Mathematische Modellierung der Impulsweiterleitung an markhaltigen und marklosen Neuronen

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1 Fakultät für Mathematik und Informatik Proseminar zur Lineare Algebra und Analysis Wintersemester 2009/2010 Mathematische Modellierung der Impulsweiterleitung an markhaltigen und marklosen Neuronen Das Hodgkin- Huxley und FitzHugh- Nagumo Modell Nicole Susky Betreuer: Prof. Dr. Wegert 25. Januar

2 Ziele: - Verständnis für die Entwicklung mathematischer Modelle in physiologischen Systemen erzeugen - Vorstellung eines 4- dimensionalen Modells, Möglichkeit der Modellierung mittels Differentialgleichungen und Aufzeigen von positiven Eigenschaften und Defiziten - Vorstellung einer Vereinfachung des komplexen Modellen durch Linearisierung - qualitative Analyse - Übertragungsmöglichkeit auf die Humanmedizin an einem konkreten Beispiel 2

3 Inhalt 1 Einleitung 2 Anatomie des menschlichen Gehirns 3 Anatomie des Nervensystems 3.1 Allgemeine Gliederung 3.2 Aufbau einer Nervenfaser (Neurofibria) 4 Physiologie eines Neurons 4.1 Prinzip des Erregungsverlaufes 4.2 Ionenkanäle und Ionenpumpen 4.3 Ruhemembranpotential 4.4 Impulsweiterleitung 3

4 5 Das Hodgkin- Huxley Modell 5.1 Allgemeine Beschreibung und physikalischer Hintergrund des Modells 5.2 Modellierung durch Differentialgleichungen und möglicher Lösungsansatz 5.3 Verhalten der Trajektorien in Abhängigkeit des externen Stroms 5.4 Conclusion 5.5 Das Hodgkin- Huxley Modell am Beispiel der Multiplen Sklerose 6 Das Modell von FitzHugh und Nagumo 6.1 Von der Hodgkin- Huxley- Gleichung zum FitzHugh-Nagumo- System 6.2 Anwendung der Stabilitätsanalyse auf das FitzHugh-Nagumo- System 4

5 7 Diskussion 8 Literaturverzeichnis A Anhang A 1 Grundlagen der Elektrophysiologie A 2 Grundlagen der Biochemie A 4 Mathematische Grundlagen A 4 Warum Nervenzellen schneller arbeiten als die Theorie erlaubt 5

6 1 Einleitung - erste Manipulationen am Schädel/ Gehirn in Jungsteinzeit v. Chr. Jahre erste OP am knöchernen Schädel - ca Jahre später OP am ZNS v. Chr. erste Beschreibungen des Aufbaus des Gehirns Experimente am NS des Kalmars und Modellentwicklung durch Hodgkin und Huxley - danach ständige Weiterentwicklung aufbauend auf diesem Modell im Bereich der Medizin, Medizintechnik, Informatik und Bioinformatik 6

7 2 Anatomie des menschlichen Gehirns - Schutzmechanismen: 1. verformbare Zone (Kopfschwarte) 2. stabile Zone (Schädel) 3. Verzögerungszone (Liquorraum) 4. Hirnhäute (auch um das RM): - Dura mater cranialis/ spinalis (äußere) - Arachnoidea mater cranialis (Spinnenwebenhaut) - Pia mater cranialis/ spinalis (innere) Liquor:- klare, elektrolyt-, protein-, glucose- und zellhaltige Flüssigkeit zwischen Hirnhäuten, in Hirnkammern und Spinalkanal vorhanden - Temperatur-, Schutz-, Transport- und Ernährungsfunktion 7

8 Allgemeiner Bau Lippert, Herbert (2003) 8

9 Aufgaben Sensorik Regulation der Atmung Motorik Emotionen Willkürmotorik Unwillkürmotorik Hormonregulation & - synthese Bewusstsein Linde, M.2009 Koordination Reflexe Tag- Nacht- Rhythmus Zusammenspiel von Organen Kontrolle von Körperfunktionen Pupillenreflex Sinneswahrnehmung Wasserhaushalt Kreislauf 9

