1 Funktionen und Flächen
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- Hanna Flater
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1 Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,, (, R ist der Abstad defiiert als: d((,, (, := ( + ( Defiitio: Ei Kreis mit Mittelpukt a = ( 0, 0 R ud Radius r R ist die Mege: Aalog ist die Kreisscheibe K a,r := {(, R ( 0 + ( 0 = r } B a,r := {(, R ( 0 + ( 0 r } (B für Ball. Speziell ist der Eiheitskreis die Mege {(, R + = = } dito Eiheitskreisscheibe. Die Flächeaiome: Sei D R ud D B a,r für eie Ball B a,r (dies stellt sicher, daß D begrezt ist. D wird eie icht egative reelle Zahl zugeordet, die Fläche. Es gelte die folgede Aiome: i Kogrueze (Drehuge, Spiegeluge, Verschiebuge äder die Fläche vo D icht. ii Wird D i edlich viele, icht überlappede Bereiche aufgeteilt, so ist die Fläche vo D die Summe der Teilfläche. iii Ist E D, so ist die Fläche vo E höchstes so groß wie die vo D. iv Ei Quadrat der Seiteläge hat die Fläche. Defiitio (Flächeihalt Sei D R ud es eistiere B a,r mit D B a,r (d.h., daß D beschräkt ist. Es sei M := { R ist ichtüberlapped aus Rechtecke zusammegesetzt}. Die Elemete vo M habe also eie Fläche, die die Summe der Fläche der Dreiecke/Rechtecke sid, aus dee sie sich zusammesetze. Wir betrachte U = {Fläche vo M D} ud O := {Fläche vo M D }. Eistiere sup U ud if U ud gilt sup U = if O, da ist dieser Wert der Flächeihalt vo D. Beispiel: Der Eiheitskreis liegt komplett im Quadrat mit de 4 Eckpukte (±, ±, welches de Flächeihalt 4 hat. Wählt ma u beliebig viele Pukte auf dem Eiheitskreis ud bildet aus zwei beachbarte Pukte ud dem Mittelpukt Dreiecke, so ist die Summe dieser Dreiecksfläche sicher kleier als die Fläche des Eiheitskreises. Das Supremum all dieser ist die Fläche des Eiheitskreises ud heißt π (ud ist gleich dem Ifimum aller Fläche, i dee der Kreis ethalte ist. Defiitio: Zu eiem auf dem Eiheitskreis gegebee Pukt betrachte wir das Kreissegmet, das vo der Verbidugsliie vo Pukt ud Mittelpukt ud der positive Achse gebildet wird. Das Zweifache vo desse Fläche ist der Wikel des Puktes. Isbesodere ist also der Vollwikel π.
2 . Trigoometrische Fuktioe Defiitio Für de Pukt (, auf dem Eiheitskreis mit Wikel φ [0, π ist: cos(φ := si(φ := Diese seie π periodisch fortgesetzt durch si(φ + π = si(φ ud cos(φ + π = cos(φ. Folgeruge: cos(, si( cos(φ + si(φ = si(φ = cos(φ für alle φ mit si(φ 0 si( φ = si(φ cos( φ = cos(φ Durch eifache geometrische Überleguge erhält ma auch die folgede Wertetabelle: cos si 0 0 π 0 π 4 π 0 Der Sius ist auf [ π, π ] streg mooto steiged. Die Umkehrfuktio heißt arcsi:[, ] [ π, π ] Aalog: arccos:[, ] [0, π] Satz (Additiostheoreme: cos(α + β = cos(α cos(β si(α si(β si(α + β = si(β cos(α + si(α cos(β Grud: Wird bei de komplee Zahle gegebe. Folgeruge: cos + = cos si( si si( = si( si + = cos si( + si cos( = cos(
3 .3 Eigeschafte vo Fuktioe Häufig sid Fuktioe durch eie Abbildugsvorschrift defiiert: f : R R, + 5. Es gibt aber auch adere Möglichkeite eie Fuktio zu beschreibe, z.b. durch Fläche. Dazu das folgede Beispiel: Sei f : R R, f ( = m (für m > 0. F(a sei die Fläche uter zwische der Gerade f ( ud der Achse ud de Gerade = a ud = 0. Also F(a = ma. f( = m ma a Beachte Sie: Für < gilt m < m( + < m ud daher m( < m( + ( < m(. Wir habe isgesamt: ( m < m m < ( m Ist also f ( = m ud F( = m, so gilt: ( f ( < F( F( < ( f ( Klappt das auch bei krummliig begrezte Fläche? Beispiel: Es sei f ( :=. Für alle 0 < < gilt: + + < + + < + + Multiplikatio mit liefert: ( < < ( also wieder obige Doppelugleichug, diesmal mit f ( = ud F( = 3 3. Satz: Sei f : [a, b] R streg mooto ud f ( 0 für alle [a, b]. Da eistiert die Fläche zwische = a, = b ud dem Graph vo f. Grud: Wir betrachte de Fall mooto steiged. Wir uterteile das Itervall wie folgt: Sei t i = a + i b a. Da ist a = t 0 < t <... < t = b ud t i+ t i = b a. Da liegt der Graph vo
