Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen.

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1 Analytische Geometrie Seite 1 von 6 1. Wichtige Formeln AB bezeichnet den Vektor, der die Verschiebung beschreibt, durch die der Punkt A auf den Punkt B verschoben wird. Der Vektor, durch den die Verschiebung beschrieben wird, die den Ursprung O auf den Punkt A verschoben wird, heißt auch Ortsvektor zum Punkt A OA ). Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen. OA A AB O OB B In der obenstehenden Skizze gilt offenbar: OA + AB= OB Wenn man den Ursprung O zuerst nach A und anschließend nach B verschiebt, so erhalte ich dasselbe Ergebnis, wenn ich den Ursprung direkt nach B verschiebe.) Aus der letzten Gleichung erhält man sofort die wichtigste Formel: OA + AB= OB auf beiden Seiten OA subtrahieren AB= OB OA=x B x A y B y A z B z A ) Diese Beziehung wird im Folgenden ständig verwendet, weshalb wir diese Formel inoffizell als wichtigste Formel bezeichnen. Beispiel: Gegeben sind die Punkte A2 1 3) und B4 3-2). Damit gilt: OA= 2 3) 1 und OB= 4 3 2). Schließlich ergibt sich: AB= ) 2 3)= 2 2 5) Gerade durch zwei Punkte P und Q: g PQ : x= OP+ α PQ

2 Analytische Geometrie Seite 2 von 6 Ebene durch drei Punkte A, B und C: E ABC : x = OA+s AB+t AC Länge eines Vektors: a = a x 2 + a y 2 + a z 2 Beispiel: 4 3 2) = ) 2 = 2 Skalarprodukt zweier Vektoren: a b=a x b x + a y b y + a z b z Beispiel: 4 3 2) 2 ) 1 = )+ 2) 3=8 3 6= 1 3 Das Skalarprodukt wird unter anderem dazu verwendet, etwas über die Winkel zwischen zwei Vektoren zu erfahren. Insbesondere gilt: a b=0 a b D.h., dass zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren den Wert 0 besitzt. Im zweidimensionalen Raum gilt: Der Vektor a Im dreidimensionalen Raum ist das nicht so einfach. b) steht senkrecht auf b a ). Vektorprodukt zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum. a x a y b y a z) bx b z)=a y bz by az a z b x b z a y) x a x b y b x a In nebenstehender Weise ist es wesentlich einfacher, als die Formel direkt anzuwenden. Das Vektorprodukt liefert einen Vektor, der auf beiden Vektoren senkrecht steht.

3 Analytische Geometrie Seite 3 von 6 Winkel zwischen zwei Vektoren: cosα)= a b a b Wichtig: Der Wert auf der rechten Seite ist noch nicht der Winkel, sondern lediglich der Cosinus des Winkels. Es muss noch die Funktion cos 1 angewendet werden und man muss darauf achten, dass der Taschenrechner unter MODE auf das Gradmaß DEG eingestellt wurde. Beispiel: Gegeben sind die Vektoren a durch a= 2 3) 1 und b durch b= 4 3 2) 2 3) ) Es gilt: cosα)= ) 5 = = ) ,24815 Also gilt α cos 1 0,24815) 75,6 o. Schnittwinkel zweier Geraden: Berechnet man den Winkel zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden, so gibt es zwei Fälle, die unterschieden werden müssen: 1. Der errechnete Winkel ist kleiner als 0 o : Fertig! 2. Der errechnete Winkel ist größer als 0 o : Subtrahiere den errechneten Winkel von 180 o. Als Schnittwinkel zweier Geraden wird nämlich stets der kleinere Winkel betrachtet: Schnittwinkel Auf den folgenden Seiten finden sich Grundaufgaben zum Themenbereich: Schnittpunkte zwischen Geraden, Schnittpunkte zwischen Geraden und Ebenen, Abstand eines Punktes von einer Ebene, etc.

