ f(a n für alle n N. Zeigen Sie, dass (a n n N konvergiert und bestimmen Sie n a n. Lösungshinweise hierzu: Es gilt < a n+ f(a n < a n für alle n N, ( daher ist die Folge (a n monoton fallend und beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano und Weierstraß eistiert dann n a n =: a R. Wäre a <, so gäbe es ein N N, so dass a n < für alle n N gelten würde. Da jedoch a n > für alle n N gilt daher aber a. Wäre a >, so würde aus n f(a n = f(a (f ist stetig auf dem Intervall (, aus ( a f(a a und somit f(a = a folgen. Da wir aber a > angenommen haben, gilt laut Voraussetzung f(a < a. Insgesamt ergibt sich daher mit a = f(a < a ein Widerspruch zu a >, also folgt a. Insgesamt folgt aus a und a letztendlich a =. Aufgabe H 6. Funktionsgrenzwerte Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, ohne die Regel von l Hospital zu verwenden: (a 3 + sin( cos( (b cos( 5 (c + (d + ( sin(3 sin( a (e a a, (f + a R ( + a b, a,b R Lösungshinweise hierzu:

5 . Gruppenübung Höhere Mathematik (a Der Ausdruck 3 + ist von der Form. Man findet den Grenzwert durch die folgende Umformung 3 + = ( ( = =. sin( cos( (b Der Ausdruck cos( durch die folgende Erweiterung ist von der Form. Man findet den Grenzwert sin( cos( cos( = = = =. sin( cos( cos ( sin ( sin( cos( (cos( sin( (cos( + sin( cos( + sin( (c Mit den Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte (.. erhalten wir = = = = 5 + =. ( (d Der Ausdruck sin(3 sin( ist von der Form. Man findet den Grenz-

6 . Gruppenübung Höhere Mathematik wert durch die folgende Umformung ( sin(3 sin( = = 3 [t = 3] = 3 t = 3 sin(3 sin( 3 sin(3 t sin(t t sin(t t [siehe Beispiel..5] = 3 = 3. sin( sin( sin( a (e Der Ausdruck a a die folgende Umformung ist von der Form. Man findet den Grenzwert durch a a a ( a ( a + = a ( a ( a + a = a ( a ( a + ( a = a = a ( a ( a + a + = für a >. Für a = erhalten wir a a a = =. Für a < erhalten wir wegen ( a = und ( a = a a = a, a a± sowie a < für < a und a > für > a (f Der Ausdruck + a = ±. a± a ( + a b ist von der Form. Man findet

7 . Gruppenübung Höhere Mathematik den Grenzwert durch die folgende Erweiterung ( ( ( + a b + a + b + a b = ( a + b + a ( b = ( + + a + b a + b = ( + + a + b =.

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Wintersemester 010/11 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 2 Sommersemester 2009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Sommersemester 009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe

Mehr

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H. a)

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge

Mehr

Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Lösungsvorschlag Serie 12

Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 12/13) Lösungsvorschlag Serie 12 Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Prof. A. Griewank Ph.D.; Dr. A. Hoffkamp; Dipl.Math. T.Bosse; Dipl.Math. L. Jansen Übungsaufgaben zur Vorlesung ANALYSIS I (WS 2/3) Lösungsvorschlag

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H.

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 3

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 3 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 3 Hausaufgaben Aufgabe 3. Zeigen Sie mit Hilfe der ɛ-δ-formulierung vgl.

Mehr

Vorlesungen Analysis von B. Bank

Vorlesungen Analysis von B. Bank Vorlesungen Analysis von B. Bank vom 23.4.2002 und 26.4.2002 Zunächst noch zur Stetigkeit von Funktionen f : D(f) C, wobei D(f) C. (Der Text schliesst unmittelbar an die Vorlesung vom 19.4.2002 an.) Auf

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 2

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 2 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 2 Hausaufgaben Aufgabe 2.1 Sei [a, b] R ein Intervall und ( ) n N [a,

Mehr

8 Reelle Funktionen. 16. Januar

8 Reelle Funktionen. 16. Januar 6. Januar 9 54 8 Reelle Funktionen 8. Reelle Funktion: Eine reelle Funktion f : D f R ordnet jedem Element x D f der Menge D f R eine reelle Zahl y R zu, und man schreibt y = f(x), x D. Die Menge D f heißt

Mehr

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. 7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen

Mehr

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen

1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2 Einfache Eigenschaften von Funktionen 1.2.1 Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A B f : Df Wf eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein 2 D f, für das f ( = 0 ist. (Eine

Mehr

Quiz Analysis 1. Lösungen zu den Aufgaben M1 bis M7 der Probeklausur. Mathematisches Institut, WWU Münster. Karin Halupczok.