4 f auf dem Itervall [t i, t i+ ] überall oberhalb vo f (t i ud uterhalb vo f (t i+. Die Differez dieser Fläche ist (t i+ t i ( f (t i+ f (t i = b a ( f (t i+ f (t i. Aufsummiere liefert: b a i=0 ( f (t i+ f (t i = b a ( f (b f (a Dieser Ausdruck wird für geüged große beliebig klei ud es gilt: f (t i (t i+ t i I S i=0 i=0 f (t i+ (t i+ t i Dabei ist F = {(, R [a, b], 0 f (} ud I das Ifimum Flächeihalte aller meßbare Fläche, die Teilmege vom F sid, ud S das Supremum aller Flächeihalte aller meßbare Fläche, i dee F ethalte ist. Nu ist die Differez vo rechter Seite ud liker Seite b a ( f (b f (a, somit ist S I kleier als dieser Wert, wird also für großes beliebig klei. Daher ist I = S gleich der Fläche vo F. Beispiel:i f : R >0 R >0, ist streg mooto falled, de für > gilt: <. Wie wir scho gesehe hatte ist f ( sogar bijektiv, da jedes = 0 ei multiplikatives Iverses = hat. Ist f streg mooto falled, so ist f (a streg mooto steiged. Die Fläche zwische dem Graph vo f ud [a, b] ist da (b a( f (b f (a F Dabei ist F die Fläche zwische dem Graphe vo f (a ud [a, b]. Defiitio: Sei f : [a, b] R eie streg mooto steigede Fuktio ud f ( 0 für alle [a, b]. Gibt es eie Fuktio F : [a, b] R, mit F(a = 0 ud ( f ( < F( F( < ( f ( für alle, [a, b] mit <, so ist die Fuktio F mit dieser Eigeschaft eideutig bestimmt (siehe Ahag B. Eie solche (eideutig bestimmte Fuktio ee wir die Flächefuktio vo f (auf dem Itervall [a, b]. f( ( f( ( f( Satz: Eie solche Flächefuktio eistiert ud ist eideutig bestimmt. Weiter ist die Flächefuktio F : [a, b] [0, F(b] eier icht egative, streg mootoe Fuktio, streg mooto steiged ud bijektiv auf ihr Bild. Grud: Ahag B
5 .4 Der atürliche Logarithmus Defiitio: Für eie Zahl a > ist l(a defiiert als die Fläche zwische de sekrechte Gerade = ud = a ud der Achse ud der Kurve =. Für 0 < a < wird die Fläche egativ gezählt, es ist l(a der egative Wert der Fläche uter vo = a bis =., 5, 5 f( =, 5, 5 0, 5 0, 5 f( = l(, 5, 5 Eigeschafte: l( ist streg mooto steiged (als Flächefuktio. l( = 0 3 für alle >. Ist 0 < <, so gilt ( < l( l( < ( ( < l( l( < ( Diese Fläche werde aber egativ gezählt. Multiplikatio mit liefert wieder die obige Doppelugleichug. Folgerug: l(c = l(c + l( Grud: Wir betrachte die für festes c > 0 die Fuktioe L ( := l(c l(c. Da ist L ( = l(c l(c = 0 Da gilt: L ( L ( = l(c l(c. Es ist aber auch 0 < c < c für <. Wir ersetze i de obige Ugleichuge alle durch c ud dito durch c ud erhalte: (c c < l(c l(c = c also l(c l(c l(c + l(c < (c c c ( < L ( L ( < ( Es ist auch L ( = l(c l(c = 0. Wege der Eideutigkeit gilt aber: L ( = l( also l(c l(c = l( ud damit l(c = l(c + l(. ( Folgerug: l = l( l( für = 0. Speziell: l = l(. ( ( Grud: l + l( = l = l(, also die Behauptug
6 Folgerug: l( immt beliebig große (ud kleie egative Werte a. Grud: Es ist l > 0 ud l( = l(... = l( l( = l( ud l( = l( Defiitio: Die Abbildug l : R >0 R ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildug ep : R R >0 ist die Epoetialabbildug. Schreibweise e := ep(. Recheregel:i e l( = für alle R >0 ud l(e = für alle R, da ep ud l Umkehrfuktioe voeiader sid. ii Ist a = l( (d.h. e a = ud b = l( (d.h. e b =, so gilt: iii e a+b = e l(+l( = e l( = = e a e b Defiitio: Für a R >0 ud R defiiere wir: a := e l a Bemerkug: Bis hierher hatte wir ur die Potezierug mit Brüche defiiert. Dies erlaubt u das Poteziere mit beliebige reelle Zahle. Die Potezregel: i a a = a + ii (a = a Grud: i a + = e (+ l a = e l a+ l a = e l a e l a = a a ii (a = ( e l a = e ( l a = e ( l a = a
1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.
