P-Test Motivation: Einsatz des Tests auf p im Krankenhausmanagement Theorie zum Test auf p
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- Helga Morgenstern
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1 P-Test Motivation: Einsatz des Tests auf p im Krankenhausmanagement Theorie zum Test auf p Test A: Beispiel zur Erfolgsmessung von Therapien Test B: Beispiel zur Überwachung des Patientenanteils mit zu hohem Blutdruck Test C: Beispiel zur Überprüfung der Euromünze Übungen zum p-test Motivation: Durchführung des Tests auf p beim Einsatz im Krankenhausmanagement Animation zum Test auf p Motivation: Einsatz des Tests auf p im Krankenhausmanagement In einer Klinik fallen täglich große Mengen an verschmutztem Geschirr an. Der für diesen Bereich zuständige Qualitätsbeauftragte der Klinik möchte wissen, ob das in der Klinik installierte Reinigungssystem optimal arbeitet. Nach Befragung von Fachleuten stellt er fest, dass ein solches System unter optimalen Bedingungen mit einer Ausschussquote von 3% bei der Geschirreinigung arbeitet. Er möchte nun das in seiner Klinik vorhandene System untersuchen und eventuell vorhandene Mängel aufdecken. Hierzu lässt er bei einer Stichprobe von 1000 gereinigten Gegenständen eine Sichtprüfung vornehmen. Es stellt sich heraus, das bei 35 gereinigten Gegenständen Beanstandungen auftraten. Für den Qualitätsbeauftragten stellt sich nun die Frage, ob dieses Ergebnis Anlass zu Verbesserungsmaßnahmen gibt, oder ob die gefundenen Beanstandungen zufallsbedingt sind. Theorie zum Test auf p Wie das Schätzen eines Anteilswertes p ) so gibt es auch für einen Test auf p eine Fülle von Anwendungen. Ein Beispiel haben wir oben im Fall des Krankenhausmanagements mit dem Test auf eine Ausschussquote von (höchstens) p=0.03 kennen gelernt. Weitere Beispiele sind: -Test auf den Anteil p abgegebener Stimmen für eine bestimmte Partei -Test auf den Anteil p von Patienten mit einer erfolgreichen Therapie -Test auf den Anteil p von Mädchengeburten in einem bestimmten Land -Test auf den Anteil p von Rauchern unter den Studierenden. Siehe dazu auch die Beispiele 5,6 und 7 aus dem Abschnitt. Page 1
2 Annahmen Dem Test auf einen Anteilswert p liegt das folgende so genannte Bernoulli-Experiment mit zwei möglichen Ereignissen zu Grunde, dem Ereignis und dem Komplementärereignis ; die unbekannten Eintrittswahrscheinlichkeiten seien mit bzw. bezeichnet. Um das statistische Testproblem zu formalisieren, führen wir folgende Bezeichnungen ein: Es seien Bernoulli-Variablen mit d.h. und Hypothesen Die im obigen und in den noch folgenden Beispielen betrachteten Testprobleme können allgemein mit einem in der konkreten Anwendung noch zu spezifizierenden Anteilswert wie folgt formuliert werden: Test Test A Test B Test C Hypothesen gegen. gegen. gegen. Exakte Tests Prüfgröße Als Prüfgröße (Teststatistik) für die obigen Hypothesenprobleme wählen wir die Summe der Bernoulli-Variablen:. Da keinen Beitrag zur Summe liefert, gibt also die Anzahl der "Zahl 1" unter den Beobachtungen und damit die absolute Häufigkeit des Auftretens von Page 2
3 , d.h. die relative Häufigkeit des Auftretens von wählen. Wir entscheiden uns für die Prüfgröße, weil eine uns schon bekannte Verteilung, nämlich die Binomialverteilung mit den Parametern und hat, denn wir wissen, das eine Summe Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen binomialverteilt ist. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für lautet also: Unter den Nullhypothesen in Test A, Bund C ist dann Applet Binomialverteilung (ace.jar) ) mit Parametern und. binomialverteilt (s. Testentscheidung Als Entscheidungsregeln für die obigen drei Testprobleme ergeben sich damit: Test Test A Test B Testentscheidung ablehnen, falls ablehnen, falls ablehnen, falls oder Test C Die kritischen Werte (Quantile) werden durch Eingabe von und am Rechner bestimmt. Dabei wird deutlich, dass eine diskrete Prüfgröße ist und somit das Testniveau i.d.r. nicht exakt eingehalten wird. Statt der Bestimmung eines kritischen Wertes kann auch der -Wert nach Berechnung des Wertes der Prüfgröße angegeben werden. Das heißt z.b. für Test A, falls beobachtet wurde:. Für den Fall können in dem folgenden Applet für verschiedene Stichprobengrößen in einem Zufallsexperiment die kritischen Werte veranschaulicht Page 3
4 werden. Applet exakter Test auf p (b59.jar) Nach diesem exakten Test auf p soll nun der approximative Test auf p behandelt werden. Dazu wird daran erinnert, dass für die binomialverteilte Prüfgröße gilt: und Bernoulli-verteilter Variablen. Das kann noch einmal über die Summe verdeutlicht werden. Prüfgröße Dann ist für beliebiges die Prüfgröße approximativ -verteilt d.h. unter ist approximativ -verteilt. Hinweis: Die Güte der Approximation hängt von und ab. Faustregel: und. Beispiel:. Sie kann mit dem folgenden Applet veranschaulicht werden. Applet Normalverteilungs-Approximation (bbc.jar) Testentscheidung Das bedeutet für die Entscheidungsregeln bei den drei Testproblemen, zum einen formuliert über die standardisierte Prüfgröße Z und zum anderen über die Prüfgröße T; für die Tests B und C dann analog: Test Test A: Testentscheidung ablehnen, falls oder Test B: ablehnen, falls ablehnen, falls oder Test C: Page 4
5 Die kritischen Werte und können der Tabelle der Standardnormal-verteilung entnommen werden. Statt über die diskrete Binomialverteilung von approximativ über die stetige Standardnormalverteilung von werden hier also die kritischen Werte bestimmt. Das folgende Applet kann am Beispiel eines fairen Münzwerf die Funktion des Tests verdeutlichen. Applet approximativer Test auf p (c2e.jar) Test A: Beispiel zur Erfolgsmessung von Therapien Im Folgenden wird der Test A an einem Beispiel erläutert. Beispiel: Test A: Beispiel zur Erfolgsmessung von Therapien Medikament Quelle: Microsoft Hier wird ein Beispiel aufgegriffen, in dem der Anteil von Patienten mit einer erfolgreichen Therapie zu testen ist. So könnte die Hypothese eines Krankenhauses lauten, dass die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg einer bestimmten Therapie (Operation, Medikament) mindestens 90% beträgt, d.h. zu testen ist gegen. Es stellte sich heraus, dass bei 86 Patienten unter zufällig ausgewählten Patienten die Therapie erfolgreich war. Ist dieser Beobachtungsbefund mit der Nullhypothese verträglich? Hypothesen Wir wollen nun zunächst den Test auf den Parameter angegebenen einseitigen Hypothesen beschreiben: mit den im obigen Beispiel Test A Page 5
6 gegen Im obigen Beispiel ist. Prüfgröße Als Prüfgröße (Teststatistik) für das obige Hypothesenproblem wählen wir die Summe der Bernoulli-Variablen:. Da keinen Beitrag zur Summe liefert, gibt also die Anzahl der "Zahl 1" unter den Beobachtungen und damit die absolute Häufigkeit des Auftretens von an. Da unter der Nullhypothese binomialverteilt mit Parametern und ist, lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion für : Im obigen Beispiel gibt die Anzahl der Patienten unter den denen die Therapie erfolgreich war. Testentscheidung (exakter Test) Die Testentscheidung lautet: Test A ablehnen, falls ausgewählten Patienten an, bei Es ist unmittelbar einleuchtend, dass man an der Nullhypothese festhielte, wenn alle 100 Patienten oder auch 90 der 100 Patenten erfolgreich behandelt wurden. Dann ist der Anteil der Patienten mit einer erfolgreichen Therapie 100% bzw. 90%. Was ist jedoch wenn- wie im Beispiel 1- nur 86 erfolgreich behandelt wurden oder wenn es nur 80 oder gar nur 75 Patienten gewesen wären? Sind solche Beobachtungsbefunde noch mit der Hypothese verträglich? Hierzu betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Page 6
