Working Paper Investitionsrechnerische Bewertung von ausfallgefährdeten Krediten

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1 econsor Der Open-Access-Publikaionsserver der ZBW Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf he Open Access Publicaion Server of he ZBW Leibniz Informaion Cenre for Economics Nippel, Peer Working Paper Invesiionsrechnerische Bewerung von ausfallgefährdeen Kredien Manuskripe aus den Insiuen für Beriebswirschafslehre der Universiä Kiel, No. 664 Provided in Cooperaion wih: Chrisian-Albrechs-Universiy of Kiel, Insiue of Business Adisraion Suggesed Ciaion: Nippel, Peer (206) : Invesiionsrechnerische Bewerung von ausfallgefährdeen Kredien, Manuskripe aus den Insiuen für Beriebswirschafslehre der Universiä Kiel, No. 664 his Version is available a: hp://hdl.handle.ne/049/26257 Nuzungsbedingungen: Die ZBW räum Ihnen als Nuzerin/Nuzer das unengelliche, räumlich unbeschränke und zeilich auf die Dauer des Schuzrechs beschränke einfache Rech ein, das ausgewähle Werk im Rahmen der uner hp:// nachzulesenden vollsändigen Nuzungsbedingungen zu vervielfäligen, mi denen die Nuzerin/der Nuzer sich durch die erse Nuzung einversanden erklär. erms of use: he ZBW grans you, he user, he non-exclusive righ o use he seleced work free of charge, erriorially unresriced and wihin he ime limi of he erm of he propery righs according o he erms specified a hp:// By he firs use of he seleced work he user agrees and declares o comply wih hese erms of use. zbw Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf Leibniz Informaion Cenre for Economics

2 Manuskrip aus den Insiuen für Beriebswirschafslehre der Universiä Kiel Nr. 664 Januar 206 Invesiionsrechnerische Bewerung von ausfallgefährdeen Kredien Peer Nippel* Zusammenfassung Mi diesem Beirag soll ein grundlegender Zugang zur invesiionsrechnerischen Bewerung von riskanen, ausfallgefährdeen Kredien geschaffen werden. Gegenübergesell werden die Diskonierung von vereinbaren Zahlungen mi der Effekivverzinsung äquivalener Kredie und die Diskonierung erwareer Zahlungen aus dem Kredi mi risikoadäquaen Kapialkosen. Dabei wird auch explizi zwischen Ausfallprämie und Risikoprämie i. e. S. unerschieden. Der angemessene Kapialkosensaz enhäl eine Risikoprämie i. e. S. Die bei Kredivergabe desens zu fordernde Effekivverzinsung überseig den Kapialkosensaz um die Ausfallprämie. Das Ausfallrisiko is durch die (bedingen) periodenspezifischen Ausfallwahrscheinlichkeien und Ausfallraen zu messen. Die allgemeine Darsellung der Bewerung in Abhängigkei des Ausfallrisikos läss serielle Korrelaionen zwischen den Ausfallwahrscheinlichkeien und Korrelaionen zwischen Ausfallwahrscheinlichkeien und Ausfallraen zu. Vereinfachende Annahmen zwecks Prakikabiliä der Bewerung schließen solche Korrelaionen dann jedoch aus. Mindesens zu fordernde Kredikondiionen werden in Abhängigkei vom Ausfallrisiko und dem Kapialkosensaz analyisch besimm. Der Kredikapialkosensaz wiederum wird markgleichgewichsbezogen und in Relaion zu den Gesamkapialkosen einer Bank als Kredigeber besimm. JEL-Classificaion: G2, G2, G3. Keywords: Ausfallprämie; Ausfallrisiko; Effekivverzinsung; erwaree Rendie; Invesiionsrechnung; Kapialkosen; Kredibewerung; Kredifinanzierung; Risikoprämie. Bond Valuaion; Deb, Capial Budgeing; Defaul Premium; Defaul Risk; Expeced Reurn; Cos of Deb; Risk Premium; Yield o Mauriy. * Prof. Dr. Peer Nippel, Chrisian-Albrechs-Universiä zu Kiel, Insiu für Beriebswirschafslehre, Lehrsuhl für Finanzwirschaf.

3 Einführung Kredie und andere fesverzinsliche Finanzierungsiel (wie insbesondere Anleihen) können bewere werden, indem die zukünfigen Zins- und ilgungszahlungen auf den heuigen Zeipunk diskonier werden. Dami erfolg eine invesiionsrechnerische Barwerbesimmung. Diese Bewerung ha naürlich das Ausfallrisiko zu berücksichigen. Ziel dieses Beirags is eine Darsellung der grundsäzlichen Vorgehensweise bei der invesiionsrechnerischen Bewerung von Kredien. Dabei werden zunächs die beiden möglichen Ansäze zur Berücksichigung des Ausfallrisikos gegenübergesell. Einerseis kann das Ausfallrisiko indirek berücksichig werden, indem die vereinbaren Zins- und ilgungszahlungen mi der Effekivverzinsung eines äquivalenen Zahlungssroms diskonier werden. Man benöig hierfür den Markpreis einer Krediforderung (einer Anleihe) mi gleicher Laufzei, gleichem Ausfallrisiko und gleicher Zahlungssrukur, um daraus auf die am Mark gefordere, risikoadäquae Effekivverzinsung zu schließen. Anderseis kann das Ausfallrisiko auch direk berücksichig werden, indem nich die vereinbaren, sondern die erwareen zukünfigen Zahlungen an den Kredigeber diskonier werden. Die erwareen Zahlungen hängen von der Höhe des Ausfallrisikos ab. Zu diskonieren sind die erwareen zukünfigen Zahlungen nich mi einer Effekivverzinsung, sondern mi dem angemessenen Kapialkosensaz. Während die als Diskonierungszinssaz zu verwendende gefordere Effekivverzinsung im ersgenannen Bewerungsansaz auf den vereinbaren Zahlungen eines äquivalenen Kredies basier, sellen die Kapialkosen die gefordere erwaree Rendie dar. Die Effekivverzinsung is bei ausfallgefährdeen Kredien immer größer als der Kapialkosensaz. Die zukünfigen erwareen Zahlungen an den Kredigeber hängen von dem Ausfallrisiko ab, das wiederum insbesondere durch die zu schäzenden Parameer Ausfallwahrscheinlichkei (Probabiliy of Defaul, PD ) und Ausfallrae (Loss Given Defaul, LGD ) erfass werden kann. Diese Parameer sind auch im Rahmen der Regulierung von insiuionellen Kredigebern (Banken), insbes. bei der Bemessung der erforderlichen Eigenmielunerlegung von Bedeuung. Auch im Rahmen der exernen Rechnungslegung, insbesondere nach inernaionalen Sandards, sind Ausfallrisiken für die Bemessung von Werberichigungen explizi zu quanifizieren. Dies gil insbesondere für die Bewerung von Krediforderungen nach IFRS 9 zu forgeführen Anschaffungskosen, wobei eine Risikovorsorge für erwaree Verluse zu bilden is, vgl. IASB (204a)

