Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R

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1 Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt kurz pa n q npn oder pa n q. Ebenso sind pa n q npn0 oder pa n q něn0 mit festem n 0 P Z Zahlenfolgen. Eine Teilfolge entsteht, indem man (endlich oder unendlich viele) Folgenglieder weglässt, wobei noch unendlich viele Glieder übrigbleiben müsses: Für natürliche Zahlen 1 ď n 1 ă n 2 ă n 3 ă ist pa nk q kpn eine Teilfolge von pa n q npn. Höhere Mathematik 188

2 Definition: Zahlenfolge Später behandeln wir auch Folgen von Vektoren p v n q npn mit v n P R d, Folgen von Matrizen pa n q npn mit A n P Matpp, qq oder Funktionenfolgen pf n q npn mit f n : ra, bs Ñ R N N 2 2 a 9 a 7 a 2 a 4 a 6 a 8 a 5 a 3 a Höhere Mathematik 189

3 Konvergenz, Grenzwert 10.2 Konvergenz, Grenzwert Eine Zahlenfolge pa n q npn heißt konvergent, wenn es eine Zahl a P R (oder C) mit der folgenden Eigenschaft gibt: zu jedem ɛ ą 0 gibt es ein n 0 P N, so dass für alle n ě n 0 die Ungleichung a n a ă ɛ gilt. Dann heißt a der Grenzwert der Folge pa n q npn, die Folge konvergiert gegen a und wir schreiben lim a n a oder a n Ñ a Ist die Zahlenfolge pa n q npn nicht konvergent, so heißt sie divergent. a ` ε a a ε n 0 N Höhere Mathematik 190

4 Grenzwertsatz Einfache Hilfsmittel zur Berechnung von Grenzwerten: 10.3 Grenzwertsatz Die Zahlenfolgen pa n q npn und pb n q npn seien konvergent, und a lim a n sowie b lim b n seien die Grenzwerte. Dann gilt: a) pa n ` b n q npn ist konvergent und lim pa n ` b n q a ` b. b) Für beliebiges α P C ist pαa n q npn konvergent und lim pαa n q αa. c) pa n b n q npn ist konvergent und lim pa n b n q ab. d) Sind alle b n 0 und gilt b 0, so ist ˆ an a b. lim b n ˆ an b n npn konvergent und Höhere Mathematik 191

5 Nullfolge, bestimmte Divergenz 10.4 Nullfolge, bestimmte Divergenz a) Eine konvergente Folge pa n q npn mit lim a n 0 heißt Nullfolge. b) a n Ñ 0 ðñ a n Ñ 0 c) Eine reelle Zahlenfolge heißt bestimmt divergent gegen 8 (bzw. gegen 8), wenn für jedes r ą 0 ein n 0 P N existiert, so dass für alle n ě n 0 die Ungleichung a n ą r (bzw. a n ă r) gilt. Dann heißt 8 ( bzw. 8 ) der uneigentliche Grenzwert der Folge und wir schreiben lim a n 8 p bzw. lim a n 8q oder a n Ñ 8. Bemerkung: pa n q npn konvergiert gegen a genau dann, wenn pa n aq npn eine Nullfolge ist. a n Ñ 8 ðñ für n ě n 0 ist a n ą 0 und 1 a n Ñ 0. Höhere Mathematik 192

6 Konvergenz und Ordnung 10.5 Konvergenz und Ordnung a) Sei lim a n a und lim b n b. Ist für n ě n 0 stets a n ď b n, so ist auch a ď b. b) Gegeben seien drei reelle Zahlenfolgen pa n q, pb n q und pc n q und es gelte lim a n lim c n s. Falls es ein n 0 P N mit a n ď b n ď c n für alle n ě n 0 gibt, so ist auch pb n q konvergent und lim b n s. (b) heißt Einschließungskriterium oder Sandwich-Lemma oder Schraubstock-Kriterium. Höhere Mathematik 193

7 Wichtige Beispiele 10.6 Wichtige Beispiele a) `? n ` 1?n npn konvergiert gegen 0. b) p n? nq npn konvergiert gegen 1. c) Für jedes c ą 0 konvergiert p n? cq npn gegen 1. n? d) Für jedes feste l P N konvergiert n l gegen 1 (folgt aus b) und dem Grenzwertsatz). npn e) Die Folge pz n q npn mit z P C und z ă 1 ist eine Nullfolge. Hilfreich ist die folgende Wachstumshierarchie. Weiter rechtsstehende Folgen gehen schneller als linksstehende gegen unendlich, also z.b. ist lim sei α ą 0 und q ą 1. 1 ln n n α q n n! n n n 7 0. Dabei 2n Höhere Mathematik 194

