FOLGEN UND REIHEN. 1. Einführung. Folgen und Reihen 1. Aus einer Rätselzeitschrift:

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1 Folge ud Reihe FOLGEN UND REIHEN. Eiführug Aus eier Rätselzeitschrift: 8? Welche Zahl folgt als ächste? Dieses Rätsel ist gar icht so eifach! De ei logisches Argumet, welche Zahl für das rote Fragezeiche zu setze ist, gibt es icht. Bei de übliche Zahlerätsel ka ma im Allgemeie folgede Begrüdug gebe: Die Reihefolge der Zahle gehorcht eier bestimmte Fuktiosgleichug, i das die atürliche Zahle meistes mit begied eigesetzt werde. So liefert z. B. die Gleichug y x + die Zahle Oder für y x erhalte wir für x N*. Zahlefolge fide sich bereits auf de babyloische Totafel, die vor vier Jahrtausede etstade sid. Das folgede Foto zeigt eie solche Tafel mit mathematischem Keilschrift-Text aus dem. Jahrhudert v. Chr., der am Hof des Assur-Tempels gefude wurde. Auf ihm sid die Quadratzahle vo bis 8 och erhalte. Die Tafelgröße lässt vermute, dass die Zahlefolge ursprüglich bis 0 gereicht hat für x N*. Es gilt also durch Probiere oder Ituitio eie Fuktiosgleichug, ei Bildugsgesetz zu fide. Für user eigags gebrachtes Problem gibt es uter diesem Gesichtspukt beliebig viele Lösuge: 6... für das Bildugsgesetz y x, x N*... für das Bildugsgesetz y x x +, x N* Nach dem Ausflug i die Rätselecke wolle wir us mit dem für die Mathematik Wesetliche befasse. Bei userem Rätsel 8? wurde Zahlewerte i eier bestimmte Reihefolge aeiader gesetzt. I der Mathematik spricht ma vo eier Zahlefolge ud schreibt die Glieder der Folge i Wikelklammer. Z. B.:,, 8, 6,, 6,, 5,, 0,,,, usw. allgemei: a,a,a, K,a Ma bezeichet a als Afagsglied ud a als -tes Glied der Folge. Die Darstellug eier Folge durch eie Fuktiosterm wird explizite Darstellug geat. Es ist gleichgültig, i welcher Reihefolge die Elemete eier Zahlemege ageschriebe werde, z. B.: {,, } {,, } {,, } usw. We ma aber die Elemete i eier bestimmte Reihefolge aordet, spricht ma vo eier Folge. Beschreibt ma jedoch eie Folge durch die Abhägigkeit zwische de Folgeglieder, spricht ma vo eier rekursive Darstellug. Bei eier rekursive Darstellug ist zusätzlich die Agabe des. Glieds erforderlich.

2 Folge ud Reihe Defiitio: Eie uedliche (edliche) Folge ist darstellbar durch eie Fuktio, dere Defiitiosmege die Mege N* (die Mege {,,, K, k }, k N*) ist. Defiitio: Eie arithmetische Folge (AF) ist eie Folge, bei der die Differez zweier Nachbarglieder kostat ist. Warum spricht ma vo eier arithmetische Folge? Nu: Jedes iere Glied eier arithmetische Folge ist das arithmetische Mittel seier beide Nachbarglieder: a + a+ a Defiitio: Eie geometrische Folge (GF) ist eie Folge, bei der der Quotiet zweier Nachbarglieder kostat ist. Der Betrag vo jedem iere Glied eier geometrische Folge ist das geometrische Mittel der Beträge seier beide Nachbarglieder: b b b+ Betrachte wir die achstehede Zahlefolge: (),,,, 5 (),,, 8, 6,,, 6, 8, 0 8,,,, 0,5, 0,5, 0,,, 6,,, 8, 6, Welcher Uterschied besteht zwische de i () ud de i () ageführte Folge? Offesichtlich bestehe gewisse Abhägigkeite zwische de Folgeglieder: I () liege Folge vor, bei dee das ächste Glied aus seiem Vorgäger durch Additio eier kostate Größe etsteht. (Arithmetische Folge!) I () liege Folge vor, bei dee das ächste Glied aus seiem Vorgäger durch Multiplikatio mit eiem kostate Faktor etsteht. (Geometrische Folge!) Arithmetische Folge: Geometrische Folge: +d a a b q b +d +d a a a 5 b b b 5 q q Die Glieder eier edliche Folge köe zu eier (icht ausgerechete) Summe zusammegefasst werde. Ma spricht da vo eier Reihe. Aders formuliert: Ei Term der Gestalt a + a + L + a k heißt edliche Reihe mit k Glieder, z. B.: () () + + () + 0,5 + 0,5 + 0,5 () Es gibt auch uedliche Reihe (z. B.: L+ + 8 L ). Ma überlegt sich leicht, dass diese uedliche Reihe sogar eie Summe hat, ämlich. Ma deke sich ei Blatt Papier zerschitte i die Hälfte, geviertelt usw. ud addiere alle Teile. +d q +d q. Arithmetische Folge Die Folge, 5, 8, ist eie arithmetische Folge. Die Differez d der Folge ist. Es gilt: a a a+ d + 5 a a + d a+ d a a + d a+ d + 9 Allgemei: a a + ( ) d (explizite Darstellug) Die rekursive Darstellug eier arithmetische Folge lautet bei gegebeem. Glied a allgemei: a a + d Gegebe: arithmetische Folge a, d Gesucht: a 6 Lösug: a 6 a + 5d +0 a 6

