Geometrie. Inhaltsverzeichnis. 8.1 Der Satz von Ptolemäus und sein klassischer Beweis. Der Satz von Ptolemäus. 8 Der Satz von Ptolemäus

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1 Der Stz von Ptolemäus 1 Geometrie Der Stz von Ptolemäus Autor: Peter Anree Inhltsverzeihnis 8 Der Stz von Ptolemäus Der Stz von Ptolemäus un sein lssisher Beweis Verhältnis er Digonlen im Sehnenviere Berehnung er Digonlen eines Sehnenvieres Definition er Inversion un ihre Eigenshften Der Stz von Ptolemäus un ie Inversion Der Stz von Ptolemäus 8.1 Der Stz von Ptolemäus un sein lssisher Beweis Stz Stz von Ptolemäus In einem Sehnenviere ist ie Summe er Proute er gegenüerliegenen Seiten gleih em Prout er Digonlen. Bemerung: Bezeihnet mn ie Seiten es Sehnenvieres mit,, un, ie Digonlen un, nn mn ie Aussge es Stzes formulieren. = + (1) Beweis: Wir eienen uns einer Hilfsonstrution, Q [BD], so ß DAC QAB.

2 Der Stz von Ptolemäus 2 D C A M Q Ailung 1: Stz von Ptolemäus B DAC QAB ( er Beweis ist einfh DA AQ = AC AB = CD AC BQ = AB CD (2) BQ DAQ CAB er Beweis ist einfh DA CA = AQ AB = QD AC QD = BC DA (3) BC Aus en Beziehungen (2) un (3) folgt AC BQ + AC QD = AB CD + BC DA AC ( BQ + QD ) = AB CD + BC DA AC BD = AB CD + BC DA 8.2 Verhältnis er Digonlen im Sehnenviere Stz Verhältnis er Digonlen im Sehnenviere In einem Sehnenviere ist s Verhältnis er Digonlen gleih em Verhältnis er Summen er Proute er Seiten, ie sih in en Enpunten er Digonlen es Sehnenvieres treffen. Bemerung: Mit er vereinfhten Bezeihnung er Seitenlängen,,,, un er Digonlen,, lutet ie Aussge es Stzes = + +. (4)

3 Der Stz von Ptolemäus 3 z z Ailung 2:,,, Ailung 3:,,, Ailung 4:,,, Beweis: Wir verfolgen eine Iee von [1]. Mit ls Strtseite, hen wir 6 Mögliheiten (P 3 = 3!, für,, ) Sehnenvieree zu ilen, sihe ie Ailungen (2), (3) un (4). Anhn er Seitennornung ergit ieses: Es git nur rei vershieene Sehnenvieree, ie Sehnenvieree in jeer Splte ongruent sin (Seitennornung in vershieenem Sinn). Gnz einfh nn ewiesen weren, ss iese Sehnenvieree 3 Digonlen hen, ie prweise uftreten, siehe ie Ailungen (2), (3) un (4). Für s Sehnenviere mit Digonlen un z folgt lut er Beziehung (1) z = +. (5) Für s Sehnenviere mit Digonlen un z folgt lut er Beziehung (1) z = +. (6) Teilt mn iese eien Beziehungen, (5) un (6) erhlten wir ws zu eweisen wr. = + +, 8.3 Berehnung er Digonlen eines Sehnenvieres Ist ein Sehnenviere gegeen (,, un ennt), wollen wir ie Digonlen erehnen. Stz von Ptolemäus : = + (7) Verhältnis er Digonlen: Multipliziert mn (7) un (8) folgt 2 = = + + (8) ( + ) ( + ). Anlog wir erehnet. +

4 Der Stz von Ptolemäus Definition er Inversion un ihre Eigenshften Im folgenen ezeihnen wir ie rtesishe Eene mit (E). DEFINITION Inversion Gegeen weren ie Punte O, M (E). Eistiert M [OM], so ß OM OM =, IR, so sprehen wir von einer Inversion es Puntes M ezüglih O. M M O Ailung 5: Inversion es Puntes M ezüglih O Stz Eigenshften er Inversion Es sei ie Inversion ezüglih em Punt O. 1. Zwei nihtolinere Punte A, B E {O} un eren entsprehene Iversionspunte A, B (E) {O} ilen ein Sehnenviere. 2. Die Inversion einer Geren ie urh en Pol geht ist ie Gere seler. 3. Es sei ein fester Punt O, zwei Punte A, B (E) {O} Die Punte A un B sin ie entsprehenen Inversionspunte. Beweise, ß A B = AB OA OB. 4. Die Inversion eines Kreises urh en Pol, ist eine orthogonle Gere zum Durhmesser urh en Pol. 5. Die Inversion einer elieigen Geren ist ein Kreis, er urh en Pol geht un essen Durhmesser urh en Pol orthogonl zu ieser Geren steht. 6. Die Inversion eines Kreises, er niht urh en Pol geht, ist ein Kreis. Bemerung: 1. Der Punt O wir Inversionspol gennnt. Die Zhl ist ie Inversionspotenz.

5 Der Stz von Ptolemäus 5 2. Je nh Vorzeihen von, liegen ie Punte zur selen Seite von O, > 0, oer zu vershieenen Seiten, wenn < M (E) {O} eistiert ein Inversionspunt M (E). 4. Ist M ein Inversionspunt von M, so ist uh M ein Inversionspunt von M. 8.5 Der Stz von Ptolemäus un ie Inversion Wir formulieren noh einml en Stz von Ptolemäus. Stz Stz von Ptolemäus In einem Sehnenviere ist ie Summe er Proute er gegenüerliegenen Seiten gleih em Prout er Digonlen. D R A M C Q B Ailung 6: Der Stz von Ptolemäus un ie Inversion P Beweis: Zuerst fertigen wir eine Hilfsonstrution n in Form einer Geren (PR), ie Inversion von Potenz es Kreises M K (M), er urh en Pol A geht. Betrhten wir ie Ailung (6). Der Beweis reuziert sih uf ie Summtion zweier Streen. Wie leiht zu sehen ist, hen wir P R = P Q + QR. Wegen er Inversion mit entsprehener Streenerehnung folgt BD AB AD = BC AB AC + CD AC AD. Nh Kürzen mit un multiplizieren mit AB AC AD er Beziehung, erfolgt ie Behuptung. Wie zu sehen ist, eine sehr einfhe Geshihte

6 Der Stz von Ptolemäus 6 Litertur [1] J. Hmr: Leçon e Géométrie élémentire. Lirire Armn Colin, Pris 1947.