10 3 Anatomie des Nervensystems 3. 1 Allgemeine Gliederung Der Mensch- Anatomie- Atlas

11 Funktionelle Gliederung: - animalisches NS: Auseinandersetzen mit der Umwelt - vegetative NS: Koordination der einzelnen Organe Morphologische Gliederung: - ZNS: Hirn und RM - PNS: Verbindung zwischen ZNS und Organen 11

12 Rückenmark mit motorischen Vorderhorn (efferent) und sensorischem Hinterhorn (afferent) Lippert, Herbert (2003) 12

13 3. 2 Bau einer Nervenfaser Wikipedia

14 Soma:= Nervenzellkörper - Zellkern, Organellen, Cytoplasma - Produktion lebensnotwendiger Stoffe Dendriten: - aus Soma entspringende Fortsätze - Aufnahme synaptisch übertragener Informationen - Ansatz für zahlreiche Präsynapsen Axonhügel: - Beginn der Ausgangsseite des Neurons - Ursprungsstelle des Axons am Soma - Ort der Generation eines AP 14

15 Axon: - Zellfortsatz der Ausgangsseite - beinhaltet Axoplasma, Axolemm (Fortsetzung der Zellmembran) - Fortpflanzen der Depolarisationswelle an der Membran in Richtung Synapse - von Gliazellen umgeben - marklose Neuriten: Umhüllung durch Gliazellen - markhaltige Neuriten: hochspezialisierte, lipidhaltige Membran umhüllt Axon Myelinscheide Isolation vom Außenmedium - Markscheide von Rangvier Schnürringen unterbrochen (Einschnürungen) Kontakt zum elektolythaltigen Extrazellulärraum Impulsleitung 15

16 Synapse: Menche, N. / Schäffler, A. (2000) 16

17 Arten von Synapsen: - interneuronale Synapsen: axodendritisch, axosomatisch, axoaxonal, somatodendritisch, somatosomatisch, dendrodenritisch - neuromuskuläre Synapse: motorische Endplatte - neuroepitheliale Synapse: Nerv- Hormondrüse 17

18 4 Physiologie eines Neurons 4. 1 Prinzip des Erregungsverlaufs - Aufnahme elektrischer Signale über Dendriten und Weiterleitung über Perikaryon zum Axonhügel - überschwelliger Reiz generiert AP - Impulstransport an Axolemm bis zur Synapse - dort Übersetzung des elektrischen Signals in chemisches Signal Impulsübertragung auf nachfolgendes Neuron 18

19 kontinuierlicher und diskontinuierlicher Erregungsverlauf Probst, W. / Schuchardt, P. [u. a. ] (2004) 19

20 4. 2 Ionenkanäle und Ionenpumpen -Natrium-Kalium-Pumpe: - Proteinkomplex, der unter ATP- Verbrauch Natrium- Ionen nach innen und Kalium- Ionen nach außen transportiert Erhalt des Ruhepotentials - Ionenkanäle: - selektive, spannungsabhängige Proteinkomplexe selektive Permeabilität der Membran - chemisch gesteuerte Kanäle (z. B. Rezeptoren) - mechanisch gesteuerte Komplexe an Zelloberfläche 20

21 Biomembran mit eingelagerten Proteinstrukturen: - Natrium- Kalium- Pumpe: aktiver Transport - Ionenkanal: passiver Transport Probst, W. / Schuchardt, P. [u. a. ] (2004) 21

22 4. 3 Ruhemembranpotential - Aufgrund eines Konzentrationsgradienten, werden Ionen mit Hilfe von Ionenpumpen entlang der Potenzialdifferenz durch Biomembran transportiert - Bestreben der Zelle Konzentrationsunterschiede auszugleichen Ausstrom positiv geladener Teilchen Anionen verbleiben im Inneren negative Ladung im Intrazellularraum, positive Ladung außerhalb Ruhezustand von ca. -70mV 22

