Folgen, Reihen und Produkte: Der Unendlichkeit auf der Spur

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1 Folge, Reihe ud Produkte: Der Uedlichkeit auf der Spur Adreas de Vries FH Südwestfale Uiversity of Applied Scieces, Haldeer Straße 82, D Hage, Germay Ihaltsverzeichis Eileitug 2 2 Folge ud Kovergez 2 2. Beschräkte mootoe Folge Wichtige Folge Expoetielles Wachstum Reihe 2 3. Die harmoische Reihe Grezwerte vo Reihe 6 4. Die geometrische Reihe Zwei verwadte Reihe: tah ud arcta Die Gauß sche Summe Taylor-Reihe 20 6 Lambert-Reihe 24 7 Uedliche Produkte Uedliche Produkte vo Fuktioe Das Euler sche Siusprodukt Euler sche Partitiosprodukte Die Produktdarstellug der Jacobi-Reihe Jz, q) Die Gammafuktio 4 A Das quadratische Reziprozitätsgesetz 44 B Verwedete Symbole 44 C Lösuge der Aufgabe 45

2 Eileitug Viele meie, elemetar wäre dasselbe wie trivial. Das ist ei großer Irrtum. Folge ud Reihe gehöre für die meiste Mesche, die sie vo der Schule oder vom Studium her kee, zu de große Schrecke dieser Welt. Ma hat sich zumeist durch dieses Thema gequält, musste icht wirklich verstadee Regel awede ud das, was ma verstad, war ituitiv sowieso klar. Ei solches Urteil habe Folge ud Reihe icht verdiet! Sie präzisiere eie der wichtige Grudbegriffe meschliche Dekes, die Uedlichkeit. Auf diese Weise bilde sie eie Basis uter aderem für de Begriff der Fuktio ud damit der Aalysis, aber auch für fast alle Bereiche der Mathematik ud reiche darüber hiaus i die Algorithmik. I diesem Sie sid Folge ud Reihe also elemetar. Aber auf keie Fall trivial. Im Gegeteil, allei die Tatsache, dass der us heute geläufige Formalismus erst seit Mitte des 9. Jahrhuderts existiert, zeigt, wie schwierig der Weg zu ihe war. Ud dem Afäger bleibt meist verborge, dass es gar icht so furchtbar viel ist, was über sie bis heute tatsächlich bekat ist. Ma ist sogar ziemlich schell am Stad der Forschug, z.b. bei eier der aktuelle Millio-Dollar-Frage Milleium Problems) des Clay Mathematics Istitute zur Riemasche Vermutug. I diesem kleie Beitrag möchte ich kurz die Grudlage ud wesetliche Resultate über Reihe ud ihre Grezwerte darstelle. 2 Folge ud Kovergez Um de Begriff der Reihe zu verstehe, muss ma zuächst wisse, was eie Folge vo Zahle ist. Dafür müsse wir sage, was eie Zahl geau ist. Normalerweise würde ma dafür allgemei die Mege M = C der komplexe Zahle aehme, aber Sie köe auch eie der Teilmege R, Q oder N ehme. 2 Was im Folgede außerdem otwedig sei wird, ist die Existez eier Betragsfuktio, die eier beliebige Zahl z eie reelle positive Wert zuordet: : M R +, z z 0. ) Uter eier Folge egl.: sequece) a vo Zahle versteht ma da eie Abbildug a: N M, also a ma schreibt bei Folge üblicherweise das 2 Für eie Mege vo Zahle müsse im Allgemeie zwei Verküpfuge, die Multiplikatio ud die Additio + defiiert sei, die kommutativ, assoziativ ud distributiv sid. Solche Mege heiße Körper egl.: fields). Ma ka streg beweise, dass die allgemeiste Mege, die diese Bediguge geügt, die Mege C der komplexe Zahle ist [, S. 282]. Gibt ma die Bediguge der Kommutativität ud der Assoziativität auf, so erhält ma die Quaterioe vo Hamilto ud die Oktoioe oder Cayley sche Zahle. Nebe diese spezielle Clifford-Algebre gibt es och die Graßmazahle, machmal auch atikommutierede c-zahle [7, A.2] oder Superzahle [6, 4.] geat, die i der Physik fermioischer Teilche Awedug fide, ud isbesodere der Beziehug θ 2 = 0 statt i 2 = ) geüge. Da eie Graßma-Algebra also Nullteiler besitzt, hat eie Graßma-Zahl i.a. kei multiplikatives Iverses. 2

3 Argumet als Idex, icht als Parameter i Klammer, also a) obwohl ma das durchaus tu köte!). Aders gesagt, wird bei eier Folge jeder atürliche Zahl N eie Zahl aus M zugeordet. Ma schreibt hierfür meist a ) N oder a 0, a, a 2,...). Machmal verallgemeiert ma diese Defiitio, idem ma de Startidex verädert, also statt 0 irgedeie gaze Zahl 0 Z immt; da bezeichet ma a ) 0 = a 0, a 0 +,... ) ebefalls als Folge. Eiige wichtige Beispiele vo Folge sid: Beispiele 2... Kostate Folge) Sei a = 2 für alle N 0. Ma erhält 2, 2, 2,...). 2. Harmoische Folge) Sei a = für d.h. 0 = ), also, 2, 3, 4,... ). Für 2 ist das -te Glied a das harmoische Mittel seier Nachbarglieder a ud a +, wobei allgemei das harmoische Mittel x h der Werte x, x 2,..., x defiiert ist als x h = x k, de für x =, x 2 = + folgt x h =. 3. Alterierede Folge) a = ) :,,,,,,... ), 4. a = + : 0, 2, 2 3, 3 4, 4 5,... ). 5. a = /2 : 0, 2, 2, 3 8, 4, 5 32,... ). 6. Geometrische Folge) Sei q eie beliebige Zahl, a = q. Da ist a ) N =, q, q 2, q 3,...). 7. Rekursio) Sei a 0 =, a = ud a = a + a 2 für 2. Dadurch ist rekursiv eie Folge defiiert, a ) =,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,...), i der jedes Glied vo der dritte Stelle a gleich der Summe der zwei voragehede Zahle ist. Dies ist die Folge der Fiboacci-Zahle. Die Beispiele zeige, dass eie Folge im Allgemeie uedlich viele Folgeglieder a hat. Bei mache Folge ka ma sage, wie dere Werte im Uedliche i etwa aussehe, bei mache icht. Beispielsweise ist bei der kostate Folge gewiss, dass der Wert im Uedliche geau 2 ist. Die Idee, eie evetuelle Wert der Folge im Uedliche zu habe, wird durch de wichtige Begriff der Kovergez präzisiert. Defiitio 2.2. Sei a ) N eie Zahlefolge. Sie heißt koverget gege eie Zahl a, i Zeiche: lim a = a oder kurz a a, we gilt: ɛ > 0 Nɛ) N, so dass a a < ɛ Nɛ). 3

4 Dabei deutet die Schreibweise Nɛ) a, dass diese Zahl vo ɛ abhägt. I adere Worte: Eie Folge a ) kovergiert gege a, we alle a bis auf edlich viele i jeder ɛ-umgebug vo a ethalte sid. Falls eie Zahlefolge icht gege eie Zahl kovergiert, so heißt sie diverget. Diese formale Defiitio macht dem Afäger i der Regel Schwierigkeite. Mache Sie sich erst mal ichts draus, es hat immerhi mehrere Jahrtausede gebraucht, bis der Begriff im 9. Jahrhudert vollstädig etwickelt war da köe Sie sich ruhig ei paar Miute Zeit gebe, ih zu verstehe.) Abbildug ud die achfolgede Beispiele sollte Ihe beim Verstädis helfe. Eie Bemerkug zu dem ɛ-kriterium: Zwar heißt es i der Defiitio allgemei zu jedem ɛ > 0, aber es iteressiert im Grude gar icht jedes ɛ, soder eigetlich ur ei beliebig kleies! Bei eier kovergete Folge ka ma ämlich das ɛ tatsächlich beliebig wizig wähle ur größer 0 muss es sei), ud ma fidet immer och ei Nɛ), ab dem alle a s äher als ɛ bei dem Grezwert liege, auch we dieses Nɛ) i der Regel da sehr groß ist. a a + ɛ a a ɛ a a + ɛ a a ɛ Nɛ) Abbildug : Liks: Kovergete Folge a mit Grezwert a. Für jede beliebige ɛ- Umgebug Korridor ) um a existiert ei Nɛ), so dass für alle a mit Nɛ) i der Umgebug liege. Rechts: Divergete Folge. Hier ka keie ɛ-umgebug gefude werde, so dass alle bis auf edlich viele a dari liege. Beispiele Leibiz-Folge) Die Folge a ) N mit a = ) 2) Abb. 2) kovergiert gege de Grezwert 0, also lim a = 0. a ɛ 0 ɛ Nɛ) Abbildug 2: Die Leibiz-Folge a = ) /. Sie kovergiert gege 0. Beweis. Es gilt 0 für. De sei ɛ > 0 vorgegebe ud Nɛ) eie atürliche Zahl mit Nɛ) > ɛ. Solch eie Zahl Nɛ) existiert stets, 4