3 Folge ud Reihe Eie oft wiederholte Aekdote berichtet, dass dem eujährige Carl Friedrich GAUSS i der Grudschule die Aufgabe gestellt wurde, alle gaze Zahle vo bis 00 zu addiere. Ierhalb sehr kurzer Zeit hatte GAUSS das richtige Ergebis 5050 durch folgede Überlegug herausgefude: M L 50 Summade Dieser Gedakegag fidet auch Awedug bei der Ableitug der Summeformel für eie edliche arithmetische Folge (AF). Carl Friedrich GAUSS ( ) Bezeichet ma mit s die Summe der erste Summade eier arithmetische Folge, so gilt: s L s00 + s00 s s Allgemeie Herleitug: s a + (a+ d) + (a+ d) + L + (a d) + (a d) + a s a + (a d) + (a d) + + (a+ d) + (a+ d) + a + L s (a+ a ) + (a+ a ) + (a+ a ) + L + (a+ a ) (a+ a ) s (a+ a ) s (a + a ) s (a a ) + Summe eier arithmetische Folge: s (a a ) bzw. + s [a + ( )d] Die Summe eier arithmetische Folge mit Glieder ist gleich dem -fache arithmetische Mittel aus dem erste ud dem letzte Glied der Folge. Ma bereche s eier arithmetische Folge, we a 9 ud d 5 ist. Lösug: s (a a a d) + ) (a ( ) 7 s 7

4 Folge ud Reihe Gegebe: arithmetische Folge s 0, a 7, a 6 8. Gesucht: Lösug: () 0 [a ) + ( d] () 7 a + d ( ) () 8 a + 5d + () d 7 d () 7 a + a () 0 [6 + ( ) 7] 0 (7 ) , ± + 7 ±, 8 55 N*, 7 scheidet daher als Lösug aus. Die Folge hat 8 Glieder. Die Seiteläge eies rechtwikelige Dreiecks bilde eie arithmetische Folge. Die Höhe auf die Hypoteuse ist cm lag. Es ist der Umfag u zu bereche. Lösug: () b a d () c a+ d () c a + b C. ab () h c ) b (5) u a+ b+ c h a () (a + d) a + (a d) a + ad + d a + a ad + d A. ad a ad c 0 a(a d) ab ch a d (Die Lösug a 0 ist ubrauchbar.) A h () b d () c 5d d d () h 5d d 5 d 0 (5) u d + d + 5d u d u 0 Der Umfag beträgt 0 cm. ab c B ) Die Verwedug der Summeformel wäre zwar richtig, aber ei übertriebeer Aufwad.

5 Folge ud Reihe 5. Die folgede Tabelle ist zu vervollstädige: AUFGABEN a d a s a) 5 6 b) 9 c) d) 5 5,7 e) 6 f) 7,8 g) 9 h) 7. Ma bereche a, d ud s : a) a, a 8 66, b) a 8 6, s 5 0, 8 c) a 6 5, 7 s 9, 6 d) s, s 7, 6. Lieare Iterpolatio: Zwische zwei Zahle a ud b sid m Zahle a, a,..., a m so eizuschalte, dass sie mit de Zahle a ud b eie arithmetische Folge bilde. a) Ma bereche die Differez d ud die Werte a, m, N* ud m, allgemei! b) a 8, b, m. Gesucht: a, Îk,, p c) a, b, m 5. Gesucht: a, Î k,,,, 5 p d) a 6, b, a+ a+ L + a m 0. Gesucht: a, m, N* ud m Aleitug: Durch das Eischalte der m Zahle etsteht die arithmetische Folge a, a, a, K, am, b mit m + Glieder. Aus dem Afagsglied a ud dem Edglied b bereche ma mit Hilfe des Bildugsgesetzes der arithmetische Folge die Differez d ud setze diese Wert sowie de Wert der erste eigeschaltete Zahl a i das Bildugsgesetz der arithmetische Folge ei. Die auf diese Weise i a) ermittelte Formel wede ma i b) ud c) a. I d) setze ma b a+ (m + ) d ud a + a + L + a m m m m (a + am + d + b d) + b). ) (a (a. I eier arithmetische Folge ist die Summe aus dem dritte ud dem. Glied, das Quadrat des. Glieds ist 9. Die Summe der erste 0 Glieder dieser Folge ist zu bereche. 5. Die Zahl soll so i drei atürliche Summade zerlegt werde, dass die Teile eie arithmetische Folge bilde. Das Quadrat des erste Glieds dieser Folge ist um 68 kleier als das Produkt der zwei adere Glieder. Wie laute die drei Summade? 6. Drei Zahle bilde eie arithmetische Folge. Ihre Summe ist 8, die Summe der reziproke Werte ist 0. Wie lautet die Folge? Aleitug: a a - d ud a a+ d