23 4. 4 Impulsweiterleitung Phasen der Reizleitung - überschwelliger Reiz Depolarisation der Membran Entstehung eines AP (+30mV im Inneren durch Natriumeinstrom) Höhepunkt der Depolarisation Versiegen des Natriumeinstroms und verstärkter Kaliumausstrom = Repolarisation - starker Kaliumausstrom Hyperpolarisation (-100mV) totale Refraktärphase relative Refraktärphase Silbernagel, S. (1991) 23

24 5 Das Hodgkin- Huxley Modell 5.1 Allgemeine Beschreibung und physikalischer Hintergrund des Modells Hartmann, K. (2010) : Experimente von Alan Hodgkin und Andrew Huxley am Riesenaxon eines Kalmars zur Erforschung der Funktion von Neuronen und mathematischer Modellbildung : Nobelpreis für Medizin 24

25 Voltage- Clamp Technik - Anlegen eines externen Stromes (Iext) an das Axon mittels Klammertechnik zur Simulation eines AP - Fortpflanzen des AP entlang der Membran aufgrund verschiedener Membranpotentiale (E) - Vermögen der Steuerung der Potentiale der NZ ermöglichte zellein- oder zellauswärtsgerichtete Ionenflüsse auszulösen - kausale Zusammenhänge, d.h. ob Ionenflüsse positiv geladen, zelleinwärts- oder negativ geladene, zellauswärtsgerichtete Ströme sind, bedurfte weitere Untersuchungen 25

26 Schaltplan des Modells Krappe, Sebastian (2006) Cm gk gna gl E EK ENa EL Membrankapazität Leitfähigkeit für Kalium Leitfähigkeit für Natrium Leitfähigkeit der Leckströme momentanes Membranpotential Kalium- Gleichgewichtspotential Natrium- Gleichgewichtspotential Gleichgewichtspotential der Leckströme 26

27 Mathematische Modellierung - die Abhängigkeit des Natrium- Ionenstromes (INa) von der Natriumleitfähigkeit (gna), dem momentanen Membranpotential und Natrium- Gleichgewichtspotential (ENa) wird wie folgt ausgedrückt: INa= gna (E- ENa) (1) analog für Kalium- Ionenstrom: und Leckströme: IK= gk (E- EK) (2) IL= gl (E- EL) (3) 27

28 Wirkung von Spannungsunterschieden und zeitlicher Veränderung des Membranpotentials: wobei Ii= INa+ IK+ IL => (4) Einsetzen von (1), (2), (3), (4) und Anwendung des Ohmschen Gesetzes: => (5) 28

29 Dynamiken der Ionenkanäle - Einführen von Gatevariablen m, n und h und Maximalleitfähigkeiten der Ionenkanäle GNa und GK, die den momentan durch die Membran fließenden Strom beschreiben (=Dynamik) 29

30 Gatevariablen für Natriumkanal - drei aktivierende Tore, sog. m- Tore - ein inaktivierendes h- Tor Zustände des Kanals: 1. Ruhezustand: h-tor geöffnet, m- Tore geschlossen Jones, D. S. / Sleeman, B.D. (2003) 2. Reizung: alle Tore geöffnet 3. Phase der Inaktivierung: h- Tor geschlossen, m-tore geöffnet 4. Refraktärphase: alle Tore geschlossen (Gatevariable n für Kaliumkanal analog) 30

31 Modellierung der Gleichungen - m beschreibt Wkt., dass ein m- Tor geöffnet ist und Anstieg der Natriumleitfähigkeit - m 3 alle m- Tore offen - m 3 h alle Tore offen für Natriumkanal gilt: gna = m 3 h GNa (6) für Kaliumkanal gilt: gk = n 4 GK (7) (6), (7) in (5) 31