4 Da also zudes Banken nich ohne eine mehr oder weniger explizie Schäzung von Ausfallrisiken, in Form der Parameer Ausfallwahrscheinlichkei ( PD ) und Ausfallrae ( LGD ), auskommen, können diese auch bei der ökonomischen Bewerung von Kredien anhand des Barweres erwareer zukünfiger Zahlungen verwende werden. Wie diese Barwerberechnung uner Verwendung der zu schäzenden Ausfallwahrscheinlichkeien und Ausfallraen im Allgemeinen und uner mehr oder weniger vereinfachenden Annahmen erfolgen kann, soll hier daher ausführlich dargesell werden. Dabei beschränk sich dieser Beirag auf die Berachung von Kredien mi fixierer Laufzei, ohne Opionskomponenen und mi einem fes vereinbaren Noalzinssaz. Zur Veranschaulichung wird zudem meis der Fall eines Sandardkredis mi ilgung nur am Ende der Laufzei berache. Dafür wird dann aber zunächs eine invesiionsrechnerische Barwerbesimmung dargesell, die periodenabhängige bedinge Ausfallwahrscheinlichkeien und Ausfallraen, und auch Korrelaionen zwischen den bedinge Ausfallwahrscheinlichkeien der verschiedenen Perioden sowie zwischen Ausfallwahrscheinlichkeien und Ausfallraen zuläss. Da diese Bewerung im Hinblick auf die erforderliche Schäzung von gemeinsamen Wahrscheinlichkeisvereilungen nich prakikabel erschein, werden dann Vereinfachungen eingeführ, die zu leich zu handhabenden und zu inerpreierenden Barwerberechnung führen. Eine dami verbundene, weiere Zielsezung dieses Beirags is die genauere Berachung der Besandeile des Credi Spreads, d. h. der Differenz zwischen der Effekivverzinsung (auf Basis der vereinbaren Zahlungen) und der Rendie einer sicheren Anlage (mi gleicher Laufzei). Bekannlich beinhale der Credi Spread eine Prämie für das Ausfallrisiko. Die Ausfallprämie dien dazu, einen Ausgleich für erwaree Verluse zu schaffen. Bei ausreichender Ausfallprämie ensprich die erwaree Rendie des Kredigebers desens der sicheren Rendie. Man kann daher auch von einer Prämie für erwaree Verluse sprechen. Allerdings wird sich der Kredigeber i. d. R. nich mi einer erwareen Rendie in Höhe der sicheren Rendie zufrieden geben. Die erwaree Rendie muss, wie bei allen riskanen Anlagen, die sichere Rendie um eine Risikoprämie überseigen. Für diese Differenz zwischen desens geforderer erwareer Rendie und sicherer Verzinsung wird hier der Begriff Risikoprämie i. e. S. vorgeschlagen, 2 wobei der Zusaz i. e. S. erfolg, da gelegenlich auch der gesame Credi Spread, inklusive 2 Die Verwendung der beiden Begriffe Ausfallprämie und Risikoprämie i. e. S. in diesem Konex ha der Verfasser von Herber Hax übernommen. Hax ha die Unerscheidung der beiden explizi so benannen Prämien leider nich in einer dem Verfasser bekannen Veröffenlichung fesgehalen. In der Sache finde sich die Unerscheidung jedoch auch in Franke/Hax (2009), S. 45. Zur Ausfall- und Risikoprämie i. e. S. vgl. auch schon Nippel (2003). 2

5 der Ausfallprämie, als Risikoprämie bezeichne wird. 3 asächlich is der Credi Spread die Summe aus Ausfallprämie und Risikoprämie i. e. S. 4 Die Unerscheidung zwischen Ausfallprämie und der Risikoprämie i. e. S. wird durch die verschiedenen in der Lieraur zu findenden Begriffe für die Ausfallprämie nich immer leich gemach. Am deulichsen is noch die Benennung der Ausfallprämie als Risikoaufschlag für erwaree Verluse. 5 Weniger klar sind die Begriffe Risk Differenial 6 oder Risikozuschlag 7 oder Sandard- (Ausfall-) Risikokosenmarge, 8 Explizi von Defaul Premium oder Ausfallprämie sprechen hingegen z. B. auch Pye (974) bzw. Daldrup e al. (2004). Pye (974) weis bereis explizi darauf hin, dass he yield spread equals he risk premium plus a defaul premium. 9 Während die Ausfallprämie einen Risikoaufschlag für erwaree Verluse darsell, kann die Risikoprämie i. e. S. als Risikoprämie für unerwaree Verluse bezeichne werden. 0 Diese Risikoprämie i. e. S. wird geforder, weil Verluse höher, aber auch geringer als erware ausfallen können. Bei Risikoaversion wird die Gefahr höherer Verluse särker gewiche als die Möglichkei geringerer Verluse. Dann muss die erwaree Rendie größer als die sichere Verzinsung sein. Die desens gefordere erwaree Rendie sell die Kapialkosen dar. Die invesiionsrechnerische Bewerung von ausfallgefährdeen Kredien is nich neu. Derarige Ansäze finden sich in der Lieraur schon sei langem. Beispiele für Beiräge mi Barwerberechnungen uner direker Berücksichigung des Ausfallrisikos sind Pye (974), Bierman/Hass (975), Yawiz (977), Knobloch e al. (999), Duffie/Singelon (999), und Daldrup e al. (2004). Eng verwand sind auch solche Beiräge, in denen 3 Dies gil insbesondere für (ganz) frühe Beiräge zu dieser hemaik, z. B. für den Beirag von Fisher (959). Dor is sogar explizi von Risk Premium die Rede, wo die Ausfallprämie gemein is, vgl. ebenda, insbes. S Hinzu komm ggf. noch eine Prämie für den seuerlichen Nacheil einer privawirschaflichen Krediforderung (Unernehmensanleihe) gegenüber Saasanleihen, deren Rendie als sicherer Zinssaz in der Messung des Credi Spreads verwende wird. Vgl. Elon e al. (200). 5 Vgl. Harmann-Wendels e al. (205), S Vgl. Bierman/Hass (975), z. B. S Dor aber auch: Defaul-Risk Differenial, vgl. ebenda, S Vgl. Knobloch e al. (999), S Vgl. Schierenbeck e al. (204), S Pye (974), S Vgl. Harmann-Wendels e al. (205), S

6 ein vergleichbarer Barwerkalkül verwende wird, um die in der Markbewerung implizi enhalenen Ausfallrisiken oder Ausfallprämien zu besimmen. Dieser Beirag erheb also nich den Anspruch, einen neuen Ansaz vorzusellen. Es soll vielmehr darum gehen, die Grundprinzipien der invesiionsrechnerischen Bewerung eines Kredies übersichlich darzusellen. Dabei werden die oben bereis genannen Zielsezungen verfolg:. die Gegenübersellung der Bewerung mi nur indireker oder aber mi direker Berücksichigung des Ausfallrisikos, gemessen durch die Parameer Ausfallwahrscheinlichkei ( PD ) und Ausfallrae ( LGD ), 2. die Darsellung der Barwerberechnung bei direker Berücksichigung des Ausfallrisikos im allgemeinen Fall und uner verschiedenen vereinfachenden Annahmen, 3. die explizie Unerscheidung von Ausfallprämie und Risikoprämie i. e. S., 4. und schließlich eine Berachung der Frage nach den angemessenen Kapialkosen. Die Bewerung eines Kredies in Form einer Barwerberechnung, oder auch auf anderem Wege, is vor allem im Rahmen von Enscheidungskalkülen erforderlich. Eine Kredivergabe is für den Kredigeber nur dann voreilhaf, wenn der (Bar-) Wer der zukünfig zu erwarenden Einzahlungen nich kleiner is als der zu verauslagende Krediberag. Dies is lezlich das albekanne Kapialwerkrierium. Bei gegebenem Ausfallrisiko häng der Wer eines Kredies vor allem auch von den Kondiionen ab. Es gil dami, den Noalzinssaz zu besimmen, den der Kredigeber desens vereinbaren muss, dami der Kapialwer seiner Invesiion in Form der Kredivergabe nich negaiv is. Dabei spiel auch das Disagio eine Rolle. Ein höheres Disagio bedeue, dass der Kredigeber weniger Geld invesier. Daher seig c. p. der Kapialwer der Kredivergabe im Disagio. Dies kann als weiere Zielsezung dieses Beirags angesehen werden: 5. Es soll der Noalzinssaz in Abhängigkei vom Ausfallrisiko besimm werden, für den der Wer des Kredies (desens) dem Krediberag ensprich. Diese Besimmung erfolg hier analyisch auch für den Fall eines (Sandard-) Kredies mi Disagio. Vgl. z.b. Lierman/Iben (99), Fons (994) oder Longsaff e al. (2005). 4

