Begleitskript zum Kurs Zinsrechnung

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1 Begleitskript zum Kurs Zinsrechnung Lerninhalt: Grundlagen der kaufmännischen Zinsrechnung: Berechnung von Zinszeitraum und Zinsen, Zinseszinsrechnung, Zinssatz und effektiver Jahreszins und Kapitalwertberechnung. Lernziel: Nach Durcharbeiten des Moduls verstehen Sie die Grundlagen der Zinsrechnung, können diese in wichtigen Bereichen der betrieblichen Praxis anwenden und Anlage- und Kreditangebote objektiv vergleichen.

2 Zinsbegriff Geschäftlich wie privat gehören Zinsen zum Alltag. Sie begegnen Ihnen bei jeder Geschäftstätigkeit, bei der Geld verliehen wird: Wenn Sie Geld auf das Konto einer Bank einzahlen, leihen Sie es der Bank und bekommen Guthabenzinsen. Erwerben Sie eine Bundesanleihe, verleihen Sie Geld an den Staat und erhalten dafür Zinsen. Wenn Sie einen Kredit bei der Bank aufnehmen, müssen Sie Zinsen zahlen. Ebenso verhält es sich bei Wechseln: Da die Ware erst eine bestimmte Frist nach ihrem Erhalt bezahlt wird, wird der Kaufpreis wie ein Kredit behandelt. Der Käufer leiht sich also den Kaufpreis vom Verkäufer. Ähnlich ist es bei so genannten "Finanzkäufen". Hier wird allerdings meist nicht der ganze Betrag auf einmal gezahlt, sondern der Kaufpreis in Raten "abgestottert". Zinsen sind die Vergütung für leihweise überlassenes Kapital, also der Preis, der bezahlt wird, um sich Geld auszuleihen. Man bezeichnet sie auch als den Preis des Geldes. Höhe der Zinsen Wenn in der Presse von der Zinshöhe die Rede ist, geht es meist um denzinssatz, der z. B. von dereuropäischen Zentralbankfestgelegt wird. In der Zinsrechnung meinen wir dagegen mit der Höhe der Zinsen den den die Zinsen ausmachen und der von drei Größen abhängt: Kapital Zeit Zinsumsatz Je größer die Leihsumme, desto mehr Zinsen sind zu bezahlen. Je länger das Geld ausgeliehen wird, desto mehr Zinsen fallen an. Je höher der Zinssatz, desto höher die Zinsen. Zinsen für ein Jahr Zinsen werden grundsätzlich für ein ganzes Jahr berechnet. Auch die von Banken angegebenen Zinsen beziehen sich daher gewöhnlich auf eine Kreditlaufzeit von einem Jahr. Beispielsweise bei einer Angabe der Art: "7% p. a." (p. a. steht für "per annum". Das ist lateinisch und bedeutet jährlich). Der Jahreszinsist daher auch einfach zu berechnen: Es handelt sich dabei um eine gewöhnliche Prozentrechnung. Beispielrechnung: Jahreszins Stellen Sie sich vor, Sie hätten sich Bundesschatzbriefe mit einem festen Zinssatz von 5% p. a. gekauft. Ein Schatzbrief kostete Euro. Nun möchten Sie wissen, wieviel Zinsen Sie dafür bekommen. Aufgabenstellung Lösungsweg Wieviel Zinsen pro Schatzbrief bekommen Sie nach einem Jahr? Sie müssen 5% (das sind 5/100) von Euro berechnen. Lösung 1. Schritt: 1% von Euro = Euro/100 = 25 Euro 2. Schritt: 5% von Euro = 25 Euro * 5 = 125 Euro Sie bekommen 125,- Euro Zinsen pro Schatzbrief und Jahr. Seite 2/10