32 Gleichungen für Gatevariablen mit (1-m) (1-n) (1-h) potentialabh. Reaktionsgeschwindigkeit des Übergangs vom geschlossenen in den offenen Zustand potentialabh. Reaktionsgeschwindigkeit des Übergangs vom offenen in den geschlossenen Zustand empirisch bestimmter Anteil der geschlossenen Kanäle 32

33 5.2 Modellierung durch Differentialgleichungen und möglicher Lösungsansatz Vierdimensionales Gleichungssystem 33

34 Einführen der Kabelgleichung (Herleitung basiert auf dem Ohmschen Gesetz und den Kirschhoffschen Regeln) Warum? Das Membranpotential verschiebt sich um die Position x entlang des Axons, welches einen bestimmten Radius a besitzt und das Axoplasma einen spezifischen Widerstand R aufweist. Hodgkin- Huxley- Gleichung 34

35 5.3 Verhalten der Trajektorien in Abhängigkeit des externen Stroms Sei I=0 ein konstanter, externer Strom und (0, 0) ein stabiler, aber anregbarer Fixpunkt. - unterschwellige Störung => Entfernung von (0, 0), jedoch sofortiges Zurückkehren - überschwellige Störung=> Entfernung von (0, 0), jedoch Beschreibung einer Bahn mit großer Abweichung vom Nullpunkt bevor die Lösung zu diesem zurückkehrt Sei I 0 ein externer Strom und (0, 0) ein instabiler Fixpunkt, so entfernt sich die Lösung schon bei minimaler Störung vom Ursprung und kehrt nicht wieder zu diesem zurück 35

36 5.4 Conclusion - detaillierte Betrachtung, die den Spannungsverlauf einer axonalen Übertragung, welche sich durch den elektrochemischen Ansatz nah am biologischen Vorbild bewegt - elektrische Eigenschaften des Axons (Form, Dauer, Amplitude etc.) werden mit großer Genauigkeit vorausgesagt - Bereicherungen stellen die eingeführten Gatevariablen dar, die sich als echte Struktureigenschaften der Ionenkanäle erwiesen - Einbindung mannigfaltiger Eigenschaften der Membran, stellt gleichzeitig größtes Defizite dar => Komplexität - hohe Komplexität => Genauigkeit in der Berechnung, welche bei Vereinfachung verloren geht - nicht alle anatomischen Aspekte eines Neurons bzw. des Nervensystems berücksichtigt z. B.- Anzahl geöffneter Kanäle bei Impulsleitung entlang der Membran oder die - Größe des betrachteten Netzwerkes => weitere Parametrisierung der Gleichungen => Erhöhung der Komplexität und des Rechenaufwands 36

37 Fazit: - trotz dieser Vielseitigkeit des Systems und den damals zur Verfügung stehenden technischen Möglichkeiten, war eine so hohe Exaktheit der Berechnungen möglich Resultate aus den Experimenten stimmten mit den aus der mathematischen Modellbildung gewonnenen nahezu überein Rückschlüsse auf die Funktionsweise der biologischen Vorlage 37

38 5.5 Das Hodgkin- Huxley Modell am Beispiel der Multiplen Sklerose = chronisch Erkrankung des ZNS, bei der es zu fokalen Entzündungen mit anschließender Vernarbung des Gewebes kommt. Es entstehen irreversible Läsionen in den betroffenen Bereichen. Die vielfältigen Symptome erklären sich durch die Komplexität des Zentralnervensystems. Ecke, J. (2007) 38

39 Symptomen: Sehstörungen, Nystagmen, Parästhesien, Taubheitsgefühle, Schmerzen, Trigeminusneuralgie, Muskelkrämpfe, Paresen der Extremitäten mit spastischer Tonuserhöhung, Dysphagie (Schluckstörung), Ataxie (Störung der Bewegungskoordination), Kontrollverlust der Blasen- und Darmfunktion, gesteigerte physische und psychische Ermüdbarkeit, kognitive und psychische Störungen, subkortikale Demenz (im Spätstadium), etc. Hodgkin und Huxley trugen mit ihren Experimenten am Axon eines Kalmars, welcher ebenfalls marklose Neurone besitzt, enorm zum Verständnis solcher Erkrankungen bei. 39

