4 Vollkommene Zahlen

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1 Sei a > 0 4 Vollkommene Zahlen T (a) bezeichnet die Anzahl der positiven Teiler von a. S(a) bezeichnet die Summe der positiven Teiler von a. Es ist also T (1) = S(1) = 1. Jede Zahl a > 1 hat eine eindeutige Darstellung a = p lp, wobei l p 1, falls p a. Im 3 haben wir gesehen: Die positiven Teiler von a sind die Zahlen der Form ( ) p mp, wobei 0 m p l p für p a. Insbesondere gilt deshalb und wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für a > 1 T (a) = (l p + 1). Es folgt: T (ab) = T (a)t (b) falls a, b 1 und (a, b) = Satz. S(a) = p lp+1 1 p 1 Insbesondere: S(ab) = S(a)S(b), wenn (a, b) = 1. Beweis. Nach der Formel für eine endliche geometrische Reihe gilt (vgl. 1): l p m p=0 p mp = plp+1 1 p 1 Wegen ( ) folgt p lp+1 1 p 1 = l p m p=0 p mp = 1 0 m p l p mp ( ) p = t = S(a) t a t>0

2 Dabei gilt das zweite Gleichheitszeichen nach dem Distributivgesetz. Eine Zahl a heißt gerade, falls a und ungerade, falls a. Definition. Eine Zahl a > 1 heißt vollkommen, wenn a mit der Summe ihrer Teiler t a übereinstimmt, wenn also S(a) = a. Beispiele. 6 = und 8 = sind vollkommen. Sie sind die einzigen vollkommenen Zahlen 30. (Man prüfe das nach.) Frage 1. Wieviele vollkommene Zahlen gibt es? Es ist 6 = und 8 = mit Primzahlen 3 = 1 und 7 = 3 1. Beide vollkommenen Zahlen 30 sind also gerade und von der Form a = p(p + 1) mit einer Primzahl p = n 1, n N. Wie der nächste Satz zeigt, ist dies kein Zufall. 4. Satz. Ist p = n 1, n N eine Primzahl, so ist p(p+1) eine vollkommene gerade Zahl. Sonst gibt es keine vollkommenen geraden Zahlen. Beweis. a = p(p+1) = n 1 ( n 1) = n 1 p ist die kanonische Zerlegung von a. Die verschiedenen Primteiler von a sind und p. Nach 4.1 ist daher = (n 1) n S(a) = n 1 1 p 1 p 1 = (n 1)(p + 1) = p(p + 1) = a Sei umgekehrt a gerade und vollkommen. Dann schreibt a in der Form a = n 1 u, wobei n > 1 und u ungerade ist. Nach 4.1 gilt n u = a = S(a) = n 1 1 S(u) = (n 1)S(u) Es folgt: S(u) = n u = u + u. n 1 n 1 u Insbesondere ist = S(u) u ganz, also ist t n 1 0 = u ein Teiler von u. n 1 Wegen n > 1 ist n 1 > 1 und t 0 ist ein von u verschiedener Teiler von u. S(u) = u + t 0 = t u Also hat u nur zwei Teiler, nämlich u und t 0. t = u + t u t u t

3 Es folgt: u ist eine Primzahl und t 0 = 1. = u = n 1, u ist eine Primzahl und a = n 1 u = (u+1) u = (u+1)u. Definition. Die Primzahlen der Form p = n 1 heißen Mersennesche Primzahlen. Gäbe es unendlich viele Mersennesche Primzahlen, so gäbe es auch unendlich viele vollkommene Zahlen. Frage : Gibt es unendlich viele Mersennesche Primzahlen? Diese Frage kann bis heute nicht beantwortet werden. 1 = 3 und 3 1 = 7 sind Primzahlen, 4 1 = 15 ist keine. 5 1 = 31; 6 1 = 63 keine Primzahl, 7 1 = 17 Primzahl. Man könnte vermuten: n 1 ist Primzahl n ist Primzahl. Dies ist falsch: 11 1 = 047 = 3 89 ist zusammengesetzt. Beispiel einer sehr großen Mersenneschen Primzahl: ist eine Primzahl mit Stellen. Die eine Richtung der obigen Vermutung ist jedoch richtig: 4.3 Satz. Ist n keine Primzahl, so ist auch n 1 keine Primzahl. Beweis. Schreibe n = uv mit u > 1 und v > 1. Dann ist n 1 = uv 1 = ( u ) v 1 Nach der Formel für die geometrische Reihe (x = u ) gilt: 1 + u + ( u ) ( u ) v 1 = (u ) v 1, also ist u 1 n 1 = ( u 1)(1 + u + ( u ) ( u ) v 1 ). Wegen u > 1 und v > 1 ist u 1 > 1 und 1 + u ( u ) v 1 > 1, und n 1 ist zusammengesetzt. Anmerkung. Man kennt bis heute nur endlich viele Mersennesche Primzahlen, also auch nur endlich viele gerade vollkommene Zahlen. Ungerade vollkommene Zahlen sind überhaupt keine bekannt. Man weiß auch nicht, ob es welche gibt oder nicht. 3