7 Schließlich wird auch die Besimmung der Kapialkosen zur Bewerung einzelner Kredie hemaisier. Insbesondere werden diese in Relaion zu den Gesamkapialkosen des Kredigebers (einer Bank) gesez. Im Folgenden wird zur Einführung zunächs kurz die Bewerung sicherer Kredie berache, bevor dann in Kapiel 3 das Ausfallrisiko einbezogen wird. Dor werden die zwei Alernaiven der Bewerung von Kredien, die Diskonierung vereinbarer Zahlungen mi der Effekivverzinsung äquivalener Alernaivanlagen, und die Diskonierung erwareer Zahlungen mi angemessenen Kapialkosen, genauer berache. Kapiel 4 is der Frage nach der Besimmung der Kapialkosen gewidme. Kapiel 5 liefer eine Zusammenfassung. 2 Sichere Kredie Von einem sicheren Kredi is dann zu sprechen, wenn die vereinbaren Zins- und ilgungszahlungen vom Kredigeber mi Sicherhei und ergerech vereinnahm werden können. Der (faire) Wer der sicheren zukünfiger Einzahlungen aus der Kredivergabe is gleich dem Preis, zu dem ein äquivalener Zahlungssrom am Kapialmark gehandel wird. Dies folg aus dem Prinzip der Arbiragefreihei. 2 Äquivalen sind zwei sichere Zahlungssröme, wenn sie in allen zukünfigen Zeipunken die gleichen Zahlungen aufweisen. Sei c die sichere Einzahlung, die dem Kredigeber im Zeipunk zufließ, und V der gegenwärige Markpreis eines Kredies, so is die Effekivverzinsung r implizi definier durch V c =. () = ( + r ) Die Effekivverzinsung (auch: Yield o Mauriy 3 ) is der inerne Zinssaz der Zahlungsreihe. Mi diesem Zinssaz r können andere Kredie mi gleichen zukünfigen Einzahlungen in allen zukünfigen Zeipunken bewere werden. Die Effekivverzinsung r is als Diskonierungszinssaz zu verwenden, um den Barwer der zukünfigen Zahlungen zu 2 Vgl. Franke/Hax (2009), S. 372 ff. 3 Vgl. z. B. Berk/De Marzo (204), S. 7 ff. 5

8 berechnen. Die Bewerung erfolg gemäß Gleichung (), wobei dann nich r als unbekanne Größe anzusehen, sondern V. Kredie mi anderen Zahlungssrömen dürfen i. d. R. nich mi dem gleichen Diskonierungszinssaz bewere werden. Wenn die Zinssrukurkurve nich flach verläuf, häng die markgereche Effekivverzinsung von fesverzinslichen Finanzierungsinsrumenen (Kredien) von der Laufzei und, bei gleicher Laufzei, auch noch von den ilgungsmodaliäen und dem Noalzinssaz ab. Bei nich flacher Zinssrukur is daher die Bewerung von Krediforderungen enweder mi der Effekivverzinsung eines idenischen Kredies oder aber mi den markgerechen Zero-Bond-Zinssäzen zu beweren. 4 Sei i die markgereche Effekivverzinsung eines sicheren Zero-Bonds mi einer Laufzei von Perioden, dann gil für den Barwer der zukünfigen Einzahlungen aus einem Kredigeschäf V c =. (2) ( + i ) = Jede zukünfige Einzahlung is mi einer anderen Zero-Bond-Rendie zu diskonieren. Die Zero-Bond-Rendien lassen sich aus den am Mark beobachbaren Rendien (Effekivverzinsungen) fesverzinslicher Kupon-Anleihen ohne Ausfallrisiko ableien, wenn diese in genügend vielen unerschiedlichen Laufzeien vorhanden sind. Die Bewerung in Form der Diskonierung mi Zero-Bond-Rendien in (2) is auch uner dem Begriff der Markzinsmehode bekann. 5 Bei gegebener Zinssrukur, d. h. gegebenen (sicheren) Zero-Bond-Rendien is der Barwer eine sicheren Zahlungsreihe gemäß (2) eindeuig besimm. Wenn der Barwer bekann is, läss sich nun auch die Effekivverzinsung r der Zahlungsreihe als inerne Verzinsung gemäß () besimmen. Jede Zahlungsreihe mi gegebenem Markwer ha genau einen Effekivzinssaz, sofern sie die Eigenschaf einer Normalinvesiion aufweis. 6 Prinzipiell könne also jeder sichere Kredi mi einem spezifischen Diskonierungszinssaz bewere werden. Nur is der angemessene, periodenunabhängige Diskonierungszinssaz bei nich flacher Zinssrukur in aller Regel ers dann bekann, wenn die Bewerung (mi den Zero-Bond-Rendien) bereis erfolg is. Dann benöig man den periodenunabhängigen Diskonierungszinssaz jedoch nich mehr. 4 Vgl. z. B. Berk/De Marzo (204), S Vgl. Harmann-Wendels/Gumm-Heußen (994); Schierenbeck e al. (204), S. 50 ff. 6 Vgl. Kilger (965), S. 79 ff. 6

9 Die Bewerung soll hier zur Vorbereiung der eigenlich ers ineressanen Berachung ausfallgefährdeer Kredie im nächsen Kapiel am Beispiel eines einfachen endfälligen Kredies mi jährlicher Zinszahlung weier veranschaulich werden. Sei N der Nennwer des Kredies, r N der Noalzinssaz (die Kuponrae), und die Laufzei in Jahren, so folgen daraus jährliche Zinszahlungen in Höhe von r N N. Am Ende der Kredilaufzei, in, beräg die Zins- und ilgungszahlung ( + r ) N. Der Barwer dieser Zahlungsreihe errechne sich als N V rn N N = +, (3) ( + i ) ( + i ) = Oder, wenn die markgereche, periodenkonsane Effekivverzinsung r bekann is: V rn N N = +, (4) = ( + r ) ( + r ) Die Bewerung in (3) oder (4) is lezlich ein einfacher, albekanner invesiionsrechnerischer Barwerkalkül. 7 3 Ausfallgefährdee Kredie 3. Bewerung mi der Effekivverzinsung äquivalener Kredie Ausfallgefahr bedeue, dass der Kredinehmer die vereinbaren Zins- und ilgungszahlungen nich mi Sicherhei leisen kann oder wird. Die asächlichen Zahlungen an den Kredigeber können kleiner ausfallen, insbesondere wenn der Kredinehmer insolven wird. Auch bei ausfallgefährdeen Kredien ha die Bewerung uner Rückgriff auf das Arbiragefreiheisprinzip zu erfolgen. Dieses Prinzip münde auch wieder in einer invesiionsrechnerischen Barwerbesimmung. Aus dem Prinzip der Arbiragefreihei folg: Der Wer eines ausfallgefährdeen Kredies is gleich dem Preis, zu dem ein äquivalener Zahlungssrom am Kapialmark gehandel wird. Zahlungssröme sind als äquivalen anzusehen, wenn sie in allen zukünfigen Zeipunken und Zusänden mi der gleichen Einzahlung einhergehen. Wenn gleiche Zahlungen in allen zukünfigen Zeipunken und Zusänden anfallen, bedeue dies idenisches Ausfallrisiko. Zwei Kredie weisen nur dann ein idenisches Ausfallrisiko auf, 7 Vgl. in dieser Hinsich z. B. Kosiol (959), 46 f. 7