Quiz Analysis 1. Lösungen zu den Aufgaben M1 bis M7 der Probeklausur. Mathematisches Institut, WWU Münster. Karin Halupczok. Quiz Analysis 1 Mathematisches Institut, WWU Münster Karin Halupczok WiSe 2011/2012 Lösungen zu den Aufgaben M1 bis M7 der Probeklausur 1 Aufgabe M1: Fragen zu Folgen, Reihen und ihre Konvergenz 2 Aufgabe

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge

Mehr

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik

Mehr

A U F G A B E N A N A L Y S I S. 11. Vorlesung Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion x, x 0, stetig bei x 0 = 5 ist.

A U F G A B E N A N A L Y S I S. 11. Vorlesung Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion x, x 0, stetig bei x 0 = 5 ist. A U F G A B E N A N A L Y S I S. Vorlesung. Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion, 0, stetig bei 0 = 5 ist. Lösung: Es sei 5 < ɛ. () Daraus folgt 5 ɛ < < 5 + ɛ () oder Folglich gilt

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Klausur - Analysis I Lösungsskizzen

Klausur - Analysis I Lösungsskizzen Klausur - Analysis I Lösungsskizzen Aufgabe 1.: 5 Punkte Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Kennzeichnen Sie wahre Aussagen mit W und falsche Aussagen mit F. Es sind keine Begründungen

Mehr

Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C

Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0

Mehr

3. Übungsblatt zur Analysis II

3. Übungsblatt zur Analysis II Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno WS 9/ 9..9 3. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Majorantenkriterium für uneigentliche Riemann-Integrale: Es seien f : [, ) [, ) und g

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Sommersemester 0 Mathematik 3 für Informatik Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlerfeiheit). Seien f ) = { {, falls, falls und f ) =. ln, falls a) Skizzieren

Mehr

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,

Mehr

Sommersemester (1,1) (b) f(x,y,z) = cos(y 2 )+ze xy, P = (0,0,π), v = 1. (1,1,2) (c) f(x,y,z) = ln(xyze x ), P = (1,1,1), v = 1

Sommersemester (1,1) (b) f(x,y,z) = cos(y 2 )+ze xy, P = (0,0,π), v = 1. (1,1,2) (c) f(x,y,z) = ln(xyze x ), P = (1,1,1), v = 1 D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 76. Ableitungen

Mehr

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte 2.6 Stetigkeit und Grenzwerte Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Analysis I. Vorlesung 13. Gleichmäßige Stetigkeit

Analysis I. Vorlesung 13. Gleichmäßige Stetigkeit Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 13 Gleichmäßige Stetigkeit Die Funktion f: R + R +, x 1/x, ist stetig. In jedem Punkt x R + gibt es zu jedem ǫ > 0 ein δ > 0 mit f(u (x,δ))

Mehr

Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A)

Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A) Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 10.1.009 (Version A) Kennwort: Übungsgruppe: (Sie können ein beliebiges Kennwort wählen, um Ihre Anonymität zu wahren! Da die Probeklausur

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 016/17 Dr. K. Rothe Analsis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt 3 Gegeben sei eine Funktion f :

Mehr

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z

Mehr

Die Lösungen der Gleichung b x = log b (x)

Die Lösungen der Gleichung b x = log b (x) Die Lösungen der Gleichung b = log b () wgnedin@math.uni-koeln.de 17. Januar 2014 In der ersten Vorlesung des Wintersemesters wurde folgende Frage gestellt: Wieviele Lösungen hat die Gleichung ( ) 1 =

Mehr

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung

Mehr

Klausur zur Analysis I WS 01/02

Klausur zur Analysis I WS 01/02 Klausur zur Analysis I WS 0/0 Prof. Dr. E. Kuwert. Februar 00 Aufgabe (4 Punkte) Berechnen Sie unter a) und b) jeweils die Ableitung von f für x (0, ): a) f(x) = e sin x b) f(x) = x α log x a) f (x) =

Mehr

15 Hauptsätze über stetige Funktionen

15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15.1 Extremalsatz von Weierstraß 15.2 Zwischenwertsatz für stetige Funktionen 15.3 Nullstellensatz von Bolzano 15.5 Stetige Funktionen sind intervalltreu 15.6 Umkehrfunktionen

Mehr

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) 1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 203/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

f(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.

f(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b. Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 34.