8 Wichtige Beispiele Wichtiges Hilfsmittel ist die Stirling-Formel n! «n e n? 2πn Der Quotient der beiden Terme hat den Grenzwert 1. Die Differenz geht gegen unendlich. Es gibt noch weit genauere Abschätzungen. Höhere Mathematik 195

9 Satz Zur Klarstellung dient der folgende Satz Satz Die Folge pa n q npn sei konvergent. a) Dann ist ihr Grenzwert a eindeutig bestimmt und b) jede Teilfolge pa nk q kpn ist konvergent und hat denselben Grenzwert a. Ein wichtiger Begriff im Zusammenhang mit Teilfolgen: 10.8 Definition Häufungswert Die Zahl b heißt ein Häufungswert der Folge pa n q npn, wenn es eine konvergente Teilfolge pa nk q kpn mit Grenzwert b gibt, also lim kñ8 a n k b gilt. Höhere Mathematik 196

10 Satz Beispiele Die durch a n sin 5 6n definierte Folge hat jedes x P r 1, 1s als Häufungswert. Bei einer konvergenten Folge ist der Grenzwert der einzige Häufungswert. Höhere Mathematik 197 N

11 beschränkte und monotone Folge 10.9 beschränkte und monotone Folge a) Eine Folge pa n q npn heißt beschränkt, wenn es ein r ą 0 gibt mit a n ď r für alle n P N. b) Eine reelle Zahlenfolge pa n q npn heißt monoton wachsend, wenn a n`1 ě a n für alle n P N gilt, monoton fallend, wenn a n`1 ď a n für alle n P N gilt, monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist. Höhere Mathematik 198

12 Satz von Bolzano und Weierstraß Neben Satz 10.3 lautet das wichtigste Konvergenz-Kriterium wie folgt: Satz von Bolzano und Weierstraß Jede monotone und beschränkte reelle Zahlenfolge ist konvergent. Bemerkung: Eine andere Formulierung, die auch für komplexe Zahlenfolgen gültig ist, lautet: Jede beschränkte Folge (in R oder C) besitzt eine konvergente Teilfolge. Genauer: Ist die Folge pa n q npn beschränkt, so existiert eine Teilfolge pa nk q kpn und eine Zahl b mit lim kpn a n k b. Höhere Mathematik 199

13 Intervallschachtelung Intervallschachtelung Gegeben seien eine monoton wachsende reelle Zahlenfolge pa n q npn und eine monoton fallende reelle Zahlenfolge pb n q npn. Es gelte (i) a n ď b n für alle n P N und (ii) lim pb n a n q 0. Man sagt, dass die abgeschlossenen Intervalle ra n, b n s Ď ra n 1, b n 1 s eine Intervallschachtelung definieren. Dann enthält der Durchschnitt genau eine reelle Zahl s, nämlich 8č ra n, b n s s lim a n lim b n. Höhere Mathematik 200

14 Beispiel: die Eulersche Zahl e Beispiel: die Eulersche Zahl e Die Eulersche Zahl e kann folgendermaßen definiert werden: Wir betrachten die Folgen pa n q npn und pb n q npn mit den Folgengliedern Dann gilt: a n ˆ 1 ` 1 n n, b n 1. Die Folge pa n q npn ist monoton wachsend. 2. Die Folge pb n q npn ist monoton fallend. 3. Es ist b n a n ě 0 und lim pb n a n q Das Prinzip der Intervallschachtelung ergibt: ˆ 1 ` 1 n`1. n lim a n lim b n : e. Höhere Mathematik 201

15 Beispiel: die Eulersche Zahl e Zahlenwerte: sehr langsame Konvergenz gegen e n a n b n Höhere Mathematik 202

16 Limes superior und Limes inferior Zwei weitere Begriffe: Limes superior und Limes inferior Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge pa n q npn. Falls pa n q npn beschränkt ist, sind der größte Häufungswert (Limes superior) lim sup a n : maxtb b ist Häufungswert von pa n q npn u und der kleinste Häufungswert (Limes inferior) definiert. lim inf a n : mintb b ist Häufungswert von pa n q npn u Falls pa n q npn nicht nach oben beschränkt ist (d.h. zu jedem r ą 0 existiert ein n P N mit a n ą r), so setzen wir lim sup a n : 8. Falls pa n q npn nicht nach unten beschränkt ist (d.h. zu jedem r ą 0 existiert ein n P N mit a n ă r), so setzen wir lim inf a n : 8. Höhere Mathematik 203

17 Aus konvergent folgt beschränkt Als partielle Umkehrung des Satzes von Bolzano-Weierstraß geben wir noch folgendes Resultat an: Aus konvergent folgt beschränkt Jede konvergente Folge pa n q npn ist beschränkt. Höhere Mathematik 204