3 Zinsen für Monate und Tage Zinsen für kürzere Zeiträume als ein Jahr errechnen sich als Bruchteil des Jahreszinses. Es muss also immer erst der Jahreszins berechnet werden. Bei der Zinsrechnung hat jeder Monat 30 Tage. Das Bankjahr hat also 12 * 30 Die Zinsen für mehrere Monate und Tage berechnen Sie so: Jahreszins: Kapital * Zinssatz/100 Monatszins: Jahreszins/12 Tageszins: Jahreszins/360 Zinsen für Monate: Monatszins * Anzahl Monate Zinsen für Tage: Tageszins * Anzahl Tage Beispielrechnung: Monatszins und Tageszins Angenommen, Sie möchten in Ihrem Urlaub für zwei Wochen in die Sonne fliegen, sind aber gerade etwas knapp bei Kasse. In zwei Monaten und fünf Tagen bekommen Sie Weihnachtsgeld. Um auf Ihren Urlaub nicht verzichten zu müssen, nehmen Sie bis dahin einen Kredit über Euro zu einem Zinssatz von 15% p. a. auf. Aufgabenstellung Wieviel Zinsen müssen Sie zahlen? Lösungsweg 1. Schritt: Zinsen für ein Jahr 15% von Euro = Euro/100 * 15 = 300 Euro 2. Schritt: Zinsen für 2 Monate Monatszins = 300 Euro/12 = 25 Euro Zinsen für 2 Monate = 25 Euro * 2 = 50 Euro 3. Schritt: Zinsen für 5 Tage Tageszins = 300 Euro/360 = Euro Zinsen für 5 Tage = 0,833 Euro * 5 = 4,17 Euro 4. Schritt: Addition 50 Euro + 4,17 EUR = 54,17 Euro Lösung Sie müssen 54,17 Euro Zinsen für den Kredit zahlen. Berechnung der Zeit, für die Zinsen gezahlt werden Der Einzahlungstag wird nicht als Zinstag gezählt, der Auszahlungtag aber schon. Um die Zinsen für einen bestimmten Zeitraum ausrechnen zu können, muss man selbstverständlich zuerst die Anzahl der Zinsmonate und Zinstage kennen. Nehmen wir an, Sie zahlen am 23. Juli Euro auf Ihr Sparkonto ein und heben das Geld am 8. November wieder ab. Für wie viele Monate und Tage bekommen Sie Zinsen? Bei der Rechnung dürfen Sie nicht vergessen, dass für die Bank jeder Monat 30 Tage hat. Die Rechnung geht also so: Zeitraum: 23. Juli bis 8. November: Juli August bis Oktober (3 Monate) November = 7 Tage 90 Tage 8 Tage Wenn Sie die Tage addieren, erhalten Sie also einen Zeitraum von 105 Tagen oder 3 Monate und 15 Tage, für den Sie Zinsen bekommen würden. Seite 3/10

4 Benutzung des Taschenrechners Für schwierigere Rechnungen sollten Sie einen Taschenrechner benutzen. Das spart Zeit und Mühe. Sie können beispielsweise den Rechner von Windows benutzen, der im Startmenü bei den Programmen unter Zubehör zu finden ist. Wenn Ihnen das lieber ist, können Sie natürlich auch den guten alten Taschenrechner aus der Schreibtischschublade verwenden. Für jede Zinsenberechnung gilt: Runden Sie das Endergebnis auf Cent, also auf zwei Stellen hinter dem Komma. Zwischenergebnisse dürfen jedoch nicht gerundet werden, weil sonst Rundungsfehler im Endergebnis entstehen können. Sie sollten sich aber nicht blind auf Ihr Ergebnis am Taschenrechner verlassen, sondern immer auch eine Überschlagsrechnung im Kopf durchführen. So überprüfen Sie, ob Ihr Endergebnis in der Größenordnung richtig liegt, ob es also stimmen kann. Zinseszins Zinsen auf Zinsen nennt man Zinseszins. Werden die Zinsen nicht be- oder ausgezahlt, dann werden zum Ende eines Kalenderjahres oder auch zum Quartalsende die bis dahin angefallenen Zinsen verbucht. Guthabenzinsen werden dann zum Kapital und Kreditzinsen zur Schuld addiert. Bei der Berechnung der Zinsen für den folgenden Zeitraum muss dies berücksichtigt werden. Es fallen jetzt nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital an, sondern auch auf die Zinsen, die dieses Kapital schon erbracht hat. Je nach Art der Verzinsung wächst das Kapital auch bei gleichem Zinssatz unterschiedlich. Die Kurven des unterschiedlichen Kapitalwachstums zeigen, dass bei einer Verzinsung mit dem gleichen Zinssatz der Zinseszins bei kurzen Zeiträumen nicht viel ausmacht. Anlageformen mit und ohne Zinseszins Versicherungen, Banken und andere Finanzunternehmen bieten eine Vielzahl verschiedener Finanzdienstleistungen an. Bei den Anlageformen gilt, dass Sparbücher, Geldmarktkonten u. ä. meist mit Zinseszins verzinst werden. Anders bei Sparbriefen, Schatzbriefen usw.: hier werden die Zinsen meistens ausgezahlt. Verzinsung ohne Zineszins Die Zinsen werden jährlich ausbezahlt. Das angelegte Geld wird nach der vereinbarten Laufzeit in gleicher Höhe ausbezahlt. Die Zinsen sind jedes Jahr gleich hoch. Berechnung der Zinsen: Die Zinsen sind immer vom selben Kapital (dem Einzahlungsbetrag) zu berechnen. Verzinsung mit Zinseszins Die Zinsen bleiben auf dem Konto und werden mitverzinst. Das angelegte Geld wird nach einer gewissen Laufzeit mit Zinsen und Zinseszinsen ausbezahlt. Die Zinsen werden jedes Jahr höher. Berechnung der Zinsen: Das Kapital, von dem die Zinsen zu berechnen sind, ergibt sich aus: Einzahlungsbetrag plus bisher gutgeschrie-bene Zinsen. Seite 4/10

5 Zinsfaktoren Um Zinseszinsen zu berechnen, müssen Sie entsprechend der bisherigen Methode die Zinsen für jeden Zeitraum zwischen den Buchungen der Zinsen einzeln ausrechnen. Wenn die Laufzeit eines Kredits oder einer Anlage mehrere Jahre beträgt, ist das ziemlich mühsam. Mit Hilfe der Zinsfaktoren geht die Berechnung der Verzinsung mit Zinseszins viel schneller. ZurBerechnung der Zinsfaktoren Der Zinsfaktor gibt an, um welchen Faktor das Kapital innerhalb eines Jahres wächst. Man nennt den Zinsfaktor auch Wachstumsfaktor oder Kapitalisierungsfaktor. Beispielrechnung: Jahreszinsfaktor Bei den meisten Anlage- und Kreditformen werden die Zinsen zum Jahresende verbucht. Mit dem Jahreszinsfaktor berechnen Sie das Kapitalwachstums innerhalb eines Jahres. Aufgabenstellung: Lösungsweg: Lösung: Um welchen Faktor wächst das Kapital in einem Jahr bei einem Zinssatz von 4%? In einem Jahr wächst das Kapital um 4%. Am Ende des Jahres erhält man also die Summe: Kapital + 4% des Kapitals Man kann das auch so schreiben: 1 * Kapital + 0,04 * Kapital = 1,04 * Kapital In einem Jahr wächst das Kapital auf das 1,04-fache. 1,04 ist der Jahreszinsfaktor bei einem Zinssatz von 4%. Man berechnet ihn also so: Jahreszinsfaktor = 1 + Zinssatz in % / 100% Zinseszinsrechnung mit dem Jahreszinsfaktor Multipliziert man das Kapital mit dem Jahreszinsfaktor, erhält man als Ergebnis das Kapital plus die Zinsen eines Jahres. Werden die Zinsen mitverzinst (Zinseszins), kann man mit diesem Ergebnis gleich weiter rechnen. Das sieht dann so aus: Kapitalwachstum mit Zinseszins bei einem Zinssatz von 4% (Jahreszinsfaktor = 1,04) Kapital am Anfang * 1.04 Kapital nach einem Jahr * 1.04 Kapital nach dem 2. Jahr * 1.04 Kapital nach dem 3. Jahr * 1.04 usw. Man rechnet also: Kapital * 1,04 * 1,04 * Für jedes Jahr, in dem das Kapital mit Zinseszins verzinst wird, multiplizieren Sie also einmal mit 1,04. Schneller geht es, wenn Sie diese Rechnung so schreiben: Kapital * 1,04^t (t steht dabei für die Anzahl der Jahre). Den Faktor 1,04^t nennt man auch Zinseszinsfaktor. Seite 5/10

