Anhang C - Lösungen. Übung 1 Vektoren. Aufg. 1: Aufg. 2: Aufg. 3: -C1-

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1 Anhang C - Lösungen Übung 1 Vektoren Aufg. 1: aa = 4ee xx 1ee yy bb = 3ee xx + 4ee yy aa + bb = 7ee xx + 3ee yy aa bb = 1ee xx 5ee yy Aufg. 2: aa = 3ee xx + 4ee yy bb = 3ee xx + 1ee yy aa bb = bb aa = 5 c) aa bb = bb aa = 15ee zz d) aa, bb = 198,435 Aufg. 3: aa bb cc = cc aa bb = bb (cc aa ) = 4 aa bb cc = bb (aa cc ) cc aa bb = 2ee yy + 2ee zz c) aa bb cc dd = dd aa bb cc lt. Spatprodukt! = dd cc aa bb = dd aa cc bb bb (cc aa ) lt. Graßmann-Identität! = (aa cc ) bb dd bb cc aa dd -C1-

2 Übung 2 Koordinatensysteme Aufg. 1: P: {xx, yy, zz} P1: {aa, 0,0}; P2: { aa, 0,0}; P3: {0, aa, 0}; P4: {0, aa, 0}; P5: {0,0, aa}; P6: {0,0, aa} P: {ρρ, φφ, zz} P1: {aa, 0,0}; P2: {aa, ππ, 0}; P3: aa, ππ, 0 ; P4: aa, 3ππ 2 2, 0 ; P5: {0, eeeeeeee, aa}; P6: {0, eeeeeeee, aa} c) P: {rr, θθ, φφ} P1: aa, ππ, 0 ; P2: aa, ππ, ππ ; P3: aa, ππ, ππ ; P4: aa, ππ, 3ππ ; P5: {aa, 0, eeeeeeee}; P6: {aa, ππ, eeeeeeee} Aufg. 2: Integration infinitesimal dünner rechteckförmige Schichten VV = aa 2 dddd = aa 2 Aufg. 3: zz=aa zz=0 (zz) zz=aa zz=0 = aa 3 Integration infinitesimal dünner kreisförmige Schichten zz=l VV = ππππ 2 dddd = ππππ 2 zz=0 (zz) zz=l zz=0 = ππππ 2 l Integration infinitesimal dünner Zylinderschalen Aufg. 4: VV = ρρ=aa 2ππππldddd = 2ππl ρρ=0 ρρ2 2 ρρ=aa ρρ=0 = ππππ 2 l Integration infinitesimal dünner Kugelschalen VV = rr=aa 4ππrr 2 dddd = 4ππ rr=0 rr3 3 rr=aa rr=0 = 4ππππ3 3 -C2-

3 Übung 3 Coulombsches Gesetz Aufg. 1: FF 12 = 1 aa 2 ee xx (lies: Kraft auf Ladung 1 infolge der Ladung 2) FF 13 = 1 2aa 2 ee xx +ee yy 2 FF 14 = 1 aa 2 ee yy FF 15 = 1 aa 2 ee zz FF 16 = 1 2aa 2 (ee xx +ee zz ) 2 FF 17 = 1 3aa 2 ee xx +ee yy + ee zz 3 FF 18 = 1 2aa 2 ee yy +ee zz 2 8 FF 1 = FF 1kk kk=2 = QQ aa ee xx+ee yy + ee zz 3 FF 1 = 2,957μμμμ 9 FF 1 = FF 1kk = 0 kk=2 FF 19 = 1 QQ 9 QQ ee xx + ee yy +ee zz aa2 QQ 9 = 2,468nnnn -C3-

4 Übung 4 Raumladung, Flächenladung und Linienladung Aufg. 1: (Raumladung) QQ = 4ππρρ 0 rr ii rr aa 2 2 rr 2 ii 2 rr ii rr 2 aa 2 rr 2 ii 2 ρρ mmmmmm = ρρ 0 rr 3 aa 3 rr ii 3 3 Aufg. 2: (Flächenladung) QQ = σσ 0 2ππaa 2 ρρ eeeeee = 2aa Aufg. 3: (Linienladung) QQ = λλ 0 l 0 ππ -C4-

