Laborversuche zur Physik I. Versuch I-03: Pohlsches Rad

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1 Laborversuche zur Physik I Versuch I-03: Pohlsches Rad Versuchsleiter: Autoren: Kuschel Kai Dinges Michael Beer Gruppe: 15 Versuchsdatum:

2 Inhaltsverzeichnis 2 Aufgaben und Hinweise Inbetriebnahme Schwingungsdauer des ungedämpften Pendels Resonanzkurven, logarithmisches Dekrement, Phasendifferenz logarithmisches Dekrement Resonanzkurven Messung der Resonanzkurven Bestimmung der Maxima der Resonanzkurven Maximale Amplituden als Funktion der Dämpfung Aufgaben und Hinweise Bei dieser Versuchsreihe ist das Ziel, freie und erzwungene gedämpfte Drehschwingungen zu untersuchen. Eine freie gedämpfte Drehschwingung wird bei nicht zu großer Dämpfung durch Gleichung 1 beschrieben. Φ = Φ 0 e βt ( β ω sinωt + cosωt ) (1) Offensichtlich ist also die Auslenkung Φ einmal von der Anfangsauslenkung Φ 0 abhängig, wobei offensichtlich ist, dass Φ proportional zu Φ 0 ist. Weiterhin wird die Auslenkung durch den Reibungskoeffizienten β beeinflusst. Dessen Vergrößerung beschleunigt zum Einen das Abklingen der Kurve von Φ, zum Anderen erhöht sie aber auch die Auslenkungsspitzen. Zuletzt ist Φ noch von der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit ω abhängig, welche die Schwingugnsdauer des schwingenden Systems widerspiegelt. Eine Vergrößerung dieses Parameters führt also trivialer Weise zu einer Vergrößerung der Schwingungsdauer. Komplexer stellt sich die Situation eines erzwungen schwingenden Systems dar. Seine Auslenkungsfunktion ist gegeben durch Gleichung 2. Φ = Φ a cos(ω a t α), (2) Φ a = D 0 (ω Θ 2 0 ωa 2 ) 2 + (2βωa ) 2 Betrachtet man diese Gleichung, so sieht man, dass die Auslenkung abhängig von der Winkelgeschwindigkeit des Erregers ω a, welche als Winkelgeschwindigkeit des schwingenden Systems die Schwingungsdauer T des schwingenden Systems bestimmt. Der zweite Parameter α bestimmt die Fasenverschiebung zwischen Schwingungsverlauf des Erregers und des erregten Systems, welche durch die Gleichung tanα = Kω a Θ ( ω 2 0 ω2 a ) 2 gegeben ist. Dieser Parameter verändert also qualitativ den Schwingungsverlauf nicht, sondern verschiebt diesen lediglich in Richtung der Zeitachse. Die resultierende maximale

3 Auslenkung Φ a wird einmal bestimmt durch die Winkelrichtgröße D 0. Die maximale Auslenkung ist proportional zu D 0. Der zweite bestimmende Parameter ist das Trägheitsmoment Θ, wobei sich die Auslenkung indirekt proportional zu Θ verhält. So ist die maximale Auslenkung also durch die Beziehung 2β = D 0 Θ auch, allerdings wegen des Termes (2βω a) 2 im Nenner nur annähernd proportional zum Reibungsfaktor β. Weniger Einfluss nimmt die Resonanzfrequenz ω 0, eine Vergrößerung der Erregerwnkelgeschwindigkeit hat eine Abnahme von Φ a zur Folge. 2.1 Inbetriebnahme Der Aufbau erfolgte anweisungsgemäß, es ergaben sich keine Probleme. 2.2 Schwingungsdauer des ungedämpften Pendels Zunächst war die Schwingungsdauer des ungedämpften Pendels zu ermitteln. Dazu wurde das Pendel ausgelenkt, losgelassen und die Dauer einer Schwingung mittels einer Stoppuhr ermittelt. Wir maßen dabei jeweils die Dauer von 10 Schwingungen zu 5 verschiedenen Auslenkungen. Das Ergebnis ist in Tabelle 1 zu sehen. Auslenkung / Skaleneinheiten 10T /s ±0, 5s 20 18, , , , ,85 Mittelwert T/ s 1,88 ± 0,05 Tabelle 1: Die Messwerte zur Ermittlung der Schwingungsdauer des ungedämpften Pendels. 10T Gemessen zu je 10 Schwingungen, der Mittelwert ergibt sich über T = 10 5, der maximale Fehler des Mittelwertes trivialerweise aus T = max{ 10T 10 } Der Mittelwert T als die Dauer einer Schwingung ergibt sich einfach aus T = 10T 10 5 der Fehler der Mittelwertes zu (3) T = max{ 10T 10 } (4) Damit ergibt sich T = (1, 88 ± 0, 05)s 2.3 Resonanzkurven, logarithmisches Dekrement, Phasendifferenz logarithmisches Dekrement Als logarithmisches Dekrement bezeichnet man den Reibungskoeffizienten β, der in Gleichung 1 im Exponenten auftritt. Dieser war in diesem Versuchsabschnitt zu bestimmen, indem Das