4 Analytische Geometrie Seite 4 von 6 2. Grundaufgaben: a) Aufstellen einer Geradengleichung: Gegeben sind die Punkte S 2 1 3) und T 5 2 6). Bestimme eine Gleichung für die Gerade durch S und T. Formel: g PQ : x= OP+ α PQ Die Punkte heißen nun aber S und T. Deshalb muss die Formel angepasst werden: g ST : x= OS+ α ST Um den Richtungsvektor zu berechnen, wird die wichtigste Formel angewendet: ST = OT OS ST = ) 2 1 3) ST = 3 3 ) Insgesamt ergibt sich: g ST : x= 2 1 3) +α 3 ) 3 b) Punktprobe: Liegt der Punkt P ) auf der Geraden g ST aus a)? Wenn P auf g ST liegt, so muss es eine geeignete Zahl α geben, sodass: 2 1 3) 3 + α 3 24) ) 11 = 8 Wir erhalten für jede Komponente eine Gleichung: x-komponente: 2+ 3 α=11 α=3 y-komponente: 1 3 α= 8 α=3 z-komponente: 3+ α=24 α=3 Das bedeutet, dass P auf g ST liegt. Läge P nicht auf der Geraden, so hätten sich jeweils verschiedene Werte für die einzelnen Komponenten ergeben. c) Schnittpunkt zweier Geraden: g : x= 2 1 3) +α 3 3 ) und h: x= 13 14) +β 1 2 5) seien gegeben. Gesucht ist der Schnittpunkt:

5 Analytische Geometrie Seite 5 von 6 Wie bei der Punktprobe siehe b) ) wird das Problem durch GLEICHSETZEN gelöst: 2 1 3) +α 3 3 ) = 13 14) +β 1 2 5) Durch Zusammenfassen auf der linken und der rechten Seite der Gleichung erhält man für jede Komponente eine Gleichung: 2+3 α = 13+β 1 3 α = + 2 β 3+ α = 14 5 β Diese Gleichungen werden so umgeformt, dass alle Unbekannten auf der linken Seite stehen: 3 α β = 11 3 α 2 β = 5 α +5 β = ) rref ) Die letzte Zeile zeigt an, dass es eine Lösung gibt, nämlich α=3 und β= 2. Der Ortsvektor zum Schnittpunkt ergibt sich, indem man die Werte in die Gleichung von g oder von h einsetzt: OS= 2 1 3) ) OS= 11 8 d) Aufstellen einer Ebenengleichung: Gegeben seien die Punkte P1 2 3), Q5 7 ) und R3-2 7).. Also ist S ) der gesuchte Schnittpunkt. 24) Oben wurde eine Formel für eine Gleichung einer Ebene durch die Punkte A, B und C angegeben: E ABC : x= OA+ s AB+ t AC Diese Gleichung muss zunächst an den vorliegenden Fall angepasst werden: E PQR : x= OP+s PQ+t PR Im prinzip geht man vor wie bei der Geradengleichung siehe a) ). Man benötigt allerdings zwei Richtungsvektoren, die mit der wichtigsten Formel bestimmt werden. Es ergibt sich: E PQR : x= 1 2 3) + s ) +t ) E : x= 1 PQR 2 3) + s 4 5 6) +t 2 4)

6 Analytische Geometrie Seite 6 von 6 Die wichtigste Formel wurde an zwei Stellen angewendet. e) Schnittpunkt von Gerade und Ebene: Hier geht man vor wie bei der Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden: GLEICHSETZEN. Man erhält jetzt ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das wieder so umgeformt werden muss, dass alle Unbekannten auf der linken Seite stehen. Im Anschluss übergibt man das Gleichungsystem wieder an der Taschenrechner und setzt die gefundenen Lösungen in die Geradengleichung oder die Ebenengleichung ein. Vergleiche mit c) ). f) Gerade durch einen Punkt P, die senkrecht auf einer Ebene steht: Beispiel: P2 2 3) und E : x= 1 3) 2 +s 4 6) 5 +t 2 4 ). Da die gesuchte Gerade den Punkt P enthalten soll, wird der Ortsvektor zu P als hinführender Vektor gewählt: g : x= 2 3) 2 +α n Dabei ist n ein Vektor, der senrecht auf E steht Normalenvektor). Wir erhalten n als Kreuzpeodukt der beiden Richtungsvektoren von E: n= 4 5 6) 2 4) = 5 4 ) ) 2 5) = 43 26) Insgesamt ergibt sich: g : x= 2 2 3) +α 43 26) g) Im Unterricht haben wir weitere Beispiele zur Anwendung von Geraden und Ebenengleichungen besprochen. Vergleicht mit euren Aufzeichnungen.

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