5 de ɛ ist positiv, also isbesodere ugleich 0!) Da ist ) 0 = ) = ) = < ɛ > ɛ. 2. Die Folge a = divergiert. Beweis. Zum Widerlege der Kovergez müsse wir ur ei eiziges ɛ > 0 fide, das die Bedigug der Defiitio 2.2 icht erfüllt. Zuächst beobachte wir, dass für zwei aufeiader folgede Glieder a ud a + eie Abstad vo a + a = habe. We es eie Grezwert a gäbe, so müsste er auch für ɛ < /2 das Kriterium aus Def. 2.2 erfülle; das geht aber icht, de we a a < ɛ, so ist a + a = a + a ) + a a) a a > ɛ. Geau geomme muss ma das streg mit der so geate Dreiecksugleichug zeige, aber dieser Hiweis soll hier, Asche auf mei Haupt, geüge). 2. Beschräkte mootoe Folge Eie recht ageehme Klasse vo Folge ud recht häufig azutreffe) sid beschräkte mootoe Folge reeller Zahle. Solche Folge kovergiere auf jede Fall, auch we ma ihre Grezwert icht ket oder er schwer zu bereche ist. Es ist zu beachte, dass die Mootoie icht für komplexe Zahlefolge defiiert ist. Defiitio 2.4. Eie Folge a ) heißt beschräkt, we es eie Kostate c R gibt, so dass a c für alle N. Defiitio 2.5. Eie Folge a ) N reeller Zahle heißt mooto, falls für alle N etweder a a + oder a a + gilt. Im erste Fall ist sie mooto wachsed, im zweite mooto falled. Ma überlegt sich schell, dass eie kovergete Folge beschräkt sei muss. Die Umkehrug aber, dass eie beschräkte Folge kovergiert, gilt icht, wie das Gegebeispiel der alterierede Folge a = ) zeigt. Allerdigs garatiert für reelle Folge die Mootoie eier beschräkte Folge, dass sie kovergiere muss. Satz 2.6. Jede beschräkte mootoe Folge a ) reeller Zahle kovergiert. Beweis. [2, 5 Satz 5]. Der Beweis basiert auf dem ichttriviale Satz vo Bolzao-Weierstraß. 5

6 2.2 Wichtige Folge 2.2. Hero-Verfahre Betrachte wir eie iteressate Folge, die eie uralte Algorithmus zur Berechug der Quadratwurzel beschreibt. Er ist durch de griechische Mathematiker Hero vo Alexadria. Jahrhudert. Chr.) überliefert, war jedoch wohl bereits de Babyloier vor über 3500 Jahre bekat. Die Folge ist rekursiv defiiert. Propositio 2.7. Hero-Verfahre zur Wurzelberechug) Seie a 0, x R, a 0, x > 0. Da kovergiert die Folge a + = 2 gege de Grezwert a = x. a + x a ), 0, 3) Beweis. Das ɛ-kriterium für diese Folge direkt zu fide ist schwer. Wir versuche eie eifachere Weg. Zuächst zeige wir die folgede Eigeschaft der Hero-Folge: a a 2 a 3... > 0. 4) Dazu gehe wir i drei Schritte vor:. Behauptug: a > 0 0. Beweis durch vollstädige Iduktio: a 0 > 0 ach Voraussetzug; + : We a > 0, so ist mit Gleichug 3) auch a + > Behauptug: a 2 a. Beweis: a 2 a = 4 = 4 a + a ) 2 a = a 4 a 2 2a + a2 a 2 ) = 4 a 2 a 3. Behauptug: a a + für. Beweis: Es gilt a a + = a 2 Die letzte Ugleichug folgt aus Schritt 2. ) a2 + 2a + a 2 a a a ) 2 0. a + a a ) = 2a a 2 a) 0. Damit ist die Ugleichugskette 4) gezeigt, ud also die Hero-Folge a ) beschräkt ud mooto falled. Nach Satz 2.6 kovergiert sie also. Wie aber sieht der Grezwert a aus? Da er existiert, ka ma de Limes der Formel 3) bilde, lim a + = lim a + x ) 2 a a = 2 a + x ). a 6

7 Das ergibt 2a 2 = a 2 + x, d.h. a 2 = x ud somit a = x. Der Fall a = 2 ist durch Behauptug ausgeschlosse, de aus a > 0 folgt midestes a 0.) Nebe dem praktische Nutze, de das Hero-Verfahre hat, ist die Hero-Folge auch aus eiem theoretischem Aspekt sehr iteressat: Setzt ma z.b. x = 2 ud immt für de Startwert a 0 eie positive ratioale Zahl, also a 0 Q, so ist jedes Folgeglied eie ratioale Zahl, d.h. a Q aber der Grezwert a = 2 ist irratioal 3! Kettebrüche ud Euklidischer Algorithmus Im Folgede sei für x N die utere Gaußsche Klammer defiiert als die größte gaze Zahl, die icht größer ist als x, x := sup{ Z : x}. 5) Beispielsweise ist π = 3, ud π = 4. Es gilt stets 0 x x <. Für x Q existiere gaze Zahle a, b Z, so dass x = a/b; für sie gilt x = x + a mod b)/b. 6) Propositio 2.8. Kettebrüche) Sei x R, x > 0, ud sei x ) N0 die durch die iterative Gleichuge x 0 = x x, x + = 7) x x N 0 ) defiierte Folge. Hierbei bricht die Folge defiitiosgemäß bei 0 N 0 ab, we x 0 + = 0, aber x 0 = 0. Die Folge ist geau da edlich, we x ratioal ist. Für alle Folgeglieder gilt 0 x <. Beweis. Sei x Q. Da ist x Q, d.h. es existiere isbesodere für > 0 Zahle b, c N 0, so dass x = b /c <, de x = /x /x. Damit gilt aber für de Neer c + des ächste Folgeglieds x +, dass c + = b < c, d.h. die Folge der Neer c ) N ist gazzahlig ud streg mooto falled. Daher 0, so dass c 0 = > b 0, ud damit x 0 = 0. Ist umgekehrt x irratioal, so ist x / Q, ud damit isbesodere x = 0. Bemerkug 2.9. Die i Propositio 2.8 defiierte Folge x ) hägt mit de Koeffiziete a eies Kettebruchs egl.: cotiued fractio) [a 0, a,...] durch die eifache Beziehuge a 0 = x, a + = /x zusamme. Hierbei ist defiitiosgemäß [a 0, a, a 2, a 3,...] := a 0 + a + a 2 + a ) 3 Der Beweis der Irratioalität vo 2 ist i viele Schulbücher aufgeführt. Er ist ei Widerspruchsbeweis ud geht wie folgt: Wäre 2 Q, so gäbe es zwei teilerfremde gaze Zahle m,, so dass 2 = m/; daraus folgte 2 = m 2 / 2 oder m 2 = 2 2 ; das ist jedoch ei Widerspruch, de da m ud teilerfremd sid, so sid es auch m 2 ud 2. 7

8 Für x Q ist dieser Kettebruch edlich, für geau die irratioale Zahle jedoch ist er uedlich. Es gilt für alle, für die das Folgeglied x existiert, x = a 0 + Beutzt ma das Iteratiosverfahre a + a a+x. 9) p = a p + p 2, q = a q + q 2 N 0 ) 0) mit de Afagswerte p 2 = 0, p = ud q 2 =, q = 0, so gilt [a 0, a,..., a ] = p q N 0 ), ) = [0,, 2, 3, 204, 2]. Die Folge 0) er- Beispiel 2.0. Ma berechet direkt gibt demach a p q = ) Propositio 2.. Für x / Q ud p, q defiiert durch 0) kovergiert die uedliche Folge p /q ) gege x, Beweis. Zuächst gilt [a 0,..., a ] = p q x für. 3) p q p q = ) für. 4) Das ka ma durch vollstädige Iduktio zeige: = liefert mit de Werte p 0 = a 0, q 0 =, p = a a 0 +, q = a sofort p q 0 p 0 q = a a 0 + a 0 a = ; der Iduktiosschritt + folgt gemäß p + q p q + = a + p + p )q p a + q + q ) = p q p q = ) = ). Dividiere wir 4) durch q q, so erhalte wir p q p q = ) q q für. 5) 8