4 Rad bei eingetellter Dämpfung angestoßen und dann die maximalen Amplitude nach jeder Schwingung fortlaufend abgelesen wurde, bis die Amplituten unter die Messgenauigkeit fielen. Die Amplitudenverhältnisse aufeinanderfolgender Schwingungen liefern das logarithmische Dektrement. Wir maßen bei Dämpfungsströmen von 150 ma, 220 ma, 290 ma, 360 ma, 430 ma, 490 ma, und mittelten für jeweils eine konstante Dämpfung über die sich ergebenden Dekremente. Die Ergebnisse sind in den Tabellen 2 für einen Dämpfungsstrom von 150 ma bis 7 für einen Dämpfungsstrom von 490 ma. Amplitude A i /Skaleneinheiten Verhältnis Λ = Log A i 1 A i Fehler Λ 20,00 18,00 0,11 0,04 17,00 0,06 0,05 16,00 0,06 0,05 15,00 0,06 0,05 14,00 0,07 0,06 13,00 0,07 0,06 12,00 0,08 0,07 11,25 0,06 0,07 10,50 0,07 0,08 9,50 0,10 0,08 9,00 0,05 0,09 8,50 0,06 0,09 7,50 0,13 0,11 7,00 0,07 0,11 6,50 0,07 0,12 6,00 0,08 0,13 5,50 0,09 0,15 5,00 0,10 0,16 4,50 0,11 0,18 4,25 0,06 0,19 3,75 0,13 0,22 3,50 0,07 0,23 3,25 0,07 0,25 3,00 0,08 0,27 Mittelwert Λ 0,08 0,12 Tabelle 2: Amplituden und Verhlältnisse mit Fehler für einen Dämpfungsstrom von 150 ma sowie der Mittelwert der Verhältnisse, zu gleich das logarithmische Dekrement und der Mittelwert des Fehlers Zur Fehlerberechnung wurde die altbekannte Formel 5 benützt. Λ = Λ A A + Λ i A A (5) i 1 = A i 1 A 2 A + A i 1 A i i A i A 2 A i 1