6 6 Folge ud Reihe 7. Zahle bilde eie arithmetische Folge. Ihre Summe ist 6, die Summe ihrer Quadrate ist 8. Wie lautet die Folge? d d Aleitug: a x d, a x a x a x d, +, + 8. Die Seite eies rechtwikelige Dreiecks bilde eie arithmetische Folge. Die Höhe beträgt, cm. Die Seiteläge sid zu bereche. 9. Die Läge der Kate eies Quaders bilde eie arithmetische Folge mit der Differez. Die Oberfläche beträgt 76 cm. Wie groß ist das Volume?. Geometrische Folge Die Folge, -6,, - ist eie geometrische Folge. Der Quotiet q der Folge ist -. Es gilt: b b b q ( ) 6 b b q b q ( ) b b q b q ( ) Allgemei: b b q (explizite Darstellug) Die rekursive Darstellug eier geometrische Folge lautet allgemei: b b q Summe eier geometrische Folge: s b q b q q q Es ist güstig, die erste Formel für q <, die zweite Formel für q > azuwede. Für q sid die obige Formel icht defiiert, i diesem Fall gilt: s b Gegebe: geometrische Folge, b, b5 6 Gesucht: q Lösug: b b5 b q q 5 6 ± ± ± 8 ± q ± b Ählich wie bei der arithmetische Folge gibt es auch bei der geometrische Folge eie allgemeie Summeformel: s b q q Beweis: s b+ b q+ b q + L + b q Wir multipliziere diese Gleichug mit q ud erhalte s q b q+ b q + L + b q. (q ) Subtrahiert ma die zweite Gleichug vo der erste, so ergibt sich: q q s s q b b q s q) b q s b ( ( ) b q q Vo eier geometrische Folge ket ma b ud b. Ma bereche s 6. Lösug: b 6 b b q q 8 s b 6 89 s 89 6

7 Folge ud Reihe 7 Gegebe: geometrische Folge, b 5 + b 6, b, b 8 Gesucht:, q Lösug: () () () () () () () () 5 b5+ b6 b q + b q b b q b b q 5 b (q + q ) b q 6 q+ q 0 q + q 6 ± + 6 q, ± 5 q, q q b q (b ) 8 (b ) UVW Nu wird Gleichug () durch Gleichug () dividiert! q - ud (b ) Folgedes ergibt: 8 müsse ausgeschiede werde, weil sich 9 8 () 8 ( ) 9 ( ) da Ng ( ) ( ) ( ) Logarithmiere I ( ) I I + I 6,5K N * Die Folge besteht aus 8 Glieder, der Quotiet beträgt. 000 Eiwoher lebe i eier Stadt, der jährliche Bevölkerugsrückgag beträgt %. Nehme wir a, dieser Rückgag ist kostat. Nach wie viele Jahre ist da mit eiem Eiwoherstad vo 0000 zu reche? Lösug: Eie Abahme um % bedeutet das selbe wie ei Sike auf 97 % des vorhergehede Wertes. Es gilt: b 000, b 0000, q 0,97. Gesucht: b b q b q b Logarithmiere b I ( ) I q b I b b + I q I 000 I 5 I + + I 0,97 I 0,97 6,89 Nach ca. 7 Jahre ist mit eiem Eiwoherstad vo 0000 Bürger zu reche.

8 8 Folge ud Reihe 0. Die folgede Tabelle ist zu vervollstädige: AUFGABEN b q b s a) 6 b) 8 c) d) e) 7 f) g) 5 h) Ma bereche b, q ud s : a) b, b 6, 6 b) b, b 5, c) b, b 5, 7 d) b, b 9 7 7, 5. Zwische zwei Zahle a ud b solle m weitere Zahle b, b,..., b m so eigeschaltet werde, dass sie mit a ud b eie geometrische Folge bilde. a) Ma bereche de Quotiete q ud die Werte b, m, N* ud m, allgemei! Aleitug: Durch das Eischalte der m Zahle etsteht die geometrische Folge a, b, b, K, bm, b mit m + Glieder. Aus dem Afagsglied a ud dem Edglied b bereche ma mit Hilfe des Bildugsgesetzes der geometrische Folge de Quotiete q ud setze diese Wert sowie de Wert der erste eigeschaltete Zahl b i das Bildugsgesetz der geometrische Folge ei. b) Ei Uterehme stellt 6 Type vo Kräe her. Die Tragkraft der Type T, N* ud 6, soll so abgestuft sei, dass sie aäherd eie geometrische Folge bilde. Die gerigste Tragkraft soll T 0 kn, die größte T6 000 kn sei. Die Tragkräfte T bis T 5 sid zu bereche ). c) a 7, b 8, m 5. Gesucht: b, ÎN * ud 5. d) Um die gleichschwebed-temperierte Stimmug zu erhalte, schaltet ma zwische die Töe eier Oktave weitere Töe so ei, dass das Verhältis der Frequeze zweier aufeiader folgeder Töe gleichbleibt. Es ist der Quotiet der auf diese Weise gebildete geometrische Folge der Frequeze zu bilde, we das Frequezverhältis der Oktave : lautet!. Das zweite Glied eier geometrische Folge ist um größer als das erste ud das dritte um 9 kleier als das vierte. Wie lautet die Folge?. I eier geometrische Folge mit 5 Glieder ist die Summe der geradstellige Glieder 0, die Summe der ugeradstellige 6. Wie lautet die Folge? ) I der Normug versucht ma Größeabstufuge zu fide, die bei eier miimale Azahl vo Stufe de Erforderisse der Praxis weitestgehed Rechug trage. I Techik ud Wirtschaft bediet ma sich dazu oft der geometrische Folge, z. B. bei de Papierformate, bei der Stückelug vo Müze ud Bakote usw.

