Folgen. Folgen. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 415

Transkript

1 Folgen Folgen Eine Zahlenfolge {a n } ist eine Funktion, deren Definitionsbereich eine Menge natürlicher Zahlen ist und deren Wertebereich aus reellen Zahlen, den Gliedern der Zahlenfolge, besteht. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

2 Arithmetische Folgen: Glieder unterscheiden sich um konst. Differenz d rekursive Bildungsvorschrift: a n+1 = a n + d explizite Bildungsvorschrift: a n+1 = a 1 + nd Folge fallend für d < 0 konstant für d = 0 wachsend für d > 0 Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Geometrische Folgen: Glieder unterscheiden sich um konstanten Quotienten q rekursive Bildungsvorschrift: a n+1 = a n q explizite Bildungsvorschrift: a n+1 = a 1 q n Bei a 1 > 0 Folge alternierend für q < 0 fallend für 0 < q < 1 konstant für q = 1 wachsend für q > 1 Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

3 Arithmetisch vs geometrisch Vielfalt Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

4 Fibonacci Zahlen Eine rekursive Zahlenfolge {a n } wird durch Anfangsglieder und eine Vorschrift, wie man aus Vorgängern Nachfolger bestimmt, definiert. Beispiel 1 Fakultäten p 0 = 1, p n = n p n 1, n = 1, 2, 3... Beispiel 2 Sparplan k 0 = 1000, k n = 1.08k n , n = 1, 2, Beispiel 3 Fibonacci-Zahlen f 0 = 0, f 1 = 1, f n+1 = f n + f n 1, n = 1, 2, 3... Gewöhnlich zieht man eine explizite Darstellung vor. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Sofern die Formel zur Berechnung des Nachfolgers linear ist und die Koeffizienten konstant sind, ist dies bei Abhängigkeit vom aktuellen oder vom aktuellen und vom letzten Glied problemlos möglich. Wir zeigen dies am Beispiel der Fibonacci Zahlen. Wir setzen an: f n = z n, setzen in die Rekursionsformel ein und vereinfachen. Wir erhalten die charakteristische Gleichung z 2 z 1 = 0. Dies ist das typische Vorgehen bei linearen Differenzengleichungen. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

5 Lösung der Differenzengleichung Die charakteristische Gleichung hat 2 Lösungen: z 1/2 = 1 ± 2 Damit erfüllen alle Folgen der Form die Rekursionsvorschrift. f n = cz n 1 + dzn 2 Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Explizite Darstellung Man findet leicht heraus, dass mit den Koeffizienten c = d = die Anfangsbedingungen erfüllt werden. Somit ist die explizite Darstellung der Fibonacci Zahlen: f n = ( 1 + ) n 2 ( 1 ) n 2 Nach demselben Prinzip geht man bei allen linearen Differenzengleichungen vor. Hierbei gilt: Ordnung der charakteristischen Gleichung = Rekursionstiefe Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

6 Graphische Darstellung Die Abbildungen zeigen die ersten 11 Fibonacci Zahlen. In der rechten Graphik werden beide Summanden einzeln geplottet, der zweite 0-fach überhöht. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Weight Watchers Jemand hat Sylvester 60 kg gewogen, am Neujahrsmorgen stellt er (sie?) in Panik fest, dass die Waage 60. kg anzeigt. Strenges Fasten ist der Vorsatz. Das Gewicht folgt der Vorschrift: w n+1 = w i + a (w n w i ) + b (w n w n 1 ) Hierbei ist w i das angestrebte Idealgewicht, a und b sind individuelle Koeffizienten, mit denen der (die?) Magersüchtige auf Abweichungen vom Idealgewicht bzw. auf Erfolge reagiert. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

7 Beispiel: w i = 8, a = 0.9, b = Wir erkennen einen typischen Yoyo-Effekt. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind hier konjugiert komplex. Für andere Koeffizienten, z. B. a = 0.9, b = 0.92, erhalten wir reelle Lösungen, das Idealgewicht wird erreicht. Für a = 0.9, b = 0.98 sind die Wurzeln auch reell, aber das Gewicht schaukelt sich auch auf. Analogie: Anlegerverhalten, Aktienkurse. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Konvergenz von Folgen Grenzwert lim n a n = g Eine Zahlenfolge konvergiert gegen den Grenzwert g, wenn es zu jedem vorgegebenen ɛ > 0 ein n 0 N gibt, so dass für alle n n 0 gilt: g a n < ɛ. Nullfolge: lim n a n = 0 Grenzwertsätze Falls lim n a n = a und lim n b n = b, so gilt: lim n (a n ± b n ) = a ± b lim n (a n b n ) = ab lim n a n b n = a b (b n 0; b 0) Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