5 Übung 5 E-Feld <=> Skalarpotential Aufg. 1: (E-Feld Skalarpotential / Kugelkoordinaten) φφ(rr ) = φφ(rr) φφ(rr) = QQ rr Normierung: φφ(rr ) = 0 Aufg. 2: (E-Feld Skalarpotential / Zylinderkoordinaten) φφ(rr ) = φφ(ρρ) φφ(ρρ) = λλ 0 2ππεε 0 llll ρρ ρρ 0 Normierung: φφ(ρρ = ρρ 0 ) = 0 Aufg. 3: (Gradient: Skalarpotential E-Feld) rr = rr = xx 2 + yy 2 + zz 2 gggggggg ff(rr) = ee rr gggggggg 1 rr = 1 rr 2 ee rr gggggggg c) ρρ = xx 2 + yy 2 QQ rr = QQ rr 2 ee rr d) gggggggg ff(ρρ) = ee ρρ gggggggg llllll = 1 ρρ ee ρρ gggggggg λλ 0 2ππεε 0 llll ρρ ρρ 0 = λλ 0 2ππεε 0 ρρ ee ρρ -C5-

6 Übung 6 Elektrostatische Felder - Kugelsymmetrische Raumladungswolke Aufg. 1: QQ 0 = rr=rr 0 ρρ(rr)4ππrr 2 dddd rr=0 = 8ππρρ 0rr ρρ 0 = 15QQ 0 8ππrr 0 3 Symmetrie: DD (rr ) = DD rr (rr)ee rr EE (rr ) = EE rr (rr)ee rr φφ(rr ) = φφ(rr) AA DD ddaa = ρρρρρρ VV DD rr (rr)4ππrr 2 rr =rr 2 = ρρ(rr )4ππrr rr =0 ddrr Bereich I (rr rr 0 ): DD II (rr ) = QQ 0 4ππrr 2 5 rr 0 2 Bereich II (rr > rr 0 ): DD IIII (rr ) = QQ 0 4ππrr 2 ee rr rr rr rr 0 3 ee rr c) d) e) DD II (rr ) rr=rr0 = DD IIII (rr ) rr=rr0 = QQ 0 4ππrr 0 2 ee rr Siehe Download GET2 UE6 Felder+Potential.pdf Bereich I (rr rr 0 ): EE II (rr ) = QQ 0 rr 2 5 rr 0 2 rr rr rr 0 3 ee rr Bereich II (rr > rr 0 ): EE IIII (rr ) = QQ 0 rr 2 ee rr f) g) Siehe Download GET2 UE6 Felder+Potential.pdf Normierung: φφ(rr = rr 0 ) = 0 rr =rr Bereich I (rr rr 0 ): φφ(rr) φφ(rr 0 ) = 0 EE rr (rr ) ddrr rr =rr φφ II (rr ) = QQ 0 rr rr rr rr rr 0 4 -C6-

7 rr =rr Bereich II (rr > rr 0 ): φφ(rr 0 ) φφ(rr) = EE rr (rr ) ddrr rr =rr 0 φφ IIII (rr ) = QQ 0 1 rr 1 rr 0 h) i) j) Siehe Download GET2 UE6 Felder+Potential.pdf QQ 0 UU 1 = φφ(rr = rr 0 ) φφ(rr = 0) = 7 8 rr 0 QQ 0 UU 2 = φφ(rr = rr 0 ) φφ(rr = 2rr 0 ) = 4 8 rr 0 k) UU 3 = φφ(rr = 0) φφ(rr ) = 15 8 QQ 0 rr 0 l) UU 4 = φφ(rr = 0) φφ(rr 4 ) = 0,8 UU 3 = 15 QQ 0 10 rr 0 rr 4 > rr 0 da UU 4 > UU 1 φφ(rr 4 ) = QQ = 5 rr 4 rr 0 8 QQ 0 rr 0 rr 4 = 8 3 rr 0 m) Siehe Download GET2 UE6 Felder+Potential.pdf -C7-

