Lösungen zu Ungerade Muster in Pyramiden. Muster: Die Summe der ungeraden Zahlen (in jeder Teilpyramide) ist stets eine Quadratzahl.

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1 Lösungen zu Ungerade Muster in Pyramiden Aufgabe Muster: Die Summe der ungeraden Zahlen (in jeder Teilpyramide) ist stets eine Quadratzahl. Begründung : Zunächst schauen wir eine Abbildung an, in der die Zahlen durch Türme mit einer entsprechenden Anzahl an kleinen Kasten wieder gegeben sind. Diese kleinen Kästchen werden im Folgenden umsortiert; hier die ersten Beispiele: Eine entsprechende Schülerbegründung könnte etwa so aussehen: Bei den Beispielen habe ich den Strich immer um ein halbes Kästchen höher als die Mitte des letzten Turms gelegt. Sobald das alles um einen Turm vergrößert wird, verschiebt sich der Strich um ein kleines Kästchen nach oben. Alles was über dem Strich ist, kann ich wieder umklappen, weil sich über dem Strich die gleiche Anzahl an kleinen Kästchen befindet, wie unter dem Strich zu einem vollen Quadrat fehlen. Das funktioniert, weil sich die Türme voneinander um zwei Kästchen unterscheiden und ich somit den Rest des rechten Turms auf den linken legen kann. Die Anzahl der Kästchen des rechten Turmes (diese repräsentieren die Zahl des rechten Steines der untersten Reihe der jeweiligen Teilpyramide), wird zur nächst größeren, vollen Anzahl von Kästchen halbiert (Gaußklammerfunktion). An dieser Stelle wird ein horizontaler Strich durch die Kästchen gezogen. Die Kästchen oberhalb des Striches werden kopfüber auf die Kästchen unterhalb des Striches umgeklappt. Vor diesem Umklappen unterschieden sich die einzelnen Türme um je zwei Kästchen. Dieser Unterschied zwischen der Länge und der Breite wird durch das Halbieren der Höhe und das Umklappen ausgeglichen. Es entsteht ein Quadrat. Begründung : Ein Beweis der herauszufindenden Regelmäßigkeit kann dadurch erfolgen, dass die Zahlen auf den Steinen der Pyramide als ein winkelförmiges, geometrisches Punktmuster dargestellt, und die entsprechenden Veränderungen, die von einem Winkel zum anderen stattfinden, markiert werden:

2 Abb.: Die Quadratzahlen als Punktmuster (aus Meyer 007, S. 4) Durch Aussagen wie:... und egal wo ich bin, bei jedem neuen Schritt füge ich zum nächstgrößeren Quadrat einen Winkel hinzu, der genau Punkte mehr besitzt als derjenige Winkel, der im vorherigen Schritt angefügt wurde, kann der Induktionsschritt (s. Begründung 3) verdeutlicht werden. Begründung 3: Als dritte Begründung wird nun eine vollständige Induktion angeführt. Der Unterschied zu den obigen Lösungen besteht nur darin, dass diese auch formell dargestellt wird, der Grad an Strenge bleibt erhalten: Behauptung: n k = Induktionsanfang: n=, ist eine Quadratzahl Induktionsvoraussetzung: n k = (k ) = n sei richtig. Induktionsschritt: n n [( n+ ) ] = ( n+ ) (n+ ) = n + n+ setze IV ein : n+ = n+ qed. (k ) = n Nebenbei: Alle Lösungen sagen noch ein bisschen mehr: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die n-te Quadratzahl!

3 Begründung 4: Bei dieser Idee nutzen wir nun die Idee des Ausgleichens (s. Begründung ) direkt an der Pyramide: Zunächst betrachten wir die Teilpyramide mit einer geraden Anzahl von Steinen: Man addiert die Zahl auf dem obersten Stein mit der Zahl auf dem rechten Stein der untersten + Reihe und halbiert die Summe. In unserem Beispiel ergibt sich = 6. Anschließend gleichen wir die Zahlen in der Teilpyramide zu dem Ergebnis hin aus: (5+7)+(3+9)+(+)=3 =3 6=6 6=6 Bei einer ungeraden Anzahl von Steinen in der Pyramide lässt sich das gleiche Verfahren anwenden, nur dass die Wurzel der Summe bereits als Zahl auf einem Stein in der Pyramide repräsentiert ist und nicht mehr ausgeglichen werden muss. 9 + In diesem Beispiel ergibt sich somit = 5 sowie (+9)+(3+7)+(5+5)+(7+3)+(9+)+(+9)+(3+7)+5= = 5 5= 5 Dieses Vorgehen funktioniert immer, weil der Abstand zur Mitte von links und von rechts pro Stein gleich ist. Das Vorgehen wird besonders deutlich, wenn man die Pyramide plättet : = = 5 + 5

