Vektorrechnung und Analytische Geometrie : Punkt, Gerade, Ebene, Projektionen und Schnitte

Transkript

1 Vektrrechug ud Alytische Gemetrie : ukt, Gerde, Eee, rjektie ud Schitte Siehe : de.wikipedi.rg, drt ises.: IR : -dimesiler Rum mit ( rthglem ) rechtwikligem Krditesystem. Die ukte werde durch -Tupel reeller Zhle ("Krdite") drgestellt: p p IR mit p,p IR. Die Vektrrechug verzichtet prizipiell uf gemetrische Bedeutuge! Vektr : Klsse prlleler, gleichlger ud gleichgerichteter feile, d.h. eie Vektr eschreit eie Läge ud eie Richtug im -dimesile Rum IR. Vektre leie ei rllelverschieug erhlte! : Vektr ls ukt-verideder feil. Spltevektr reeller Krdite ("Kmpete"). Ortsvektr eies uktes : O p p, O ist der feste Ursprug. Jeder Vektr ht geu eie repräsetierede Ortsvektr, dher die Ismrphie (Strukturgleichheit) zwische dem Rum der ukte ud dem Vektr -rum IR. Vektretrg/-läge : im IR, sst lg im rechtwiklige Krditesystem. Eiheitsvektre: Nullvektr: mit ht keie Richtug! Vektrdditi: Gemetrisch durch Aeiderreihe der feile, rithmetisch durch Additi der Krdite: Multiplikti eies Vektrs mit eiem Sklr: gleiche Richtug, jedch veräderte Läge, evtl. etgegegerichtet für s<: s s s s IR. Vektrprdukt: ur im IR!

2 Sklrprdukt: im IR sivll mit dem Summezeiche schreir: Krditeschreiweise imir cs( α ) i i i α ist der v, eigeschlssee Wikel (α [ ;8 ] ). Orthglität α9. Krditeschreiweise im IR krditefreie Drstellug uch im IR, Liere Ahägigkeit: k Vektre des IR sid lier hägig, we es reelle Zhle s,,s k IR git mit: s s ud gleichzeitig s sk. k k Liere Uhägigkeit: k Vektre des IR sid lier uhägig, we es keie derrtige Zhle git. rktisch : M versucht de ige Astz ud stellt ( etws verwudert ) fest : s s s k (twedige Bed.). Im IR git es mximl lier uhägige Vektre ud es git immer z.b. diese lier uhägige Krdite-Eiheitsvektre: e, e,, e Kmpetezerlegug v Vektre: We, lier uhägig sid ud x m m, s heißt m die Kmpete v x i Richtug usw. Sekrechte rjekti eies Vektrs uf eie Richtug (uf eie zweite x Vektr; Zusmmehg mit Gemetrie) : ur i diesem Fll (rechtwikliges Dreieck) ist cs(α) m ud uch x x x Setzt m m x m s ist die rjekti v x uf : m x α x diese Frmel uch d richtig, we x ud eie Wikel größer 9 eischließe. Hiweis: die ige Zerlegug i zwei Richtuge ist kmplizierter ud üer ei LGS estimmr. Alytische Gemetrie: gemetrische Geilde wie Gerde, Eee, Kreis, rel, Kegel etc. werde ls uktemege ufgefsst ud durch Gleichuge eschriee. Die uktkrdite eziehe sich immer uf ei geu defiiertes Krditesystem. Vektre eschreie gerichtete Strecke. m m

3 Gerde im IR : ukt-richugsfrm: g: x λ für λ IR. x λ für λ IR. (explizite Krditefrm) -ukte-frm: g: ( ) Gerde im IR : Nrmlfrm (implizite Frm): "g" ist Lösugsmege der Gleichug: ( x ) g we ei zur Gerderichtug rthgler Vektr ud ei ukt v g ist. Hessesche Nrmlfrm : "g" ist Lösugsmege der Gleichug: ( x ) we ei zur Gerderichtug rthgler Eiheitsvektr ud ei ukt v g ist. Astd des Ursprugs zur Gerde, >, we v us i Richtug g zeigt ( uf der Seite der Gerde liegt, i die icht zeigt). : "Nrmleeiheitsvektr" ist immer is uf die Orietierug eideutig estimmt ei eier Gerde im IR. Astd eies uktes v eier Gerde: d Hiweis: he Betrgszeiche mit Zustzifrmti der Seite der Gerde. Fußpukt r F eies Ltes v eiem ukt ( r ) uf eie Gerde g: r λ v : r F r r r v v (vergl. sekrechte rjekti e) v Ds Lt seler ist l F r r F Schittpukt S zweier Gerde : g : r r λ v g : r r µ w erfüllt eide Gleichuge, ls LGS für λ, µ : r S r λ v r µ w. Keie Lösug: prllele der (im IR ) widschiefe Gerde. Astd prlleler Gerde im IR : v ud w zeige i die gleiche Richtug, sid lier hägig: v µ w. M immt d eie el. ukt uf g ud estimmt seie Astd v g (g i Hesse Nrmlefrm). Odre llgemeie Frmel: Astd widschiefer Gerde (im IR der im IR ): Ds gemeisme Lt l steht sekrecht swhl uf g ls uch uf g : für die Richtugsvektre v Lt ud Gerde gilt smit: lv ud lw. Aus der Skizze erket m: r λ v l r µ w für estimmte Werte v λ, µ. Mit l r r µ wλ v ht ds LGS lv ud lw für λ, µ geu eie Lösug, we die Gerde icht prllel er widschief sid (ls v ud w lier uhägig sid) ud uedlich viele Lösuge, we die Gerde uch im IR prllel sid. r l v r -,5 w