5 Amplitude A i /Skaleneinheiten Verhältnis Λ = Log A i 1 A i Fehler Λ 20,00 17,50 0,13 0,02 15,50 0,12 0,03 14,00 0,10 0,03 12,40 0,12 0,03 11,00 0,12 0,04 9,80 0,12 0,04 8,60 0,13 0,05 7,60 0,12 0,05 6,80 0,11 0,06 6,00 0,13 0,07 5,40 0,11 0,07 4,60 0,16 0,09 4,20 0,09 0,10 3,40 0,21 0,12 3,00 0,13 0,13 2,80 0,07 0,14 2,40 0,15 0,17 2,00 0,18 0,20 1,80 0,11 0,22 1,40 0,25 0,29 1,20 0,15 0,34 1,00 0,18 0,41 0,80 0,22 0,51 0,60 0,29 0,69 Mittelwert Λ 0,15 0,16 Tabelle 3: Amplituden und Verhlältnisse mit Fehler für einen Dämpfungsstrom von 220 ma sowie der Mittelwert der Verhältnisse, zu gleich das logarithmische Dekrement und der Mittelwert des Fehlers = A i 1 A 2 A + 1 A (6) i A i 1 Als Ablesefehler mussten A = 0, 4Skaleneinheiten angenommen werden. Damit ergibt sich als Endergebnis mit dieser Methode ein logarithmisches Dekrement von 0, 08 ± 0, 12 für eine Dämpfung von 150mA, 0, 15±0, 16 für 220mA, 0, 2±0, 4 für 290mA, 0, 3±0, 5 für 360mA, 0, 5 ± 0, 5 für 430mA sowie 0, 5 ± 0, 7 für 490mA. Allerdings lassen sich die Mittelwerte auch mit bedeutend weniger Aufwand ermitteln. Es gilt ja Λ = 1 n ( ) Ai 1 ln n A i=2 i = 1 ( ln A 1 + ln A ln A ) n 1 n A 2 A 3 A n = 1 n (lna 1 lna 2 + lna 2 lna lna n )

6 Amplitude A i /Skaleneinheiten Verhältnis Λ = Log A i 1 A i Fehler Λ 20,00 16,50 0,19 0,02 13,40 0,21 0,03 11,20 0,18 0,04 9,40 0,18 0,04 7,60 0,21 0,05 6,40 0,17 0,06 5,00 0,25 0,08 4,40 0,1 0,1 2,80 0,2 0,2 2,20 0,2 0,2 1,60 0,3 0,3 1,20 0,3 0,4 1,00 0,2 0,4 0,80 0,2 0,5 0,60 0,3 0,7 0,40 0,4 1,1 0,20 0,7 2,5 Mittelwert Λ 0,2 0,4 Tabelle 4: Amplituden und Verhlältnisse mit Fehler für einen Dämpfungsstrom von 290 ma sowie der Mittelwert der Verhältnisse, zu gleich das logarithmische Dekrement und der Mittelwert des Fehlers Λ = 1 n (lna 1 lna n ) (7) So folgt auch für den Fehler aus Gleichung 5 eine andere, einfachere Form: Λ = 1 A + 1 A (8) na 1 na n Aus den Gleichungen 7 und 8 ergeben sich als Werte des mittleren Dekrementen Λ für eine Dämpfung von 150mA Λ = 0, 08 ± 0, 031, für eine Dämpfung von 220mA Λ = 0, 14 ± 0, 014, für 290mA Λ = 0, 24 ± 0, 05, für 360mA Λ = 0, 33 ± 0, 07, für 430mA Λ = 0, 42 ± 0, 09 und für 490mA Λ = 0, 51 ± 0, Resonanzkurven Nun waren Resonanzkurven bei verschiedenen Dämpfungen zu ermitteln. Dazu sollte zunächst ein Vorversuch bei mittlerer Dämpfung durchgeführt werden, um generelle Aussagen über den Resonanzverlauf zu erhalten. Zunächst sollte von der in 2.2 Resonanzfrequenz ausgehend die Erregerfrequenz verringert bzw. erhöht werden, bis die Amplitude sich nicht mehr wesentlich veränderte. Dies war bei uns bei den Frequenzen ω u 0, 746Hz bzw ω a 0, 197Hz. Dabei zeigte sich eine Fasenverschiebung von π bei der oberen Schranke ω a und von 0 bei der unteren Schranke ω u. Die Amplitude fiel zunächst rasch ab, entfernte sich die Erregerfrequenz von der Resonanzfrequenz ω 0. Bei größerem Unterschied dieser Frequenzen verlangsamte sich der Amplitudenabfall zusehends.