18 Cauchy-Kriterium Als wichtiges (abstraktes) Konvergenz-Kriterium dient: Cauchy-Kriterium Eine Folge pa n q npn ist genau dann konvergent, wenn zu jedem ɛ ą 0 ein n 0 P N existiert, so dass für alle n ą m ě n 0 die Ungleichung gilt. a n a m ă ɛ Höhere Mathematik 205

19 Reihen Reihen Die zu einer gegebenen Zahlenfolge pa n q npn gebildete Folge ps n q npn der Partialsummen nÿ s n heißt eine unendliche Reihe. Der Summand a k heißt k-tes Reihenglied. Anstatt ps n q npn schreibt man kurz Falls die unendliche Reihe schreiben wir k 1 a k a n für die unendliche Reihe. a n gegen die Zahl s P C konvergiert, so s lim s n a n. Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn nÿ k 1 a k konvergiert. Höhere Mathematik 206

20 Reihen Beispiel: a 1 a 3 a 4 1 a 2 s 1 s 2 s 3 s4 Mit a 1 2, a 2 1, a 3 1, a 4 0.5,... entspricht die Partialsumme s n dem orientierten Flächeninhalt unter den ersten n Kästchen. Man hat in diesem Beispiel s 1 2, s 2 1, s 3 2, s 4 2.5, s Die Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen einen Grenzwert hat. Höhere Mathematik 207

21 Konvergenz und absolute Konvergenz Bemerkung: Unendliche Reihen sind also spezielle Zahlenfolgen. Die Begriffe Konvergenz und Grenzwert, Beschränktheit und Monotonie einer unendlichen Reihe beziehen sich immer auf die Folge der Partialsummen ps n q npn (bzw. ps n q něn0 mit n 0 P Z). Die Konvergenz kann mit allen bisherigen Methoden untersucht werden. Ist die unendliche Reihe z.b. monoton und beschränkt, so ist sie konvergent (Satz von Bolzano-Weierstraß). Insbesondere ist eine Reihe genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert. Die unendliche Reihe ist genau dann konvergent, wenn das Cauchy-Kriterium gilt: Zu jedem ɛ ą 0 existiert ein n 0 P N so, dass für alle n ą m ě n 0 die Ungleichung nÿ s n s m a ă ɛ gilt. ˇ kˇˇˇˇˇ Konvergenz und absolute Konvergenz Eine absolut konvergente Reihe konvergiert. Die Umkehrung gilt nicht. k m`1 Höhere Mathematik 208

22 Harmonische und geometrische Reihe Harmonische und geometrische Reihe a) Die Reihe nennt man die harmonische Reihe. Die harmonische Reihe divergiert. b) Die Reihe n 0 1 n 1 ` 1 2 ` 1 3 ` 1 4 ` z n 1 ` z ` z 2 ` z 3 ` mit z P C nennt man die geometrische Reihe. Für z 1 lautet die Partialsumme (nach 1.9, geometrische Summenformel) s n nÿ k 0 z k 1 z n`1 1 z. Die geometrische Reihe konvergiert genau für z ă 1, der Grenzwert ist dann 1 1 z. Höhere Mathematik 209

23 Rechenregeln für konvergente Reihen Der Grenzwertsatz 10.3 ergibt: Rechenregeln für konvergente Reihen Die unendlichen Reihen s a und s b. a n und Dann ist für beliebige α, β P C die Reihe Grenzwert ist αs a ` βs b, also b n seien konvergent, ihre Grenzwerte seien pαa n ` βb n q konvergent und ihr pαa n ` βb n q α a n ` β b n. Höhere Mathematik 210

24 Notwendiges Kriterium für die Konvergenz Weitere Kriterien zur Konvergenz- bzw. Divergenz-Untersuchung von Reihen Notwendiges Kriterium für die Konvergenz Falls die Reihe eine Nullfolge sein. a n konvergiert, so muss die Folge pa n q npn der Reihenglieder Beispiel: Die geometrische Reihe z n mit z P C und z ě 1 ist divergent. Höhere Mathematik 211

25 Majorantenkriterium Das wichtigste Kriterium für Konvergenz bzw. Divergenz von Reihen: Majorantenkriterium Für zwei Reihen a n und b n und ein festes n 0 P N gelte a n ď b n für alle n ě n 0. Falls dann b n konvergiert, so konvergieren auch a n und a n. Man beachte, dass die Reihe b n absolut konvergieren muss, da stets b n ě 0 und daher b n b n ist. Die Reihe b n heißt eine Majorante von a n. Höhere Mathematik 212