9 Folge ud Reihe 9 5. I eier geometrische Folge ist die Summe der erste drei Glieder 6. Das dritte Glied ist um 6 kleier als das erste. Wie lautet die Folge? 6. Drei Persoe teile sich de Betrag vo 805, Euro so, dass die Teile eie geometrische Folge bilde ud der erste um 88, Euro weiger bekommt als die zwei adere zusamme bekomme. Wie viel erhält jeder? 7. Die Summe der drei Glieder eier geometrische Folge ist 6. Die Summe der erste zwei Glieder verhält sich zur Summe der letzte zwei wie :. Wie lautet die Folge? 8. Die Summe der drei Glieder eier geometrische Folge ist 9. Die Summe ihrer Quadrate ist 7. Wie lautet die Folge? 9. Die Summe der drei Glieder eier geometrische Folge ist 9, ihr Produkt ist 6. Wie lautet die Folge? 0. Die Zahl soll so i drei Teile geteilt werde, dass die Teile eie geometrische Folge bilde ud ihr Produkt 6656 beträgt. Wie laute die drei Zahle?. Drei Zahle bilde eie arithmetische Folge mit der Summe 60. Vermidert ma das zweite Glied um 8, so erhält ma eie geometrische Folge. Wie laute die drei Zahle?. Drei Zahle bilde eie geometrische Folge. Vermidert ma das letzte Glied um, so erhält ma eie arithmetische Folge. Vergrößert ma i dieser Folge das erste Glied um, so etsteht eie geometrische Folge. Wie lautet die ursprügliche geometrische Folge?. Ei Kapital ergibt i 8 Jahre bei eiem Jahreszissatz vo 5% samt Ziseszise de Betrag vo 68, Euro. Wie groß war das Kapital am Begi der 8 Jahre?. Eie Schuld vo 0000, Euro soll bei eiem Jahreszissatz vo 0 % durch 8 gleichbleibede Zahluge jeweils am Ede eies jede der folgede Jahre begliche werde. Wie groß ist dieser jährlich zu zahlede Betrag? 5. Der Erfider des Schachspiels soll folgede Loh verlagt habe: für das erste Feld ei Reiskor ud für jedes folgede Feld doppelt soviel wie für das jeweils vorhergehede. Wie viele Reiskörer wäre auf diese Art zusamme gekomme? 6. Uter dem Titel Als Großvater freie gig erzählt Peter ROSEGGER (8 98) uter aderem darüber, wie sei Großvater vo eiem schielede, weißhaarige Mälei eie Uhr kaufte. Diese Uhr besaß eie Schildkröteschale am Rücke ud war rigsum mit Silberiete besetzt....,,siehst du die Silberiete da am Rad herum?,sid icht übel, etgegete mei Großvater.,Übel oder icht, rief der schielede Weißkopf,,ach diese Niete zahlt mir die Uhr. Für die erste Niete gibst mir ei Haferkor, für die zweite gibst mir zwei Haferkörer, für die dritte vier, für die vierte acht, gehört dei mitsamt der Silberkette ud dem Frauetaler, der dra hägt.,gilt scho! lachte mei Großvater, bei sich bedeked, daß er für eie solche Uhr eie Hadvoll Hafer leicht gebe köe. Der Kreuzwirt hatte im selbe Augeblick meie Großvater och heimlich i die Seite gestoße, der aber hielt das für lustige Beistimmug ud schlug seie Rechte i die des Alte.,Es gilt, ud alle Mäer, die beim Tisch sitze, sid Zeuge! [...] Zuerst wurde die Niete gezählt, die um das Schildkröteblatt herumliefe; es ware dere gerade siebzig. ) Wie viele Haferkörer wäre für die Uhr zu bezahle gewese? ) Aus Das Krieglacher Waldheimatbuch, herausgegebe vom Roseggerbud Waldheimat Krieglach.

10 0 Folge ud Reihe. Mootoe ) ud beschräkte Folge Betrachte wir die Folge,,,, K, 0, 00, 000, K Jedes Glied ist größer als das umittelbar vorhergehede. So ist z. B. >, > usw. so erkee wir: Wege dieser Eigeschaft spricht ma vo eier Jedes Glied ist kleier als das umittelbar vorhergehede. So ist z. B. <, < usw streg mooto wachsede Folge. Defiitio: Eie Folge a heißt mooto wachsed, we jedes ihrer Glieder größer als das umittelbar vorhergehede oder diesem gleich ist, d. h. we für ) alle N* gilt: a+ a. streg mooto fallede Folge. Defiitio: Eie Folge a heißt mooto falled, we jedes ihrer Glieder kleier als das umittelbar vorhergehede oder diesem gleich ist, d. h. we für alle N* gilt: a+ a ). Weitere Beispiele für mooto wachsede (steigede) Folge: a +,5,7,9,K a,, 9, 6, K mooto fallede Folge: a,,,, K 9 6 a +,, 5, 9, 7, K Nicht immer lässt sich sofort sage, welche Art der Mootoie vorliegt. Oft ist eie geaue Utersuchug otwedig. Ma ermittle, welche Art der Mootoie bei der uedliche Folge mit dem Bildugsgesetz a ( N*) vorliegt. Lösug: Zuächst bereche wir eiige Glieder der Folge: a, a, a a a, 9, K, Wir vermute, dass eie streg mooto fallede Folge vorliegt. Es müsste also a + < a für alle N* gelte. a+ < a ( ) Die vorkommede Neer sid für alle N* positiv. + < ( ) + + Daher ist die gezeigte Umformug der Ugleichug ( + ) < ( + ) ( + ) zulässig. + < + + 0< < L N* Usere Vermutug hat sich bewahrheitet, de da die letzte Ugleichug für alle N* eie wahre Aussage darstellt, muss auch die Ausgagsgleichug für alle N* erfüllt sei. Somit gilt: Die Folge a ist eie streg mooto fallede Folge. ) mooto (griech.): eitöig, zugehöriges Hauptwort: Mootoie, die. ) Wird das Gleichheitszeiche ausgeschlosse, spricht ma vo eier streg mooto wachsede Folge bzw. vo eier streg mooto fallede Folge.