10 wenn sie in den gleichen Zusänden ausfallen und dann die vom Kredigeber noch erzielbare Reswerzahlung gleich is. Für jeden ausfallgefährdeen Kredi läss sich die Effekivverzinsung r als inerner Zinssaz der Reihe der vereinbaren Zahlungen besimmen, wenn der Markwer V bereis bekann is. Es gil auch hier die implizie Besimmungsgleichung (2): V c =. (5) ( + r ) = Die zukünfigen Einzahlungen c, die hier mi der gesuchen Effekivverzinsung diskonier werden, sind die vereinbaren Zins- und ilgungszahlungen. Die asächlichen Einzahlungen können kleiner ausfallen. Folglich kann auch die asächlich erziele Rendie des Kredigebers kleiner als die Effekivverzinsung r aus (5) sein. Bei einem ausfallgefährdeen Kredi wird sich der Kredigeber nich mi der gleichen Effekivverzinsung zufrieden geben wie bei einem (laufzeigleichen) Kredi ohne Ausfallgefahr. 8 Die gefordere oder markgereche Effekivverzinsung wird größer sein als die sichere Verzinsung. Is die Effekivverzinsung aus (5) bekann, kann dami die Reihe der vereinbaren Zinsund ilgungszahlungen eines äquivalenen Kredies diskonier werden. (Allerdings gil auch hier wieder, dass die Barwerberechnung gar nich mehr nöig is, wenn man den Markwer des äquivalenen Kredies kenn.) Für den schon in Kapiel 2 beracheen endfälligen Kredi mi Nennwer N, Noalzinssaz r N und Laufzei beräg der Wer V rn N N = +, (6) = ( + r ) ( + r ) wenn r die Effekivverzinsung eines äquivalenen Kredies is. Dieser Wer des Kredies gemäß (6) häng in bekanner Weise negaiv von der Höhe der geforderen Effekivverzinsung ab. Der Barwer is c. p. kleiner als der für den Fall sicherer Zahlungen in (4) besimme Wer, weil für die Übernahme des Ausfallrisikos eine höhere Effekivverzinsung geforder wird. Das Ausfallrisiko wird hier, in (6), nur indirek berücksichig. Die zu diskonierenden Zahlungen sind die vereinbaren Zahlungen, das Ausfallrisiko fließ hier im Nenner der 8 So z. B. schon McCullough (843), S

11 Bewerungsgleichung nich ein. Dafür häng der angemessene Diskonierungszinssaz, d. h., die Effekivverzinsung eines äquivalenen Kredies, von dem Ausfallrisiko ab. Aus Sich des Kredigebers darf der Wer des Kredies nich kleiner sein als der auszuzahlende Krediberag. Der Auszahlungsberag is gleich ( d) N, wobei d für das prozenuale Disagio seh. Aus Sich des Kredigebers muss also gelen: r N N V ( d) N + ( d) N ( ) ( ) N = + r + r r + ( d). ( ) ( ) N = + r + r (7) Ein höheres Risiko wird sich in der Regel in einer höheren vom Mark geforderen Effekivverzinsung r niederschlagen. Dami die Bedingung (7) für die Voreilhafigkei der Kredivergabe erfüll is, muss ein hinreichend hoher Noalzinssaz oder in hinreichend hohes Disagio vereinbar werden können. Die in (6) und (7) als Diskonierungszinssaz verwendee Effekivverzinsung is als inerner Zinssaz aus der Markbewerung eines äquivalenen Kredies abzuleien. Die Forderung nach Äquivalenz zweier Kredie is viel särker als die nach einem gleichen Raing. Denn nich nur die Ausfallwahrscheinlichkei und der Verlus im Falle der Insolvenz des Schuldners müssen übereinsimmen. Äquivalenz bedeue gleiche Zahlungen in allen Zusänden, somi also vollkommene Korrelaion. In der Praxis mag man sich dennoch mi dem Rückgriff auf die Effekivverzinsung einer am Mark gehandelen Anleihe mi gleichem Raing behelfen. Zudem sollen Laufzei und der Noalzinssaz möglichs übereinsimmen. Denn schon der sichere Zinssaz, der als Basis in der am Mark geforderen Effekivverzinsung enhalen is, häng bei nich flacher Zinssrukur von Laufzei und Zahlungssrukur ab. Zur Vereinfachung der Darsellung sei von nun an eine flache Zinssrukur angenommen. Diese Annahme is hier aber nur insowei relevan, als dami die Rendie einer sicheren Anlage von der Laufzei unabhängig is. Es kann ein sicherer Zinssaz besimm werden, der hier mi r f bezeichne werden soll. Für den Credi Spread kann man somi schreiben: Credi Spread = r rf. (8) Der Credi Spread is also die Differenz zwischen der Effekivverzinsung des beracheen Kredies, basierend auf den vereinbaren Zahlungen, und dem sicheren Zinssaz. 9

12 3.2 Bewerung mi risikoadäquaen Kapialkosen Aus der Berachung der Bewerung mi der Effekivverzinsung äquivalener Kredie wird nich explizi deulich, wie das Ausfallrisiko die gefordere Effekivverzinsung deerier, und wie zu verfahren is, wenn die markgereche Effekivverzinsung r nich unmielbar aus dem Markwer eines äquivalenen Kredies abgeleie werden kann. Dann bedarf es eines Bewerungsmodells, in dem direk auf das (geschäze) Ausfallrisiko Bezug genommen wird, indem erwaree Zahlungen diskonier werden. Hierbei erfolg insofern eine direke Berücksichigung des Ausfallrisikos, da die erwareen Zahlungen von der Ausfallwahrscheinlichkei und der Ausfallrae abhängen. Die invesiionsrechnerische Bewerung in Form der Diskonierung erwareer Zahlungen is auch die übliche Vorgehensweise in der Bewerung von Eigenkapialieln oder ganzen Unernehmen. 9 Bei Eigenkapialieln, z. B. Akien, gib es keine fixen, vereinbaren Zahlungen an die Kapialgeber. Eine Bewerung wie in (5) bzw. (6) is grundsäzlich nich möglich. Sadessen sind die erwareen Zahlungen Ec ( ) in den verschiedenen zukünfigen Zeipunken mi den risikoadäquaen Kapialkosen zu diskonieren. Aus der Kapialmarkheorie is grundsäzlich bekann, dass als Kapialkosensaz die im Gleichgewich zu erwarende Rendie einer Kapialmarkanlage mi gleichem relevanem (sysemaischem) Risiko zu verwenden is. Als relevan erweis sich im Markzusammenhang das Kovarianz- oder Bea-Risiko. 20 Zwischen der gleichgewichigen erwareen Rendie und dem relevanen Risiko beseh ein posiiver Zusammenhang. Somi kann auch gefolger werden, dass die Kapialkosen, mi denen risikobehafee Zahlungen zu beweren sind, in aller Regel größer als der sichere Zinssaz sind. 2 Die Bewerung bei Risiko in Form der Diskonierung erwareer Zahlungen mi risikoadäquaen Kapialkosen läss sich auch im Falle ausfallgefährdeer Kredie durchführen. Dazu gil es, die Reihe der erwareen zukünfigen Zahlungen Ec ( ) mi dem risikoadäquaen Kapialkosensaz, der hier mi µ bezeichne werden soll, zu diskonieren: V Ec ( ) =. (9) ( + µ ) = 9 Bei der Unernehmensbewerung miels Discouned Cash-Flow (DCF)-Mehoden werden erwaree Free Cash-Flows diskonier, vgl. z. B. Kruschwiz/Löffler (2006), Drukarczyk/Schüler (2009) oder Meiner/Sreiferd (20). 20 Vgl. z. B. Berk/De Marzo (204). S. 340 f. i. V. m. S.38 ff. 2 Einen empirischen Beleg für eine relaiv hohe Risikoprämie für sysemaisches Risiko in beobachbaren Spreads von Unernehmensanleihen liefern Elon e al. (200), insbes. S. 267 ff. 0