26 Minorantenkriterium Minorantenkriterium Für zwei Reihen a n und b n und ein festes n 0 P N gelte a n ě b n ě 0 für alle n ě n 0. Falls dann b n divergiert, so divergiert auch a n. Die Reihe b n heißt eine Minorante von N a n. Eine Folge mit positiven Gliedern konvergiert genau dann, wenn die Partialsummen beschränkt sind. Sind die Partialsummen bei der roten Majorante beschränkt, sind sie es bei der blauen Minorante auch, sind die Partialsummen der Minorante unbeschränkt, können die der Majorante nicht beschränkt sein. Höhere Mathematik 213

27 Vergleichskriterium Wichtige Konsequenz von Minoranten- und Majorantenkriterium ist das Vergleichskriterium Vergleichskriterium a n Es gebe eine Zahl c ą 0 mit lim b n c Dann konvergiert a n genau dann absolut, wenn b n absolut konvergiert. Höhere Mathematik 214

28 Beispiele Beispiele a) Die Reihe Der Grenzwert 1 n 2 konvergiert. s kann erst viel später berechnet werden. 1 n 2 π b) Die Reihe 1? n divergiert. c) Man merke sich schon jetzt als wichtige Reihen zum Vergleich: Die Reihe 1 n α ist # konvergent, falls α ą 1 ist, bestimmt divergent gegen 8, falls 0 ă α ď 1 ist. Höhere Mathematik 215

29 Wurzelkriterium Satz: Wurzelkriterium Falls ein q P R mit 0 ă q ă 1 und ein n 0 P N existieren, so dass a n an ď q für alle n ě n 0, p q so konvergieren a n und a n. Falls a n an ě 1 für unendlich viele n P N gilt, so divergieren a n und a n. Bemerkung: Falls die Bedingung (*) nur mit q 1 gilt (z.b. harmonische Reihe), so kann nicht auf Konvergenz geschlossen werden. Dann muss die Reihe mit anderen Kriterien untersucht werden. Höhere Mathematik 216

30 Quotientenkriterium Quotientenkriterium Falls ein q P R mit 0 ă q ă 1 und ein n 0 P N existieren, so dass a n 0 und a n`1 ˇ a n ˇ ď q für alle n ě n 0 p q gilt, so konvergieren a n und a n. Falls ein n 0 P N existiert, so dass a n 0 und ˇ a n`1 a n ˇ ě 1 für alle n ě n 0 p q gilt, so divergieren a n und a n. Bemerkung: Falls die Bedingung (**) nur mit q 1 gilt, muss die Reihe wieder mit anderen Kriterien untersucht werden. Höhere Mathematik 217

31 Beispiele Das Quotientenkriterium ist oft leichter zu handhaben als das Wurzelkriterium. Aber: es verlangt a n 0 ab einem Index n Beispiele a) Die Reihe n 0 1 n! ist konvergent. Anmerkung: Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e Die Folge der Partialsummen ps n q ně0 konvergiert viel schneller gegen e als die Folge `p1 ` 1 in n qn npn Zahlenwerte: n s n Höhere Mathematik 218

32 b) Für die Reihen 8 1 n und ÿ 1 ergibt sich jeweils n2 lim ˇ a n`1 a n ˇ 1. Beispiele Also kann mit dem Quotientenkriterium keine Aussage zur Konvergenz der Reihen getroffen werden. Ebenso erhalten wir a n an 1, lim also hilft auch das Wurzelkriterium nicht weiter. Höhere Mathematik 219

33 Limesversion Oft prüft man die Existenz von 0 ă q ă 1 in den Kriterien und so: Limesversion a n sei eine Reihe mit lim sup a n an ă 1 oder lim sup ˇ a n`1 a n ˇ ă 1. Dann konvergieren die Reihen a n und a n. Beispiel: für k P Z und 0 ď q ă 1 ist lim n a n k q n q ă 1. Daher gilt nach n k q n Ñ 0. Höhere Mathematik 220

34 Satz: Leibnizkriterium Wir nennen die reelle Zahlenreihe a n alternierend, wenn die Reihenglieder a n P R abwechselnd positiv und negativ sind, also sign pa n q sign pa n`1 q für alle n P N gilt Satz: Leibnizkriterium Die Reihe a n sei alternierend. Falls die Folge der Absolutbeträge p a n q npn eine monoton fallende Nullfolge ist, so konvergiert die Reihe a n. Zusatz: Der Grenzwert s erfüllt für jedes n P N mit sign pa n q 1 n 1 ÿ k 1 a k ď s ď nÿ k 1 a k. Höhere Mathematik 221

35 Leibniz sche Reihe Beispiel: Leibniz sche Reihe Die Reihe p 1q n 1 n ` ` heißt die Leibniz sche Reihe. Sie ist alternierend und die Folge der Absolutbeträge p a n q npn ` 1 n ist eine monoton fallende Nullfolge. Also konvergiert die npn Leibniz sche Reihe. Wir zeigen (viel) später: p 1q n 1 n ln Höhere Mathematik 222

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