40 6 Das Modell von FitzHugh und Nagumo Vorarbeit von FitzHugh vollständige Entwicklung von Nagumo Ziel: - Reduktion auf 2 Dimensionen - Modell algebraisch möglichst einfach gestalten ohne charakteristische Eigenschaften zu verlieren - Trennung mathematischer Eigenschaften von Fortleitung, Erregbarkeit und elektrochemischen Eigenschaften der Ionenkanäle Motivation: - Van der Pol Oszillator 40

41 6.1 Von der Hodgkin- Huxley- Gleichung zum FitzHugh- Nagumo- System Hodgkin- Huxley- Gleichung Einsetzen der Gatevariablen 41

42 Verlust charakteristischer Eigenschaften sei u = E und u unabhängig von x, jedoch abhängig von t u(1-u)(u-a) kubischer Rückkopplungsterm, welcher den momentanen Wechsel der Permeabilität für Natrium- Ionen in Abhängigkeit von der Zeit t darstellt und vergleichbar mit dem Term m 3 h G Na (E- E Na ) sei a Konstante, mit a > 0 x bezeichnet momentanen Ort auf der Membran w zeitabhängige Regenerationsvariable, welche die momentane Schwankung der Permeabilität für Kalium- Ionen darstellt und vergleichbar mit dem Term n 4 G K (E- E K ) b, positive Konstanten 42

43 FitzHugh- Nagumo- System (reduziertes, zweidimensionales System) 43

44 6.2 Anwendung der Stabilitätsanalyse auf das FitzHugh- Nagumo- System Fall 1: I(t)= 0 Stabilitätsanalyse von 0= u(1-u)(u-a)-w 0= bu- w (u, w)= (0, 0) stabiler (anziehender) Fixpunkt Betrachtung des zeitlicher Verlauf von Membranpotential v (-)und Ionenpotentiel w (--)ohne konstanten äußeren Einfluss -kurzzeitige, überschwellige Einwirkung auf v => Veränderung der Potentiale -nach Erreichen eines Maximalwerts Abklingen auf Null, d. h. es stellt sich die Ruhelage wieder ein Schuster, R. (2009) 44

45 Betrachtung des Membranpotentials v und Ionenpotentials w in der Phasenebene ohne konstante äußere Einwirkung Schuster, R. (2009) Schuster, R. (2009) 45

46 Beschreibung der obigen Abbildung - die Lösung beschreibt eine Bahn, beginnend im Ursprung und bewegt sich fast horizontal, entlang des Feldes nach rechts - dort erfolgt eine weitere Ablenkung nach oben, wobei sich die Lösung auf einem Ast der kubischen Funktion bewegt - an deren Scheitel wird sie wiederum nach links abgelenkt und folgt dem Feld bis die v- Kline erreicht wird - dort wird die Lösung nach unten abgelenkt - trifft die Lösung auf den Punkt (0, 0) stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei welchem die Lösung verbleibt 46

47 Fall 2: I(t)= 0.06 Stabilitätsanalyse von 0= u(1-u)(u-a)- w+ I 0= bu- w (u, w) = ( , 0, ) ist ein instabiler (abstoßender) Fixpunkt Betrachtung des zeitlicher Verlauf von Membranpotential v (-) und Ionenpotentiel w (--) mit konstanten äußeren Einfluss - bei konstanter positiver äußerer Einwirkung ( I>0) auf den instabilen Fixpunkt tritt ein ähnliches Phänomen auf, wie bei I=0, wobei die Lösung nicht zu dem Gleichgewichtswert zurückkehrt, sondern einen zyklischen Verlauf beschreibt Schuster, R. (2009) 47