7 Amplitude A i /Skaleneinheiten Verhältnis Λ = Log A i 1 A i Fehler Λ 20,00 15,00 0,29 0,03 11,00 0,31 0,04 8,60 0,25 0,05 6,40 0,30 0,07 4,80 0,29 0,09 3,60 0,29 0,12 2,80 0,25 0,15 2,00 0,34 0,21 1,40 0,34 0,4 0,60 0,51 0,8 0,40 0,41 1,1 0,20 0,69 2,5 Mittelwert Λ 0,3 0,5 Tabelle 5: Amplituden und Verhlältnisse mit Fehler für einen Dämpfungsstrom von 360 ma sowie der Mittelwert der Verhältnisse, zu gleich das logarithmische Dekrement und der Mittelwert des Fehlers Messung der Resonanzkurven Die tatsächsliche Bestimmung des Frequenzgangs geschah nun, indem man bi konstanter Dämpfung von der maximalen Frequenz ω a in möglichst festen Schritten die Erregerfrequenz verringert und die jeweils gemssene Amplitude grafisch gegen die Erregerfrequenz anträgt. Als Dämpfungsströme waren die Werte aus zu benutzen. Die so gefundenen Kurven sind in den Grafiken 1 bis 6 dargestellt Bestimmung der Maxima der Resonanzkurven Es sollten nun die Maxima aus den Grafiken ermittelt werden. Anschließend sollte überprüft werden, ob sich eventuell ein Zusammenhang zwischen ω a max und β ergibt. Hierfür sollten zunächst die von der in hergeleiteten Gleichung 13 vorhergesagten Maxima in die Resonanzkurven eingetragen werden. Dazu war zunächst aus den Ergebnissen von Λ die Dämpfung β zu berechnen. Laut Versuchsbeschreibung herrscht hier der einfache Zusammenhang β = Λ T (9) Man findet mit den Ergebnissen aus 2.2 und β 150mA 0, 08/1, 88s = 0, s β 220mA 0, 14/1, 88s = 0, s β 290mA 0, 24/1, 88s = 0, 13 1 s

8 Amplitude A i /Skaleneinheiten Verhältnis Λ = Log A i 1 A i Fehler Λ 20,00 13,40 0,40 0,03 8,80 0,42 0,05 6,00 0,38 0,07 4,00 0,41 0,11 2,60 0,43 0,17 1,60 0,49 0,28 1,00 0,5 0,5 0,60 0,5 0,8 0,40 0,4 1,1 0,20 0,7 2,5 Mittelwert Λ 0,4 0,5 Tabelle 6: Amplituden und Verhlältnisse mit Fehler für einen Dämpfungsstrom von 430 ma sowie der Mittelwert der Verhältnisse, zu gleich das logarithmische Dekrement und der Mittelwert des Fehlers Amplitude A i /Skaleneinheiten Verhältnis Λ = Log A i 1 A i Fehler Λ 20,00 12,00 0,51 0,04 7,20 0,51 0,06 4,40 0,49 0,10 2,60 0,53 0,18 1,40 0,6 0,3 0,80 0,6 0,6 0,40 0,7 1,3 0,20 0,7 2,5 Mittelwert Λ 0,5 0,7 Tabelle 7: Amplituden und Verhlältnisse mit Fehler für einen Dämpfungsstrom von 490 ma sowie der Mittelwert der Verhältnisse, zu gleich das logarithmische Dekrement und der Mittelwert des Fehlers β 360mA 0, 33/1, 88s = 0, 18 1 s β 430mA 0, 42/1, 88s = 0, 22 1 s β 490mA 0, 51/1, 88s = 0, 27 1 s Und somit ergeben sich für die Frequenen maximaler Amplitude ω 150mA = ω 220mA = ( 1 T 2 2 0, , 528Hz s) ( 1 T 2 2 0, , 522Hz s)