7 Wahrscheinlichkeitsfunktion Quelle: eigene Gestaltung Sie zeigt, dass für Werte von 75 oder 80 nur sehr kleine Auftretenswahrscheinlichkeiten existieren. Um eine genaue Aussage über einen kritischen Wert von zu machen, betrachten wir die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten. Page 7
8 Verteilungsfunktion Quelle: eigene Gestaltung Für ergibt sich und damit eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 4% und für ist und damit die Irrtumswahrscheinlichkeit 7%. Da unsere Irrtumswahrscheinlichkeit 5% nicht überschreiten soll, wird 84 als kritischer Wert gewählt. Somit kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. Damit wird allerdings unterschritten. Exkurs: Testentscheidung (approximativer Test) Die Testentscheidung im Falle des approximativen Tests lautet: Test A ablehnen, falls Für ergibt sich für das Beispiel. Da dieser Page 8
9 Wert größer als ist, wird die Nullhypothese beibehalten. Für die Werbung betreibende Industrie ist die Fernsehquote ein entscheidendes Kriterium der Preisgestaltung. Für eine große Krimiserie wird von der Sendeanstalt behauptet, dass ihre Einschaltquote bei mindestens 25% liegt. Eine Beobachtung von 1000 Zuschauern zeigt, dass die letzte ausgestrahlte Sendung nur von 210 Zuschauern gesehen wurde. Ist es aufgrund dieses Ergebnisses für die Werbung betreibende Industrie sinnvoll, neue Preisverhandlungen zu führen? Test B: Beispiel zur Überwachung des Patientenanteils mit zu hohem Blutdruck Im folgenden wird der Test B mit einem Beispiel erläutert. Beispiel: Test B: Beispiel zur Überwachung des Patientenanteils mit zu hohem Blutdruck Messgerät Quelle: Microsoft Der Anteil von Patienten in einem Krankenhaus, die an zu hohem Blutdruck leiden (Ereignis ), ist höchstens 20 %, d.h. zu testen ist gegen. Hypothesen Wir wollen nun zunächst einen Test auf den Parameter angegebenen einseitigen Hypothesen beschreiben: Test B gegen. mit den im obigen Beispiel Im obigen Beispiel ist. Prüfgröße Die Teststatistik hat eine Binomialverteilung mit den Parametern und, denn wir wissen, das eine Summe Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen binomialverteilt ist. Page 9
10 . Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für lautet also: Im obigen Beispiel wurde unter zufällig ausgewählten Patienten bei 17 Patienten ein zu hoher Blutdruck diagnostiziert. Somit gilt. Testentscheidung (exakter Test) Die Testentscheidung lautet: Test B ablehnen, falls Ist der obige Beobachtungsbefund mit der Nullhypothese verträglich? Hierzu betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Es zeigt sich, dass für und kleine Wahrscheinlichkeitswerte vorliegen. Page 10
11 Wahrscheinlichkeitsfunktion Quelle: eigene Gestaltung Da uns aber die Wahrscheinlichkeit interessiert, schauen wir uns die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten an. Verteilungsfunktion Quelle: eigene Gestaltung Für ergibt sich und für ist. Da die Nullhypothese bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von abgelehnt werden soll, wählen wir als kritischen Wert können die Nullhypothese ablehnen. Exkurs: Testentscheidung (approximativer Test) Die Testentscheidung im Falle des approximativen Tests lautet: Test B Page 11