9 Da die q eie streg mooto steigede Folge positiver atürlicher Zahle bilde, zeigt diese Gleichug, dass die Folge der Brüche p /q i R) kovergiert. Ersetzug vo a durch /x liefert mit 9) stets geau de Wert x. Mit 0) folgt damit ach Austausch vo durch +, x = p /x + p q /x + q = p + x p q + x q. Daher liegt x echt zwische p /q ud p /q. Um das zu sehe, betrachte wir die beide Vektore u = p, q ) ud v = p, q ) i der Ebee, beide im selbe Quadrate; die Steigug des Vektors u + x v liegt wege 0 < x < echt zwische de Steiguge vo u ud v. Damit oszilliert die kovergete Folge p /q um x, d.h. sie kovergiert gege x. Ma ka also durch de vorherige Satz jede Zahl x R durch eie möglichwerweise uedliche Kettebruch darstelle. Für die Zahl π z.b. ergibt sich die Kettebruchetwicklug π = [3, 7, 5,, 292,,,, 2,, 3,, 4,...], 6) die keierlei Gesetzmäßigkeite aufweist. Daraus ka ma mit ) die Näherugsbrüche für π ableite: π 3, 22 7, , 355 3, ,... 7) De erste Näherugsbruch fidet ma bereits im Alte Testamet der Bibel. Buch der Köige 7, 23, im Zusammehag mit dem Palastbau Salomos ca. 950 v. Chr.), der zweite wurde etwa 700 Jahre später vo Archimedes, 4 der vierte och eimal 700 Jahre später vo dem chiesische Mathematiker Zu Chog-Zhi ) gefude. reelle Zahl x Kettebruch 2 5 ) [0, ] = [0,,,,,...] goldeer Schitt) 2 [, 2] 3 [,, 2] 4 [2] 5 [2, 4] 6 [2, 2, 4] 7 [2,,,, 4] e [2;, 2, ] = [2;, 2, ;, 4, ;, 6, ;... ] π [3, 7, 5,, 292,,,, 2,, 3,, 4,... ] keie Gesetzmäßigkeit) Tabelle : Kettebruchetwickluge verschiedeer Zahle. Iteressaterweise ist die eifachste Kettebruchetwicklug diejeige des goldee Schittes. 4 Archimedes vo Syracus v. Chr.), griechischer Mathematiker ud Begrüder der mathematische Physik. 9

10 Propositio 2.2. Euklidischer Algorithmus) Seie a, b N. Die Folge x ) aus Propositio 2.8 für de Wert x = a/b bestimmt de größte gemeisame Teiler vo a ud b: Bricht die Folge bei 0 ab, so gilt ggt a, b) = r 0. 8) Hierbei ist die edliche Folge r ) für =,..., 0 rekursiv defiiert durch r = b ud r = r /x für = 0,,..., 0. Beweis. Defiiere wir r 2 = a, so gilt für = 0,,..., 0 die Beziehug r = r 2 mod r, 9) die wir durch vollstädige Iduktio beweise köe: für = 0 gilt r 0 = r 2 mod r = r 2 /r r 2 /r )r = a/b a/b )b = x 0 r ; der Iduktiosschritt + ergibt sich durch r + = r mod r = r /r r /r )r = /x /x )r = x + r. Somit ist r ) eie Folge vo Divisiosreste, wobei r 0 der Rest der Divisio a/b ist. Wege der fudametale Eigeschaft des ggt, ggt k, l) = ggt l, k mod l) k, l N 20) gilt ggt a, b) = ggt b, r 0 ) =... = ggt r, r ) für alle 0. Da ggt 0, k) = k für k N 0, gilt ggt a, b) = ggt r 0 +, r 0 ) = r Expoetielles Wachstum Die Virepopulatio i eiem Körper, die Ziseszise auf eiem Koto oder die Recherleistug ach dem empirische) Moore sche Gesetz 5 wachse expoetiell. Da eie Folge diskret ist, also ur zu bestimmte Zeitpukte t = eie Wert aimmt, heißt sie geometrisch wachsed, we a = c a 0 N) 2) für reelle Kostate a 0, c >. Es ist die eideutige Lösug der Differezegleichug a = c )a, wo a = a + a [3, 2.]. Da u die gewöhliche Differetialgleichug y x) = αyx) mit hα = c ) ud a = yx) mit x = x 0 + h, h > 0, der Grezfall der Differezegleichug a h = αa für h 0 ist, ist sie das kotiuierliche Aalogo vo a = c )a, d.h., a + = ca. Eie Lösug 6 dieser Differetialgleichug für α > 0 heißt expoetiell wachsed [3, 2.2]. Daher ka ma eie geometrisch wachsede Folge etwas salopp auch expoetiell wachsed ee [, S. 7]. 5 Das Moore sche Gesetz besagt, dass die Komplexität der itegrierte Schaltkreise sich alle 8 Moate verdoppelt. Gordo E. Moore: Crammig more compoets oto itegrated circuits, Electroics, April 9, 965); siehe oder s_law 6 Eie Lösug der Differezegleichug a = αha lautet a = + αh) a 0 = a 0 + αh) x x 0)/h = a 0 [ + ε) /ε ] αx x 0) mit ε = αh. Im Grezübergag ε 0 ergibt sich daher a a 0 e αx x 0) für. 0

11 Propositio 2.3. Es sei a die Folge, die durch a = ca für > 0 ud eie reelle Startwert a 0 > 0 defiiert ist. Für c > ist {a } da eie geometrisch wachsede Folge. Das Folgeglied a für > 0 ist da ud ur da echt größer als die Summe aller vorherige Folgeglieder, we c 2. Beweis. Sei zuächst c 2. Da ist zu zeige a > a k. Beweis durch vollstädige Iduktio: Zuächst a = ca 0 > a 0. Mit dem Iduktiosschritt + folgt a k = a + a k < a + a ca = a +. Damit folgt die Behauptug a > 0 a k. Ist u adererseits c < 2, so gilt für jedes k, dass a k = c k a 0, d.h. a k = a 0 c k c = a 0 c. Da für gilt c c c c c = c c > 0 := = 2 c c c + > l2 c), 22) l c > c, ud somit 0 a k > a. I dem Beweis wird klar, dass für de Fall c < 2 alle Folgeglieder a mit > 0 aus Gl. 22) echt kleier sid als die Summe aller ihrer Vorgäger. Als Spezialfall der Propositio gilt die folgede Behauptug. Propositio 2.4. Es sei a aus Gl. 2) die geometrisch wachsede Folge reeller Zahle mit c = 2. Da gilt a = a 0 + a k 23) Beweis. Beweis durch vollstädige Iduktio: Zuächst a = 2a 0 = a 0 + a 0. Mit dem Iduktiosschritt + folgt a k = a + a k = a + a a 0 = 2a a 0 = a + a 0. Damit folgt die Behauptug. Die beide letzte Resultate sid bemerkeswert. Eierseits ist für eie Folge a = ca ei Folgeglied da ud ur da größer als die Gesamtsumme der vorherige Glieder, we c 2, adererseits ist für c = 2 jedes Folgeglied die Summe aus alle vorherige Folgeglieder plus dem Startwert a 0. Es gibt also keie stetige Übergag zwische de Fälle c 2 ud

12 c < 2, i dem jedes a stets so gerade och über der Summe seier Vorgäger läge, soder etweder ist es immer größer gleich der Summe aller Vorgäger plus dem Startwert a 0, oder es gibt ei 0, so dass alle a mit > 0 kleier sid als die Summe ihrer Vorgäger. Wir habe hier ur eie kleie ud uvollstädige Eiblick i Zahlefolge bekomme. Es gäbe och vieles Wichtiges zu sage, z.b. Cauchy-Folge oder Folge vo ratioale Zahle. Aufgabe Übug 2.. Welche der Folge aus Beispiel 2. kovergiere, welche icht? Gebe Sie de Grezwert der kovergete Folge a! Übug 2.2. Bestimme Sie de Wert des uedliche Kettebruchs + +, 24) d.h., de Limes der Folge a ) N mit a 0 = ud a + = + a. 3 Reihe 3. Die harmoische Reihe Bereits der spätmittelalterliche frazösische Gelehrte Nikolaus vo Oresme um ) utersuchte die harmoische Reihe H := k = ) k= Die Zahl H heißt die -te harmoische Zahl, vgl. Beispiel Der Name rührt her vo de Betrachtuge der Obertöe, de Harmoische, i der Musik: die Welleläge der Obertöe eier schwigede Saite sid 2, 3, 4,... der Welleläge ihres Grudtos λ 0 = 2L für eie Saite der Läge L). Die harmoλ = λ 0 Grudto λ = λ 0 2 Oktave λ = λ 0 3 Quite λ = λ 0 4 Quarte Abbildug 3: Die Harmoische eier eigespate Saite der Läge L = λ 0 /2. ische Zahle H wachse mit sehr lagsam, so gilt beispielsweise H =, H 2 = 2, H 00 = 5, 87..., H = 4, Wrech berechete 968 die 2