4 Aufgabe Muster: Das zu findende Muster sind die Quadratzahlen: In jeder Reihe befindet sich in der Mitte eine Quadratzahl (selbst dann, wenn die Anzahl der Steine pro Reihe gerade ist nur ist die Quadratzahl dann das arithmetische Mittel der Zahlen auf den beiden mittleren Steinen). Es geht aber noch genauer: Die Anzahl der Steine pro Reihe entspricht der Wurzel der Quadratzahl! Begründung: Hier versuchen wir eine anschauliche vollständige Induktion. (Wichtig ist: Die Zahlen auf den Steinen haben für diese Begründung nur dann eine Bedeutung, wenn sie auf dem mittleren Stein stehen alle anderen Zahlen können außer Acht gelassen werden): In der ersten Zeile ist die also eine Quadratzahl. Von irgendeiner Quadratzahl zur nächsten Quadratzahl gibt es den folgenden Unterschied: n - (n-) = n Die kann wegfallen, weil sie einen konstanten Unterschied beschreibt, der sich nicht von Reihe zu Reihe verändert. Das n heißt aber schon: Der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen wird immer um zwei größer. In einer Tabelle könnte dies wie folgt dargestellt werden: Quadratzahl (Start) Quadratzahl (Ende) Abstand Die Werte in der Spalte Abstand konnten bereits in Aufgabe erkannt werden: Der Unterschied zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist stets eine ungerade Zahl. Die Abstände zwischen den Quadratzahlen wachsen immer um die nächste ungerade Zahl. Somit erhöhen sich die Abstände zwischen aufeinander folgenden Quadratzahlen stets um. Dies wird in der Pyramide dadurch gewährleistet, dass pro Reihe jeweils ein Stein hinzukommt. Ein hinzukommender Stein bedeutet: Eine ungerade und eine gerade Zahl (man könnte auch sagen: Wir betrachten den Stein als eine ungerade Zahl und den Mörtel zwischen den Steinen als eine gerade Zahl) kommen zu dem alten Abstand (aus der vorherigen Reihe) hinzu. Die Idee mit dem Mörtel als Repräsentation einer geraden Zahl wird besonders deutlich, wenn man die Pyramide plättet (hier am Beispiel der drei-stufigen Pyramide): Jeder Pfeil repräsentiert die Rechnung +. In der Spitze der Pyramide steht die Zahl (die eine Quadratzahl ist) in der Mitte der ersten Reihe der Pyramide. Somit muss in der Mitte der nächsten Reihe wieder eine Quadratzahl erscheinen, weil man nur zwei Zahlen (einen Stein) hinzugefügt hat. Da es sich in der

5 nächsten Reihe um eine gerade Anzahl von Steinen handelt, ist die Mitte eine fiktive (bzw. arithmetische) Mitte, der Mörtel zwischen den beiden mittleren Steinen. Pro Reihe der Pyramide wird ein Stein addiert und somit eine gerade und eine ungerade Zahl zur vorherigen Reihe hinzugefügt. Entsprechend verändern die Quadratzahlen ihre Position nicht.

6 Aufgabe 3 Muster: Die Summe der Zahlen in jeder Reihe ist eine Kubikzahl. Begründung : n ( n + ) Die Steinanzahl bis einschließlich Zeile n entspricht:. Die Begründungsidee besteht nun darin, die Summe der ungeraden Zahlen in Zeile n über die Differenz zweier Pyramiden zu berechnen. Beispiel: Die Zahlen auf den schraffierten Steinen werden also von der Gesamtzahl der ungeraden Zahlen in der jeweiligen Pyramide subtrahiert. Nach Aufgabe wissen wir, dass die Summe der ungeraden Zahlen in einer Teilpyramide dem Quadrat der Steinanzahl entspricht. Somit berechnet sich die Summe der ungeraden Zahlen in der Pyramide mit n Reihen durch die folgende Rechnung: n ( n+ ) ( n ) n ( ) ( ) Summe der ungeraden Zahlen in Summe der ungeraden Zahlen in Pyramide mit n Stufen Pyramide mit n Stufen ( n + n) ( n n) = n + n + n n + n n = 4 3 = n Begründung : Die Anzahl der Steine in der n-ten Reihe ist n. Zunächst betrachten wir die Reihen mit einer ungeraden Steinanzahl: Die mittlere Zahl in Reihe n ist nach Aufgabe n und da n ungerade ist, ist n auch eine Zahl auf einem Stein, der nach Aufgabe in der Mitte der Reihe steht. Jetzt betrachtet man die Anzahl der Steine links und rechts von n : In der n-ten Reihe stehen somit die folgenden Zahlen auf den Steinen: n n - ( + ) n -4 n - n n + n +4 n n + ( + )

7 Jetzt lassen sich die Abstände zu n von beiden Seiten ausgleichen: n n - ( + ) n -4 n - n n + n +4 n n + ( + ) n n Also ergibt sich für die Summe der Zahlen in einer Reihe: n n n + [( n ) + ( n + )] + [( n 4) + ( n + 4)] [( n ) + ( n + )] = n + [ n ] [ n ] n Summanden n = n + n = n + ( n ) n = n n = n 3 Für Reihen mit einer geraden Anzahl von Steinen ergibt sich die Lösung nahezu analog. Nur muss man hier berücksichtigen, dass die mittlere Zahl das arithmetische Mittel der beiden mittleren Steinen ist.