6 Tabellen mit Zinseszinsfaktoren n diesen Tabellen, die auch von Banken verwendet werden, sind die Zinseszinsfaktoren für mehrere Jahre eingetragen. In den Tabellen können Sie also ablesen, um das Wievielfache ein Kapital bei einem bestimmten Zinssatz in z. B. 7 Jahren wächst. Hier eine kleine Aufgabe: Sehen Sie sich die Spalte für den Zinssatz 6% an. Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital ungefähr verdoppelt? Jahre Zinssätze 0,00% 4,00% 4,50% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% 1,0000 1,3686 1,1421 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, , ,0000 1,4233 1,4802 1,5395 1,6010 1,6651 1,7317 1,8009 1,4861 1,5530 1,6229 1,6959 1,7722 1,8519 1,9353 1,5513 1,6289 1,7103 1,7959 1,8856 1,9799 2,0789 1,6895 1,7908 1,8983 2,0122 2,1329 2,2609 2,3966 1,8385 1,9672 2,1049 2,2522 2,4098 2,5785 2,5785 1,9990 2,1589 2,3316 2,5182 2,7196 2,9372 3,1722 Richtig! Nach 12 Jahren hat sich das Kapital ungefähr verdoppelt (Faktor 2,0122; Spalte 6%; Zeile 12 Jahre). Zinseszinsfaktoren sind die Zahlen, mit denen Sie ein Anfangskapital malnehmen bzw. multiplizieren müssen, um das Endkapital nach mehreren Jahren zu errechnen. Beispielrechnung: Quartalszinsfaktor Wenn die Zinsen schon am Quartalsende gebucht werden, wie zum Beispiel bei Geldmarktkonten oder beim Dispositionskredit, ändert sich die Berechnung der Zinseszinsen mit Hilfe der Zinsfaktoren natürlich. Sie müssen dann den Zinsfaktor für ein Quartal berechnen. Aufgabenstellung: Lösungsweg: Lösung: Wieviel Zinsen pro Schatzbrief bekommen Sie nach einem Jahr? Sie müssen 5% (das sind 5/100) von Euro berechnen. 1. Schritt: 1% von Euro = Euro: 100 = 25 Euro 2. Schritt: 5% von Euro = 25 Euro * 5 = 125 Euro Sie bekommen 125,- Euro Zinsen pro Schatzbrief und Jahr. Vergleichen Sie diese Rechnung mit der Berechnung des Jahreszinsfaktors, und Sie werden sehen, dass Sie sich nur durch die Zahl "4" im Nenner unterscheidet. Das kommt daher, dass es sich um ¼ Jahr ein Quartal eben handelt. Seite 6/10

7 Beispielrechnung: Zinssatz Nun soll der Zinssatz aus den Jahreszinsen und dem Kapital berechnet werden. Sie werden das brauchen, um den effektiven Jahreszins berechnen zu können. Angenommen Ihr Betrieb muss für einen Kredit in Höhe von Euro jährlich Euro Zinsen zahlen. Sie möchten wissen, wie hoch der Zinssatz des Kredits ist, um ihn mit einem Angebot einer anderen Bank vergleichen zu können. Klar? 0,12 = 12/100 = 12% Aufgabenstellung: Wie hoch ist der Zinssatz? Lösungsweg: Es handelt sich um eine einfache Prozentsatzberechnung. Sie schreiben den Anteil der Zinsen am Kapital als Bruch und rechnen diesen in Prozent um: Euro/ Euro = 0,12 = 12% Lösung: Der Zinssatz beträgt 12%. Effektiver Jahreszins Der Zinssatz wird als Nominalzins Nominalzins Wertpapiergeschäften fallen aber häufig Kosten (z. B. Gebühren, Provisionen, Disagio an. Der so genannte effektive Jahreszins berücksichtigt diese Kosten und gibt also die tatsächliche Verzinsung an: 1. Der effektive Jahreszins enthält alle Kosten eines Kredits, umgerechnet auf ein Jahr. 2. Mit diesem Zinssatz können Sie berechnen, welchen Gewinn eine Anlage wirklich bringt. 