8 spezielle Grenzwerte: n = 0 lim n (1 + 1 n )n = e lim n n n = 1 lim n (1 + 1 n 1 )n = e a lim n n n! = 0 lim n (1 + p n )n = e p = 0 für a < 1 lim n a n = 1 für a = 1 divergent für a > 1 lim n 1 Reihen Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 s n = a 1 + a a n = n i=1 a i - nte Partialsumme s = a 1 + a a n +... = i=1 a i = lim n s n Geometrische Reihe s = n=1 a 1q n 1 = a 1 1 q konvergiert für q < 1. Für q < 1 und q > 1 ist sie divergent. Arithmetische Reihe s = n=1 [a + (n 1)d] divergiert für alle d 0. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

9 Konvergenzkriterien von Reihen Chauchy: Für alle ɛ > 0 existiert ein n 0 (ɛ), so dass s m s n = a n+1 + a n a m < ɛ für m > n n 0 (ɛ). Notwendiges Konvergenzkriterium: Glieder der Reihe bilden eine Nullfolge. Alternierende Reihen s = n=1 ( 1)n 1 a n Leibniz: Eine alternierende Reihe ist konvergent, wenn lim n a n = 0 und a n monoton fallend ist, d.h.: Dann gilt auch: s s n a n+1 n N a n a n+1. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Reihen mit positiven Gliedern Hauptkriterium: Konvergenz genau dann, wenn Partialsummenfolge n i=1 a i nach oben beschränkt. Definition Majorante ist Reihe, deren Glieder nicht kleiner als die Glieder der untersuchten Reihe sind. Minorante ist Reihe, deren Glieder nicht größer als die Glieder der untersuchten Reihe sind. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

10 Vergleichskriterien Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Vergleichskriterien Majorantenkriterium: Konvergenz, falls eine konvergente Majorante existiert, z.b. n=1 1 n 2. Minorantenkriterium: Divergenz, falls divergente Minorante existiert, z.b. n=1 1 n. a Quotientenkriterium: Falls lim n+1 n a n = q, so konvergiert die Reihe für q < 1 und divergiert für q > 1. Keine Aussage über Konvergenz und Divergenz im Fall q = 1 möglich. Wurzelkriterium: lim n n a n = q, so konvergiert die Reihe für q < 1 und divergiert für q > 1. Keine Aussage über Konvergenz und Divergenz im Fall q = 1 möglich. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

11 Anwendung: Zinseszinsformel eingehende Größen: K 0 K n n p E K n = K 0 (1 + p) n + E (1 + p)n 1 p Anfangskapital Endkapital Anzahl der Zeitintervalle Zinssatz (pro Zeitintervall) Einzahlung (pro Zeitintervall) Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Die Abhängigkeit des Endkapitals K n vom Anfangskapital K 0 und vom Zinssatz p (bei fixiertem E und n) lässt sich wie folgt graphisch darstellen: 2 x K n p 0 0 K 0 10 x 10 4 Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

12 Auflösung der Zinseszinsformel nach den eingehenden Größen Anfangskapital: Einzahlung: K 0 = pk n E((1 + p) n 1) p(1 + p) n E = p(k n K 0 (1 + p) n ) (1 + p) n 1 Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Zeitindex: Zinssatz (nur für E = 0): n = ln pk n + E ln pk 0 + E ln(1 + p) p = n K n K 0 1 Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

13 Unbekannter Zinssatz Multiplikation der Zinseszinsformel mit dem Nenner p des Einzahlungsterms führt bei E 0 auf eine Polynomgleichung (n + 1)ten Grades, die für sinnvolle n i. a. nicht analytisch lösbar ist. Mit x = p und f (x) = [Kn K 0 (1 + x) n ]x E[(1 + x) n 1] ist die Nullstelle x von f (x) zu finden. Für Zinseszinsaufgaben ist leicht ein sinnvoller erster Näherungwert x 0 für x angebbar (initial guess) Dieser wird dann iterativ verbessert, d. h. es wird eine Folge generiert, deren Grenzwert x ist. Effektive Verfahren: Bisektion, Newtonverfahren nutzerfreundliche TR- und Computermethoden Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Fixpunktform Eine einfache Lösungsmethode basiert auf der Fixpunktform. Wir formen die Gleichung um in die Form x = ϕ(x) Unter gewissen Bedingungen konvergiert die Folge (x i ) i=0 mit x i = ϕ(x i 1 ) i = 1, 2, 3,... gegen x die Lösung von x = ϕ(x) wie f (x) = 0. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