13 exakte miimale Zahl m, so dass H m 00 ist, es gilt m, [5, 2.3.]. Zudem gilt für die Reiheglieder k 0 für k, d.h. eie otwedige Bedigug für die Kovergez der Reihe H ist gegebe. Agesichts dieser Eigeschafte ist das Resultat vo Oresme vollkomme uerwartet. Satz 3. Oresme, um 350). Die harmoische Reihe divergiert. Beweis. Oresmes berühmter Beweis lautet i moderer Notatio: k = ) ) k= > ) ) = = + }{{} 2 Summade ) }{{ } 2 Summade 2 für. 26) Ei aderer, sehr elegater Beweis dieses Satzes geht zurück auf Euler. Beweis. Euler) Zuächst gilt für x mit der geometrische Reihe ud somit 0 x x dx = Für ist aber 0 0 x k = x x x k dx = x k dx = 0 ) x ), 27) k + = k= x dx = l x) 0, d.h. H =. Die alterierede harmoische Reihe higege kovergiert, ) k+ k k= k = H. 28) = = l 2, 29) 4 ma berechet de Grezwert mit Hilfe der Taylor-Etwicklug der Logarithmusfuktio, vgl. Gleichug 74). Die alteriered harmoische Zahle H = ) k /k häge mit de harmoische Zahle zusamme, H = l 2 + ) 2 H )/2 H /2 ), bzw. für gerade Werte H 2 = H 2 H. Nebe der Divergez ist eie weitere uerwartete Eigeschaft der harmoische Reihe, dass die harmoische Zahle H bis auf = iemals gazzahlig sid, obwohl sie ja mit bis is Uedliche wachse. Das gilt sogar für jede kosekutive lückelose ) Teilreihe der harmoische Reihe. Um diese Eigeschaft zu beweise, beötige wir zuächst ei Lemma aus der Zahletheorie. Sei Beweis verwedet de aus der Iformatik bekate Algorithmus der biäre Suche. 3

14 Lemma 3.2. Für m, N mit m < existiert geau eie gerade Zahl q {m, m +,..., } mit der höchste Zweierpotez als Teiler, also 2 ν q mit ν = max{α N 0 : 2 α k für ei k {m,..., }} > 0. Beweis. [5, 2.3.2] Existiere Zweierpoteze i {m,..., }, so ist die höchste davo das eideutige q. Existiert dagege keie Zweierpotez i {m,..., }, so existiert ei α N mit 2 α < m < < 2 α+, also 2 2 α < m < < 4 2 α. Da ist etweder die größte Zweierpotez q = 3 2 α, oder [m, ] ist Teilmege eier der beide Hälfte [2 2 α, 3 2 α ] = [4 2 α 2, 6 2 α 2 ] oder [3 2 α, 4 2 α ] = [6 2 α 2, 8 2 α 2 ]; ehme wir ohe Eischräkug der Allgemeiheit a, i der erste Hälfte. Da ist etweder q = 5 2 α 2, oder [m, ] ist Teilmege vo [4 2 α 2, 5 2 α 2 ] oder [5 2 α 2, 6 2 α 2 ].... Dieser Prozess wird solage fortgesetzt, bis etweder q gefude ist oder α = gilt; im letztere Fall ist m + = ud die Mege besteht aus ur zwei aufeiader folgede Zahle, q ist die gerade davo. Satz 3.3. Für m, N mit m < ist die Summe S m = k = m + m k=m 30) ie eie gaze Zahl, d.h. es ist stets S m / N. Beweis. [5, 2.3.2] Der Beweis besteht dari, S m gleichamig zu mache ud zu zeige, dass ach dem Kürze der Zähler stets ugerade ud der Neer gerade ist, der Bruch also icht gazzahlig sei ka. I der Mege {m,..., } der Neer vo S m existiert ach Lemma 3.2 eie eideutige Zahl q mit der höchste Zweierpotez. Beim Erweiter der eizele Brüche muss also jeder Zähler bis auf /q midestes mit 2 oder gar eier och höhere Zweierpotez multipliziert werde, währed ur /q auf eie ugerade Zähler erweitert wird. Der Zähler vo S m ist also eie Summe aus mehrere gerade Zahle ud eier eizige ugerade Zahl, d.h. er ist ugerade. Der Neer vo S m higege muss q als Faktor ethalte, ist also gerade. Korollar 3.4. Bis auf H = ist keie harmoische Zahl H gazzahlig. Beweis. Da H = S, ist, ka Satz 3.3 agewedet werde. Zusammegefasst sid eiige weitere Eigeschafte der harmoische Zahle wie folgt. Es gilt mit 28) H = Ferer gilt die Näherugsformel 0 x x dx. 3) H = γ + l O 8 ), 32) 4

15 wobei γ = 0, die Euler-Mascheroi-Kostate ist, vgl. Gleichug 44) auf S. 42, ud der Koeffiziet des 2-te Summegliedes dem Wert Kehrwert vo ζ 2) etspricht, also 2, 20, 252, 240,... für =, 2, 3, 4,.... Es gibt weitere Verbiduge zur Zeta-Fuktio, beispielsweise H m = m + 2 m 2 ζm + ) 2 ζm ) ζ + ) 33) für m, N, m 2, isbesodere H 2 = 2 ζ3), H 3 = 5 4 ζ4), H = 3 ζ5) ζ2) ζ3). 34) 4 Propositio 3.5. Stapelt ma quaderförmige Klötzche, Steie oder Spielkarte [4, 6.3] der Läge l zu eiem schiefe Turm wie i Abbildug 4 so übereiader, dass S l x x 2... x Abbildug 4: Turm aus Klötzche, gemäß der harmoische Reihe gestapelt harmoische Brücke ), mit dem gerade och über der Fußfläche liegede Schwerpukt S. er icht zusammebricht, so ist seie maximal mögliche Auslegug ach liks geau da erreicht, we für die x-koordiate x der Schwerpukte der eizele Klötzche x + = l 2 H + ) 0) 35) gilt, wobei H 0 = 0 ud H die -te harmoische Zahl bezeichet. Der maximal mögliche Überhag eies freitragede Stapels aus Klötze beträgt also L = l 2 H. Beweis. Ei Stapel aus Klötzche bricht solage icht zusamme, wie die x- Koordiate S seies Schwerpuktes sich über seier Fußfläche befidet. Da der Schwerpukt x des -te Klötzches sich i desse Mitte befidet ud damit die Ede der Fußfläche bei x ± l/2 sid, folgt x l 2 S x + l 2. Mit adere Worte ist S x l/2 36) eie otwedige Bedigug für die Stabilität des Stapels. Die maximal mögliche Auslegug ach liks uter Eihaltug dieser Bedigug ist also gegebe, we x = S l/2. 37) Wir zeige mit vollstädiger Iduktio zuächst S = l 2 H. Für =, d.h. beim erste Klötzche, liegt der Schwerpukt bei S = l 2. Für eie Stapel mit Klötzche ist die Liksauslegug maximal, we sei Schwerpukt S über 5

16 der like Kate des uterste Klötzche liegt, also x = S + l/2. Da gilt für de Schwerpukt des Stapels mit Klötzche S = [x + ) S ] = S + l 2, also uter der Iduktiosvoraussetzug S = l 2 H. Mit Gleichug 37) folgt damit Gleichug 35). Nach Propositio 3.5 gilt L für. Der Überhag eies freitragede Stapels aus Steie ist damit prizipiell ubegrezt, ma braucht ur geüged Steie. Da H 3 = 6 < 2 ud H 4 = 25 2 > 2, d.h. L = l 2 H 25 l 24 > l, ist bei eier harmoische Brücke der Höhe 4 der Überhag größer als l. Für eie Überhag vo 2,5 l beötigt ma allerdigs scho etwa = 00 Steie. Bei eiem reale Aufbau würde das bereits hohe Aforderuge a die Maßhaltigkeit der Steie stelle. I viele Bereiche der Zahletheorie spielt die harmoische Reihe eie Rolle. Nach dem Satz vo Wolsteholme beispielsweise ist für eie Primzahl p 5 die harmoische Zahl H p durch p 2 teilbar. Nach Jeffrey Lagarias ist die Riema sche Vermutug äquivalet zu der Aussage σ) = H + e H l H 38) für jedes N, wobei die Teilsummefuktio σ) die Summe aller positive Teiler vo bezeichet. 4 Grezwerte vo Reihe Grezwerte vo Reihe zu bestimme ist Kust. Es gibt auf de erste Blick zwar eie Mege Reihe, dere Grezwerte bekat sid, jedoch beschräke sich die Methode zur Berechug oder Herleitug vo Grezwerte auf ur eiige weige. Die wichtigste ud mächtigste Methode ist die Taylor- Etwicklug, die eier gegebee, uedlich oft differezierbare Fuktio eie Potezreihe, gewissermaße ei Polyom beliebig große Grades, zuordet. Dere Fuktioswerte für bestimmte Argumetwerte sid da geau die Grezwerte der etsprechede Reihe. Isbesodere mit de trigoometrische Fuktioe gewit ma so uzählige ud oft fasziierede Idetitäte. Was aber tu, we ma eie Reihe hat, die icht die Taylor-Reihe eier bekate Fuktio ist? Da werde die Möglichkeite plötzlich weiger, es gibt och hie ud da eie Wuderwaffe wie die geometrische Reihe, eie durch eie Varable q mit q < parametrisierte Reihe q, dere Grezwert sehr eifach berechet werde ka ämlich als q = q ). Meistes bleibt ur, eie gegebee Reihe idividuell zu utersuche ud durch geschickte ud glückliche Modifikatioe zu eiem Wert komme Kust ebe, icht Techik. Ei eifaches Beispiel sei die Reihe, dere Grezwert ma +)! durch bloßes Umforme bestimme ka, a dere Etwicklug ma ih jedoch kaum direkt erket. 6