13 Zur Bewerung sind also zunächs die erwareen Zahlungen und der Kapialkosensaz zu besimmen. 22 In der Barwergleichung (9) wird mi einem konsanen, periodenunabhängigen Kapialkosensaz gerechne. Dieser soll hier zunächs als bekann angesehen werden. Ers im Kapial 4 widmen wir uns dem Kapialkosensaz näher. Grundsäzlich können wir aber schon feshalen, dass als risikoadäquaer Kapialkosensaz die erwaree Rendie aus einer Anlage, die zu einem Zahlungssrom mi gleichem relevanem Risiko führ, zu verwenden is. Wenn es einen posiiven Zusammenhang zwischen (relevanem, sysemaischem) Risiko und gleichgewichiger erwareer Rendie gib, gil in aller Regel 23 µ > r f. (0) Der Kapialkosensaz is größer als die sichere Verzinsung. Die Differenz is die Risikoprämie i. e. S. Risikoprämie i. e. S. = m r () Man kann hier auch von einer Risikoprämie für unerwaree Verluse 24 sprechen, die als Ausgleich für die Gefahr geforder wird, dass der Verlus größer als erware ausfäll bei andererseis vielleich aber auch geringerem Verlus. Wenn der Kapialkosensaz µ markbezogen als erwaree Rendie einer Alernaivanlage mi gleichem relevanen Risiko besimm wird, handel es bei µ rf um die markgereche Risikoprämie. Diese Risikoprämie is der zenrale Berachungsgegensand in der klassischen Kapialmarkheorie. Im allseis bekannen, einperiodigen CAPM ergib sich die individuelle Risikoprämie als Produk aus Markrisikoprämie und Bea-Fakor als Risikomaß: 25 µ r = ( µ r ) β. f M f Wenn der Kapialkosensaz µ zunächs als bekann vorausgesez werden kann, bedarf es also nur noch der Besimmung der erwareen zukünfigen Zahlungen, Ec ( ), an f 22 Der Kapialkosensaz darf naürlich nich mi der Effekivverzinsung (aus (5)) verwechsel werden, vgl. dazu auch Berk/De Marzo (204), S Anders bei einem negaiven bewerungsrelevanen (sysemaischen) Risiko. 24 Vgl. Harmann-Wendels e al. (205), S Rudolph (995) sprich hingegen einfach von Risikokosen, die im Krediporfolio-Zusammenhang dann null sind, wenn dieses gu diversifizier is. Dami wird deulich, dass es sich dabei asächlich um die Risikoprämie für das bewerungsrelevane sysemaische (Kovarianz-) Risiko handel. 25 Zur Bewerung auf der Grundlage des CAPM vgl. Franke/Hax (2009), S. 354 ff.

14 den Kredigeber, um die Barwerberechnung gemäß (9) durchführen zu können. Diese erwareen Zahlungen hängen ab von der Ausfallwahrscheinlichkei (Probaliy of Defaul) und dem Verlus bei Ausfall (Loss Given Defaul). Ein Krediausfall lieg vor, wenn der Kredinehmer seiner Zahlungsverpflichung nich mehr nachkomm. Die bedinge 26 Wahrscheinlichkei für einen Ausfall in Periode sei PD. Mi der (bedingen) Wahrscheinlichkei von PD komm es in Periode nich zu einem Ausfall. In einer zukünfigen Periode > können diese Ausfallwahrscheinlichkeien neu eingeschäz werden. Die Ausfallwahrscheinlichkeien zukünfiger Perioden sind aus heuiger Sich Zufallsvariablen. Für die unbedinge Ausfallwahrscheinlichkei in Periode, aus heuige Sich, folg daher Mi der unbedingen Wahrscheinlichkei in Höhe von E= 0 ( PD ) PD. (2) = E = 0 ( PD ) (3) = komm es bis einschließlich der Periode nich zu einem Ausfall. Um diese Wahrscheinlichkei besimmen zu können, müssen die gemeinsamen Wahrscheinlichkeisvereilungen der zukünfigen Ausfallwahrscheinlichkeien geschäz werden. Wenn es mi der Wahrscheinlichkei (3) nich zu einem Ausfall in der Periode komm, kann der Kredigeber die vereinbaren Zins- und ggf. aneilige ilgungszahlungen vereinnahmen. Bei einem endfälligen Kredi sind die (Zins-) Einzahlungen in < gleich r N N, und bei Fälligkei, in, komm noch die ilgung in Höhe von N hinzu. Falls es zu einem Ausfall komm, muss der Kredigeber einen Verlus hinnehmen. Dieser Verlus wird durch die Ausfallrae (den Loss Given Defaul) gemessen. Der Parameer LGD miss den Aneil der Nennweres und der ansehenden Zinszahlung, auf den der Kredigeber bei Ausfall verzichen muss. Als Einzahlung aus der Insolvenzmasse oder aus der Verwerung von Sicherheien verbleib Beding darauf, dass es bisher noch nich zu einem Ausfall gekommen is. 27 Dass der Loss Given Defaul hier nich nur auf den noch aussehenden ilgungsberag, sondern auch auf die im Zeipunk des Krediausfalls fällige Zinszahlung bezogen wird, mag ungewöhnlich erscheinen, vereinfach aber die Darsellung im Folgenden. Die gleiche Bezugsbasis für den Loss Given Defaul finde sich aber auch bei eher prakisch orienieren Beirägen, wie ewa Fons (994), S

15 ( LGD )( + r ) N. (4) Bei Vereinnahmung dieser Zahlung (aus der Verwerung von Sicherheien) fallen dann im Gegenzug alle zukünfigen Einzahlungen weg. Bei einem Annuiäen-Kredi oder einem anderen Kredi mi ilgungsleisungen vor Laufzeiende in, wäre in der Einzahlung in (4) sa dem Nennwer die Resschuld zu berücksichigen. Zukünfige Ausfallraen sind heue naürlich noch nich bekann. Daher muss heue, in = 0, mi Erwarungsweren der bedingen Ausfallraen LGD gerechne werden. Da die Ausfallrae nur dann eine Rolle spiel, wenn es in der Periode zu einem Ausfall komm, und die Ausfallwahrscheinlichkei, die in einem zukünfigen Zeipunk für die Periode bis geschäz wird, ebenfalls eine Zufallsvariable is, muss auch eine evenuelle Korrelaion zwischen der unbedingen Wahrscheinlichkei eines Ausfalls in Periode (vgl. (2)) und der Ausfallrae N LGD berücksichig werden. Für den endfälligen Kredi mi Laufzei Perioden, Nennwer N und Noalzinssaz r N beräg somi die erwaree Einzahlung in < aus heuiger Sich: E= 0( c) = E= 0 ( PD ) rn N = + E= 0 ( PD ) PD ( LGD) ( + rn) N. = (5) Im Zeipunk der Fälligkei komm noch die ilgungszahlung in Höhe des Nennweres hinzu, falls der Kredi bis dahin nich ausgefallen is. Die ex ane erwaree Einzahlung in beräg somi E= 0( c) = E= 0 ( PD ) ( + rn) N = + E= 0 ( PD ) PD ( LGD) ( + rn) N. = (6) Mi diesen erwareen Einzahlungen und gegebenem Kapialkosensaz kann nun die Bewerung gemäß (9) erfolgen: 28 Auch Schierenbeck e al. (204), S. 304, sprechen davon, dass die Rückzahlungsquoe bei vollsändiger Berachung die Zinsen mi einschließ. Kenn man (in der Praxis) den nur auf den Nennwer bezogenen LGD, und den Kredizinssaz, so kann man unschwer auf den hier verwendeen LGD bezogen auf ( + ) mal Nennwer schließen. r N 28 Diese Bewerung is eng verwand mi der in Duffie/Singelon (999), S. 69, wo die Bewerung jedoch nich auf risikoadäquaen Kapialkosen, sondern auf dem risikoneuralen Wahrscheinlichkeismaß basier. 3