8 Übung 7 Kapazitätsberechnungen Aufg. 1: (Kugelkondensator) Koordinatensystem: Kugelkoordinaten rr, θθ, φφ Symmetrie: DD (rr ) = DD rr (rr)ee rr EE (rr ) = EE rr (rr)ee rr φφ(rr ) = φφ(rr) Der Betrag der elektrische Erregung DD ist auf einer Äquipotentialfläche überall gleich groß QC-Methodik anwendbar. DD (rr ) = 4ππrr 2 ee rr DD rr (rr = a = 4ππaa 2 DD rr (rr = b = 4ππbb 2 σσ aa = DD rr (rr = a = 4ππaa 2 < 0 σσ bb = DD rr (rr = b = QQ 1 4ππbb 2 = 4ππbb 2 > 0 c) EE (rr ) = 4ππππrr 2 ee rr UU 21 = 4ππππ 1 aa 1 = 449,6VV bb d) CC = UU 21 = 4ππππππππ bb aa = 22,14pppp e) ww eeee (rr ) = 2 32ππ 2 εεrr 4 -C8-

9 f) WW eeee = 1 2 UU 21 = 2,25μμμμ Aufg. 2: (Zylinderkondensator) Koordinatensystem: Zylinderkoordinaten ρρ, φφ, zz Symmetrie: DD (rr ) = DD ρρ (ρρ)ee ρρ EE (rr ) = EE ρρ (ρρ)ee ρρ φφ(rr ) = φφ(ρρ) Der Betrag der elektrische Erregung DD ist auf einer Äquipotentialfläche überall gleich groß QC-Methodik anwendbar: CC = 2ππππl llll ρρ aa ρρii = 113,9nnnn ww eeee (rr ) = 8ππ 2 εερρ 2 l 2 WW eeee = 1 QQ2 QQQQ = 2 2CC = 1 2 CCUU2 c) d) εε(ρρ) = εε ii ρρ ii ρρ CC = 2ππεε iiρρ ii l ρρ aa ρρ ii = 62,6pppp -C9-

10 Übung 8 Kondensatorschaltungen, Kräfte und Arbeit Aufg. 1: Spannungsaufteilung für zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren mit gleicher Ladung (gleich vorgeladene Kondensatoren; hier ungeladen). UU 1 AA = UU 0 CC 2 CC 1 +CC 2 = 6VV UU 2 AA = UU 0 CC 1 CC 1 +CC 2 = 4VV QQ 1 AA = CC 1 UU 1 AA = 24μμμμ AA = CC 2 UU 2 AA = 24μμμμ UU 3 AA = 0 QQ 3 AA = 0 Ladungsaufteilung für zwei parallel geschaltete Kondensatoren mit gleicher Spannung. UU BB 2 = UU BB 3 = AA AA + QQ 3 = 3VV CC 2 + CC 3 UU 1 BB = UU 1 AA = 6VV UU 2 BB = 3VV UU 3 BB = 3VV QQ 1 BB = QQ 1 AA = 24μμμμ BB = CC 2 UU 2 BB = 18μμμμ QQ 3 BB = CC 3 UU 3 BB = 6μμμμ c) Spannungsaufteilung für zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren bei ungleicher Ladung (ungleich vorgeladene Kondensatoren). UU 1 CC + UU 2 CC = UU 0 CC QQ 1 CC = BB QQ 1 BB CC QQ 1 + QQ CC 2 CC 1 CC 2 = 10VV CC QQ 1 CC = 6μμμμ UU CC 1 = QQ 1 CC = 6,6VV CC 1 QQ CC 1 = 26,4μμμμ UU CC 2 = CC = 3,4VV CC 2 QQ CC 2 = 20,4μμμμ UU 3 CC = UU 3 BB = 3VV QQ 3 CC = QQ 3 BB = 6μμμμ -C10-

11 Aufg. 2: (Kräfte im offenen System) vorher nachher UU UU 0 UU 0 CC dd 2dd QQ = CCCC dd UU 0 2dd UU 0 WW eeee = 1 2 CCUU2 1 2 dd UU dd UU 0 2 ΔAA BBBBBBBB = UU 0 ΔQQ = UU 0 (QQ nnnnnnhheeee QQ vvvvvvheeee ) = εε 0AA 2dd UU 0 2 < 0 Die Batterie leistet keine Arbeit sondern wird geladen. ΔWW eeee = WW eeee,nnnnnnhheeee WW eeee,vvvvvvheeee = 1 2 2dd UU 0 2 < 0 Der Kondensator gibt die Hälfte seiner gespeicherten Energie ab. ΔAA mmmmmmh = ΔWW eeee ΔAA BBBBBBBB = 1 2 2dd UU 0 2 > 0 Zum Auseinanderziehen der Kondensatorplatten ist positive mechanische Arbeit erforderlich. Die mechanisch geleistete Arbeit und die Abnahme der im Kondensator gespeicherten elektrischen Energie werden der Batterie als Aufladearbeit zugeführt. -C11-