17 Beispiel 4.. Es gilt da + )! = )! = )! = +)!! +... =, 39) )! =! 2! =. Machmal geligt es auch, die Partialsumme eier Reihe zu bereche ud so durch Grezübergag auf ihre Grezwert zu schließe, wie im folgede Fall oder wie für die geometrische Reihe weiter ute. Propositio 4.2. Für N gilt ud daher k= k= kk + ) = +, 40) kk + ) = =. 4) 56 Beweis. Mit vollstädiger Iduktio folgt 40), d.h. mit dem Iduktiosafag = ud dem Iduktiosschritt, also kk+) = +) + = +. Durch Grezübergag + für folgt 4). 4. Die geometrische Reihe Die i der Aalysis wohl wichtigste Reihe ist die geometrische Reihe q k = + q + q 2 + q q < ) 42) Propositio 4.3 Summeformel für die geometrische Reihe). Für N 0 ud q C mit q = gilt q k = q+ 43) q Beweis. Mit vollstädiger Iduktio folgt die Behauptug, d.h. mit dem Iduktiosafag = 0 ud dem Iduktiosschritt, also 0 q k = q + q q = q+ q. Propositio 4.4 Uedliche geometrische Reihe). Für q C mit q < gilt q k = q. 44) Beweis. Mit 43) gilt s = 0 q k q, da q+ 0 für. Mit q = 2 folgt daher für die uedliche Reihe der Kehrwerte der Zweierpoteze = 2, ud etspreched mit q = 2 für die alterierede Reihe der Kehrwerte der Zweierpoteze ±... =

18 4.2 Zwei verwadte Reihe: tah ud arcta Betrachte wir die Fuktioe arcta ud tah. Ihre Graphe der beide Fuktio sid i Abbildug 5 aufgetrage. Als Reihe dargestellt laute sie Abbildug 5: Graph vo tah x dukle Kurve) ud π 2 arcta x helle Kurve). 2 π arcta x = 2 ) π k 2k + x2k+ für x 45) tah x = 4 k 4 k )B 2k+2 2k + 2)! x 2k+, für x < π 2 wo die B k die Beroulli-Zahle bezeiche, die rekursiv defiiert sid durch [4, 6.5] ) k + B 0 =, B j = 0 für k > 0, 47) j k j=0 46) vgl. Tabelle 2. Isbesodere folgt aus dieser Defiitio, dass die Beroulli B B B B B B Tabelle 2: Die erste ichtverschwidede Beroulli-Zahle. Zahle mit ugerade Idizes größer verschwide, B 2k+ = 0 für k >. Ferer ist die Folge der Beroulli-Zahle mit gerade Idizes, B 2k ) k> alteriered. Iteressaterweise laute die Reiheetwickluge der Umkehrfuktioe vo 2 π arcta x ud tah x folgedermaße, artah x = 2k + x2k+, 48) ta πx 2 = 4 k 4 k ) B 2k+2 2k + 2)! πx ) 2k+ x < ) 49) 2 8

19 4.3 Die Gauß sche Summe Für N gelte die Summeformel der -te Eiheitswurzel G := e 2πik2 / = + i), 50) i die Gauß sche Summe. Gauß otierte sie Mitte Mai 80 i seiem Tagebuch ud verwedete sie zum Beweis des quadratische Reziprozitätsgesetzes i seie Disquisitioes Arithmeticae, ohe allerdigs das geaue Vorzeiche der Wurzel zu kee. Das gelag ihm erst ach mehrjährigem Bemühe am durě die Gade GotteŊ mžěte iě sage. Wie der BliŃ eisělłgt, hat siě daŋ RŁthsel gelžć, wie er i eiem Brief vom a Olbers schreibt [9, S. 368]. Da i die Ordug 4 besitzt ud die elemetare Idetitäte 2 i = + i ud +i i = i gelte, folgt G 4 = + i) 4, G 4+ = 4 +, G 4+2 = 0, G 4+3 = i ) für N 0. Für ugerade Zahle lässt sich auch G 2+ = schreibe. Für die erste Werte vo gilt 2 e 2+ 2πi k2 = ) 2 + ) 52) G =, G 2 = 0, G 3 = + e 2π 3 + e 8π 3 = i 3 53) Ei recht kurzer Beweis vo Mordell 98) wedet de Residuekalkül auf die meromorphe Fuktioe M z) = G z) e 2πiz a, wobei N ud G z) die gaze Fuktioe G z) = e 2πi z+k)2 / 54) sid, also G = G 0). Da M eie Pol erster Ordug bei z = 0 habe, folgt ach eier kurze Rechug [9, 4.3.2] G 0) = + i) ) + i e x2 dx. 55) 2 2π Da u G 0) = G =, folgt daraus sofort der Wert e x2 dx = π für das Fehleritegral, ud somit 50). Die Gauß sche Summeformel lässt sich verallgemeier. So gilt für alle atürliche Zahle m, die Reziprozitätsformel e mπik2 / = e πi 4 m m e πik2 /m, 56) die für m = 2 mit der Gauß sche Formel 50) übereistimmt. 9

20 5 Taylor-Reihe Erste Grudregel der Igeieursmathematik: Alle Reihe kovergiere, ud zwar gege de erste Term. Kaum ei mathematischer Sachverhalt fidet eie solch grudlegede Rolle i Aweduge der Physik ud de Igeieurswisseschafte wie die Taylor- Formel. Mit ihr ist es möglich, differezierbare Fuktioe durch Polyome zu approximiere. Satz 5.. Taylor-Formel) Sei I R ei Itervall ud f : I R eie + )-mal stetig differezierbare Fuktio. Für zwei Pukte x 0, x I gilt da f x) = f x 0 ) + f x 0 )x x 0 ) f ) x 0 )! mit dem Restglied R + x) =! x x x 0 ) + R + x) 57) x 0 x t) f +) t) dt. 58) Beweis. Beweis durch Iduktio [2, 22]. Korollar 5.2. Ist f : I R für ei offees Itervall I R eie + )-mal stetig differezierbare Fuktio mit f +) x) = 0 für alle x I, so ist f ei Polyom vom Grade. Satz 5.3. Lagragesche Form des Restglieds) Sei I R ei offees Itervall, f : I R eie + )-mal stetig differezierbare Fuktio ud x 0, x I. Da existiert ei ξ [x, x 0 ] [x 0, x], so dass f x) = f k) x 0 ) k! x x 0 ) k + f +) ξ) + )! x x 0 ) + 59) Beispiel 5.4. i) Betrachte wir für ei a 0, ) die Fuktio f :, a) R, f x) = + x ud de Etwicklugspukt x 0 = 0. Da ist f x) = 2, +x f x) = 4, f x) = 3 +x 3 8, f 4) x) = 5 +x 5 6, d.h. f 0) =, f 0) = +x 7 2, f 0) = 4, f 0) = 3 8. Da f x) > 0 für alle x a, ), ist f x) streg mooto wachsed, ud damit auch f 4) ; somit gilt 0 f 4) x) f 4) a) für alle x, a), also f x) = + x 2 x x R 4x) 60) mit dem Näherugsfehler 0 R 4 x) = f 4) ξ) 4! x 4 5x a 7 5x