48 Betrachtung des Membranpotentials v und Ionenpotentials w in der Phasenebene mit konstanter äußere Einwirkung Schuster, R. (2009) 48

49 Beschreibung der obigen Abbildung - die Lösung beschreibt eine Bahn, beginnend im stationären Punkt (u, w)= ( , 0, ), dem Schnittpunkt der v- und w- Klinen IV.:- Lösung folgt zunächst dem Feld in fast horizontaler Richtung, sobald die Trajektorie die kubische v- Kline erreicht, wird diese an der Nulllinie aus ihrer ursprünglichen Bahn geworfen und bewegt sich in vertikaler Richtung nach oben weiter I.:- die Trajektorie folgt näherungsweise der v- Nullkline bis das lokale Maximum erreicht wird und siennach links, in Richtung des Scheitels der v- Kline am linken Ast der kubischen Funktion, abgelenkt wird II.:- der Scheitel des linken Astes befindet sich im II. Quadrant, von wo aus die Trajektorie erneut die Richtung ändert und dem absteigenden Kurvenverlauf folgt III.:- die Trajektorie endet nicht im Ruhepunkt, sondern mündet vielmehr in den Kurvenverlauf des Grenzzyklus und durchläuft diesen erneut 49

50 Bestimmung des Grenzzyklus mittels dem Theorem von Poincarè- Bendixson Sei F ein zweidimensionales dynamisches System, C Trajektorie von F, f(x, y), g(x, y) stetig differenzierbare Funktionen von x, y und M eine abgeschlossene, beschränkte, positiv invariante Teilmenge eines Phasenraumes, welche einen instabilen (abstoßenden) Fixpunkt enthält. Dann existiert eine periodische Lösung in der Menge M, wobei die Trajektorie C innerhalb von M verbleibt und entweder ein Grenzzyklus ist oder sich einem solchen annähert. Ulbig, A. (2005) 50

51 Betrachtung des Grenzzyklus für I=0.06 Darstellung der Nulllinien, instabiler Fixpunkt, Grenzzyklus und Phasen mittels MATLAB 51

52 7 Diskussion + realitätsnahe Darstellung und Orientierung nah am biologischen Vorbild + Genauigkeit in der Berechnung infolge hoher Komplexität Hodgkin- Huxley- Modell + nach Störung des Fixpunktes wird Depolarisationsvorgang ausgelöst, welcher nach der negativen Hyperpolarisation zum Ruhepotential (Gleichgewicht) zurückkehrt = Spiking - hohe Komplexität durch Berücksichtigung vieler Eigenschaften - Nichtanwendbarkeit auf komplexe Netzwerke (Nervensystem von Säugetieren, Großrechner, Künstliche Intelligenz, biologische Hardware) - Erhöhung der Komplexität bei Betrachtung aller charakteristischen Merkmale, z. B. Anzahl der aktivierten Kanäle, Stärke der Signals, etc. (Aussehen der Dgl.? Berechungen noch genauer?) - nur an marklosen Neuronen anwendbar 52

53 Modell von FitzHugh- Nagumo + Vereinfachungen der Berechnung durch mathematische Betrachtung + Nachweis von Grenzzyklen möglich und damit periodisches Spiking (!) + Anwendung auf komplexere Netzwerke möglich - schwierigere Interpretation der Ergebnisse durch Ignorieren vieler biologischer Merkmale eines Neurons - Verlust der Berechungsgenauigkeit - Modell in seiner ursprünglichen Form nur auf marklose Neurone anwendbar 53

54 Hodgkin- Huxley-& FitzHugh- Nagumo + trotz Vernachlässigung von biologischen Eigenschaften weisen beide Modelle Spiking nach + Grundlage für andere biomathematische Modelle (Spike Response- Modell) 54

55 weitere Anwendungsgebiete Kelly, S. (2009) Deutscher Zukunftspreis (2004) Singer (2007) Humboldt-Universität zu Berlin (2005) Löwer, C (2006) 55

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