12 Im Blutdruckbeispiel ist Da dieser Wert größer ist als, wird die Nullhypothese abgelehnt. In einer Stichprobe bei 50 Studenten der Wirtschaftswissenschaft zeigt sich, dass 15 Studenten die Abschlussnoten 1 oder 2 erreicht hatten. Für die gesamte Universität lag dieser Anteil bei 25%. Kann behauptet werden, dass Studenten der Wirtschaftswissenschaft bessere Noten erlangen? Test C: Beispiel zur Überprüfung der Euromünze Im Folgenden wird der Test C mit einem Beispiel erklärt. Beispiel: Test C: Beispiel zur Überprüfung der Euromünze Münzwurf Quelle: Microsoft Eine 2-Euro-Münze werde mal geworfen. Wir wollen testen, ob die Münze fair in dem Sinne ist, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Kopf (Ereignis ) gleich der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Zahl ( ) ist, d.h. zu testen ist : gegen. Bei Würfen trat 61mal "Kopf auf. Ist dieser Beobachtungsbefund mit der Nullhypothese verträglich? Prüfgröße Als Prüfgröße für das obige Hypothesenproblem wählen wir die Summe der Bernoulli-Variablen:. Da keinen Beitrag zur Summe liefert, gibt also die Anzahl der "Zahl 1" unter den Beobachtungen und damit die Page 12
13 an. Im obigen Beispiel gibt die Anzahl der Ereignisse "Kopf" unter den durchgeführten Würfen an. Hypothesen Wir wollen nun zunächst einen Test auf den Parameter angegebenen zweiseitigen Hypothesen beschreiben: Test C gegen. mit den im obigen Beispiel Im Beispiel ist. Testentscheidung (exakter Test) Die Testentscheidung lautet: Test C ablehnen, falls oder. Unter der Nullhypothese wäre bei n=100 Münzwürfen mal "Kopf zu erwarten, d.h. es sprechen zu kleine Werte oder zu große Werte von gegen die Nullhypothese. Es stellt sich also die Frage, ab welchen (zu kleinen oder zu großen) Werten von die Nullhypothese bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von abgelehnt werden muss. Hier wird nun die Hälfte der Irrtumswahrscheinlichkeit auf beide Ränder verteilt, d.h. kritischen Wert und für den unteren für den oberen kritischen Wert. Um die Entscheidung zu treffen, ist es nötig die kritischen Werte zu bestimmen. Hierzu betrachten wir zuerst die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Page 13
14 Wahrscheinlichkeitsfunktion Quelle: eigene Gestaltung Für die Testentscheidung benötigen wir die kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Page 14
15 Verteilungsfunktion Quelle: eigene Gestaltung Bei der Ermittlung des oberen kritischen Wertes ergibt sich für der Wert, d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von finden sich Werte von T, die gleich 61 oder größer sind. Für ergibt sich der Wert. Somit sind mit einer Wahrscheinlichkeit von Werte von T größer oder gleich 60. Da wir den Wert für ist, müssen wir als kritischen Wert suchen, für den wählen. Bei der Bestimmung des unteren kritischen Wertes ergibt sich für k=40 der Wert und für k=39 der Wert. Da wir den Wert für suchen, für den ist, setzen wir als kritischen Wert k=39 fest. Wir schöpfen mit diesen kritischen Werten 39 und 61 allerdings das nicht voll aus. -Fehlerniveau Page 15
16 Da in unserem Experiment 61mal "Kopf aufgetreten ist, lehnen wir die Nullhypothese (gerade noch) ab. Exkurs: Testentscheidung (approximativer Test) Die Testentscheidung im Falle des approximativen Tests lautet: Test C ablehnen, falls oder. Im Münzwurfbeispiel ergibt sich. Da dieser Wert größer ist als, wird die Nullhypothese abgelehnt. Ein Produzent von Verpackungsmaschinen behauptet, dass der Anteil p von Ausschusstücken (zu große oder zu kleine verpackte Menge) höchstens 4% beträgt. Eine Stichprobe von n=500 überprüften Mengen ergab 30 falsche Füllungen. Ist dem Hersteller noch zu trauen? Um einen Vergleich zwischen beiden Tests darzustellen, werden zuerst für das Beispiel Test B die Wahrscheinlichkeiten exakt über die Binomialverteilung und approximativ über die Normalverteilung für n=20 dargestellt. Page 16