11 Folge ud Reihe Auch adere Arte (Soderforme) der Mootoie sid möglich. Deke wir a kostate Folge wie z. B.,,,,,,K : Diese Folge ist sowohl mooto wachsed als auch mooto falled. Strege Mootoie liegt allerdigs icht vor. Die Glieder der mooto fallede Folge a,,,,k liege sicher im Itervall [0,]. Es besteht also die Beziehug 0 a. 0 wird als utere Schrake, als obere Schrake bezeichet. Jede Zahl, die größer als eie obere Schrake B ist, ist gleichfalls eie obere Schrake. Etsprechedes gilt für utere Schrake. Eie sogeate beschräkte Folge (vgl. Defiitio i der Außespalte) besitzt uedlich viele obere ud utere Schrake. Eie Folge a heißt ubeschräkt, we sie keie obere oder utere Schrake besitzt. Beispiele für Folge ud dere obere bzw. utere Schrake: () 5 -, -, -, -7, - 0, K,z.B.B () + KKKKKKKKK, z.b.b () + KKKKKKKKK, z.b. b 0, B Defiitio: Eie Folge a heißt beschräkt, we es zwei reelle Zahle b ud B gibt, so dass die Ugleichug b a B für jedes Glied a der Folge erfüllt ist. b wird als utere Schrake, B als obere Schrake der Folge bezeichet. Die größte utere Schrake heißt Ifimum. Die kleiste obere Schrake heißt Supremum. () ( ) ( + ) KKKKKKKKK, z.b. b, B Gegebe ist die mooto steigede Folge + + dieser Folge ist.. Es ist zu ermittel, ob a) 5 b) eie obere Schrake Lösug: a) a B b) a B + (+) (+ ) Der Neer ist für alle N* positiv L k,, p ( N*) L N 5 ist keie obere Schrake. ist eie obere Schrake. (Es ist zu vermute, dass es och weitere obere Schrake gibt, die kleier als sid.) Es ist zu utersuche, welche Glieder der Folge Lösug: 5 0 kleier als 6 sid. 5 0 < 6 ( ) Der Neer ist für alle N* egativ. Es ist daher die Ordugsrelatio umzukehre. 5-0 > 6-7 > 6 >,7 a ud alle folgede Glieder sid kleier als 6.

12 Folge ud Reihe AUFGABEN 7. Welche dieser Folge sid mooto? a),, 5, 7, K b), -,, -, K c) -, -, -5, -7, K d),, 9, 6, K e),,,, K f), -,, -, K 8. Welche Art vo Mootoie liegt vor? a) a + b) a - c) a + d) a e) a f) a 9. Ma utersuche die Mootoie der a) arithmetische Folge für die Fälle d < 0, d 0, d 0, d 0 ud d > 0. b) geometrische Folge mit b > 0 für die Fälle q< 0, 0 < q<, q ud q >. c) geometrische Folge mit b < 0 für die Fälle q< 0, 0 < q<, q ud q >. 0. Es ist festzustelle, ob die Werte b bzw. B utere bzw. obere Schrake der Folge a sid. 5 a) b, B, a b) b, B, a c) b, B, a d) b, B, a + + e) b, B, a ) ( f) b B a,, ( ) +. Es ist für die Folge a je eie utere ud eie obere Schrake zu ermittel: a) a + + d) a b) a e) a + c) a + f) a +. Ma bereche das Glied der Folge a mit dem kleiste Idex, welches die daebe ageführte Beziehug erfüllt. a) a +, a b) a, a > c) a a, < d) a +, a > 000 e) a a +, < f) a a + 00, < 0. Es ist zu zeige, dass die agegebee Werte b bzw. B Ifimum bzw. Supremum der achstehede Folge sid a) a, b 0 b) a B, c) a b +, 7 7 d) a, B e) a b +, 0 f) a b, Aleitug: Zuächst weise ma ach, dass b eie utere bzw. B eie obere Schrake ist. Da ehme ma a, es gäbe eie um ε R + größere utere bzw. kleiere obere Schrake ud zeige, dass diese Aahme auf eie Widerspruch führt.