16 V = = = = E= 0( c) ( + µ ) = 0 N = 0 N = = E ( PD ) r N + E ( PD ) PD ( LGD ) ( + r ) N E= 0 ( PD ) N = +. ( + µ ) ( + µ ) Diese Berechnung sell hohe Anforderungen an die nowendigen Schäzungen. Um die erwareen Zahlungen besimmen zu können, müssen die gemeinsamen Vereilungen der Ausfallwahrscheinlichkeien, PD, und Ausfallraen, (7) LGD, geschäz werden. Denn es gil, mögliche serielle Korrelaionen und Korrelaionen zwischen LGD zu berücksichigen. PD und Zum Zwecke der Anwendbarkei der Bewerungsfunkion (7) dürfen daher vereinfachende Annahmen unumgänglich sein. Man könne z. B. die unbedingen Wahrscheinlichkeien für einen Ausfall oder Nich-Ausfall in Periode direk schäzen, sa sie wie in (2) und (3) auf Basis der periodenspezifischen, bedingen Ausfallwahrscheinlichkeien PD zu berechnen. Sei p die unbedinge Wahrscheinlichkei für einen Ausfall in Periode, und demensprechend die unbedinge Wahrscheinlichkei dafür, p dass es bis einschließlich der Periode nich zu einem Ausfall komm. Wenn diese Wahrscheinlichkeien direk geschäz werden können, verbleib nur noch die Problemaik der Korrelaion zwischen der Ausfallrae LGD und den bedingen Ausfallwahrscheinlichkeien. Ignorier man solche Korrelaionen, so erhäl man als Barwer der erwareen Zahlungen aus dem Kredigeschäf: V ( p) rn N + p ( LGD)( + rn) N ( p) N = +. (8) ( + µ ) ( + µ ) = Die unbedingen Ausfallwahrscheinlichkeien p lassen sich (nur) dann vergleichsweise leich auf Basis der bedingen Ausfallwahrscheinlichkeien 4 PD schäzen, wenn man als weiere Vereinfachung annimm, dass die bedinge Wahrscheinlichkei für einen Ausfall in Periode nich mi den Ausfallwahrscheinlichkeien der Vorperioden korrelier. Dann folg für die unbedinge Wahrscheinlichkei für einen Ausfall in Periode, aus heuiger Sich

17 p = ( E( PD )) E( PD). (9) = Und mi der unbedingen Wahrscheinlichkei in Höhe von 29 p = ( E( PD )) (20) = komm es bis einschließlich der Periode nich zu einem Ausfall. Noch einen Schri weier in Richung Vereinfachung geh die Annahme, dass die bedingen Ausfallwahrscheinlichkeien aus heuiger Sich alle den gleichen Erwarungswer aufweisen: E( PD ) PD = konsan. (2) Diese Annahme is nich zu verwechseln mi einer Ignoranz gegenüber Boniäsänderungen. Wenn heue mi gleichen bedingen Ausfallwahrscheinlichkeien gerechne wird, kann die zukünfig geschäze Ausfallwahrscheinlichkei durchaus davon abweichen. Wenn zukünfig von einer höheren oder niedrigeren Ausfallwahrscheinlichkei ausgegangen wird, sell dies eine Boniäsänderung (Raingmigraion) dar. Uner Annahme (2) folg für die unbedingen Wahrscheinlichkeien aus (9) und (20) bzw. ( ) p PD PD =, (22) p = ( PD). (23) Als leze Vereinfachung sei noch angenommen, dass auch die bedingen, erwareen Ausfallraen konsan, und nich mi den Ausfallwahrscheinlichkeien korrelier seien: E( LGD ) LGD = konsan. (24) Uner diesen Annahmen vereinfach sich die Bewerungsgleichung (7) schließlich zu = = ( PD) rn N + PD ( LGD) ( + rn) N ( PD) V = + N ( + µ ) ( + µ ) ( PD) PD ( PD) = rn + ( LGD) ( + rn) N + N. ( + µ ) PD ( + µ ) (25) 29 Vgl. Fons (994), S

18 In dieser Bewerungsgleichung (25) is sehr gu zu erkennen, dass der Barwer für ein gegebenes Ausfallrisiko im Noalzinssaz r N seig. 30 Aus Sich des Kredigebers muss bei Vergabe gelen: V ( d) N, (26) anderenfalls mach er einen Verlus. Dieses Voreilhafigkeiskrierium (26), das lezlich nichs anderes is als das Kapialwerkrierium, is erfüll, wenn der zu vereinbarende Kredizinssaz, r N, hinreichend hoch is. Es läss sich analyisch zeigen, dass für den Zinssaz r N gelen muss: m+ LGD PD m+ PD ( + m) rn d r LGD PD LGD PD ( + m) ( PD) Beweis: Siehe Anhang 6.. N. (27) Für den Noalzinssaz exisier also ein kriischer Wer r N, ein Mindeszinssaz oder Break Even Wer, der posiiv von dem Kapialkosensaz µ, von der in = 0 geschäzen Ausfallwahrscheinlichkei je Periode, PD, und von der Ausfallrae, LGD, abhäng. Ein höheres Disagio d führ naürlich dazu, dass ein geringerer Noalzinssaz ausreich. Umgekehr kann daher auch das bei einem vorgegebenen Noalzinssaz nowendige Disagio berechne werden. Das Produk aus Ausfallrae und Ausfallwahrscheinlichkei, LGD PD, kann uner den gegebene Annahmen als erwareer Verlus je Einhei noch aussehender Krediforderung und je Periode inerpreier werden. 3 Je höher dieser erwaree Verlus ausfäll, deso höher muss der Kredizinssaz r N c. p. desens sein. Für den Fall ohne Disagio, d. h. d = 0 vereinfach sich der Ausdruck für den Mindeszinssaz in (27) zu Bekannlich is nich unbeding sichergesell, dass ein höherer Kredizinssaz zu einem höheren Barwer führ, wenn Moral-Hazard-Probleme oder eine adverse Selekion der Kredinachfrager zu einer Seigerung des Ausfallrisikos führen, vgl. Sigliz/Weiss (98). Davon sei hier abgesehen, es wird unersell, dass der Kredigeber das Ausfallrisiko als gegeben ansehen kann. 3 Vgl. Rudolph (2006), S Dieses Ergebnis finde sich implizi bereis Pye (974), S. 5; und bei Yawiz (977), S. 484, in Gleichung (0). Bei Pye (974) beinhale die Bezugsbasis für den Loss Given Defaul allerdings nich die Kuponzinsen, womi eine ensprechend abweichende Ausfallprämie besimm wird. Yawiz (977) erweier die Analyse von Bierman/Hass (975), die den Mindeszinssaz bereis für den Fall mi einem Loss Given Defaul von 00% besimm haben (ebenda, S. 759, Gleichung (4)). Sowohl Bierman/Hass (975) als auch Yawiz (977) verwenden allerdings den sicheren Zinssaz als Kapialkosensaz. Pye (974) hingegen ha schon eine Risikoprämie i. e. S. einbezogen. Zur Besimmung des Mindeszinssazes uner vergleichbaren Annahmen vgl. auch Rosenberger (2003), 6