17 Vergleich exakt/approximativ Quelle: eigene Gestaltung Es zeigt sich, dass die Werte der approximativen Verteilung teilweise erheblich unter den exakten Werten liegen. Bei einer Erhöhung von auf zeigt sich, dass die approximativen Werte die exakten Werte geringer unterschätzen. Page 17
18 Vergleich exakt/approximativ Quelle: eigene Gestaltung Jetzt wird variiert. Wir verlassen das Beispiel und nehmen an. Unter diesen Bedingungen arbeitet die Approximation besser, weil dann T wie Z symmetrisch verteilt ist. Page 18
19 Vergleich exakt/approximativ Quelle: eigene Gestaltung Als weitere Parametervariation wird der Stichprobenumfang erhöht. Bei zeigt sich, dass die Werte der approximativen Verteilung sehr nah an den Werte der exakten Verteilung liegen. Page 19
20 Vergleich exakt/approximativ Quelle: eigene Gestaltung Übungen zum p-test Im Folgenden werden Übungen und Lösungen zum Test auf p gezeigt Die Aufgaben 1 bis 6 sind Multiple Aufgaben. Aufgabe1: Es seien Bernoulli-Variablen mit und, i=1,...,n. Dann ist: (a) Bernoulli-verteilt mit Parametern und Page 20
21 (b) Bernoulli-verteilt (c) binomialverteilt mit Parametern und (d) binomialverteilt mit Parametern und. Lösungen ( : f46.doc ) Aufgabe 2: Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit Parametern und gilt: (a) (b) (c), (d). Lösungen ( : f69.doc ) Aufgabe 3: Es sei, dann ist der kritische Wert der Prüfgröße : (a) (b) (c) (d). Lösungen ( : f8c.doc ) Aufgabe 4: Beim Test auf gegen führen zur Ablehnung von (a) zu große Werte der Prüfgröße (b) zu kleine Werte der Prüfgröße (c) zu kleine und zu große Werte der Prüfgröße Page 21
22 . Lösungen ( : faf.doc ) Aufgabe 5: Bei einem festen Stichprobenumfang sei zu testen: gegen. Dann werden mit wachsendem (a) die kritischen Werte und kleiner (b) die kritischen Werte und größer (c) der kritische Wert größer und der kritische Wert kleiner (d) der kritische Wert kleiner und der kritische Wert größer. Lösungen ( : fe6.doc ) Aufgabe 6: Die Güte der Approximation der Binomialverteilung mit Parametern und durch die Normalverteilung steigt (a) mit wachsendem (b) mit wachsendem (c) mit wachsendem bei festem bei wachsendem bei festem (d) ist unabhängig von und. Lösungen ( : I1015.doc ) Aufgabe 7: Ein Dozent der Statistik behauptet, dass die Durchfallquote bei seinen Statistik-Klausuren generell höchstens 20% beträgt. An einer Klausur im SS 2002 nahmen 120 Studierende teil, von denen 30 die Klausur nicht bestanden. (a) Testen Sie gegen, und zwar (i) exakt über die Binomialverteilung (ii) approximativ über die Normalverteilung ( ) (b) Vergleichen Sie die kritischen Werte in (i) und (ii). (c) Führen Sie die Tests in (i) und (ii) auch für und durch. Lösungen ( : I1030.doc ) Aufgabe 8: Ein Student der Statistik hält den Dozenten in Aufgabe 7 für einen "harten" Prüfer und Page 22
23 behauptet daher, dass die Durchfallquote bei besagtem Dozenten generell mindestens 30% beträgt. An der Klausur im SS 2002 nahmen - wie in Aufgabe 7 angegeben- 120 Studierende teil, von denen 30 die Klausur nicht bestanden. (a) Testen Sie gegen, und zwar (i) exakt über die Binomialverteilung (ii) approximativ über die Normalverteilung ( ) (b) Vergleichen Sie die kritischen Werte in (i) und (ii). (c) Führen Sie die Tests in (i) und (ii) auch für und durch. Lösungen ( : I104b.doc ) Aufgabe 9: Ein Würfel wird n=10 mal geworfen. Dabei ergab sich mal eine gerade Zahl und mal eine ungerade Zahl. Es soll untersucht werden, ob der Würfel "fair" im Sinne gleicher Wahrscheinlichkeiten für "gerade Zahl" und "ungerade Zahl" ist. (a) Wie lautet das Hypothesen-Problem? (b) Führen Sie den Test für obige Daten durch, und zwar (i) exakt über die Binomialverteilung und (ii) approximativ über die Normalverteilung ( (c)der Würfel werde nun n=100 mal mit den Ergebnissen und sowie n=1000 mal geworfen mit den Ergebnissen und. Führen Sie die Tests für obige Daten durch, und zwar wieder (i) exakt über die Binomialverteilung und (ii) approximativ über die Normalverteilung ( ) (d) Führen Sie die Tests in (b) und (c) auch für und durch. Lösungen ( : I107a.doc ) Laboraufgabe: Labordatei öffnen ( I107f.zmpf ) Motivation: Durchführung des Tests auf p beim Einsatz im Krankenhausmanagement Überprüfung der Leistung einer Geschirrspülanlage Page 23
