Der Graph der Logarithmusfunktion entsteht aus dem Graphen der Exponentialfunktion durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.

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Fabian Fischer
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1 0. Logaithmusfunktion n de Abbildung sind de Gaph de Exponentialfunktion zu Basis und de Gaph ihe Umkehfunktion, de Logaithmusfunktion zu Basis dagestellt. Allgemein: Die Exponentialfunktion odnet jede eellen Zahl x eindeutig die Zahl zu ( 0, ). Das Poblem die Gleichung fü 0 nach x aufzulösen, füht auf die Gleichung. Die Logaithmusfunktion ist also die Umkehfunktion de Exponentialfunktion. Vetauscht man nachtäglich die Vaiablen x und y, so bewikt dies gaphisch eine Spiegelung de Exponentialkuve an de.winkelhalbieenden. Gegebene Funktion: Exponentialfunktion:, 0, Umkehfunktion Logaithmusfunktion: 0,, De Gaph de Logaithmusfunktion entsteht aus dem Gaphen de Exponentialfunktion duch Spiegelung an de. Winkelhalbieenden. Log_fkt.docx /ul

2 . Logaithmen in Anwendungsbeeichen Chemie: ph-wet eine Lösung Wid eine Säue in Wasse gelöst, so entstehen H3O+-onen, die fü das saue Vehalten de Lösung massgebend sind. De ph-wet eine Lösung betägt, wobei die + -Konzentation in mol po Lite bedeutet. Diese Wet ist ein Mass dafü, wie saue ode basisch eine Lösung ist. Je niedige de ph-wet ist, desto stäke saue ist die beteffende Lösung. n Essig misst man z.b. einen ph-wet von 3. Beechnen Sie den ph-wet a) eine Lauge mit c mol/lite b) von Wasse mit c 0-7 mol/lite c) eine Säue mit c mol/lite. d) Wähend eines Gewittes misst man beim Regenwasse den ph-wet.8. Wievielmal gösse ist die Konzentation c als in einem Wasse? Lösung: a) ph-wet:.60 b) 7 c).4 d).8 c ungefäh mal gösse. 7 0 Astonomie: Helligkeit eines Stens n de Astonomie wid die Helligkeit m von Stenen mit de folgenden Fomel bestimmt: J m.5 log0 Masseinheit mag (Magnitudo) J0 Dabei bedeutet J die physikalisch messbae Stahlungsintensität [W/m ]. Fü die Sonne gilt m -6.7 mag und J W/m (sogenannte Solakonstante). a) Beechnen Sie J0 [W/m ]. b) Die Helligkeit des Polastens betägt m. mag. Beechnen Sie die Stahlungsintensität J [W/m ]. c) Die schwächsten, mit dem Hubble-Weltaumteleskop geade noch eeichbaen Stene haben eine Gösse von 30 mag. Wievielmal gösse ist die Stahlungsintensität de Sonne? a) W/m b) W/m c) Log_fkt.docx /ul

