Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt

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1 Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n n = 5n + 1 n2 + 5n n = n n + 1 n und somit lim a n = n = 5 2. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 97

2 Der Satz von Bolzano-Weierstraß. Satz (Bolzano-Weierstraß): Jede reelle beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis: Sei (a n ) n N eine reelle beschränkte Folge. Dann gibt es ein Intervall [A, B] mit n : a n [A, B]. Betrachte nun die folgende Bisektionsmethode. A 1 := A; B 1 := B; FOR k = 1, 2, 3,... C := (A k + B k )/2 IF {n a n [A k, C]} unendlich THEN A k+1 := A k ; B k+1 := C; ELSE A k+1 := C; B k+1 := B k ; Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 98

3 Beobachtung: Die Folgen (A k ) und (B k ) bilden eine Intervallschachtelung, d.h. k:a k B k, und es gibt einen gemeinsamen Grenzwert ξ = lim k A k = lim k B k. Definiere nun eine Teilfolge (a nk ) von (a n ) wie folgt. Setze n 1 := 1; FOR k = 2, 3, 4,... wähle n k > n k 1 mit a nk [A k, B k ]. Wegen gilt dann lim k a nk = ξ. A k a nk B k, für alle k N, Definition: Sei {a nk } k N eine konvergente Teilfolge einer Folge (a n ) n N. Dann wird der Grenzwert der Teilfolge {a nk } k N als Häufungspunkte der Folge (a n ) n N bezeichnet. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 99

4 Das Cauchysche Konvergenzkriterium. Satz: Der Körper R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge konvergiert. Beweis: Zeige, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist: Für n und N = N(ǫ) gilt a n = a n a N + a N a n a N + a N < ε + a N Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt (a n ) einen Häufungspunkt ξ. Dann gilt für m, n k N(ε/2): a m ξ = a m a nk + a nk ξ a m a nk + }{{} a nk ξ }{{} Cauchyfolge Häufungspunkt < ε 2 + ε 2 = ε Notation: lim inf a n = kleinster Häufungspunkt, lim supa n = größter Häufungspunkt. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 100

5 4.2 Konvergenz in normierten Vektorräumen Beispiel. Betrachte den Vektorraum C[0, 1] aller stetigen Funktionen auf [0, 1]. Für jedes n 2 liegt die Funktion nx für x [0, 1/n]; f n (x) = 2 nx für x [1/n, 2/n]; 0 für x [2/n, 1]; in C[0, 1], d.h. f n C[0, 1] für alle n 2. 1 f n (x) 0 1/n 2/n 1 Der Graph von f n (x). Beobachtung: {f n } n 2 bildet eine Folge von Funktionen in C[0, 1]. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 101

6 Wie sieht es mit der Konvergenz von f n in C[0, 1] aus? Fall 1. Verwende die Euklidische Norm 2. Dann gilt f n 2 2 = 1 0 f n (x)dx = 1/n 0 nx dx + 2/n 1/n (2 nx)dx + 1 2/n 0 dx =... = 2 3n und somit f n 2 1/ n für n 2. Die Folge {f n } n 2 ist somit bezüglich der Euklidischen Norm eine Nullfolge in C[0, 1], d.h. {f n } n 2 konvergiert gegen Null. Fall 2. Verwende die Maximumnorm. Dann gilt f n = max x [0,1] f n(x) = 1, für alle n 2, und es gibt keine stetige Funktion f C[0, 1] mit f n f 0 für n. Somit divergiert die Folge {f n } n 2 in C[0, 1] bezüglich der Maximumnorm. Fazit: Die Konvergenz einer Folge (a n ) n ist im Allgemeinen nicht nur abhängig vom zugrunde liegenden Vektorraum V, sondern auch (und vor allem!) von der verwendeten Norm. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 102

7 Konvergenz in endlichdimensionalen Vektorräumen. Bemerkung: In endlichdimensionalen Vektorräumen ist die Konvergenz (und der Grenzwert) einer Folge jedoch lediglich von dem jeweiligen Vektorraum abhängig, nicht von der zugrunde liegenden Norm. Satz (Normäquivalenzsatz): Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, und seien und zwei Normen auf V. Dann gibt es Konstanten C, C > 0 mit C v v C v, für alle v V, d.h. die beiden Normen und sind äquivalent auf V. Fazit: Eine Folge (a n ), die in einem endlichdimensionalen Vektorraum V bezüglich einer Norm in V gegen einen Grenzwert a V konvergiert, konvergiert ebenso bezüglich jeder anderen Norm in V gegen a. Beispiele für endlichdimensionale Vektorräume: R, C, R n, C n. Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum: C[a, b]. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 103