14 Umstellen nach x Es gibt zwei naheliegende Varianten, die Gleichung f (x) = 0 nach x umzustellen, es bleibt aber jeweils ein x-abhängiger Term auf der rechten Seite. Variante 1 stellt zuerst nach (1 + x) n um, woraus x durch Radizieren und Subtraktion von 1 bestimmt wird. Variante 2 stellt nach dem x hinter der eckigen Klammer um. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Anwendung der Fixpunktiteration und Rückkehr zur Bezeichnung p für die Unbekannte liefert die Iterationsvorschriften (Rekursionsformeln): p p i = n i 1 K f + E p i 1 K 0 + E 1 bzw. alternativ mit q = (1 + p i 1 ) n Bemerkung: p i = E q 1 K f qk 0. Es konvergiert jeweils eine der beiden Varianten. (bei Ansparen die erste, bei Kredit und Rente die zweite) Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

15 Beispiele zu unbekanntem Zinssatz Ansparen (K 0 klein, E > 0) Anfangskapital K 0 = 2000 Endkapital K n = Anzahl der Raten n = 120 Einzahlungsbetrag E = 100 Erste Variante (hier konvergent)p i = n p i 1 K n + E p i 1 K 0 + E 1 Startwert: p 1 = 0.02 p 2 = = analog: p 3 = p 2 = Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / x 10 n=120, E=100, K 0 = K n p Die Folge konvergiert sowohl bei zu kleinem als auch bei zu großem Startwert. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

16 Fortsetzung des Beispiels Zweite Variante (hier divergent) Startwert: p 1 = p i = E q 1 K n qk 0 mit q = (1 + p i 1 ) n ( ) p 2 = ( ) p 2 = p 3 = p 2 = Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / x 10 n=120, E=100, K 0 = K n p Bei ungünstiger Fixpunktgleichung divergiert die Folge der Näherungen selbst bei sehr guten Startwerten. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

17 Rente mit 60 (K 0 > 0, E < 0) Anfangskapital K 0 = Endkapital K n = 0 Anzahl der Raten n = 360 Einzahlungsbetrag E = -200 (Auszahlung) Hier konvergiert Variante 2: p i = E q i 1 K n q i K 0 mit q i = (1 + p i 1 ) n Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Startwert: p 1 = 0.01 ( ) p 2 = ( ) = p 3 = p 2 = x 108 n=360, E= 200, K 0 = K n p Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

18 Anwendung zu Folgen und Reihen: Marktmodell Nachfrage x (fällt mit steigendem Preis p) x = a bp; b > 0 Produktion im neuen Zyklus x neu (wächst mit dem Preis) x neu = c + dp; d > 0 keine Lagermöglichkeit, erzwingt Preis p = x a = a x b b dieser führt zu Neuproduktion x neu x neu = c + d a x b = c + ad b d b x Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 rekursiv definierte Folge von Produktionsmengen x (0) ; x neu = c + ad b d x =: α + βx b β < 1 (Banach) Konvergenz gegen Fixpunkt x = α + βx = α 1 β = (bc + ad) b + d x = Gleichgewichtsmenge Gleichgewichtspreis p = a x b β > 1 Instabilität: Abweichungen vom Gleichgewicht wachsen geometrisch an. Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

19 Bemerkung β < 1 d < b Kunden reagieren stärker als Produzenten stabil β > 1 d > b Produzenten überreagieren instabil Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41 Störung des Gleichgewichts: x = x x x (k+1) = α + βx (k) x = α + β( x (k) + x ) x = α + βx x + β x (k) x (k+1) = β x (k) = d b x (k) Induktion x (k) = ( d b )k x (0) (geometrische Folge) x 10 Stabiler Markt 0 40 Phasendiagramm 30 0 Preis k Menge Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41

20 Nachschlag Aufgabe A1. Karlo legt an seinem 40. Geburtstag 1000 Euro bei seiner Hausbank an. Sein Sparplan sieht vor, dass er jedes Jahr an seinem Geburtstag 1000 Euro einzahlt, letztmalig an seinem 66. Er bekommt jeweils 3% Zinsen auf das Kapital vom letzten Jahr und % Bonus für das vom Vorjahr (außer im 1. Jahr). Welchen Kontostand erreicht er an seinem 67. Geburtstag? Geben Sie die allgemeine Formel für den Kontostand am nten Geburtstag an. lsg a.xls lsg a1.mw Kurt Frischmuth (IfM) Mathe4WiWi WS / 41