21 Beispiel 5.5. Sei a > 0 ud f : a 2, a 2 ) R, f x) = a 2 ± x 2. Da ist f x) = ± x, f a2 x) = ± a2 ±x 2, f x) = 3a2 x, f 4) x) = 3a2 a 2 4x 2 ). a2 ±x 23 a2 ±x 25 a2 ±x 27 Um de Etwicklugspukt x 0 = 0 gilt da f 0) = f 0) = 0, f 0) = ±a, f 4) 0) = 3a 3, also a 2 ± x 2 = a ± ax2 2 3x4 24a 3 + Ox5 ). 6) Da f 4) x) = 0 geau da, we x 2 = ± a2 4, ist f auf dem gaze Itervall a, a) mooto falled für f x) = a 2 x 2, bzw. erreicht sei Maximum bei x = a 2 ud sei Miimum bei x = a 2, d.h. es gilt stets f x) < 3a 4± für x a 2, a 2 ). Somit folgt a 2 ± x 2 = a ± ax2 2 + R 3x) mit R 3 x) < a4 2 4±. 62) Beispiel 5.6. Sei f : R 0, ] die Expoetialfuktio 7 f x) = e x. Ihre k-te Ableitug lautet f k) x) = e x, um de Etwicklugspukt x 0 = 0 gilt damit f k) 0) =, also e x x = k k! + R +x) 63) mit R + x) = x+ e ξ für ei ξ [ x, x]. Tatsächlich ka ma abschätze +)! R + x) 2x+ +)! für x + 2 [2, 8 Satz 2]. Beispiel 5.7. Sei f : R [, ], f x) = si x. Da ist f 2k) x) = ) k si x ud f 2k+) x) = ) k cos x. Um de Etwicklugspukt x 0 = 0 gilt da f 2k) 0) = 0 ud f 2k+) 0) = ) k, also si x = mit R 2+3 x) = )+ x 2+3 si ξ 2+2)! das Restglied die Abschätzug ) k x 2k+ + R 2+3 x) 64) 2k + )! für ei ξ [x, 0] [0, x]. Isbesodere gilt für R 2+2 x) x )!. 65) Solage also x <, ist die Summe 64) scho für relativ kleie eie gute Näherug. I dem Programm k_si.c der C-Bibliothek FdLibM [L6], die i de übliche Betriebssysteme ud auch Java implemetiert ist, wird si x für 0 x π 4 < lediglich bis auf = 6 berechet, hat also maximal eie Fehler vo π 4 )5 /5! Auf eiem Tazball im Raum der differezierbare Fuktioe steht die Expoetialfuktio de gaze Abed alleie herum. Aus Mitleid geht irgedwa der Logarithmus zu ihr hi ud sagt: Nu itegrier dich doch mal! Scho versucht, atwortet sie resigiert, das ädert doch ichts! 2

22 Beispiel 5.8. Sei f : R [, ], f x) = cos x. Da gilt f 2k) x) = ) k cos x ud f 2k+) x) = ) k+ si x, also f x) = si x, f x) = cos x, f x) = si x, ud f 4) x) = cos x. Um de Etwicklugspukt x 0 = 0 gilt da f 2k+) 0) = 0 ud f 2k) 0) = ) k, also cos x = mit R 2+2 x) = )+ x 2+2 cos ξ 2+)! das Restglied die Abschätzug ) k x 2k + R 2+2 x) 66) 2k)! für ei ξ [x, 0] [0, x]. Isbesodere gilt für R 2+2 x) x )!. 67) Solage also x <, ist die Summe 66) scho für relativ kleie eie gute Näherug. I dem Programm k_cos.c der C-Bibliothek FdLibM [L6], die i de übliche Betriebssysteme ud auch Java implemetiert ist, wird cos x für 0 x π 4 < lediglich bis auf = 7 berechet, hat also maximal eie Fehler vo π 4 )6 /6! Beispiel 5.9. Für f : R [, ], f x) = arcta x ist f x) =. Da u +x 2 x = xk für x <, also isbesodere +x = x)k ud damit d dx arcta x = + x 2 = ) k x 2k. 68) Itegratio der like ud rechte Seite ud Berücksichtigug der Eigeschaft arcta 0 = 0 liefert da arcta x = ) k x 2k+ 2k + k= für x. 69) Das ist die Taylor-Reihe um de Etwicklugspukt x 0 = 0. Sie kovergiert allerdigs ur für x gege arcta x, für x > kovergiert sie überhaupt icht. Um de Etwicklugspukt x 0 = gilt 0 we 4 k, arcta x = π 4 + a k x ) k mit a k = k= oder also arcta x = π 4 k= ) k++ k 4 ) k+ k 4 k 4 k 4 k 2 k+ 2 sost. 70) k 2 k+ 2 x ) k 7) arcta x = π 4 + x 2 x )2 4 + x )3 2 x ) x )6 48 x )7 2 ±. 72) Das ist die Maclauri-Reihe vo arcta + x). 8 8 E. W. Weisstei: Iverse Taget. From MathWorld A Wolfram Web Resource, mathworld.wolfram.com/iversetaget.html, jas/sequeces/a

23 Beispiel 5.0. Zur Berechug des Logarithmus wird zweckmäßigerweise als Etwicklugspukt x 0 = verwedet, allerdigs mit eiem kleie Trick. Zuächst betrachte wir f :, ] R, f x) = l + x). Da gilt f k) x) = ) k+ k )! für k > 0, also f x) = +x) k +x, f x) =, f +x) x) = 2, 2 +x) 3 f 4) x) = 6. Für x +x) 4 0 = 0 gilt damit f k) 0) = ) k+ k )!, d.h. l + x) = ) k+ x k + R + x) 73) k k= mit R + x) = ) x ) + +) +ξ für ei ξ [x, 0] [0, x]. Um u beispielsweise l 2 zu bereche, würde ma also x = setze ud so die Summe l 2 = ±... 74) mit eiem Fehler R + x) + für ξ = ) erhalte. Durch dieses schlechte Kovergezverhalte ist die Formel freilich für praktische Berechuge ugeeiget. Will ma hiermit l 2 auf m Dezimalstelle geau bereche, so muss ma = 0 m Glieder berücksichtige! Zu eier besser kovergierede Reihe gelagt ma durch die Beobachtug l a b = l a l b, also für x <, mit l + x x = 2 x 2k+ 2k + + R 2+3x) 75) k= R 2+3 x) = 2 k=+ de l x) = xk +x k. Dabei ist x Fehler lässt sich hierbei abschätze zu R 2+3 x) = k=+ 2 x x 2k+ 2k + = 2 x k=+ 2 x ) x 2 ) ) k+ x 2k+. 76) 2k + = y geau da, we x = y y+. Der k=+ x 2k ) 2 = 2 x k + x2k ) 2 x 2k 77) Für x = 3 erhält ma deshalb l 2 = 2 2k + ) 3 = 2k ) ) mit eiem Fehler R ) [ ) 3 2+] bei Abbruch ach dem - te Glied. 23

24 6 Lambert-Reihe Defiitio 6.. Eie Reihe des Typs q a heißt Lambert-Reihe. q Propositio 6.2. Ist die Lambert-Reihe a q q ormal koverget für q C, q <, so gilt a q q = A q Beweis. Es gilt q / q ) = j= qj. mit A := a d. 79) d Die Zahl A hägt zusamme mit der Dirichlet-Faltug f g zweier arithmetischer Fuktioe f, g, d.h. zweier Fuktioe f, g : N C, die defiiert ist durch f g)) := d f d) g/d). A ist daher die Dirichlet-Faltug A = a )) mit a) := a. 7 Uedliche Produkte Uedliche Produkte werde i Vorlesuge ud Lehrbücher zur Ifiitesimalrechug ur selte behadelt [0]. Historisch trate uedliche Produkte erstmals 579 bei Vieta auf, er gab für die Kreiszahl π die Formel 2 π = a. Wallis fad 655 das berühmte Produkt ) π 2 = ) 2 + )... 8) Aber erst Euler hat systematisch mit uedliche Produkte gearbeitet ud wichtige Produktetwickluge aufgestellt. Die erste Kovergezkriterie stamme vo Cauchy, Eisestei betrachtete 847 bedigt kovergete Produkte ud Reihe), spätestes 854 fade uedliche Produkte bei Weierstraß ihre feste Platz i der Aalysis. Die erste umfassede Darstellug der Kovergeztheorie uedlicher Produkte gab 889 A. Prigsheim. Defiitio 7.. Ist a ) m eie Folge komplexer Zahle, so heißt die Folge p m,n ) N m der Partialprodukte p m,n := N a = a m a m+... a N 82) =m ei uedliches) Produkt der Faktore a. Oft schreibe wir kurz N m a k, we der Laufidex hier ) eideutig erkebar ist. Im Allgemeie ist m = 0, 24