12 Aufg. 3: (Kräfte im abgeschlossenen System) vorher nachher QQ QQ 0 QQ 0 CC dd 2dd UU = QQ CC QQ 0 dd QQ 0 2dd WW eeee = QQ2 2CC QQ 0 2 dd 2 QQ 0 2 2dd 2 ΔWW eeee = WW eeee,nnnnnnhheeee WW eeee,vvvvvvheeee = QQ 0 2 dd 2 > 0 Der Kondensator verdoppelt seine gespeicherte Energie. ΔAA mmmmmmh = ΔWW eeee = QQ 0 2 dd 2 > 0 Zum Auseinanderziehen der Kondensatorplatten ist positive mechanische Arbeit erforderlich. Die mechanisch geleistete Arbeit führt direkt zu einer Erhöhung der im Kondensator gespeicherten elektrischen Energie. -C12-

13 Übung 9 Stationäres Strömungsfeld - Halbkugelerder Aufg. 1: Symmetrie: JJ (rr ) = JJ(rr)ee rr EE (rr ) = EE(rr)ee rr φφ(rr ) = φφ(rr) AA JJ ddaa = 0 II + JJ rr (rr)2ππrr 2 = 0 JJ (rr ) = II 2ππrr 2 ee rr c) EE (rr ) = II 2ππππrr 2 ee rr Normierung: φφ(rr ) = 0 φφ(rr ) = II 2ππππππ UU EE = φφ(rr = rr 0 ) φφ(rr ) = II 2ππππrr 0 = 3183VV d) RR ü = UU EE II = 3,183Ω rr 90 = II 2ππππ0,1UU EE = 20mm e) rr > rr 0 : UU ss (rr) = φφ(rr) φφ(rr + Δrr ss ) = II 2ππππ Δrr ss rr(rr+δrr ss ) UU ssmmmmmm = UU ss (rr = rr 0 ) = 1061VV f) UU sszzzzzz = II 2ππππ Δrr ssmmmmmm rr zzzzzz rr zzzzzz + Δrr ssmmmmmm rr zzzzzz = 9,81mm -C13-

14 g) PP = UU EE II = 3,19MMMM II2 pp(rr ) = 4ππ 2 κκrr 4 rr PP = pp dddd = II 2 4ππ 2 κκrr 4 2ππrr2 dddd = UU EE II EEEEEEEEEEEEEEh rr=rr 0 -C14-

15 Übung 10 Widerstandsberechnungen Aufg. 1: κκ(xx) = κκ 2 κκ 1 aa xx + κκ 1 Anordnung I: Symmetrie: JJ (rr ) = JJ(xx)ee yy EE (rr ) = EE 0 ee yy φφ(rr ) = φφ(yy) UR-Methodik GG II = 1 RR II = aaaa 2bb (κκ 1 + κκ 2 ) Anordnung II: Symmetrie: JJ (rr ) = JJ(xx)ee zz EE (rr ) = EE 0 ee zz φφ(rr ) = φφ(zz) UR-Methodik GG IIII = 1 RR IIII = aaaa 2cc (κκ 1 + κκ 2 ) Anordnung III: Symmetrie: JJ (rr ) = JJ 0 ee xx EE (rr ) = EE(xx)ee xx φφ(rr ) = φφ(xx) IR-Methodik RR IIIIII = 1 GG IIIIII = κκ2 aa llll κκ1 bbbb(κκ 2 κκ 1 ) GG II = 1 RR II = κκκκκκ bb GG IIII = 1 = κκκκκκ RR IIII cc RR IIIIII = 1 aa llll κκ 2 κκ = lim 1 = lim GG IIIIII κκ 2 κκ 1 bbbb(κκ 2 κκ 1 ) xx 1 aa llllxx κκbbbb(xx 1) = aa κκκκκκ -C15-