13 Folge ud Reihe. Ifimum ud Supremum der Folge a sid zu ermittel. a) a + b) a + c) a + d) a Aleitug: Ma bereche zuächst eiige Glieder der Folge ud weise ei Mootoieverhalte ach. Uter Beachtug des achstehede Satzes ist der gesuchte Wert zu ermittel: Bei eier mooto wachsede (fallede) Folge ist das erste Glied zugleich die größte utere (kleiste obere) Schrake. 5. Es ist zu zeige, dass es für die achstehede Folge keie obere Schrake gibt. a) a d) a b) a + e) a c) a + f) a Aleitug: Ma zeige, dass es für jede och so große obere Schrake B jeweils eie Gliedummer ÎN * gibt, sodass die Ugleichug a > B gilt. 6. Ma zeige, dass es für die achstehede Folge keie utere Schrake gibt. a) a - b) a c) a d) a e) a f) a Aleitug: Ma zeige, dass es für jede och so kleie utere Schrake b jeweils eie Gliedummer N* gibt, sodass die Ugleichug a < b gilt. 7. Es ist zu zeige, dass die achstehede Folge weder obere och utere Schrake besitze. ( ) a) a + ( -) b) a c) a ( ) Aleitug: Ma uterscheide die Fälle ÎN g\ {0} ud ÎN u. 8. Itervallschachtelug: Mit Hilfe der Zahlefolge l ud r ka eie Folge vo abgeschlossee Itervalle [l, r ] festgelegt werde. Ma stelle die erste Glieder dieser Itervallfolge auf der Zahlegerade dar ud zeige, dass jedes Itervall Obermege ) aller achfolgede Itervalle ist! + a) l, r + b) l r, 5 5 c) l, r d) l r +, e) l, r f) l, r Aleitug: Ma zeige, dass die Folge der like Itervallgreze I eie mooto wachsede, die der rechte r eie mooto fallede Folge ist ud dass für jedes N* die like Greze kleier als die rechte ist. ) Ist die Mege A Teilmege der Mege B, so et ma B auch Obermege vo A.

14 Folge ud Reihe 5. Grezwert Kovergez Divergez Defiitio: Uter der ε-umgebug ) der reelle Zahl a (abgekürzt: U (a,ε)) verstehe wir das offee Itervall ] a- e, a+ e[: U (a, ε) { x R a ε< x < a + ε} ε a U(a, ε) ε Folge wie () (),,,, K, () +,,,, K oder 5 ( ),,,,, K heiße Nullfolge, da sich die 5 Glieder der ageführte Folge mit wachseder Gliedummer immer mehr der Zahl Null äher, ohe sie allerdigs jemals zu erreiche. Ma sagt: Die Folge kovergiere gege Null bzw. die Folge habe de Grezwert Null. Wir wolle us icht mit eier ur vage Umschreibug vo für de Aufbau der Mathematik maßgebliche Begriffe begüge. Um kurz ud aschaulich defiiere zu köe, muss zuächst der Umgebugsbegriff eigeführt werde: ( ) ] [ ] [ ist eie () U, 5, ist eie -Umgebug vo a mit ε. () U( 0, 00), ε 00. Nebestehede Figur lässt us eie zu -Umgebug vo a 0 mit 00 U(a, ε) { x R a ε< x< a+ ε} gleichwertige Umgebugsdefiitio erkee: U(a, ε) { x R x a < ε} ε a 5 a a a a 0 5 Ma bereche, wie viele Glieder der Folge mit dem Bildugsgesetz außerhalb der Umgebug U 0, + 0 Lösug: ( ) liege.,,,, K + 5 Je größer der Idex ( Gliedummer) des Folgeglieds a ist, desto kleier wird der Abstad zwische 0 ud eiem Glied a, obwohl kei Glied der Folge de Wert 0 aimmt! Aus a a < ε 0 < ergibt sich durch Äquivalezumformug (Bitte selbststädig durchführe!) > 9, d. h. die erste eu + 0 Glieder liege außerhalb, ab dem zehte Glied liege alle achfolgede Glieder ierhalb der Umgebug U( 0, 0). Defiitio: Eie Aussage über fast alle Glieder eier uedliche Folge ist eie Aussage, die ur für edlich viele Glieder dieser Folge icht gilt. Im obige Beispiel gibt es außerhalb der ε-umgebug ur edlich viele Elemetwerte der Folge, ämlich a, a, K, a9. Liege i eiem Itervall I ] a- e, a+ e [ uedlich viele Glieder eier Folge, außerhalb vo I aber ur edlich viele, so sagt ma i I liege fast alle Glieder der Folge. I I liege daher alle Glieder mit höchstes edlich viele Ausahme. Wähle wir im obige Beispiel eie beliebig kleie Wert für ε, etwa ε, so liege deoch fast alle Glieder im Itervall ] ε, ε[, ] [ ) Die Verwedug des griechische Buchstabes Epsilo (ε) führte für die mit der grudsätzlich positive reelle Zahl ε agestellte Überleguge ud Beweise auf de Name Epsilotik.

