Abschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II

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1 Analysis NT GS m06_ntalsg_gs.mcd Abschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fx ( ) mit ID f = ID g = IR. ( ) = x und gx ( ) = fx ( ) +. Zeigen Sie, dass in der gesamten Definitionsmenge fx ( ) f( x) = 0 gilt und geben Sie die Bedeutung dieser Gleichung für den Graphen von f an. BE ( ) fx ( ) f( x) x ( x) = + = 0 fx ( ) f( x) = 0 fx ( ) = f( x) Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch. Bestimmen Sie die Nullstellen von f mit jeweiliger Vielfachheit. BE Zerlegung von x faktor, ( x ) ( x + ) im Funktionsterm: fx ( ) ( ) := x faktor, ( x ) ( x + ) zweifache Nullstelle NS ( / 0 ) zweifache Nullstelle NS ( / 0 ). Ermitteln Sie mit Hilfe der Ergebnisse von. und. Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte des Graphen G g der Funktion g. 5 BE Graph f berührt die x-achse von unten, die zweifachen Nullstellen sind also Hochpunkte. Graph g entsteht aus f durch Verschiebung um LE nach oben G g muss also zwei Hochpunkte HP ( / ) und HP ( / ) besitzen. Zwischen den zwei Hochpunkten muss ein Tiefpunkt liegen und zwar wegen der Symmetrie von f (und von g) genau dazwischen, also TP ( 0 / ).. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an G g im Punkt R (, g ( )). BE Funktion g: gx ( ) := fx ( ) + ( x ) ( x + ) + Ausmultiplizieren: ( x ) ( x + ) + entwickeln, x x + x Also: gx ( ) := x + x Ableitung der Funktion g: g ( x) d := dx gx ( ) x + x /

2 Analysis NT Kurvenpunkt R: y R := g ( ) Steigung im Kurvenpunkt R: g ( ) = Tangente: tx ( ) := [ g ( ) ( x ) + g ( )] x.5 Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph G g rechts- bzw. linksgekrümmt ist sowie die Koordinaten der Wendepunkte W und W. [ Teilergebnis: x W = ] 6 BE. Ableitung: g ( x) d := dx g ( x) x + Wendepunkte: g ( x) = 0 x + = 0 auflösen, x jeweils einfache Nullstelle x W := x W := gx ( W ) gx ( W ) WP, WP, Vorzeichen der. Ableitung x W x W G g. Ableitung: negativ pos. neg. G g linksge- rechtsgekrümmt linksgekrümmt krümmt /

3 Analysis NT.6 Zeichnen Sie den Graphen G g für x in ein Koordinatensystem. Verwenden Sie dazu auch die Ergebnisse aus. bis.5. Maßstab auf beiden Achsen: LE = cm 5 BE 0 Funktion f Funktion g Wendetangente Wendepunkte Extrema.7 Die Strecke [H H ] zwischen den beiden Hochpunkten (siehe.) und der Graph von g begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt. 6 BE Funktion g mit Flächenstück 0 /

4 Analysis NT Differenzfunktion: Zur Erinnerung: Ausmultiplizieren: Stammfunktion: dx ( ) = g( x) = ( f( x) + ) = f( x) fx ( ) ( x ) ( x + ) fx ( ) entwickeln, x Fx ( ) := fx ( ) dx x + x 0 x5 x + x Flächenberechnung mit Verwendung der Symmetrieeigenschaft: A:= 0 fx ( ) dx A =.0 FE.0 Gegeben ist die Funktion hx ( ) mit ID h = [ ; 8 ]. Ihr Graph G h hat folgendes Aussehen: Geben Sie die Nullstellen der Funktion h an. BE einfache Nullstelle N ( / 0); einfache Nullstelle N ( / 0); einfache Nullstelle N ( / 0);. An der Stelle x = 6 gilt h ( 6) = h ( 6) = 0, h ( 6) 0 ; an der Stelle x = gilt h ( ) = 0, h ( ) 0. Geben Sie an, welcher Art die Punkte P6h6 (, ( )) und Q (, h ( )) demnach sind. BE P6h6 (, ( )) ist ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente = Terrassenpunkt Q (, h ( )) ist ein normaler Wendepunkt /

5 Analysis NT. Erläutern Sie kurz, was es jeweils für den Graphen G h bedeutet, wenn in einem bestimmten Intervall eine der Bedingungen (A) : hx ( ) > 0 (B) : h ( x) < 0 (C) : h ( x) > 0 gilt. BE (A) bedeutet: Der Graph G h liegt oberhalb der x-achse. (B) bedeutet: Der Graph G h ist streng monoton fallend. (C) bedeutet: Der Graph G h ist linksgekrümmt.. Geben Sie mit Hilfe der Zeichnung jeweils diejenigen Intervalle an, in denen a) die Bedingungen (A) und (B) aus. zugleich gelten. b) alle Bedingungen aus. zugleich gelten. BE (A) Der Graph G g liegt oberhalb der x-achse und ist streng monoton fallend: ] ; [ und ] ; 6 [ und ] 6 ; 8 [ (B) Der Graph G g liegt oberhalb der x-achse, ist streng mon. fallend und linksgekrümmt: ] ; 6 [ Graph mit Eigenschaften A und B Im Intervall [ ; ] lässt sich die Funktion h mit Hilfe von zwei ganzrationalen Termen. Grades darstellen. Geben Sie diese Darstellung in abschnittsweise definierter Form an. 5 BE Die. Parabel hat den Scheitel S ( 0 / ) und die Nullstelle N( / 0 ) p( x, a) := ax p(, a) = 0 a = 0 auflösen, a p ( x) := p( x, ) x 5 /

6 Analysis NT Die. Parabel hat den Scheitel S ( / ) und die Nullstelle N( / 0 ) p( x, b) := b( x ) + p(, b) = 0 b + = 0 auflösen, b p ( x) := p( x, ) ( x ) + Abschnittsweise def. Funktionsterm: Px ( ) := x if x ( x ) + if < x.0 Nebenstehendes Diagramm beschreibt den Zusammenhang zwischen der Momentangeschwindigkeit vt () eines Fahrzeugs (in Kilometer pro Minute) und der Zeit t (in Minuten). (Auf Benennungen wird verzichtet). Geschwindigkeit v(t) t t Zeit t. Begründen oder widerlegen Sie anhand des Diagramms die Behauptung: Die Funktion v ist im dargestellten Bereich differenzierbar. BE Die Funktion hat an den Stellen t = und t = "Knickstellen", ist also nicht differenzierbar.. Geben Sie die Geschwindigkeit zur Zeit t = und t = 5 an. BE v ( ) = v5 ( ) = 6 /

7 Analysis NT. Die. Ableitung der Geschwindigkeit vt () ist die Beschleunigung at () des Fahrzeugs. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion a. BE v a = t = = v a = t 0 = = 0 v a = t 0 = = Beschleunigung a(t) t t Zeit t. Die Geschwindigkeit vt () ist die. Ableitung der Funktion st (), die den in der Zeit t zurückgelegten Weg beschreibt. Bestimmen Sie mit Hilfe der Zeichnung den am Ende (nach 6 Minuten) zurückgelegten Weg. Definition der Geschwindigkeit: Auflösen nach s(t) vt () st () d = st () dt 6 = vt () dt = "Fläche unter dem Graphen v(t)" 0 BE Geschwindigkeit v(t) t t Die Gesamtfläche setzt sich aus einem Rechteck und zwei Dreiecken zusammen. s ges := Zeit t s ges =.00 7 /

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