Klausur 1 über Folgen

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1 Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ; a 0 = 7, 8 b) für eie geometrische Folge mit g = 0 ; g 6 = 0,. Aufgabe : Die Figur verdeutlicht die Etwicklug eies gleichseitige Sierpiski-Dreiecks. Die schwarze Flächeihalte stelle eie Folge A0,A,A,A,... dar, wobei A 0 = der Fläche des große Ausgagsdreiecks etspricht. a) Gib eie explizite ud eie rekursive Darstellug der Folge a. b) Erläutere aschaulich, welche Eigeschafte die Folge bzgl. Mootoie, Beschräktheit ud Grezwert hat (kei Beweis erforderlich!).

2 Aufgabe : Gib (falls möglich) jeweils eie Folge a, die a) eie Nullfolge ist. b) zwei Grezwerte besitzt. c) icht mooto ist ud de Grezwert hat. Aufgabe : Die rekursiv beschriebee Folge ( a ) mit a = ud Bereche de Grezwert dieser Folge. a a + = kovergiert. a Aufgabe : Gegebe ist die Folge ( a ) durch a = + ; *. Gib die erste Folgeglieder als Bruch a. Utersuche die Folge auf Mootoie ud Beschräktheit. Ermittle de Grezwert ud führe eie ε -Beweis durch! Ab dem wievielte Folgeglied ist die Abweichug vom Grezwert sicher kleier als 0,0? Aufgabe 6: Über eier Strecke der Läge ist i der erste Figur F ei Halbkreis gezeichet. I der zweite Figur F wird diese Strecke halbiert ud über jeder Hälfte wird ei Halbkreis gezeichet. I der dritte Figur F wird wieder jede Strecke halbiert ud darüber wird je ei Halbkreis gezeichet usw. Bestimme de Umfag U der Schlageliie sowie de zwische Strecke ud Schlageliie eigeschlossee Flächeihalt A der Figur F. Utersuche, ob die Folge ( U ) bzw. A ) eie Grezwert besitzt ud gib diese ggf. a. (

3 Musterlösug zur Klausur über Folge Aufgabe : a) Explizite Darstellug eier arithmetische Folge: = a + d a 0 Es gilt: a + d = a0 6, + d = 7,8 d =, Nu gilt: a0 = a d = 6,, =, 8 Explizite Darstellug: a =,8 +, für = 0,,,, Rekursiv Darstellug: a = a +, mit a 0 =, 8 b) Explizite Darstellug eier geometrische Folge: g = g0 q Es gilt g q = g6 0 q = 0, q = 0,0 q = ± 0, Da es ausreicht, eie Folge azugebe, wird q = 0, gewählt. Nu gilt: g0 = g : q = 0 : 0, = Explizite Darstellug: g = , für = 0,,, Rekursive Darstellug: g = g 0, mit g 0 = Aufgabe : a) Es gilt A 0 = (gemäß Vorgabe). Bei A sid ist ur och der Fläche vo A schwarz: A = A 0 =. 9 Bei A sid ist ur och der Fläche vo A schwarz: A = A = = Bei A sid ist ur och der Fläche vo A schwarz: A = A = =. 6 6 Ma ka u erkee, dass es sich um eie geometrische Folge hadelt mit q =. Explizite Darstellug: A = für = 0,,,, Rekursive Darstellug: A = A mit A 0 =. b) Die Folge ist streg mooto falled, da q = < ist. Die Folge ist beschräkt: Eie obere Schrake ist S = A 0 =, eie utere Schrake ist s = 0, da alle Folgeglieder positiv sid. Grezwert der Folge: lim = 0, das heißt die Folge kovergiert. Aufgabe : a) Nullfolge: a = b) zwei Grezwerte: ist icht möglich c) icht mooto ud Grezwert : a = + ( )

4 Aufgabe : Da die Folge gemäß Voraussetzug kovergiert, sei Es gilt lim a lim(a + ) = ud damit lim( a ) g + g =. g lim a = g. Die Berechug des Grezwertes erfolgt durch die Lösug der obige Gleichug: g = g + g = g = ±. Eie der beide Lösuge etspricht dem tatsächliche Grezwert. Aufgrud des positive Startwertes ud der rekursive Folgegleichug ist erkebar, dass die Folgeglieder iemals egativ werde köe. Somit ka der Grezwert ur g = sei. Dies ka auch mit der Wertetabelle des GTR geprüft werde. (Hiweis: Wäre der Startwert z.b. a = gewese, hätte sich als Grezwert g = ergebe) Aufgabe : Die Folgegleichug a = + liefert a = ; a = 0 ; a = ; a = ; a = 7 9 Mootoie: Aufgrud der erste Folgeglieder ist zu vermute, dass die Folge streg mooto wachsed ist. ( )( + ) ( )( + ) Beweis: a + a = = = > ( + )( + ) ( + )( + ) für *. Damit ist die vermutete Mootoie bewiese. Beschräktheit: Aufgrud der Mootoie ist s = a = eie utere Schrake. + + Wege < < = ist S = eie obere Schrake Damit ist die Folge beschräkt. Grezwert: ε -Beweis: a ( ) lim = lim + ( + ) = lim = + ( + ) g < ε = = = < ε + ( + ) ( + ) ( + ) < ( + ) ε < + > ε ε Damit existiert für jedes ε > 0 eie atürliche Zahl N, so dass für alle Zahle > N gilt: a g < ε. Dabei etspricht N = ε (falls dies eie Kommazahl ist, wird auf die ächste Zahl aufgerudet).

5 0,0 Für ε = 0, 0 gilt N = =,. Ab dem. Folgeglied ist die Abweichug vom Grezwert kleier als 0,0. Aufgabe 6: a) Der Umfag eies Halbkreises beträgt U = r Daraus folgt u: U = = ; U = = ; U = = ; ; 8 U = = Der Umfag bleibt somit immer kostat ud es gilt: lim U =. b) Die Fläche eies Halbkreises beträgt A = r. Daraus folgt u: A = = ; A = = ; A 8 6 A = = + = = ; ; 8 Die eigeschlossee Flächeihalte werde immer kleier ud es gilt: lim A = 0