3 3 Schallintensität, das Webe-Fechnesche Gesetz Schallwellen sind Duckschwankungen de Luft. Die ntensität eines Schalls wid in Watt po Quadatmete gemessen. Diese objektive, messbae Gösse gibt an, wie viel Enegie po Zeit (Watt) und po Fläche (m ) ankommt. Die subjektiv empfundene Lautstäke wid in Dezibel (db) gemessen. Eine doppelte ntensität wid nämlich nicht als doppelt so laut empfunden. Nach dem sogenannten Webe-Fechneschen Gesetz ist die Sinnesempfindung nämlich popotional zum Logaithmus des physikalischen Reizes. Zwischen diesen beiden Gössen besteht de folgende Zusammenhang: ( ( ) ) L 0 log + Die Lautstäke 0 db ist die Höschwelle, bei de man subjektiv nichts meh wahnimmt. h entspicht die ntensität W/m. Beim gleichzeitigen Einwiken von veschiedenen Schallquellen können deen ntensitäten addiet weden. Eine Vegösseung um 0 db entspicht eine Vezehnfachung de Schallintensität. Welche Lautstäken gehöen zu den folgenden Schallintensitäten? L db Beispiele: db Blätteauschen Autohupe in m Abst Schmezgenze Eine Guppe von sieben Rockmusiken ezeugt in einem Raum die Lautstäke db. Wie viele Musike müssten dazukommen, wenn die Laustäke auf 30 db (Schmezgenze) ehöht weden soll? Lösung: "7 0 7% + "' 0 '% + 30 '% 7% ) * +, 0.8 * ' 44 Es müssten also 37 Musikeinnen dazu kommen. Die objektive Schallintensität ist umgekeht popotional zum Quadat des Abstands von de Schallquelle: d.h. in doppeltem Abstand von de Schallquelle betägt, die ntensität nu noch ein Vietel, denn die Enegie veteilt sich auf die viefache Fläche. Die folgenden Übungsaufgaben untesuchen, wie sich folglich die subjektive Lautstäke ändet, wenn man sich von de Quelle entfent? Log_fkt.docx /ul

4 4 Übungsaufgaben:. Um wieviel db nimmt die Lautstäke ab, wenn man den Abstand von de Schallquelle a) vedoppelt b) vezehnfacht? Wegen gilt 4 ode also 4 Wegen " 0 % + und " 0 3 % % + 0 4a) " " 0 4 " 6 Die Lautstäke nimmt also bei a) um 4 db und bei b) um 0 ab.. Ein Moped mit gutem Auspuff entwickelt in 7m Abstand ca. 90 db a) welche Lautstäke ezeugen zwei solche Mopeds? b) Wie viele Mopeds mit gutem Auspuff entwickeln die gleiche Lautstäke wie ein Moped mit schlechtem Auspuff (ca. 05 db) c) n welche Entfenung entwickelt ein Moped mit schlechtem Auspuff die gleiche Lautstäke wie ein Moped mit gutem Auspuff in 7 m Entfenung? Lösungen: Mit de Umkehfunktion von L 0 ( log ( ) ) beechnet weden: + kann die ntensität aus de Lautstäke Aus log % + 9 folgt % 0 : 3; < und somit fü einen guten Auspuff wegen " 90: % 0?; 3; < 0 < und () fü einen schlechten Auspuff " 05: % 0 3;A 3; < 0 <.B () a) " 0 % % " b) Wegen ) und ) muss fü die ntensitäten gelten: ' % % C ode ' D E G3.A D F GH 0.B 3 c) Aus L 7 0.B 7 0 H N folgt J 3 K D 3 D J ode L L K D 3 D J mit L 7, % 0 <.B und % 0 < Log_fkt.docx /ul

5 5 Die Richteskala bei Edbeben De Seismologe Richte ( ) bestimmte eine Methode zu Messung de ntensität von Edbeben. Dazu veglich Richte mit einem Seismogaph die Wikung eines Edbebens mit de feigesetzten mechanischen Enegie E in Tonnen TNT bei eine unteidischen Explosion. Die sogenannte Richteskala ist definiet zu + log E Einheit: Magnituden S 3 0 a) Welchen Magnituden entspechen die Wikung von kg, Tonne, Kilotonne 000 Tonnen TNT (Gössenodnung eine kleinen Atombombe). Um wieviel veändet sich die Richteskala S, wenn sich E um den Fakto 0 veändet? b) Wie lautet die Gleichung de Umkehfunktion E(S), welche die feigesetzte Enegie in Funktion de Edbebenstäke angibt? c) Das bishe stäkste Edbeben wa dasjenige von Chile 960 mit eine Magnitude 9.5. Welche feigesetzten Enegie in Kilotonnen entspicht dieses Edbeben? Lösungen: a), 4, 6, wächst linea um b) O 0 H J P< c) mit S9.5 O 0.B 8 0 Log_fkt.docx /ul

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