19 r N m + LGD PD r LGD PD N. (28) Durch den Mindes-Kredizinssaz (aus (28) oder, in Abhängigkei vom Disagio, aus (27)) is auch eine besimme Effekivverzinsung deerier. Die Effekivverzinsung, die sich auf Basis des Mindes-Kredizinssazes r N berechnen läss, kann ensprechend als die vom Kredigeber desens gefordere Effekivverzinsung r bezeichne werden. Für den Fall ohne Disagio, d = 0, simmen beim endfälligen Kredi Noalzinssaz und Effekivverzinsung überein. Somi folg also auch für die desens zu fordernden Were r N = r für d = 0. (29) Wie der Mindes-Noalzinssaz r N is also auch die desens gefordere Effekivverzinsung r bei jedem ausfallgefährdeen Kredi größer als der Kapialkosensaz µ (vgl. (28)). Die Differenz zwischen der Mindes-Verzinsung r = r und dem N Kapialkosensaz µ is die Ausfallprämie in der geforderen Rendie, die einen Ausgleich für die erwareen Verluse biee: rn m = Ausfallprämie bei Kredivergabe zum Nennwer (30) Diese Ausfallprämie is erforderlich, dami der Kredigeber im Erwarungswer eine Rendie in Höhe des Kapialkosensazes erziel. Wie die Besimmungsgleichung (28) für r N deulich mach, is die Ausfallprämie ceeris paribus umso höher, je höher die geschäze Ausfallwahrscheinlichkei PD is, und je höher die Ausfallrae, LGD ausfäll. Dieser Zusammenhang gil auch für einen Kredi mi Disagio. Dann unerscheiden sich jedoch Effekivverzinsung und Noalzinssaz. Für den Fall mi Disagio, d > 0, is die Effekivverzinsung r größer als der Noalzinssaz (e vice versa für den Fall mi einem Agio, d < 0 ). Es gil: 33 S. 55 f.; Nippel (205), oder für den Fall von Annuiäendarlehen Daldrup e al. (2004). Dor is allerdings eine analyische Lösung nich möglich, vgl. ebenda, S Eine numerische Besimmung der Preisunergrenze für Kredie finde sich bei Knobloch e al. (999), wobei eine vom Risiko unabhängige erwaree Rendie zugrunde geleg wird. 33 Zur Herleiung siehe Anhang 6.2 7

20 ( + r ) r r = rn + d ( + r ) +. (3) Die Effekivverzinsung überseig den Noalzinssaz um das Produk aus prozenualem Disagio, d, und dem Annuiäen- oder Wiedergewinnungsfakor 34 (dem Kehrwer des Renenbarwerfakors 35 ). Allerdings is der Annuiäenfakor auf Basis der gesuchen Effekivverzinsung r zu berechnen. Somi is (3) keine explizie Gleichung. Die Effekivverzinsung kann nich analyisch sondern nur ieraiv besimm werden. Für den kriischen Mindeszinssaz r N aus (27) (in Abhängigkei vom Disagio) folg aus (3) implizi die desens gefordere Effekivverzinsung r : ( + r ) r = N + ( + r ) + r r d. (32) Auf Basis dieser Mindes-Effekivverzinsung is im allgemeinen Fall (in dem auch ein Disagio vereinbar sein kann) die Ausfallprämie definier: r m = Ausfallprämie. (33) Wenn ein Ausfallrisiko vorlieg, muss der Kredigeber (über die Wahl von Noalzinssaz und Disagio) eine Effekivverzinsung fordern, die über den Kapialkosen lieg. Bei Forderung einer Effekivverzinsung in Höhe von r sell er sicher, dass er im Erwarungswer eine Rendie in Höhe der Kapialkosen erziel. 36 Dies is der Zweck der Ausfallprämie. In Abschni 3. wurde bereis der Credi Spread r r berache. Sofern der Kredi f zum Markwer vergeben wurde, d. h. V = ( d) N, is die Effekivverzinsung gleich 34 Vgl. Hax (985), S Vgl. z. B. Kruschwiz (204), S Wird über die Bemessung des Noalzinssazes (in Abhängigkei vom Disagio) eine Effekivverzinsung in Höhe von r vereinbar, so is der mi den Kapialkosen µ berechnee Kapialwer gleich null, d. h. V = ( d) N. Dies is gleichbedeuend mi einem inernen Zinssaz (der Reihe der erwareen Zahlungen) in Höhe der Kapialkosen. Dieser inerne Zinssaz is die erwaree Rendie des Kredigebers. 8

21 der desens zu fordernden Effekivverzinsung, r = r. Der Credi Spread sez sich dann addiiv aus Ausfallprämie (33) und Risikoprämie i. e. S. () zusammen: 37 Ausfallprämie + Risikoprämie i. e. S. = Credi Spread m + m f = f ( r ) ( r ) r r. Diesen Credi Spread, der auch als Risikoprämie i. w. S. bezeichne werden kann, 38 muss der Kredigeber auf den sicheren Zinssaz aufschlagen, um für den erwareen Verlus und die Übernahme von (sysemaischem) Risiko kompensier zu werden. Das sysemaische Risiko resulier aus der (asymmerischen) Sreuung der Rendie um ihren Erwarungswer, in Verbindung mi der Korrelaion zwischen dieser Rendie und der Markrendie. Sa der Korrelaion mi der Markrendie kann für den Kredigeber aber auch die Korrelaion mi der Rendie nur seines eigenen Krediporfolios von Bedeuung sein. 39 Wenn der ausgezahle Krediberag uner dem Markwer lieg, d. h. Bedingung (26) mi srenger Ungleichhei erfüll is, V > ( d) N, erziel der Kredigeber einen posiiven (34) Kapialwer. Dann lieg die Effekivverzinsung über dem Mindeswer, r > r. Somi is auch der beobachbare Credi Spread ensprechend größer, er enhäl noch eine Gewinnmarge r r : Gewinnmarge + Ausfallprämie + Risikoprämie i. e. S. = Credi Spread + m + m f = f ( r r ) ( ) ( r ) r r. (35) 37 Diese Unerscheidung von Ausfallprämie und Risikoprämie (i. e. S.) finde sich z. B. schon bei Pye (974), S. 49; oder auch bei Franke/Hax (2009), S. 45. Insbesondere in frühen Veröffenlichungen zur Bewerung von fesverzinslichen Finanzierungsieln finde sich die Unerscheidung zwischen Risikoprämie und Ausfallprämie hingegen noch nich, vgl. z. B. den Beirag von Fisher (959). Das mag daran liegen, dass der Einfluss des (sysemaischen) Risikos auf die im Gleichgewich gefordere erwaree Rendie vor der Enwicklung der Kapialmarkheorie noch nich so klar gesehen wurde. Im weier oben bereis ziieren Beirag von Yawiz (977) wird dagegen die Bedeuung des Bea-Risiko schon angedeue, dieses durch die (implizie) Annahme der Risikoneuraliä jedoch nich weier berücksichig, vgl. ebenda, FN, S Uner Risikoneuraliä erfolg die Bewerung auch z. B. in Fons (994), womi Credi Spread und Ausfallprämie zusammen fallen. Freixas/Roche (2008) gehen in ihrer auf Bierman/Hass (975) und Yawiz (977) aufbauenden Darsellung davon aus, dass das "Ausfallrisiko wegdiversifizier" werden kann, vgl. ebenda, S. 267 f. Dami is die bewerungsrelevane Sreuung der Zahlungen aus dem Krediporfolio um den Erwarungswer gemein, nich die Gefahr von Ausfällen an sich. Dann simmen Ausfallprämie und Credi Spread überein, weil als Kapialkosensaz der sichere Zinssaz verwende werden darf. 38 Die Risikoprämie i. w. S. wird gelegenlich nich weier aufgespalen vgl. z. B. Gebhard/Srampelli (2005), S. 50, wo von der (Kredi-)Risikoprämie als der Differenz zwischen der Markrendie der beracheen Anleihe (im Sinne der Effekivverzinsung; der Verf.) und der Markrendie einer Anleihe mi ersklassiger Boniä (z. B. Bundesanleihen) die Rede is. Mi der Markrendie inklusive der Risikoprämie i. w. S. sind die vereinbaren Zahlungen aus dem Kredigeschäf (wie bei Gebhard/Srampelli (2005) im Zahlenbeispiel auf S. 509), und nich die erwareen Zahlungen zu diskonieren. 39 Vgl. dazu Abschni