4 Multiplikative zahlentheoretische Funktionen Definition. Sei f : N\{0} C (eine zahlentheoretische Funktion.) Man nennt f multiplikativ, wenn Beispiele. f(ab) = f(a)f(b), falls (a, b) = 1 (a) Die konstanten Funktionen f(n) = 1 bzw. f(n) = 0 sind offenbar multiplikativ. (b) Die Identität f(n) = n ist offenbar multiplikativ. (c) Wie oben gezeigt wurde, sind S und T multiplikativ. Die Aussage (c) folgt auch leicht aus dem folgenden allgemeinen Satz. 4.4 Satz. Ist f(n) eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, so gilt dies auch für F (n) = f(d). d n 4.5 Korollar. S und T sind multiplikativ. Beweis. 1. Für T wende man 4.4 an auf f(n) = 1: F (n) = f(d) = T (n) wegen f(n) 1. Aus f(n) multiplikativ d n, folgt F (n) multiplikativ.. Für S wende man Satz 4.4 an auf f(n) = n: F (n) = f(d) = d = S(n). Schließe wie in 1. d n d n Beweis von Satz 4.4 Für die Nullfunktion f(n) 0 ist nichts zu zeigen. Ist f 0 und speziell n N mit f(n) 0, so gilt f(n) = f(n 1) = f(n) f(1). Es folgt f(1) = 1 nach der Kürzungsregel. Ist nun m = 1 oder n = 1, so ist F (m) = f(1) = 1 oder F (n) = f(1) = 1. In jedem Fall ist F (m n) = F (m) F (n). Sei also m > 1 und n > 1. Dann schreibt man im Fall (m, n) = 1 4

5 n = p α 1 1 p α... p αr r, m = p α r+1 r+1... p α r+s r+s mit paarweise verschiedenen Primzahlen p 1,..., p r+s und α i 1 für i = 1,..., r + s. Die positiven Teiler von n sind p β p βr r, 0 βi α i, i = 1,..., r. Die positiven Teiler von m sind p β r+1 r+1... p β r+s r+s, 0 β i α i, i = r+1,..., r+s. Durchläuft nun d 1 die positiven Teiler von n und d die positiven Teiler von m, so durchläuft d 1 d die Zahlen d = d 1 d = p β p βr r p β r+1 r+1... p β r+s r+s, 0 β i α i, i = 1,..., r + s. Dies sind gerade die positiven Teiler von mn = p α p α r+s r+s. Mit anderen Worten d 1 n,d m d 1 >0,d >0 f(d 1 d ) = d nm f(d) = F (nm) Für d 1 n und d m gilt wegen (n, m) = 1 auch (d 1, d ) = 1. Nach Voraussetzung ist daher f(d 1 d ) = f(d 1 )f(d ) und f(d 1 d ) = f(d 1 )f(d ) = f(d 1 ) d 1 n,d m d 1 n d 1 >0,d >0 d 1 >0 = F (n) F (m). Damit ist F (nm) = F (n)f (m) gezeigt. d 1 n,d m d 1 >0,d >0 f(d ) d m d >0 Anmerkung. Von ähnlicher Bauart wie die Mersenneschen Primzahlen sind die Fermatschen Primzahlen: Eine Primzahl der Form p = s + 1 heißt Fermatsche Primzahl. Beispiele. = 0 + 1, 3 = 1 + 1, 5 = + 1, 17 = 4 + 1, 57 = sind Primzahlen, aber 9 = 3 + 1, 33 = 5 + 1, 65 = 6 + 1, 19 = sind keine. Allgemein gilt 4.6 Satz. Ist s > 0 keine Potenz von, so ist s + 1 keine Primzahl. Beweis. Schreibe s = t v mit t 0, v > 1 ungerade und setze k := t. Die Formel für die geometrische Reihe für x = k ergibt 1 x v 1 x = 1 + x + x x v 1 = 1 k + k k(v 1) Z 5

6 und 1 x v 1 x = 1 ( k ) v 1 ( k ) = 1 + kv 1 + k = 1 + s 1 + k. Also gilt 1 + k 1 + s. Zeige noch, daß 1+ k 1 und 1+ k 1+ s. Dann ist 1+ s keine Primzahl. Aus v > 1, k 1 folgt 1 < 1 + k < 1 + ( k ) v = 1 + kv = 1 + s. Fazit. Als Fermatsche Primzahlen kommen nur die Zahlen t + 1, t = 0, 1,,... in Frage. Stand der Wissenschaft: 3, 5, 17, 57, = sind die einzigen bekannten Fermatschen Primzahlen. ( ist zum Beispiel durch 641 teilbar.) Ein ungelöstes Problem: Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? 6