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1 Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik

2 Ihalt Defiitio eier Reihe Arithmetische Reihe. Summeformel. Musteraufgabe 4.3 Arbeite mit dem Summezeiche 6 3 Geometrische Reihe 8 3. Herleitug eier Summerformel 8 3. Musterbeispiele Arbeite mit dem Summezeiche Aufgabe dazu i der Datei 400

3 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe Geometrische ud arithmetische Reihe DEFINITION EINER REIHE Zu jeder Folge { a } ka ma Teilsumme bereche: s = a s = a + a d.h. s = s + a s 3 = a + a + a 3 d.h. s 3 = s + a s = a + a a - + a Die Folge dieser Teilsumme et ma eie Reihe. Verwedug des Summezeiches 5 i = a = a + a + a + a + a i Gelese: Summe für bis 5 über a i BEISPIELE a) Die Folge a ergibt diese Reihe: s = s = + = 3 s 3 = = 6 s 4 = = 0 usw. Es gilt allgemei: = mit ; ; 3 ; 4 ; 5 ;... s = + (Beweis später) b) Die Folge a = mit ; ; ; ;... ( + ) ergibt diese Reihe: s =, s = + = =, s3 = + + = = = ; Es gilt allgemei: s =. Der Beweis wird schwer! +

4 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe. Summeformel ARITHMETISCHE REIHEN Die zu eier arithmetische Folge gehörede Folge der Teilsumme heißt eie arithmetische Reihe. Beispiel : Die Folge der gerade Zahle ist defiiert durch: a =, also: a= ;a = 4;a3 = 6;a4 = 8;a5 = 0;... Die Folge der Teilsumme ist da s= a= s = a+ a = + 4= 6 s3 = a+ a + a3 = s = a + a a Gibt es eie Term, der die Berechug vo s direkt ermöglicht? Beispiel : Die berühmteste arithmetische Reihe wurde bereits i Beispiel a) gezeigt ud geht auf eie Geschichte des 9-jährige Schülers Carl Friedrich Gauß ( ). Dieser erhielt vo seiem Schulleiter Bütter ud seiem Assistet Bartels die Aufgabe, die Zahle vo bis 00 zu addiere. Er schaffte dies i so kurzer Zeit, daß die beide auf seie mathematische Begabug aufmerksam wurde. Er hatte ämlich schell beobachtet, daß ma 50 mal die Summe 0 reche mußte: s 00 = s 00 = s 00 = So etstad die Gleichug s00 = 00 0 s00 = 50 0= 5050 Dies ist u ei Prizip, das ma auf jede arithmetische Folge awede ka: c) Die Folge sei a = 4 +, also 5 ; 9 ; 3 ; 7 ; ;... Wir wolle die erste 30 Glieder dieser Folge addiere, d.h. die Summe s 30 ist gesucht. Dazu müsse wir zuerst a30 = = bereche. s 30 = s 30 = s30 = 30 6 s30 = 5 6 = 890

5 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe 3 d) Daraus mache wir u eie Formel. Ma sollte jetzt erkee, daß bei Summade Summe auftrete, die alle so groß sid, wie a+ a: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) s = a + a+ d + a+ d a+ 3 d + a+ d + a+ d a 3 a a s = ( a + ( ) d) + ( a + ( ) d) + a + ( 3) d a + d + a + d + a ( ) ( ) ( ) Auf Grud der uterschiedliche Läge dieser Summade-Terme köe die icht sauber utereiader stehe. Daher zeige die Pfeile, wer zusammegehört. Reche wir also ach: usw. a + a = a + (a + ( ) d) = a + ( ) d ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) a + a = a + d + a + d = a + d a + a = a + d + a + 3 d = a + d 3 Zwischeergebis: s ( a a) (a ( )d) Es folgt: s = ( a + a ) = ( a + ( ) d) = + = +. We ma das ausmultipliziert, erhält ma s = a+ d d= d + (a d) also eie quadratische Term. Doch diese Formel merkt sich keier. Ma sollte dies jedoch wisse: Für eie arithmetische Reihe gilt: s = a + a () ( ) s = a + ( )d () ( ) s ist ei quadratischer Term. Die Formel () ist leicht zu merke, we ma das Gaußsche Prizip ket. Aus () folgt übriges ( ) s = a + d = a + d d = d + (a d) Also ist s stets ei term dieser Bauart: icht vorhade! s r s = + Ei Absolutglied ist also

6 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe 4. Musteraufgabe () Bereche die Summe der atürliche Zahle vo 7 bis 63 LÖSUNG: Die kostate Differez d = zeigt, daß eie arithmetische Reihe vorliegt. Wir müsse zuerst herausfide, wieviele Glieder addiert werde solle. Hier hilft das Lattezauprizip. Habe wir 4 Lattezäue, da befide sich dari 3 Zwischeräume. Trage also die Latte die Nummer 7, 8, 9, 0 da erhalte wir durch Subtraktio 0 7 = 3 die Azahl der Zwischeräume. Folglich sid es 4 Latte. Hier trage die Latte die Nummer 7 bis 63, also liege 63 7 = 46 Zwischeräume vor, d.h. wir habe 47 Zahle zu addiere. 47 ( ) 47 s47 = = = 80 = = 880 AUFGABE LÖSUNG Bereche die Summe der erste 0 Glieder dieser arithmetische Folge: a = 5 ; a = 05 ; a 3 = 95 ;... Wir müsse zuerst a 0 bereche: Es ist d = a a = - 0 (!) ud folglich a0 = ( 0) = 5 90 = 5 0 s ( ) 0 = = 0 40 = 400 AUFGABE 3 Es ist a = 00 7 Bereche s =? LÖSUNG Ma muß erket, daß d = - 7 ist ud berechet a = 93 Es folgt: ( ) ( ) 7 93 s = = 93 7 = + AUFGABE 4 Es ist a 4 = 64 ud a 9 = 99 Bereche s 5. Usw. auf der Mathematik-CD