15 Folge ud Reihe 5 eie Null- Es ist zu zeige, dass die Folge mit dem Bildugsgesetz folge ist. Lösug: Eie Folge mit dem Grezwert (vgl. ebestehede Defiitio) α0 et ma Nullfolge. Wir müsse zeige, dass i jeder ε-umgebug vo α0 fast alle Glieder der Folge liege, d. h. dass es zu jedem ε>0 eie Gliedummer N gibt, vo der a alle Glieder im Itervall ] ε, ε[ liege: a α < ε 0 < ε < ε >, also N erste gaze ud ε wege ε>0 auch atürliche Zahl, die größer als ε ist. Für ε wäre N somit gleich Für jede Zahl ε>0, ud sei ε och so klei, gibt es daher eie Platzummer N, ab der gilt: 0 < ε, sofer N. Die Folge ist daher eie Nullfolge. Bemerkug: Wir bezeiche die Gliedummer mit N. a N ist das N-te Glied der Folge a. Defiitio: Die Zahl α heißt Grezwert der Folge a, we i jeder ε- Umgebug vo α fast alle Glieder der Folge liege: a α <ε gilt für fast alle Glieder der Folge a. Betrachte wir achstehede uedliche Folge: (), (),, 8, 6, K,,,0,,00, K 0, 00, 000, 0000, K Welcher Uterschied besteht zwische de i () ud () ageführte Folge? Nu: Bei () hadelt es sich um kovergete Folge, bei () um divergete Folge vgl. die Defiitio i der Außespalte. Für de Grezwert eier kovergete Folge a verwedet ma das Zeiche lim a. Will ma z. B. ausdrücke, dass die Folge a,,,, K de Grezwert 0 hat, so schreibt ma kurz: lim 0 (gesproche: ` Limes ) für gege uedlich gleich 0). Folgedes ist wichtig: Da uter de Gliedummer eier Folge a kei größter Idex * auftrete ka, gibt es auch kei letztes Glied a der Folge. Schließlich bedeutet die Schreibweise ` ja icht, dass die Folge de Idex ` erreicht ud da abbricht. Der Grezwert α wird ie erreicht, er gehört im Allgemeie selbst icht zur Folge ). ) Hauptwort: Kovergez, die. ) Hauptwort: Divergez, die. ) Das Wort Limes kommt aus dem Lateiische ud ist ei siverwadtes Wort useres Begriffs Grezwert. Der Limes war ei römischer Grezwall vom Rhei bis zur Doau. ) Es gibt auch Ausahme vo dieser Regel: Kostate Folge, z. B.,,,, K, sid Beispiele für Folge, i dee der Grezwert selbst zur Folge gehört. Defiitio: Eie uedliche Folge, die eie Grezwert hat, heißt koverget ). Eie uedliche Folge, die keie Grezwert hat, heißt diverget ). Wie lässt sich die Kovergez eier Folge bestimme? Gefühlsetscheiduge sid i der Mathematik gefährlich. Nu gibt es de Hauptsatz über mootoe Folge, der i viele Fälle hilfreich ist ud durch üchtere Klarheit besticht: Eie mooto wachsede (fallede) Folge i R ist geau da koverget i R, we sie ach obe (ute) beschräkt ist. Das bedeutet: Um die Kovergez eier mootoe Folge zu zeige geügt es, ihre Beschräktheit achzuweise.

16 6 Folge ud Reihe 9. Welche Folge sid Nullfolge? AUFGABEN a), 0,, 0, K b), 0,, 0, 0,, 0, 0, 0,, K c) 0, 0, 0, 0, K d),,,, K 9 6 e),, 8, 6, K f),,,, K 9 0. Ma zeige, dass die achstehede Folge Nullfolge sid, ud bereche die Azahl der Glieder, die außerhalb der ε-umgebug vo α0 liege. a) a, ε b) a 00, ε + c) a, ε d) a 5, ε + 6 e) a, ε f) a + 6 0, ε 00. Es ist zu zeige, dass die achstehede Folge de Grezwert α besitze. Die Azahl der Glieder, die außerhalb der ε-umgebug des Grezwerts α liege, ist zu bereche. a) a +, α, ε b) a 0, α, ε + 00 c) a +,, 50, α, ε 0 e) a + 5 +, α, ε f) a , α, ε Die beide Umgebugsdefiitioe U(a; ε) {x R a ε < x < a + ε} ud U(a; ε) {x R x a < ε} sid gleichwertig. Beweis? Grezwertsätze, Grezwertberechug Kovergiere die Folge a ud b gege die Grezwerte α bzw. β, so gilt: Die Summefolge a+ b kovergiert gege die Summe der Grezwerte α+β. Die Differezfolge a b kovergiert gege die Differez der Grezwerte α β. Die Produktfolge a b kovergiert gege das Produkt der Grezwerte α. β. Die ur für b 0 defiierte a Quotietefolge b kovergiert, sofer β 0 gilt, gege de Quotiete der Grezwerte α β. Zur Erleichterug der Berechug vo Grezwerte brige wir (ohe Beweise) die wichtigste Regel, die sogeate Grezwertsätze, die i Zeiche Folgedermaße laute: lim ( a+ b) lim a + lim b ` ` ` lim ( a b) lim a lim b ` ` ` lim ( ab) lim a lim b ` ` ` a lim a lim (, ( lim b ) ` b lim b 0, b 0) ` ` ` Ma bereche lim (! ) ` Lösug: lim ( a b) lim a lim b ` ` ` lim ( lim lim ) 0 ` ` `