4 Eee im IR : Neestehede Drstellug us Wikipedi ( für M erket deutlich die Schitte mit de Krditefläche x zw. y. Ds lue Gitter sll ei ffies Krditesytem i der Eee deute (lle gzzhlige Vielfche v u ud v. S ist z.b. r q r uv der Ortsvektr v Q E. ukt ud Richtuge: (Vektr-rmeterfrm, kstruktiv)) E: x λμ für λ,µ IR, we, lier uh. -ukte-frm: E: x λ μ für λ,µ IR, we,, icht uf eier Gerde liege. Nrmlfrm: (Sklr- der Krditefrm, lytisch) "E" ist Lösugsmege der Gleichug: x we ei zur Eee rthgler Vektr ud ei ukt v E ist. Hessesche Nrmlfrm : "E" ist Lösugsmege der Gleichug: x we ei zur Eee rthgler Eiheitsvektr ud ei ukt v E ist. Astd des Ursprugs zur Eee; >, we ud uf eier Seite der Eee liege. ist us de dere Frme leicht ls Vektrprdukt der eide Eeerichtuge, erecher :. Dies ist ur im IR (ud durch Ergäzug v z im IR ) s eifch. Hiweis: Alle Frme sid leicht ieider umrecher (üe)! Die Nrmlfrme sid Implizite Krditegleichug: Ei v de Krdite (x, y, ) hägiger Recheusdruck wird gleich gesetzt. Beispiel (Gerde der Zeicheeee): x - y 7 Explizite Krditegleichug: Eie der Krdite wird durch die dere usgedrückt. Beispiel (Eee im Rum): z x -5y (Am.: mehr Nch- ls Vrteile!) Hypereee : Verllgemeierug. Ei ffier Uterrum der Dimesi (-) im -dimesile Rum. Ht geu eie rthgle Eiheitsvektr (ud die Gegerichtug türlich) : H : x λ λ λ Nrmlfrm ud Hessesche Nrmlfrm wie ei Eee im IR ud Gerde im IR H : x!

5 Astd ukt zu Hypereee: (gilt ls uch für Eee im IR ud Gerde im IR ) elieiger ukt, ukt der Hypereee mit Nrmleeiheitsvektr: : d Eeeschitt im IR : Eee köe ) prllel sei (lier hägige Nrmlevektre) E E der: ) idetisch sei (prllel mit eiem gemeisme ukt) E E E E c) sich i eier Gerde scheide (icht prllele Eee) Bei c) ist E E g. Recheweg : Richtugsvektr v g rthgl zu eide Nrmlevektre, der Eee : z.b.. We d ch ei gemeismer ukt v E, E ekt ist, ist die Nrmlfrm wedr (vergl. pul S. 5). Recheweg : Gleichsetze der eide prmetrische Eeefrmulieruge: x λ μ λ μ für estimmte λ,µ,λ,µ IR. Dieses LGS für λ,µ,λ,µ ht geu de Rg (geu drei lier uhägige Gleichuge), eie der Vrile (z.b. λ ) estimmt ls lle drei dere ud dmit ht x eie Drstellug ls Gerde : z.b. x λ Schittwikel sich scheideder Eee : ist gleich dem Wikel zwische de Nrmlevektre! Gerde scheidet Eee: m este g i rmeterfrm g: λ, g x E i Nrmlfrm E: x. Eifch die Frmel für x i die NF eisetze, LGS für λ löse! Lös. i x eisetze ergit Durchstßpukt. Fußpukt F ( r F ) des Ltes v eiem ukte ( r ) uf eie Eee E : r d r F der zweite Term steht für ds Lt (v i Richtug F rietiert, vergleiche de Zähler mit dem ukt-eeestd). r F r dr Spiegelpukt ' eies uktes eier Eee: verdpple iges Lt!