25 m = oder m = 2. Das Produkt a heißt koverget, we es eie Idex 0 gibt, so dass die Folge p 0,N) N 0 eie Limes â 0 = 0 hat. Ma et da a := a m a m+... a 0 â 0 de Wert des Produktes ud schreibt a = a. 83) =m Nicht kovergete Produkte heiße diverget. Die Zahl a i Gleichug 83) ist uabhägig vo 0 oder â 0, de wege â 0 = 0 gilt a = 0 für alle 0, daher hat auch für jedes feste l > 0 die Folge p l, ) l eie Limes â l = 0, ud es gilt a = a m a m+ a l â l. Propositio 7.2. Ei Produkt a ist geau da koverget, we ur edlich viele Faktore a Null sid ud we die mit alle vo Null verschiedee Glieder a = 0 gebildete Partialproduktfolge eie ichtverschwidede Limes hat. Der Kovergezbegriff für Produkte uterscheidet sich also vo demjeige für Reihe. Würde ma ämlich ei Produkt a aalog wie bei de Reihe koverget ee, we die Folge der Partialprodukte p 0,N) N 0 eie Limes hat, da ergäbe sich uerwüschte Pathologie: so wäre ei Produkt bereits koverget mit dem Wert 0, we ur ei eiziges Folgeglied a k Null wäre; ferer köte a auch da Null werde, we kei eiziger Faktor a Null ist, z.b. we stets a q <. Durch die i Defiitio 7. getroffee Eischräkuge wird die offesichtliche Soderrolle der Null optimal berücksichtigt. So gilt per defiitioem wie für edliche Produkte: Propositio 7.3. Ei kovergetes Produkt a ist geau da Null, we weigstes ei Faktor a Null ist. Wir otiere die folgede otwedige Bediguge für die Kovergez eies Produkts. Propositio 7.4. Falls 0 a kovergiert, so gilt lim a =. Ferer existiert â := a für alle N, ud es gilt lim â m =. Beweis. Wir dürfe a := 0 a = 0 aehme. Da gilt â m = a/p 0,m, ud wege lim p 0,m = a folgt lim â m =. Die Gleichug lim a = gilt, da stets â = 0 ud a = â /â +. Beispiele 7.5. a) Sei a 0 = 0, a = für. Da gilt 0 a = 0. b) Sei a = / 2 für 2. Es gilt p 2,N = 2 + /N) z.b. mit vollstädiger Iduktio), also ) =2 2 = 2. 84) c) Sei a = / für k 2. Es gilt p 2,N = /N, also lim p 2,N = 0. Da jedoch kei Faktor a verschwidet, ist das Produkt 2 a diverget, wegleich lim a =. 25

26 d) Sei a 0, a, a 2,... eie Folge reeller Zahle mit a 0 ud 0 a ) =. Da gilt lim N Beweis. Es gilt 0 p 0,N = N 0 a exp N =0 a = 0. 85) N 0 a ) für alle t R. Wege a ) = folgt lim p 0,N = 0. ) für N N, da t e t Es ist icht sivoll, i Aalogie zu Reihe de Begriff der absolute Kovergez eizuführe. Würde ma ei Produkt a absolut koverget ee, we a kovergiert, so würde Kovergez stets absolute Kovergez impliziere, higege wäre ) absolut koverget, aber icht koverget! 7. Uedliche Produkte vo Fuktioe I diesem Abschitt betrachte wir Kovergezbegriffe für uedliche Produkte vo Fuktioe. Ählich wie für Fuktioereihe führe wir zwei Kovergezbegriffe ei, die kompakte Kovergez ud die ormale Kovergez. Hierbei erweist sich die ormale Kovergez der kompakte als überlege, da sie die Kovergez aller Teilprodukte ud aller umgeordete Produkte garatiert, Die ormale Kovergez etspricht damit ugefähr der absolute Kovergez vo Zahlereihe. Es bezeiche X im Folgede stets eie lokal-kompakte metrische Raum. Defiitio 7.6. Für eie Folge f ) vo i X stetige komplexwertige Fuktioe f C 0 X, C) heißt das uedliche Produkt f kompakt koverget i X, we es zu jeder kompakte Teilmege K X vo X eie Idex m = mk) gibt, so dass die Folge p m, = f m f m+ f für m i K gleichmäßig gege eie i K ullstellefreie Fuktio ˆf m kovergiert. Für jede Pukt x X existiert da f x) := f x) C 86) =m im Sie der Kovergez uedlicher Produkte vo Zahle gemäß Defiitio 7.. Die so defiierte Fuktio f : X C heißt Limes des Produktes, ud wir schreibe f = f. Auf K gilt da f K = f 0 K... f m K ˆf m. Umittelbar aus dem Stetigkeitssatz [9, I.3..2] folgt: Propositio 7.7. Kovergiert f i X kompakt gege f, so ist f stetig i X ud die Folge f kovergiert i X kompakt gege. Mit f ud g kovergiert auch f g = f ) g ) 87) kompakt i X. Beweis. [0,..2]. Aus dem Weierstraß sche Kovergezsatz [9, I.8.4.] folgt ferer: 26

27 Propositio 7.8. Jedes i eiem Gebiet G C kompakt kovergete Produkt f vo i G holomorphe Fuktioe f hat eie i G holomorphe Limes f. Beweis. [0,..2]. Beispiel 7.9. Die Fuktioe f z) = + 2z ) / 2 + 2z 2+),, sid holomorph im Eiheitskreis D = { z < }. Es gilt p 2,N = z) / + 2N+) 2z, d.h. p 2,N ist holomorph i D für jedes N 2, ud p 2,N z). Mit f z) = + 2z)/ z) kovergiert daher das Produkt f i D kompakt gege f z) = + 2z. Beispiel 7.0. Gegebe seie die Fuktioe f z) = z für 0. Im Eiheitskreis D = { z < } kovergiert das Produkt f icht, och icht eimal puktweise, de p m,n = z N m+ ist für jedes m eie Nullfolge. Defiitio 7.. Ei Produkt f mit f = + g C 0 X, C) heißt ormal koverget i X, we die Reihe g i X ormal kovergiert, d.h., we g K < für jedes Kompaktum K X. Ist f ormal koverget i X, so kovergiert es kompakt i X, für jede Bijektio τ : N N das Produkt 0 f τ) ormal i X, jedes Teilprodukt j f j ormal i X. Beispiel 7.2. Produkte köe kompakt kovergiere, ohe ormal koverget zu sei. Beispielsweise gilt für + g ) mit g = ) / stets + g 2 ) + g 2 ) =, also p, = für gerades ud p, = + / für ugerades, d.h. das Produkt + g ) kovergiert kompakt i C gege. Allerdigs ist scho das Teilprodukt + g ) icht mehr koverget. Wir werde sehe, dass der Begriff der ormale Kovergez ei guter Kovergezbegriff ist. Zuächst eimal ist jedoch icht eimal klar, ob ormal kovergete Produkte überhaupt eie Limes habe. Glücklicherweise gilt viel weitreicheder: Satz 7.3 Umordugssatz). Es sei 0 f ormal koverget i X. Da gibt es eie Fuktio f : X C, so dass für jede Bijektio τ : N N das umgeordete Produkt f τ) i X kompakt gege f kovergiert. Beweis. [0,.2] Korollar 7.4. Sei f = 0 f ormal koverget. Da folgt: i) Jedes Produkt ˆf m := m f kovergiert ormal i X, es gilt f = f 0 f f m ˆfm. 27

28 ii) Ist N = N k eie edliche oder uedliche) Zerlegug vo N i paarweise disjukte Teilmege N,..., N κ,..., so kovergiert jedes Produkt Nk f ormal i X, es gilt f = ) f. 88) κ= N κ Die Nullstellemege N f ) jeder i G holomorphe Fuktio f = 0 ist diskret ud abgeschlosse i G ud somit eie höchstes abzählbare uedliche Mege [9, I.8..3]. Für edlich viele i G holomorphe Fuktioe f 0, f,..., f N, mit f = 0, gilt N f 0 f f N ) = N N N f ) ud o c f 0 f f N ) = 0 0 o c f ), 89) wobei o c f ) die Nullstelleordug vo f i c G bezeichet. Für uedliche Produkte folgt Satz 7.5. Es sei f = f, mit f = 0, ei i G ormal oder auch ur kompakt) kovergetes Produkt vo i G holomorphe Fuktioe. Da gilt für alle c G. f = 0, N f ) = N f ), o c f ) = o c f ) 90) Beweis. [0,.2] Propositio 7.6. Ist f = f, mit i G holomorphe Fuktioe f, ei i G ormal kovergetes Produkt, so kovergiert die Folge ˆf m = m f kompakt i G gege ud ist holomorph i G. Beweis. [0,.2] Die logarithmische Ableitug eier i G meromorphe Fuktio h ist per defiitioem die i G meromorphe Fuktio h /h. Für edliche Produkte h = h h 2 h N gilt die Summeformel h /h = h /h h N /h N. Diese Formel überträgt sich auf uedliche Produkte holomorpher Fuktioe. Satz 7.7 Differetiatiossatz). Es sei f = f ei i G ormal oder auch ur kompakt) kovergetes Produkt holomorpher Fuktioe. Da ist f / f eie i G ormal kompakt) kovergete Reihe meromorpher Fuktioe, ud es gilt wobei f / f meromorph i G ist. f / f = f / f, 9) Beweis. [0,.2.3] Uter Beutzug des Differetiatiossatzes ka ma zeige: 28