7 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe 5.3 Arbeite mit dem Summezeiche Um Summe kompakt darstelle zu köe, hat ma eie Abkürzug defiiert: Das Symbol ist ei großes griechisches S, geat Sigma. Es befiehlt, die Summade a i aufzusummiere, ud zwar für die Idizes bis 7. Der Doppelpukt vor dem Gleichheitszeiche besagt, dass hier eie Defiitio 7 vorliegt. Ma liest := als sei. Also ai sei a + a + + a 7. We ma sei sagt oder := schreibt, ka ma icht frage, warum das so ist, de diese Beziehug wird hier festgelegt ud ka icht bewiese werde. Also wäre 5:=+3 falsch, de dass 5 dasselbe ist wie + 3 ka ma beweise, das wird icht festgelegt! Ma liest dies so: Summe der a i vo i = bis 7. Noch eiige Beispiele zur Schreibweise: b : = b + b b 5 k= 0 k k= 7 i = k= 4 = k ( i+ 5) = ( 0+ 5) + ( + 5) + ( + 5) + ( 3+ 5 ) ( 5+ 5) 8 x = x + x + x x i Wieviele Summade umfaßt eie solche Summe? Schaue wir us dieses Beispiel a: 7 a: = a+ a + a + a + a + a + a i i = , da zähle wir 5 Summade, ud die Summe läuft vo i = 3 bis i = 7. Deke wir us eie Lattezau, auf dem die Nummer 3 bis 7 aufgemalt sid. Da hat dieser Lattezau 7 3 also 4 Zwischeräume ud folglich 5 (4+) Latte = 4 Zwischeräume 5 Glieder Merke: b... ethält b-a+ Summade! a

8 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe 6 Berechug solcher Summe, we sie arithmetische Reihe darstelle: 8 () ( ) Der Term a = defiiert eie arithmetische Folge. = 8 = Die zu berechede Teilsumme aus de erste 8 Glieder wird gemäß der Reiheformel so berechet: 8 = a+ a8 = = 4 6 = 64 ( ) ( ) ( ) Weiter auf der Mathematik-CD

9 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe 7 3 GEOMETRISCHE REIHEN 3. Herleitug der Summeformel Vo eier geometrische Folge mit der Berechugsvorschrift a = a q köe atürlich auch Teilsumme berechet werde. Die Berechugsformel für die geometrische Reihe etsteht durch eie eifache Rechetrick: Ma schreibt zuerst die Summe auf, ud daruter die q-fache Summe, die ma da subtrahiert: s = a + a q + a q + a q a q - + a q - () q s = a q + a q + a q a q - + a q + a q () () (): s q s = a a q Alle utereiader stehede Summade der rechte Seite sid gleich ud falle daher bei der Subtraktio weg. Nu klammert ma liks ud rechts aus ud erhält: Daraus folgt: s s ( q ) = a ( q ) q = a q q = a q Bemerkuge:. Diese Formel gilt zuächst eimal ur für q.. Der letzte Term etsteht durch Erweiterug mit. 3. Die erste Summeformel eiget sich für q < (also auch für egatives q ), die zweite Formel dagege für q >.

10 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe 8 3. Musterbeispiele () Eie geometrische Folge wird durch a = 6 ud q = / defiiert. Da köe wir zuächst eimal die Folge aufschreibe: a = 6; a = 6* / = 8; a 3 = 4; a 4 = ; a 5 = ;... a 6 = / ; a 7 = / 4... ud die allgemeie Berechugsformel wird zu a = a q = 6 ( ) = = Die Partialsumme (Teilsumme) dazu sid s = a = 6 s = a + a = = 4 s 3 = a + a + a 3 = = 8 s 4 = a + a + a 3 + a 4 = 8 + = 30 Für größere Teilsumme empfiehlt sich die Verwedug der Berechugsformel für die geometrische Reihe: s = a q q = a q q Da hier q < ist, verwede wir die erste Bruchdarstellug ud erhalte: 6 ( ) 6 s 6 3 ( ( ) ) 3 ( 63 6 = = = ) = 3 = 3, ( ) 0 0 Ud s0 = 6 = 3 [ ( ) ] = 3 3 ( ) 3, s ( = 6, ) = 3 ( ( ) ) We ma die Berechug vo s 8 ud s 0 verfolgt, ka ma eie Tred erkee, der für viele solcher Folge gleichartig ist: Der Faktor q wird mit zuehmedem ud eiem Faktor q zwische 0 ud immer kleier, so daß sich die Summe ur och umerklich vergrößert. Ma ka mit dem Tascherecher hier achprüfe, daß sich s beliebig dicht a die Zahl 3 aähert (aber ie erreicht! ). Solche kovergete Folge werde später extra utersucht. () Bereche das Ergebis der geometrische Reihe Fortsetzug auf der Mathe-CD

11 4003 Arithmetische. ud geometrische Reihe Arbeite mit dem Summezeiche () 0 = = = = = de die Summe umfaßt 0-0+= Summade Mehr davo auf der Mathe-CD,

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