Mehr

e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). und f. Für eine reelle Zahl x R gilt e ix = 1.

e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). und f. Für eine reelle Zahl x R gilt e ix = 1. 8. GRENZWERTE UND STETIGKEIT VON FUNKTIONEN 51 e. Für zwei reelle Zahlen x,y R gelten die Additionstheoreme cos(x+y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) und sin(x+y) = cos(x) sin(y)+sin(x) cos(y). f. Für eine

Mehr

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1.

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1. Lösungen Klausur Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie, dass n k k (n + ) n k für alle n N. IA: Für n ist k kk 2 2. IV: Es gilt n k kk (n + ) n für ein n N. IS: Wir haben n+ k k k n k k + (n + ) n+ k IV (n + )

Mehr

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen

3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen 3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben

Mehr

1 Folgen und Stetigkeit

1 Folgen und Stetigkeit 1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.

Mehr

Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Warum Informatiker Funktionen brauchen

Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Warum Informatiker Funktionen brauchen Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS03 30.0.03 4. Reelle Funktionen 4.. Warum Informatiker Funktionen brauchen Funktionen beschreiben Zusammenhänge zwischen Zielgrößen und Einflußgrößen und sind damit

Mehr

Mathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis

Mathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis Mathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis Funktionen, Stetigkeit Dierentialrechnung Funktionen mit mehreren Variablen Integralrechnung Dierentialgleichungen Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,

Mehr

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0 5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Ein Kennzeichen stetiger Funktionen ist es, dass ihre Graphen (evtl. auch nur in Intervallen) nicht. Knicke im Funktionsgraphen auftreten.

Ein Kennzeichen stetiger Funktionen ist es, dass ihre Graphen (evtl. auch nur in Intervallen) nicht. Knicke im Funktionsgraphen auftreten. FOS, 11 Jahrgangsstufe (technisch) 6 Stetigkeit Ein Kennzeichen stetiger Funktionen ist es, dass ihre Graphen (evtl auch nur in Intervallen) nicht abreißen und gezeichnet werden können, ohne den Zeichenstift

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 12 1. Dezember 2009 Kapitel 3. Differenzialrechnung einer Variablen (Fortsetzung) Satz 19. Es seien M und N zwei nichtleere Teilmengen von R,

Mehr

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr

Brückenkurs Rechentechniken

Brückenkurs Rechentechniken Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 3. Reelle Funktionen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen

Mehr

8. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

8. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sven Herrmann Dipl.-Math. Susanne Pape 8. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Wintersemester 2009/2010 01./02. Dezember 2009 Gruppenübung

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Analysis 1 für Informatiker (An1I)

Analysis 1 für Informatiker (An1I) Hochschule für Technik Rapperswil Analysis 1 für Informatiker (An1I) Stand: 2012-11-13 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 3 1.1 Gerade, ungerade und periodische Funktionen..................... 3 1.2 Injektive,

Mehr

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen 1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 014 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 1. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden

Mehr

Mathematik n 1

Mathematik n 1 Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 0 Mathematik + Übung 6 Besprechung der Aufgaben ) - ) des Übungsblatts am jeweils ersten Übungstermin zwischen Montag, 7..0 und Donnerstag,

Mehr

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben

Mehr

Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik

Mehr

Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Warum Informatiker Funktionen brauchen

Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Warum Informatiker Funktionen brauchen Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik, WS6..6 4. Reelle Funktionen 4.. Warum Informatiker Funktionen brauchen Funktionen beschreiben Zusammenhänge zwischen Zielgrößen und Einflussgrößen und sind damit Grundlage

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 26 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e x ist definiert durch die Potenzreihe e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = für alle x in R. Insbesondere ist die Eulersche

Mehr

Stetige Funktionen. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Stetige Funktionen. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Stetige Funktionen Der Graph einer stetigen Funktion hat keine Sprungstellen und kann ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden. 1-E1 Grenzwert einer stückweise definierten Funktion: Aufgabe 1 Abb. A1:

Mehr

Maximalität und Globalität von Lösungen

Maximalität und Globalität von Lösungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Florian Wörz SoSe 205 Maximalität und Globalität von Lösungen Maximale Lösungen Sei Ω : T U R R n ein Gebiet, f : Ω R n stetig und (t 0, u 0 ) Ω. Im Folgenden betrachten

Mehr

Folgen und Reihen von Funktionen

Folgen und Reihen von Funktionen Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die

Mehr

10. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit. Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden.

10. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit. Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden. 49. Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit, Differenzierbarkeit a Grenzwerte von Funktionen Der bisher intuitiv verwendete Grenzwertbegriff soll im folgenden präzisiert werden. Einführende Beispiele: Untersuche

Mehr

Sommersemester < 2 2 < 1+π = g,

Sommersemester < 2 2 < 1+π = g, D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 04 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 53. Gleichheitsproblem

Mehr

7. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf

7. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Streicher Dr. Sergiy Nesenenko Pavol Safarik SS 2010 27.-31.05.10 7. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf Gruppenübung Aufgabe G24 (Grundlegende Definitionen) Betrachten

Mehr

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung

Mehr

Aufgabenkomplex 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung

Aufgabenkomplex 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung Technische Universität Chemnitz 4. April 2011 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung Letzter Abgabetermin: 2. April 2011 (in Übung

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen 9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a

Mehr

4.2 Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen

4.2 Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen 4. Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen 73 4. Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen Definition 4.. Gegeben sei eine Funktion y = mit D(f). (i) Sei D(f). heißt stetig in, falls es für alle

Mehr

Grenzwerte und Stetigkeit

Grenzwerte und Stetigkeit KAPITEL 3 Grenzwerte und Stetigkeit 3.1 Grenzwerte..................................... 49 3.2 Stetigkeit....................................... 57 Lernziele 3 Grenzwerte ε-δ-definition des Grenzwerts,

Mehr

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen

Mehr

8. Stetigkeit. 8.A Grenzwerte von Funktionen. 8. Stetigkeit 85

8. Stetigkeit. 8.A Grenzwerte von Funktionen. 8. Stetigkeit 85 8. Stetigkeit 85 8. Stetigkeit Nachdem wir uns gerade ausführlich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen befasst haben, wollen wir den Grenzwertbegriff nun auf Funktionen einer reellen (oder evtl. kompleen)

Mehr

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt

Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1 b) Stetigkeit Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D Sei a D f heißt stetig in a, falls gilt lim f() = f(a) a f heißt stetig auf D, wenn f in jedem

Mehr

2.4 Grenzwerte bei Funktionen

2.4 Grenzwerte bei Funktionen 28 Beispiel Im Beispiel am Ende von Abschnitt 2.1 (Seiten 22 und 24) haben wir gesehen, dass für die Anzahl a n von Bakterien nach n Tagen gilt a n = 2500 (1,04 n +1). Nach wieviel Tagen sind es eine Million

Mehr

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge

Mehr

Thema 3 Folgen, Grenzwerte

Thema 3 Folgen, Grenzwerte Thema 3 Folgen, Grenzwerte Definition Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung von N in R d.h. jedem n N ist eine Zahl a n zugeordnet. Wir schreiben für eine solche Folge. Beispiele. (a n ) n N

Mehr

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 20.03.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2

Mehr

Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung

Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung Analysis D-BAUG Dr. Meike Akvel HS 05 Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung. a) Sei Lösung 3, falls < 0, f : R R, f) c +, falls 0, + 8, falls >. Bestimmen Sie c R un R, so ass f überall stetig

Mehr

13 Stetige Funktionen

13 Stetige Funktionen $Id: stetig.tex,v.4 2009/02/06 3:47:42 hk Exp $ 3 Stetige Funktionen 3.2 Stetige Funktionen In anderen Worten bedeutet die Stetigkeit einer Funktion f : I R also f(x n) = f( x n ) n n für jede in I konvergente

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 11

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 11 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler Übungsblatt 11 1. In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass es verschiedene Zweige des komplexen Logarithmus gibt. Dies bedingt, dass es

Mehr

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen In dieser Zusammenfassung werden die für uns wichtigsten Eigenschaften der komplexen und reellen Exponentialfunktion sowie der Winkelfunktionen

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

9. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 2. Sommersemester x 3 + 4x 2 + 4x + 1 d x (d) x ln(x) d x. lim tan(a/2) + 1

9. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 2. Sommersemester x 3 + 4x 2 + 4x + 1 d x (d) x ln(x) d x. lim tan(a/2) + 1 O. Alaya, R. Bauer M. Fetzer, K. Sanei Kashani, F. Kissling B. Krinn, J. Schmid 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 3 Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: π Dr. M. Künzer Prof.

Mehr

Funktionen. Mathematik-Repetitorium

Funktionen. Mathematik-Repetitorium Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1 4. Funktionen Funktionen 2

Mehr