3. Mit ihm können Sie entscheiden, ob es sich lohnt, einen Kredit bei der Bank aufzunehmen, um früher bezahlen zu können und damit Skonto zu erhalten. Mit dem effektiven Jahreszins haben Sie einen objektiven Maßstab, mit dem Sie Kredit- oder Anlageangebote vergleichen können. Beispielrechnung: effektiver Jahreszins Nehmen Sie an, Ihr Betrieb bekommt ein Kreditangebot zu folgenden Konditionen: Die Kreditsumme beträgt Euro bei einem Nominalzinssatz von 10% p. a. Es werden 98% der Kreditsumme ausgezahlt (2% Disagio). Außerdem ist eine einmalige Gebühr von 100 Euro zu entrichten. Die Laufzeit des Kredits beträgt 4 Jahre. Aufgabenstellung: Lösungsweg: Wie hoch ist der effektive Jahreszins für dieses Angebot? 1. Schritt: Zunächst müssen Sie berechnen, wie viel Geld tatsächlich ausgezahlt wird.98% von Euro = Euro. Die 800 Euro Differenz (Disagio) gehören zu den Kosten des Kredits. 2. Schritt: Gesamtkosten für ein Jahr Zinsen: 10% von Euro = Euro Disagio (verteilt auf 4 Jahre Laufzeit): 800 Euro/4 = 200 Euro Gebühr (verteilt auf 4 Jahre Laufzeit): 100 Euro/4= 25 Euro jährliche Gesamtkosten: Euro 3. Schritt: Nun müssen Sie aus der tatsächlich ausgezahlten Summe und den tatsächlichen Kosten den Zinssatz berechnen Euro/ Euro = 0,1078 = 10,78% Seite 7/10

8 Lösung: Der effektive Jahreszinssatz beträgt 10,78%. Er ist also um 0,78% höher als der Nominalzinssatz. Unser Tipp: Weil bei Ratenkrediten die Berechnung des Effektivzinses und der Monatsraten sehr kompliziert ist, benutzen Sie dafür besser einen Tachenrechner. Kreditangebote im Internet Zum Schutz des Verbrauchers ist die Angabe des effektiven Jahreszinssatzes bei Kreditangeboten gesetzlich vorgeschrieben. Surfen Sie im Internet, und informieren Sie sich über Kreditangebote verschiedener Banken sowie über die Zinssätze bei Raten- und Finanzkäufen. Vergleichen Sie dafür die effektiven Jahreszinssätze. Hier finden Sie eine kleine Auswahl an Links, unter denen Sie solche Angebote suchen können Berechnung des Kapitals aus dem Ertrag Man kann aus den Zinsen und dem Zeitraum, für den sie gezahlt werden, auch auf das angelegte Kapital zurückrechnen. Natürlich wird kaum jemand vergessen, wie viel Geld er angelegt oder geliehen hat. Dennoch spielt diese Rechnung in der Praxis eine große Rolle: Man kann aus dem Ertrag, z. B eines Mietshauses, berechnen, wie viel man dafür bieten kann, sodass sich die Anlage im Vergleich zu einem Wertpapier mit festem Zinssatz lohnt. Beispielrechnung: Kapitalwert Achtung: Bei diesem Vergleich wird das Kursrisiko nicht berücksichtigt! Um Ihr Erspartes lohnend anzulegen, sollten Sie beim Vergleich der Angebote auch sichere Wertpapiere mit einbeziehen. So rechnen Sie bei einem solchen Vergleich: Eine Anleihe mit einem Nennwert von 100 Euro und einer Restlaufzeit von 3 Jahren bringt pro