22 Die hier als Gewinnmarge bezeichnee Spanne verseh sich vor Abzug von Verwalungskosen u. ä. 4 Kapialkosen Kapialkosen sind hier zu versehen als die vom Kredigeber desens gefordere erwaree Rendie. Diese Rendieforderung kann markorienier besimm werden, oder der Kredigeber sez eine mehr oder weniger subjekive Mindesforderung an. 4. Kapialkosen und arbiragefreie Bewerung Bei der markorienieren Vorgehensweise is als Kapialkosensaz die erwaree Rendie einer Alernaivanlage am Kapialmark mi gleicher Laufzei, gleicher Zahlungs- und Risikosrukur anzusezen. Die erwaree Rendie einer solchen äquivalenen Alernaivanlage is als der inerne Zinssaz der Reihe der daraus zu erwarenden Zahlungen zu besimmen. 40 Dieser Zinssaz kann dann als der für alle Perioden gleiche Kapialkosensaz bei der Bewerung des Kredies angesez werden, so wie in Abschni 3.2, in Gleichung (9), grundsäzlich verdeulich wurde. Der mi der erwareen Rendie einer äquivalenen Alernaivanlage am Kapialmark besimme Barwer is der Markwer des Kredies. Wenn die äquivalene Alernaivanlage idenifizier is, kann man sich allerdings die Mühe sparen, die erwaree Rendie derselben zu besimmen. Es reich, die Effekivverzinsung der äquivalenen Alernaivanlage zu berechnen und die Kredibewerung wie in Abschni 3. beschrieben durch Diskonieren der vereinbaren Zahlungen vorzunehmen (vgl. (5)). Oder noch einfacher: Wenn Äquivalenz gegeben is, haben im arbiragefreien Gleichgewich die Alernaivanlage und der zu bewerende Kredi den gleichen Wer. Der Markpreis der äquivalenen Alernaivanlage is also der gleichgewichige Wer des zu bewerenden Kredies, der somi ohne explizie Besimmung des Kapialkosensazes ermiel werden kann. Wenn keine äquivalene Alernaivanlage zur Verfügung seh, is die markorieniere Besimmung von Kapialkosen ein heoreisch nich vollsändig befriedigend zu lösendes Problem. Den einen, periodenunabhängigen Kapialkosensaz gib es dann wahrscheinlich nich. Zudes is nich klar, welche mehrperiodige Alernaivanlage her- 40 Zur Besimmung der erwareen Rendie eines Bonds mi regulärer, jährlicher Zinszahlung kann auch auf (27) zurückgegriffen werden, wobei als Disagio d das Verhälnis von Markwer V zu Nennwer N anzusehen is: ( d) N = V. Die Besimmung der erwareen Rendie komm naürlich nich ohne Schäzung des Ausfallrisikos des beracheen Bonds aus. Siehe dazu, für den einfachen Zwei- Zeipunke-Fall, auch Berk/De Marzo (204), S

23 angezogen werden darf, um deren erwaree Rendie als Kapialkosensaz zu verwenden. Auch periodenspezifische Diskonierungszinssäze sehen überhaup nur uner speziellen, heroischen 4 Annahmen zur Verfügung. 42 Wenn (in der Praxis) fesverzinsliche Anlagen mi gleicher (oder ähnlicher) Laufzei und nur gleichem Raing als Alernaivanlagen herangezogen werden, is die Besimmung der erwareen Rendien dieser zwar grundsäzlich möglich. Es is aber unklar, ob die Verwendung solcher erwareer Rendien zu besseren Ergebnissen in der Bewerung von Kredien führ als die Diskonierung der vereinbaren Zahlungen mi der Effekivverzinsung der Alernaivanlage. 4.2 Kapialkosen und Rendieforderungen der Kapialgeber Oben wurde die Besimmung der Kapialkosen auf Basis der Berachung einer Alernaivanlage am Kapialmark, die äquivalen zum zu bewerenden Kredi is, berache. Alernaiv können Kapialkosen auch auf Basis der Rendien besimm werden, die Kapialgeber im Erwarungswer desens erreichen wollen. Kapialgeber im Rahmen des Krediengagemens kann ein Individuum sein, oder mehrere Individuen, die als Kapialgeber eines Inermediärs fungieren. Insbesondere is der Fall der Kredivergabe durch eine Bank zu berachen, die sich ihrerseis mi Einlagen (und anderem Fremdkapial) sowie Eigenkapial finanzier. Die Fremd- und Eigenkapialgeber der Bank sellen ihrerseis jeweils Rendieforderungen, auf denen die Kapialkosen im Kredigeschäf basieren. Im Idealfall sind die Rendieforderungen der Kapialgeber der Bank selbs wieder durch die erwareen Rendien äquivalener Alernaivanlagen deerier. Denn nur diese sind im Rahmen eines raionalen Enscheidungskalküles der Kapialgeber als Opporuniäskosensäze geeigne. Ein Kapialgeber, der eine höhere (geringere) Rendieforderung sell, als die erwaree Rendie der äquivalenen Alernaivanlage, läuf Gefahr, dass Invesiionen unerbleiben (durchführ werden), die ihm einen posiiven (negaiven) Vermögenszuwachs erbringen. Wenn den Eigen- und Fremdkapialgebern keine jeweils äquivalenen Alernaivanlagen zur Verfügung sehen, oder diese nich besimm werden können, bleiben nur mehr oder weniger gegriffene Eigen- und Fremdkapialkosen. Auf Basis der (gegriffenen) Eigen- und Fremdkapialkosen der Bank lassen sich dann die Gesamkapialkosen als 4 Kruschwiz e al. (202). 42 Vgl. Meiner/Sreiferd (204) und die dor ziiere Lieraur. 2

24 gewicheer Durchschni besimmen. Dabei is zu beachen, dass die Eigenkapialkosen, µ EK, höher sind als die Fremdkapialkosen, µ FK, weil die Eigenkapialgeber je Einhei eingesezem Kapial mehr Risiko ragen. 43 Außerdem seigen die Eigenkapialkosen im Verschuldungsgrad. 44 Nehmen wir an, die (vom Verschuldungsgrad abhängigen) Eigen- und Fremdkapialkosen seinen bekann, dann können die (durchschnilichen) Gesamkapialkosen der Bank bekannlich wie folg ermiel werden: 45 V µ µ µ EK FK = EK + FK VEK + VFK VEK + VFK EK ( ), = µ + µ µ FK EK FK V EK V V + V wobei V EK und V FK den Markwer des Eigen- bzw. des Fremdkapials bezeichnen. Diese durchschnilichen Kapialkosen der Bank haben noch nich viel mi den Kapialkosen in der Bewerung eines einzelnen Kredies zu un. Der einzelne Kredi kann riskaner oder weniger riskan als das gesame Geschäf der Bank sein. Die Kapialkosen des einzelnen Kredies sind auf Basis der o. g. Gesamkapialkosen der Bank und dem Beirag des einzelnen Kredies zum Gesamrisiko der Bank zu besimmen. Während für die Gesambank eine Risikoprämie in Höhe von µ rf von den Kapialgebern geforder wird, beräg die Risikoprämie für den einzelnen Kredi i µ i rf. Das Gesamrisiko der Bank kann man durch die Sandardabweichung der Gesamkapialrendie, σ, messen. Dieses ergib sich aus den Risiken der einzelnen Kredie 46 : Var r FK n n 2 ( ) σ = aa i jcov( r i, r j ) = i= j= n i= ( ) a Cov r, r, i i (36) (37) 43 Sehr anschaulich bei Admai/Hellwig (203), Ch. und Dieser Zusammenhang is bekannlich ein wesenliches Ergebnis von Modigliani/Miller (958). Er gil grundsäzlich auch bei Seuern und Markunvollkommenheien, solange mi zunehmender Verschuldung das von den Eigenkapialgebern zu ragende Risiko seig. Vgl. dazu mi Blick speziell auf Banken: Admai/Hellwig (203), Ch. 7, insbes. S. 08 f. 45 Aus der asache, dass die Eigenkapialkosen die Fremdkapialkosen überseigen, is nich zu schließen, dass die Bank möglichs wenig Eigenkapial einsezen solle, vgl. Nippel (2004) und Admai/Hellwig (203). 46 Zur Vereinfachung sei nun nur noch von Kredien die Rede. Dass eine Bank auch andere Akiva häl, is davon unbenommen. 22