24 gegen getestet werden. Der Qualitätsbeauftragte möchte durch den Test wissen, ob die festgestellte Anzahl von 35 Beanstandungen unter den 1000 Sichtprüfungen gegen seine Hypothese spricht. Diese Entscheidung möchte er mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% treffen. Würde die maximale Quote von 0.03 unter der Nullhypothese auch in der Stichprobe gelten, würden wir höchstens 30 Beanstandungen erwarten. Es befinden sich in der Stichprobe jedoch 35 Fälle von mangelhaft gereinigtem Geschirr. Anzahl Quelle: eigene Gestaltung Der Qualitätsbeauftragte muss nun herausfinden, ob die 35 Mängel in der Stichprobe Anlass dazu geben, Gegenmaßnahmen einzuleiten oder die 35 unzureichenden Spülergebnisse noch mit der Hypothese verträglich sind. Hierzu führt er den Einstichprobentest auf durch. Um den Test anzuwenden, benötigt man die Parameter und, wobei der Umfang der Stichprobe, in unserem Fall gleich 1000 ist. Die zu kontrollierende Ausschussquote ist maximal auf festgelegt. Werden die Größen und in die Formel für die Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße eingesetzt, kann der kritische Wert für diese Page 24
25 Testentscheidung ermittelt werden. Für das Entscheidungs- oder Testproblem war eine Irrtumswahrscheinlichkeit von gefordert. Nach der Entscheidungsregel: mit, muss also der Wert gesucht werden. Da es sich bei der Binomialverteilung um keine stetige Verteilung handelt, kann der kritische Wert nur näherungsweise bestimmt werden. Für ergibt sich und somit Wahrscheinlichkeit als die geforderten 5%, falls, d.h. eine deutlich größere gewählt wird. Beim nächstgrößeren Wert für ergibt sich, und somit ist, d.h. für erhalten wir eine kleinere Wahrscheinlichkeit als die geforderten 5%. Um dieses Vorgehen nochmals zu verdeutlichen, sind im Folgenden die zu jedem passenden Wahrscheinlichkeiten dargestellt. Daraus ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten für, da gilt:. Hier zeigt sich wieder, dass das gesuchte zwischen 39 und 40 liegen muss. Da aber T nur ganze Zahlen annehmen kann, wird k=40 als kritischer Wert gewählt. Page 25
26 Verteilungsfunktion Quelle: eigene Gestaltung Ein Vergleich mit der Stichprobe zeigt hier, dass die Anzahl der Beanstandungen in der Stichprobe mit kleiner ist als der kritische Wert. Für ergibt sich und damit. Die Nullhypothese wird daher beibehalten, es besteht kein Grund zu einem Eingriff. Der Test kann auch über die Normalverteilungsapproximation durchgeführt werden. Wird die oben genannte Entscheidungsregel zugrunde gelegt, abzulehnen, falls ist, muss zuerst ermittelt werden. Hierzu werden in die obige Formel die Werte für und eingesetzt. Damit ergibt sich Der kritische Wert bezieht sich Page 26
27 auf die Standardnormalverteilung und beträgt Auch hier zeigt ein Vergleich zwischen kritischem Wert (1.645) und Stichprobenwert (0.927), dass die Nullhypothese beibehalten wird. Animation zum Test auf p In der folgenden Animation wird die Durchführung des Test auf p in einer Animation demonstriert. : Flashanimation ' Animation Test auf p ' siehe Online-Version Bernoulli-Variablen ErklärungBinomialverteilung ErklärungTest auf p Erklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 27
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