Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

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1 A. Kirchhoff, T. Pfrommer, M. Kutter, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Stetigkeit Bestimmen Sie möglichst große Teilmengen von R, auf denen die folgenden Definitionen sinnvoll sind: (a f : cos Lösungshinweise hierzu: Der Definitionsbereich ist D = R {, }. In D ist die Funktion, als Verknüpfung stetiger Funktionen, stetig. Aus Beispiel (..5 ist bekannt dass Daran ist ersichtlich dass sin( + sin( = sin( = = Bereits aus der Schule ist bekannt dass sin ( = cos ( +. Wir substituieren zunächst u = + beziehungsweise = u+ und beachten dass sich im Limes auch die Grenzen ändern. cos ( = u cos ( u + (u + u substituiere v = u beziehungsweise u = v = v = = u ( sin u (u + u ( sin (v ( v + v = sin(v v v ( v v + { + als linksseitiger Grenzwert Wir erhalten also die Grenzwerte f ( ± als rechtsseitiger Grenzwert f ( = + Somit ist die Funktion nicht stetig fortsetzbar. (b f : ln ( ln( + f ( = +. Lösungshinweise hierzu: Die ln-funktion ist definiert für alle >, streng monoton steigend und größer oder gleich für alle. Fassen wir diese beiben Aussagen zusammen, und verwenden wieder das Argument der Verknüpfung stetiger Funktionen, erhalten wir, dass die Funktion f stetig ist für alle. Außerdem ist D = R {}. Wir erhalten ± f (. Die Funktion ist nicht stetig fortsetzbar.

2 . Gruppenübung Höhere Mathematik (c f 3 : + Lösungshinweise hierzu: Mit den gleichen Argumenten wie zuvor folgt D 3 = R {}. In D 3 ist die Funktion stetig. Wir betrachten zunächst Hiermit folgern wir f 3( = Die Funktion ist also nicht stetig fortsetzbar. (d f : Lösungshinweise hierzu: Wir können f schreiben als f : f 3( = + 3( + ( ( ( + ( + ( ( Für D = R {,, } ist die Funktion stetig. Ferner gilt f ( 9 ± f ( 5 +± f ( 8. +± Durch f ( = 9, f ( = 5 und f ( = 8, ist die Funktion folglich stetig fortsetzbar. (e f 5 : cos(3 sin( Lösungshinweise hierzu: Zunächst sei bemerkt, dass sin( = für = k mit k Z. Folglich ist D 5 = R { k : k Z}. Wir wissen cos(3 ist -periodisch und sin( 3 ist -periodisch. Somit ist f 5 eine -periodische Funktion, die auf D 5 stetig ist. Unter Verwendung der Additionstheoreme (.. erhalten wir sin( = cos( sin( cos(3 = cos( + = cos( cos( sin( sin( Hiermit können wir den Limes schreiben wie folgt cos(3 cos( cos( sin( = sin( sin( sin( sin( cos( cos( = cos( sin( sin( cos( = sin( sin(

3 . Gruppenübung Höhere Mathematik Also +k 3 +k cos( sin( sin( cos( sin( sin( = = 3 = ( + = 3 Also gilt mit k Z f 5( (+k f 5( + (+k f 5( + (+k+ f 5( (+k+ ( +k± f 5 ( 3 ( 3 +k± f 5 ( + 3 Durch ( f 5 + k = 3 3 f 5 + k = + 3 mit k Z können wir die Funktion stetig fortsetzen. (f f 6 : a wobei a,b R b Lösungshinweise hierzu: Unter Beachtung des Nenners folgt, dass f 6 für D 6 = R {b}, als Verknüpfung stetiger Funktionen selbst wieder stetig ist. Wir unterscheiden folgende Fälle a = b: Dann ist f 6( b f 6( b+ a > b: Dann ist f 6( b± a < b: Dann ist f 6( + b± Im Fall a = b, und nur in diesem Fall, ist die Funktion durch f 6 (b = stetig fortsetzbar. Untersuchen Sie diese Funktionen auf Stetigkeit, und bestimmen Sie jeweils die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Lücken in den Definitionsbereichen. An welchen dieser Lücken sind die Funktionen stetig fortsetzbar? Aufgabe H 5. Stetigkeit und Folgen

4 . Gruppenübung Höhere Mathematik Sei f : (, (, stetig und f( < für alle >. Für die reelle Folge (a n n N gelte a n > und a n+ f(a n für alle n N. Zeigen Sie, dass (a n n N konvergiert und bestimmen Sie n a n. Lösungshinweise hierzu: Es gilt < a n+ f(a n < a n für alle n N, ( daher ist die Folge (a n monoton fallend und beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano und Weierstraß eistiert dann n a n =: a R. Wäre a <, so gäbe es ein N N, so dass a n < für alle n N gelten würde. Da jedoch a n > für alle n N gilt daher aber a. Wäre a >, so würde aus n f(a n = f(a (f ist stetig auf dem Intervall (, aus ( a f(a a und somit f(a = a folgen. Da wir aber a > angenommen haben, gilt laut Voraussetzung f(a < a. Insgesamt ergibt sich daher mit a = f(a < a ein Widerspruch zu a >, also folgt a. Insgesamt folgt aus a und a letztendlich a =. Aufgabe H 6. Funktionsgrenzwerte Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, ohne die Regel von l Hospital zu verwenden: (a 3 + sin( cos( (b cos( 5 (c + (d + ( sin(3 sin( a (e a a, (f + a R ( + a b, a,b R Lösungshinweise hierzu:

5 . Gruppenübung Höhere Mathematik (a Der Ausdruck 3 + ist von der Form. Man findet den Grenzwert durch die folgende Umformung 3 + = ( ( = =. sin( cos( (b Der Ausdruck cos( durch die folgende Erweiterung ist von der Form. Man findet den Grenzwert sin( cos( cos( = = = =. sin( cos( cos ( sin ( sin( cos( (cos( sin( (cos( + sin( cos( + sin( (c Mit den Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte (.. erhalten wir = = = = 5 + =. ( (d Der Ausdruck sin(3 sin( ist von der Form. Man findet den Grenz-

6 . Gruppenübung Höhere Mathematik wert durch die folgende Umformung ( sin(3 sin( = = 3 [t = 3] = 3 t = 3 sin(3 sin( 3 sin(3 t sin(t t sin(t t [siehe Beispiel..5] = 3 = 3. sin( sin( sin( a (e Der Ausdruck a a die folgende Umformung ist von der Form. Man findet den Grenzwert durch a a a ( a ( a + = a ( a ( a + a = a ( a ( a + ( a = a = a ( a ( a + a + = für a >. Für a = erhalten wir a a a = =. Für a < erhalten wir wegen ( a = und ( a = a a = a, a a± sowie a < für < a und a > für > a (f Der Ausdruck + a = ±. a± a ( + a b ist von der Form. Man findet

7 . Gruppenübung Höhere Mathematik den Grenzwert durch die folgende Erweiterung ( ( ( + a b + a + b + a b = ( a + b + a ( b = ( + + a + b a + b = ( + + a + b =.