1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:
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1 Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt
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Einige spezielle Funktionen: exp, ln, sin, cos.
76 Kapitel 5 Eiige spezielle Fuktioe: exp, l, si, cos. 5.1 Expoetialfuktio ud Logarithmus Die überaus wichtige Expoetialfuktio soll u etwas geauer diskutiert werde. Die ursprügliche Defiitio.0 ist für
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Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt
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Folgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
Monotonie einer Folge
Mootoie eier Folge 1 E Mootoe Folge We jedes Folgeglied eier Folge größer oder gleich dem vorhergehede Folgeglied ist a 1 a ℕ so et ma die Folge mooto steiged (oder mooto wachsed). Die geometrische Folge
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c
Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2013
Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2013 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir Überblick Mittelwertsatz Differetialrechug Natürliche Zahle Iduktiosprizip Kombiatorik Körper
Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD.
ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow Ihalt Eiführede
Kapitel VII: Der Körper der komplexen Zahlen
Lieare Algebra II SS 011 - Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle 3 Der Körper der komplexe Zahle A Die Mege der komplexe Zahle B Grudrechearte im Bereich der komplexe Zahle C Realteil Imagiärteil
Übungen zur Funktionentheorie
Mathematisches Istitut SS 2009 Uiversität Müche Prof. Dr. M. Schotteloher C. Paleai M. Schwigeheuer A. Stadelmaier Übuge zur Fuktioetheorie Übugsblatt. (a) Sei α: C C x y x + iy y x da ist α offesichtlich
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes
Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id,
Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits
Aufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.
so spricht man von einer kommutativen Gruppe oder auch abelschen Gruppe.
Defiitioe ud Aussage zu ruppe Michael ortma Eie ruppe ist ei geordetes Paar (, ). Dabei ist eie icht-leere Mege, ist eie Verküpfug (Abbildug), wobei ma i.a. a b oder gar ur ab statt ( a, b) schreibt. Es
5-1 Elementare Zahlentheorie
5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie
Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8
Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir
Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte
Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...
Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie
Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik
Grundkurs Mathematik II
Prof. Dr. H. Breer Osabrück SS 2017 Grudkurs Mathematik II Vorlesug 48 Itervallschachteluge Eie weitere Möglichkeit, reelle Zahle zu beschreibe, eizuführe, zu approximiere ud recherisch zu hadhabe, wird
Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen
Prof. Dr. H. Breer Osabrück WS 2014/2015 Aalysis I Vorlesug 20 Kovexe Fuktioe Eie kovexe Teilmege. Eie ichtkovexe Teilmege. Defiitio 20.1. Eie Teilmege T R heißt kovex, we mit je zwei Pukte P, Q T auch
Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +
Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt
Proseminar Lineare Algebra WS 2016/17
Prosemiar Lieare Algebra WS 2016/17 Bachelorstudium Lehramt Sekudarstufe (Allgemeibildug) Lehramtsstudium Uterrichtsfach Mathematik Kapitel 0: Grudlage 1. Wie sid die Begriffe Vereiigug, Durchschitt ud
2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
Die Komplexen Zahlen. Nun gibt es jedoch immer noch Gleichungen, die durch keine reelle Zahl gelöst wird, z. B.
Die Komplexe ahle Bis heute habe wir etliche ahle kee gelert Es bega mit de Natürliche ahle N, erweitert auf die Gae ahle bis hi u de Ratioale ahle Q Diese sid alle abählbar, also alle gleich mächtig Nicht
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
Folgen explizit und rekursiv Ac
Folge explizit ud rekursiv Ac 03-08 Folge sid Fuktioe, bei dee atürliche Zahle ( 0; ; ; ) reelle Zahle a() zugeordet werde. Ma schreibt dafür : a() bzw. a. Für die Folge schreibt ma auch < a >. Folge köe
Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch
Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich
Übersicht Integralrechnung
Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
Komplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:
KAPITEL 1 Komplexe Zahle Lerziele dieses Abschitts sid: (1) Aalytische ud geometrische Darstellug komplexer Zahle, () Grudrechearte fur komplexe Zahle, (3) Kojugatio ud Betrag komplexer Zahle, (4) Losug
KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).
KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio
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Mathemati für die Physi I, WS 2018/2019 Freitag 9.11 $Id: reell.te,v 1.56 2018/11/09 11:16:39 h Ep $ 1 Die reelle Zahle 1.5 Poteze mit ratioale Epoete Wir sid gerade mit de Vorbereituge zur allgemeie biomische
heißt kommutativ (oder auch abelsch), falls für die Verknüpfung das Kommutativgesetz gilt: (G 5) Für alle ab, Ggilt a b
r M J auer Algebraische trukture 7 Kapitel : Gruppe Gruppe: efiitio, Beispiele efiitio (Gruppe) Eie Mege G (G ) zusamme mit eier Verküpfug heißt eie Gruppe, we folgede Eigeschafte erfüllt sid: (G ) G ist
3 Funktion einer reellen Variablen
- - 3 Fuktio eier reelle Variable 3. Abbildugsbegriff ud Fuktiosbegriff Fuktioe diee zur Darstellug ud Beschreibug vo Zusammehäge ud Abhägigkeite zwische zwei phsikalisch-techische Meßgröße 3.. Abbildugsbegriff
Kapitel 3 Folgen von reellen Zahlen
Wolter/Dah: Aalysis Idividuell 4 Kapitel 3 Folge vo reelle Zahle Wir befasse us i diesem Abschitt mit Zahlefolge, die u.a. zur Eiführug ud 3/0/0 Behadlug des für die Aalysis äußerst wichtige Grezwertbegriffes
Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx
Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per
Mathematik I - Woche 2
Mathematik I - Woche 2 Philip Müller 1 Komplexe Zahle Die komplexe Zahle sid eie Erweiterug der reelle Zahle. Mit ihe zu reche braucht Gewöhug, sehr viele Dige, die ma über Zahle zu wisse glaubt gelte
Zusammenfassung: Mathe 1
Zusammefassug: Mathe 1 Beispiel zur Iduktio Behauptug: es gilt k 2 = 6 (+1) (2+1) Beweis: Iduktio über Iduktiosafag: = 1 k 2 + 1: für = 1: k 2 =1 2 =1 1 Aahme: Für ei N gilt Zu zeige: da muss auch gelte
Angewandte Mathematik und Programmierung
Agewadte Mathematik ud Programmierug Eiführug i das Kozept der objektorietierte Aweduge zu wisseschaftliche Reches mit C++ ud Matlab SS03 Orgaisatorisches Dozete Gruppe: Ago (.50), Ludger Buchma(.50) Webseite:
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 3..05 Höhere Mathemati für die Fachrichtug Physi Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Vorbemerug
Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln
6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel
Hans Walser, [ a] Approximation der Zykloide Idee: R. W., F.
![Hans Walser, [ a] Approximation der Zykloide Idee: R. W., F.](/thumbs/95/125286985.jpg "Hans Walser, [ a] Approximation der Zykloide Idee: R. W., F.")
Has Walser, [2229a] Approximatio der Zykloide Idee: R. W., F. Abrolle eies regelmäßige -Ecks Wir rolle ei regelmäßiges -Eck auf eier Gerade ab ud verfolge de Weg eies partikuläre Eckpuktes. Beim Dreieck
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralüug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati Z Archimedische Aordug i R Mathemati für Physier (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugslatt http://www-m5matumde/allgemeies/ma90
HTBLA VÖCKLABRUCK STET
HTBLA VÖCKLABRUCK STET Folge ud Reihe INHALTSVERZEICHNIS 1. EINFÜHRUNG... 3. DARSTELLUNG EINER FOLGE... 3 3. BEISPIELE... 4 4. ENDLICHE REIHE... 4 5. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN... 4 6. GEOMETRISCHE
Einheitswurzeln und Polynome
Eiheitswurzel ud Polyome Axel Schüler, Mathematisches Istitut, Uiv. Leipzig mailto:schueler@mathematik.ui-leipzig.de Grüheide, 1.3.2000 Kojugatio ud Betrag Spiegelt ma eie komplexe Zahl z = a+b i a der
Inhaltsverzeichnis. 3 Stetigkeit. 3.1 Reelle und komplexe Funktionen
Ihaltsverzeichis 3 Stetigkeit 1 3.1 Reelle ud komplexe Fuktioe........................ 1 3. Grezwerte vo Fuktioe.......................... 3.3 Eiseitige oder ueigetliche Grezwerte................... 3
Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden
Mathematik I für Naturwisseschafte Dr. Christie Zehrt 7.09.18 Übug (für Pharma/Geo/Bio) Ui Basel Besprechug der Lösuge: 1. Oktober 018 i de Übugsstude Aufgabe 1 Sid die folgede Abbilduge f : X Y umkehrbar?