9 Abbildung 1: Resonanzkurve des pohlschen Rads für eine Dämpfung von 150 ma. Es sind die Amplituden in Skaleneinheiten angetragen gegen die Erregerfrequenzen in Hz ω 290mA = ω 360mA = ω 430mA = ω 490mA = ( 1 T 2 2 0, , 499Hz s) ( 1 T 2 2 0, , 467Hz s) ( 1 T 2 2 0, , 431Hz s) ( 1 T 2 2 0, , 370Hz s) Die aus den Grafiken 1 bis 6 lauten (10) ω 150mA = 0, 520Hz ω 220mA = 0, 520Hz ω 290mA = 0, 520Hz ω 360mA = 0, 520Hz ω 430mA = 0, 520Hz ω 490mA = 0, 530Hz Offensichtlich entsprechen diese Ergebnisse nicht den theoretisch ermittelten Werten. Offenbar liegt dies an den grafisch ermittelten Werten, da diese im Grunde gar nicht variieren. Woran dies liegt, kann allerdings nicht einfach erklärt werden, vor allem, da alle anderen Merkmale der Resonanzkurven durchaus plausibel erscheinen. Auch wenn also die Erstellung eines Fittes über diese grafisch ermittelten Werten wenig sinnvoll erscheint, wurde dennoch versucht, den Fit zu kreieren. Dazu wurde zunächst eine Datei gm.dat, die eine Liste aus

10 Abbildung 2: Resonanzkurve des pohlschen Rads für eine Dämpfung von 220 ma. Es sind die Amplituden in Skaleneinheiten angetragen gegen die Erregerfrequenzen in Hz den Dämpfungen und zugehörigen obigen Werten enthielt, erstellt. Dann wurde in GnuPlot die Funktion f(x) als f(x)=a/sqrt((b**-x**)**2+(2*c*x)**2) definiert und dann die Parameter a,b und c mittels fit f(x) gm.dat via a,b,c angepasst. Es ergaben sich für a = 1,74666, b = 1,83589 und c = 0, Ein Plot dieser Funktion f(x) ist in Abbildung 7 zu sehen Maximale Amplituden als Funktion der Dämpfung Als Letztes war nunmehr ein Zusammenhang zwischen den Frequenzen maximaler Amplitude und der Dämpfung zu bestimmen. Dazu war von Gleichung 11 auszugehen. D 0 Φ a (ω a ) = (ω Θ 2 0 ωa 2 ) (11) 2 + (2βωa ) 2 Φ a 2D 0 Θ (( ω0 2 = ) ω2 a ( 2ωa ) + 8β 2 ) ω a ω a (ω ( ωa) 2 2 (ω + (2βωa ) 2 Θ ωa 2 ) (12) 2 + 2) (2βωa ) Φ a ω a = 0 (( ) ) 0 = D 0 Θ ω0 2 ωa 2 ( 2ω a ) + 4β 2 ω a ( ) 0 = 2ωa 2 + 4β 2 2ω0 2 ω a (β) = ω 2 0 2β2 (13) Sie Beschreibt die Amplitude Φ a in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ω a. Alles läuft darauf hinaus, die Maxima dieser Funktion zu bestimmen. Dazu ist diese zunächst abzuleiten, womit sich zunächst 12, und dann, nach Nullsetzen dieser Gleichung,neben der Triviallösung ω a = 0, 13 ergibt. Es ist offensichtlich, dass diese Funktion 11 keine Minima bestitzt, so dass die gefundenen Extrema Maxima darstellen. Damit ist 13 der geforderte Zusammenhang. Es

11 Abbildung 3: Resonanzkurve des pohlschen Rads für eine Dämpfung von 290 ma. Es sind die Amplituden in Skaleneinheiten angetragen gegen die Erregerfrequenzen in Hz zeigt sich auch deutlich, dass für kleine Dämpfungen β ω a ω 0 gilt, wie erwartet. Für größere Dämpfungen wird ω a zusehends kleiner und verschwindet ab ω 0 = 2β ganz.

12 Abbildung 4: Resonanzkurve des pohlschen Rads für eine Dämpfung von 360 ma. Es sind die Amplituden in Skaleneinheiten angetragen gegen die Erregerfrequenzen in Hz Abbildung 5: Resonanzkurve des pohlschen Rads für eine Dämpfung von 430 ma. Es sind die Amplituden in Skaleneinheiten angetragen gegen die Erregerfrequenzen in Hz

13 Abbildung 6: Resonanzkurve des pohlschen Rads für eine Dämpfung von 490 ma. Es sind die Amplituden in Skaleneinheiten angetragen gegen die Erregerfrequenzen in Hz Abbildung 7: Plot der Fitfunktion für die Frequenz maximaler Amplitude gegen die Dämpfung angetragen.