8 Konvergenz von Folgen im R n. Folgerung: Eine Folge (x m ) im R n konvergiert genau dann, wenn alle n Koordinatenfolgen (x (m) j ) m N, j = 1,..., n, in R konvergieren. Der Grenzwert der Folge (x m ) lässt sich komponentenweise berechnen. Beweis: x m x ist äquivalent zu x m x 0 1 j n : x (m) j x j 0, m, und somit x (m) j x j, m, für alle j = 1,..., n. Beispiel: Für die Folge (x m ), gegeben durch ( ( ) 1 1 x m = m, 1 + exp, m2 + 2m + 3 m 2m 2 1 gilt lim x m = (0, 2, 1/2) T R 3. m ) T R 3 für m N. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 104

9 Konvergenz in endlichdimensionalen Vektorräumen. Folgerung: In endlichdimensionalen Vektorräumen gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium: a : a m a (m ) ε > 0 N N(ε) : m, n N : a m a n < ε der Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Beispiel: Für a n := z n, z C gegeben, gilt z > 1 = a n = z n unbeschränkt = (a n ) divergent; z < 1 = a n = z n 0 (n ) = lim n zn = 0. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 105

10 4.3 Konvergenzkriterien für Reihen Definition: Sei (a n ) n N0, a n R (oder a n C), eine reelle (komplexe) Folge. Dann heißt die Folge (s n ) n N0, definiert durch s n = n a k, für n N 0, eine Reihe in R (bzw. in C). Die Folgeglieder s n der Reihe (s n ) werden als Partialsummen bezeichnet. Falls die Folge (s n ) der Partialsummen konvergiert, d.h. die Reihe konvergiert, mit einem Grenzwert s, d.h. s n s (n ), so schreibt man s = für den Grenzwert der Reihe (s n ) n N0. a k := lim n n a k Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 106

11 Einige Konvergenzkriterien für Reihen. Satz (Unmittelbare Konvergenzkriterien für Reihen): (a) Es gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium a k konvergent ε > 0 N:m, n N : m a k < ε k=n (b) Es gilt die notwendige Bedingung a k konvergent = lim k a k = 0 Beweis: Teil (a) folgt unmittelbar aus dem Cauchy-Kriterium für Folgen. Teil (b) folgt aus Teil (a) für den Spezialfall m = n. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 107

12 Satz (Weitere unmittelbare Konvergenzkriterien für Reihen): (c) Seien a k, b k konvergente Reihen. Dann konvergieren die Reihen (ak + b k ) und (λa k ), und es gilt (a k + b k ) = a k + (λa k ) = λ a k b k (d) Es gilt das Leibnizsches Konvergenzkriterium: Eine alternierende Reihe der Form ( 1) k a k, a k 0, deren (nicht-negativen) Folgeglieder a k eine monoton fallende Nullfolge bilden, konvergiert, und es gilt 2n 1 ( 1) k a k ( 1) k a k 2n ( 1) k a k Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 108

13 Beweis: Teil (c) folgt direkt aus der Linearität der Grenzwertbildung für Folgen. Zu Teil (d): Für die Reihen gilt u n := 2n 1 ( 1) k a k und v n := 2n ( 1) k a k u n+1 = u n + (a 2n a 2n+1 ) u n v n+1 = v n (a 2n+1 a 2n+2 ) v n v n = u n + a 2n u n v n u n = a 2n 0 (n ). Somit bilden die Folgen (u n ), (v n ) eine Intervallschachtelung, konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert, und es gilt ( 1) k a k v n. u n Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 109

14 Die geometrische Reihe. Beispiel: Für x, y C gilt x m y m = (x y) m x m j y j 1. j=1 Insbesondere mit m = n + 1, x = 1 und y = q C gilt n s n = q k = 1 qn+1 1 q für die Partialsummen der geometrischen Reihe q k. Daraus folgt, dass die geometrische Reihe für q < 1 konvergiert mit Grenzwert q k = 1 1 q die geometrische Reihe für q > 1 divergiert. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 110

15 Die harmonische Reihe. Beispiel: Die harmonische Reihe divergiert, denn es gilt k=1 1 k = m k=n m 1 k k=n 1 m = 1 m m k=n 1 = m n + 1 m 1 (m ) und somit ist das Cauchy-Kriterium a k konvergent ε > 0 N:m, n N : m a k < ε k=n für ε < 1 verletzt. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 111