29 Satz 7.8 Satz vo Ritt). Ist f holomorph im Nullpukt, so lässt sich f i eier Kreisscheibe B um 0 i eideutiger Weise als ei Produkt f z) = bz k darstelle, das i B ormal gege f kovergiert. + b z ), b, b C, k N, 92) Dieser Satz wurde 929 vo dem US-amerikaische Mathematiker Joseph F. Ritt 9 bewiese. Es wird icht behauptet, dass das Produkt i der größte Kreisscheibe um 0, wo f holomorph ist, kovergiert. Dieser Satz über die eideutige Produktetwicklug eier holomorphe Fuktio ist ei multiplikatives Aalogo zur Taylor-Etwicklug. Nach Remmert [0, p. 2] sid überzeugede Aweduge des Ritt sche Satzes bislag icht bekat. 7.2 Das Euler sche Siusprodukt Das Produkt z 2 / 2 ) ist i C ormal koverget, da z2 / 2 i C ormal kovergiert. Euler erkate 734 die Formel das Siusprodukt. si πz = πz z2 2 ), z C, 93) Beweis. Logarithmische Differetiatio ud Partialbruchreihe des Kotages) Mit f z) = z 2 / 2 ud f z) = πz f gilt f z) f z) = 2z z 2 2, also f z) f z) = z + 2z z 2 2 Hier steht rechts die Fuktio π cot πz, die die logarithmische Ableitug vo si πz ist. Daher gilt f z) = c si πz für ei c C mit c = 0, de allgemei folgt für zwei i eiem Gebiet meromorphe Fuktioe f ud g mit gleicher logarithmischer Ableitug wege f /g) = f g f g )/g 2 = 0 die Beziehug f z) si z f = cg für ei c C. Wege lim z 0 πz = = lim z 0 πz folgt c =. Durch Eisetze spezieller Werte für z i Gleichug 93) etstehe iteressate Formel. Beispielsweise folgt für z = 2 die Produktformel 8) vo Wallis, für z = die Formel 84), mit der sich der Wert des Gauß sche Fehleritegrals 0 e x2 dx = 2 π elemetar bereche lässt [0,.3.]. Für z = i higege etsteht wege si πi = i 2 eπ e π ) die bizarre [0, S. 3] Formel + ) 2 = eπ e π. 94) 2π

30 Mit Hilfe vo si z cos z = 2 si 2z ud Korollar 7.4 erhält ma [ cos πz si πz = πz ) 2z 2 ] [ = πz ) 2z 2 ] [ 2 ) 2z 2 ] 2, also die Euler sche Produktdarstellug des Cosius cos πz = 4z 2 ) 2 ) 2, z C. 95) Mit seiem Siusprodukt 93) kote Euler grudsätzlich alle Werte ζ2k) = 2k der Zeta-Fuktio für k =, 2,..., bereche. So folgt beipielsweise sofort ζ2) = 6 π2, de da f N z) := N z2 ) = N 2 2 )z 2 ±... si πz πz kompakt gege f z) = = 6 π2 z 2 ±... strebt, so liefert ei Koeffizietevergleich sofort N 2 6 π2 für N. Damit hatte der 28-jährige Euler 735 das Baseler Problem vo 650 gelöst, welches ach dem Wert ζ2) fragte ud a dem sich die größte Mathematiker der Zeit über 8 Jahrzehte erfolglos versucht hatte. Euler s origial proof is magical... ad the result has appeared as if from owhere [5, p. 39]. Im Folgede kezeiche wir die Siusfuktio durch Eigeschafte, die für das Produkt z z2 ) eifach zu verifiziere sid. Die Gleichug 2 si 2z = 2 si z cos z ist ei Beispiel for eie Verdopplugsformel: si 2πz = 2 si πz si π z + ) 2 96) für alle z C. Um mit ihrer Hilfe de Sius zu charakterisiere, zeige wir zuächst das weiter ute stehede Lemma vo Herglotz i der multiplikative Form. Lemma 7.9 Herglotz, additive Form). Es sei G C ei Gebiet, das ei Itervall [0, r), mit r >, umfasst. Ferer sei h eie i G holomorphe Fuktio ud es gelte die additive Verdopplugsformel Da ist h kostat. 2h2z) = hz) + hz + 2 ), falls z, z + 2, 2z [0, r). 97) Beweis. Sei t, r) ud M := max{ h z) : z [0, t]}. Da 4h z) = h z) + hz + 2 ) ud da mit z auch immer 2 z ud 2 z + ) i [0, t] liege, so folgt 4M 2M, also M = 0. Der Idetitätssatz [9, 8..3] ergibt u h = 0, also h = cost. Lemma 7.20 Herglotz, multiplikative Form). Es sei G C ei Gebiet, das ei Itervall [0, r), mit r >, umfasst. Ferer sei g eie i G holomorphe ud auf [0, r) ullstellefreie Fuktio ud es gelte für ei c C, c = 0, eie multiplikative Verdopplugsformel g2z) = cgz)gz + 2 ), falls z, z + 2, 2z [0, r). 98) Da folgt gz) = ae bz mit ace b/2 =. 30

31 Beweis. Die i G meromorphe Fuktio h = g /g ist holomorph auf [0, r), es gilt 2h2z) = 2g 2z)/g2z) + hz) + hz + 2 ), falls z, z + 2, 2z [0, r). Nach dem Lemma vo Herglotz additive Form, Lemma 7.9) ist h kostat. Es folgt g = bg mit b C. Mit 98) folgt ace b/2 =. Mit dem Lemma vo Herglotz i der multiplikative Form lässt sich leicht der folgede Satz herleite, ach dem eie ugerade Fuktio, für die eie Verdopplugsformel gilt, im Wesetliche die Siusfuktio ist. Satz 7.2. Es sei f eie ugerade gaze Fuktio, die i [0, ] ur i 0 ud verschwidet, ud zwar vo erster Ordug. Weiter gelte für ei gegebees c C mit c = 0 eie Verdopplugsformel f 2z) = c f z) f z + 2 ) für alle z Z. Da folgt f z) = 2c si πz. Beweis. Die Fuktio gz) = f z)/ si πz ist holomorph ud ullstellefrei i eiem Gebiet g [0, r) für ei r >. Es gilt g2z) = 2 cgz)gz + 2 ). Nach dem Lemma 7.20 vo Herglotz folgt f z) = ae bz si πz mit ace b/2 = 2. Da f z) = f z), folgt weiter b = 0. Mit der Verdopplugsformel des Sius köe wir das Itegral 0 l si πt dt = l 2 99) herleite: Uterstellt ma zuächst die Existez des Itegrals, so habe wir mit der Verdopplugsformel 96) die Idetität /2 0 l si 2πt dt = 2 l 2 + /2 0 /2 l si πt dt + 0 l si πt + 2 ) dt 00) Mit der Substitutio τ = 2t liks ud der Substitutio τ = t + 2 gaz rechts folgt 99) da direkt. Um och die Existez des Itegrals zu zeige, bemerke wir, dass das zweite Itegral i 00) existiert, we das erste existiert setze t + si πt 2 = τ). Das erste Itegral jedoch existiert, da gt) = t stetig ud ullstellefrei i [0, 2 ] ist, de es gilt: Ist f t) = t gt) für N, wobei g stetig ud ullstellefrei i [0, r] mit r > 0 ist, so existiert r 0 l f t) dt. Das ist klar, da r l t dt existiert, de x log x x 0 ist Stammfuktio ud es gilt lim x l x = 0. x 0 Eisestei bewies 847 e passat die Verdopplugsformel des uedliche Produkts z z2 ), lage bevor Moore sie 894 wieder etdeckte. Er betrachtete die Fuktio E : C \ Z) C 2 C, Ew, z) = e = + z ) := lim + w N N = N + z ), 0) + w das Eisestei sche Produkt. Hierbei bezeichet e die Eisestei-Multiplikatio i Aalogie zur bekatere Eisestei-Summatio ), d.h. Faktorpaare mit 3