Jahr 6,2% Zinsen. Im Vergleich dazu: Bei der Bank bekommen Sie für eine Anlage auf 3 Jahre 4,5% p. a. Zinsen. Aufgabenstellung: Lösungsweg: Lösung: Zu welchem Kurs lohnt sich der Kauf der Anleihe noch? 1. Schritt: Berechnung der Dividende, 2% von 100 Euro = 6,20 Euro 2. Schritt: Wieviel Geld müssten Sie anlegen, um beim Zinssatz von 4,5% gleich viel Dividende zu erhalten? Dreisatz: 4,5% 1% 100% Bei einem Kurs von 137,78 Euro wäre die Anleihe also gleich rentabel wie die Anlage bei der Bank. Das heißt, dass sich die Anleihe bei jedem Kurs unter diesem Wert lohnen würde. Seite 8/10

9 Zinsrechnung mit Formeln Viele Menschen haben eine regelrechte Scheu vor Formeln. Diese rührt meist daher, dass ihnen nie wirklich erklärt wurde, warum man was und wie mit welchen Formeln rechnet. Eine Formelsammlung kann allerdings in der Praxis sehr nützlich sein, z. B. um nachzuschlagen, wie man aus Zinsen und Zinssatz das Kapital berechnet oder auch um mit Tabellenkalkulationsprogrammen wie z.b. Excel Berechnungen durchführen zu können. In Formeln werden Berechnungen, die man ansonsten Schritt für Schritt durchführt, einfach noch einmal in Kurzform zusammengefasst. Zinsrechnung mit Excel Nutzen Sie auch die Sonderfunktionen von Excel für die Zinsrechnung. Wollen Sie öfters Berechnungen gleicher Art durchführen, können Sie viel Zeit sparen, indem Sie sich mit Hilfe des Microsoft-Office-Programms Excel oder einem anderen Tabellenkalkulationsprogramm ein Blatt dafür anlegen. Das ist gar nicht schwer, jetzt wo Sie wissen, wie gerechnet wird, und Ihnen die entsprechenden Formeln zur Verfügung stehen. Eine Anleitung mit Beispielen finden Sie beispielsweise im Excel-Trainer, und im Diskussionsforum von Lernmaterialien für den Unterricht an Schulen. Literaturtipps Weiterführende Literatur Johannes Hischer), Jürgen Tiedtke, Horst Warncke (2007): Kaufmännisches Rechnen: Die wichtigsten Rechenarten Schritt für Schritt. Wiesbaden. Kaufmännisches Rechnen: Die wichtigsten Rechenarten Schritt für Schritt. Mit integriertem Lösungsbuch. Naumann, H.-J./Raet, H.-G. (1998): Kaufmännisches Rechnen für Verkäuferinnen und Verkäufer. Köln. Beginnt bei den Grundlagen wie Grundrechenarten und Bruchrechnen etc. Schneck, O. (2007): Lexikon der Betriebswirtschaft. München. Lexikon der Betriebswirtschaft: 3500 grundlegende und aktuelle Begriffe für Studium und Beruf. Weber, M. (2010): Kaufmännisches Rechnen von A-Z. München. Formeln und Rechenbeispiele: schnell nachschlagen, richtig rechnen. Seite 9/10

10 Ausblick Die Zinsrechnung ist ein wichtiger Teilbereich des Wirtschaftsrechnens. Sie haben hier die Grundlagen gelernt und können sie in einigen wichtigen Bereichen anwenden. Informieren Sie sich jetzt weiter, und wenden Sie Ihr hier gelerntes Wissen an, um Angebote kritisch zu vergleichen. Weitere bbw.bfzonline Angebote aus dem Themenbereich des Arbeitstechniken: Dreisatz - die Grundlagen Zweisatz, Dreisatz, Kettensatz Prozentrechnung Alle aktuellen Angebote von Online-Kursen, Fernlehrgängen und Blended-Learning-Seminaren oder weiteren Dienstleistungen von bbw.bfzonline finden Sie auch auf unserem Webportal Seite 10/10