17 Folge ud Reihe Ma bereche lim! ` + 6 Lösug: I viele Fälle ist es für die Berechug des Grezwerts vorteilhaft, Zähler ud Neer durch die höchste im Neerpolyom vorkommede Potez vo zu dividiere: lim lim 0+ 0 ` + 6 ` AUFGABEN Bei de folgede Aufgabe ist der Grezwert α der Folge a zu ermittel ud azugebe, ab welcher Gliedummer N alle Glieder der Folge i der Umgebug U ( α, ε) liege.. a) a, ε b) a 0, ε a) a, ε 000 b) a, ε a) a +, ε 0 b) a 7, ε a) a, ε b) a 5, ε a) a, ε b) a, ε a) a, ε + 0 b) a, ε + ( ) 0 9. a) a, ε ( ) 50 b) a, ε + Bei de folgede Aufgabe ist der Grezwert α der Folge a mit Hilfe der Grezwertsätze zu bereche, falls α existiert a) a b) a a) a + 5. a) a a) a b) a b) a 5 + b) a a) a b) a a) a + + ( ) b) a a) a + ( ) ( ) b) a Das Kovergezverhalte der Folge aus Aufgabe 8. ist zu utersuche. 58. Ma zeige, dass die i Aufgabe. gegebee Schrake b bzw. B Grezwerte der betreffede Folge sid. 59. Der Grezwert jeder Folge aus Aufgabe. ist zu ermittel.

18 8 Folge ud Reihe Defiitio: Eie uedliche Reihe a+ a+ a+ a+k heißt geau da koverget, we ihre Partialsummefolge kovergiert. De Grezwert S der Partialsummefolge bezeichet ma als Summe der Reihe: S lim s ` Divergiert dagege die Folge s der Partialsumme der gegebee Reihe, so heißt diese diverget, sie hat keie Summe. 7. Uedliche Reihe Was verstehe wir uter eier uedliche Reihe? Rei formal ist eie uedliche Reihe ei Ausdruck der Form a+ a + a + a +K, wobei die Pukte adeute solle, dass der Ausdruck iemals abbricht. Was fage wir damit a? Wir frage ach dem Summewert S, d. h. S lim s lim ca+ a + K + ah? ` ` Sicher ist, dass ma icht uedlich viele Zahle addiere ka. Auch wird ma mit formal gebildete uedliche Summe icht wie mit gewöhliche Summe reche köe. De betrachte wir etwa die uedliche Reihe K so wäre we ma mit dieser Reihe wie mit eier gewöhliche Summe rechet folgede zwei Möglichkeite der Klammersetzug dekbar: () K ( )+ ( )+ ( )+ K K S 0 () K ( ) ( ) ( ) K K S??? Bevor wir also versuche, eie Summeformel herzuleite, müsse wir kläre, ob die Summe eier uedliche Reihe überhaupt eie eideutige Wert hat. Dazu bilde wir aus de Glieder a, a, a, K, a der Reihe, die Folge s ihrer Teilsumme oder Partialsumme. s s a+ a s a+ a + a... s a+ a + a + K + a-+ a... We die Folge s der Partialsumme kovergiert, d. h. eie Grezwert S hat, sagt ma: Die Reihe kovergiert ud hat die Summe S. Der Grezwert S wird also dieser Reihe als Summewert zugeschriebe. Durch diese Vorgagsweise köe wir alle für Folge bewiesee Sätze überehme. Schließlich habe wir ja die Kovergez vo Reihe auf die Kovergez vo Folge zurückgeführt. (Neue Probleme auf bereits gelöste zurückzuführe, ist ei bewährtes Erfolgsrezept i der Mathematik!) Zum bessere Verstädis die folgede Gegeüberstellug: Die uedliche Reihe K ist diverget.: De: s s + s s K + a- f... Die mooto wachsede Folge s der Partialsumme,, 9, 6,K ist icht beschräkt ud daher diverget. Somit ist die Reihe K diverget. Die uedliche Reihe K ist koverget. De: s s + s s K K ist eie geometrische Reihe mit b ud q. q ( ) s b q ( ) S lim s lim ( ) ` `, weil lim 0 ` Somit ist die Reihe K koverget ud hat die Summe.

19 Folge ud Reihe 9 Die uedliche arithmetische Reihe ist diverget ) ud somit für usere weitere Betrachtuge bedeutugslos. Ählich verhält es sich mit der uedliche geometrische Reihe, we der Quotiet q ist. Was aber ist, we q <? q Wir forme s b+ bq + bq + K + bq b um. q q b bq s b q q q b bq b S lim s lim q q q, ` ` weil für q < die Folge q q, q, q, K eie Nullfolge ist. Die uedliche geometrische Reihe b+ bq+ bq +K ist geau da koverget, we q <. I diesem Fall ist ihre b Summe S. q Ma bereche die Summe der uedliche geometrische Reihe K. Lösug: b b b K q. S b b q + Die uedliche periodische Dezimalzahl 0,5 && ist i eie Bruchzahl umzuwadel. Lösug: 0, ,555 K K 5 b 5 b 00 5 q S 00, 00, 5 0,5 q Die Summe eier uedliche geometrische Reihe mit dem Quotiete q 5 zweites Glied. Ma bereche die Reihe ud ihre Summe. Lösug: b Es gilt b bq b ud S 55 + b q b S q b 55 + b 5 ( 5 ) 5b 55 + b M b b 5. Reihe: K 5 S ist um 55 größer als ihr ) Ausahme: K 0