1 Funktionen und Flächen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1 Funktionen und Flächen"

Transkript

1 Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,, (, R ist der Abstad defiiert als: d((,, (, := ( + ( Defiitio: Ei Kreis mit Mittelpukt a = ( 0, 0 R ud Radius r R ist die Mege: Aalog ist die Kreisscheibe K a,r := {(, R ( 0 + ( 0 = r } B a,r := {(, R ( 0 + ( 0 r } (B für Ball. Speziell ist der Eiheitskreis die Mege {(, R + = = } dito Eiheitskreisscheibe. Die Flächeaiome: Sei D R ud D B a,r für eie Ball B a,r (dies stellt sicher, daß D begrezt ist. D wird eie icht egative reelle Zahl zugeordet, die Fläche. Es gelte die folgede Aiome: i Kogrueze (Drehuge, Spiegeluge, Verschiebuge äder die Fläche vo D icht. ii Wird D i edlich viele, icht überlappede Bereiche aufgeteilt, so ist die Fläche vo D die Summe der Teilfläche. iii Ist E D, so ist die Fläche vo E höchstes so groß wie die vo D. iv Ei Quadrat der Seiteläge hat die Fläche. Defiitio (Flächeihalt Sei D R ud es eistiere B a,r mit D B a,r (d.h., daß D beschräkt ist. Es sei M := { R ist ichtüberlapped aus Rechtecke zusammegesetzt}. Die Elemete vo M habe also eie Fläche, die die Summe der Fläche der Dreiecke/Rechtecke sid, aus dee sie sich zusammesetze. Wir betrachte U = {Fläche vo M D} ud O := {Fläche vo M D }. Eistiere sup U ud if U ud gilt sup U = if O, da ist dieser Wert der Flächeihalt vo D. Beispiel: Der Eiheitskreis liegt komplett im Quadrat mit de 4 Eckpukte (±, ±, welches de Flächeihalt 4 hat. Wählt ma u beliebig viele Pukte auf dem Eiheitskreis ud bildet aus zwei beachbarte Pukte ud dem Mittelpukt Dreiecke, so ist die Summe dieser Dreiecksfläche sicher kleier als die Fläche des Eiheitskreises. Das Supremum all dieser ist die Fläche des Eiheitskreises ud heißt π (ud ist gleich dem Ifimum aller Fläche, i dee der Kreis ethalte ist. Defiitio: Zu eiem auf dem Eiheitskreis gegebee Pukt betrachte wir das Kreissegmet, das vo der Verbidugsliie vo Pukt ud Mittelpukt ud der positive Achse gebildet wird. Das Zweifache vo desse Fläche ist der Wikel des Puktes. Isbesodere ist also der Vollwikel π.

2 . Trigoometrische Fuktioe Defiitio Für de Pukt (, auf dem Eiheitskreis mit Wikel φ [0, π ist: cos(φ := si(φ := Diese seie π periodisch fortgesetzt durch si(φ + π = si(φ ud cos(φ + π = cos(φ. Folgeruge: cos(, si( cos(φ + si(φ = si(φ = cos(φ für alle φ mit si(φ 0 si( φ = si(φ cos( φ = cos(φ Durch eifache geometrische Überleguge erhält ma auch die folgede Wertetabelle: cos si 0 0 π 0 π 4 π 0 Der Sius ist auf [ π, π ] streg mooto steiged. Die Umkehrfuktio heißt arcsi:[, ] [ π, π ] Aalog: arccos:[, ] [0, π] Satz (Additiostheoreme: cos(α + β = cos(α cos(β si(α si(β si(α + β = si(β cos(α + si(α cos(β Grud: Wird bei de komplee Zahle gegebe. Folgeruge: cos + = cos si( si si( = si( si + = cos si( + si cos( = cos(

3 .3 Eigeschafte vo Fuktioe Häufig sid Fuktioe durch eie Abbildugsvorschrift defiiert: f : R R, + 5. Es gibt aber auch adere Möglichkeite eie Fuktio zu beschreibe, z.b. durch Fläche. Dazu das folgede Beispiel: Sei f : R R, f ( = m (für m > 0. F(a sei die Fläche uter zwische der Gerade f ( ud der Achse ud de Gerade = a ud = 0. Also F(a = ma. f( = m ma a Beachte Sie: Für < gilt m < m( + < m ud daher m( < m( + ( < m(. Wir habe isgesamt: ( m < m m < ( m Ist also f ( = m ud F( = m, so gilt: ( f ( < F( F( < ( f ( Klappt das auch bei krummliig begrezte Fläche? Beispiel: Es sei f ( :=. Für alle 0 < < gilt: + + < + + < + + Multiplikatio mit liefert: ( < < ( also wieder obige Doppelugleichug, diesmal mit f ( = ud F( = 3 3. Satz: Sei f : [a, b] R streg mooto ud f ( 0 für alle [a, b]. Da eistiert die Fläche zwische = a, = b ud dem Graph vo f. Grud: Wir betrachte de Fall mooto steiged. Wir uterteile das Itervall wie folgt: Sei t i = a + i b a. Da ist a = t 0 < t <... < t = b ud t i+ t i = b a. Da liegt der Graph vo

4 f auf dem Itervall [t i, t i+ ] überall oberhalb vo f (t i ud uterhalb vo f (t i+. Die Differez dieser Fläche ist (t i+ t i ( f (t i+ f (t i = b a ( f (t i+ f (t i. Aufsummiere liefert: b a i=0 ( f (t i+ f (t i = b a ( f (b f (a Dieser Ausdruck wird für geüged große beliebig klei ud es gilt: f (t i (t i+ t i I S i=0 i=0 f (t i+ (t i+ t i Dabei ist F = {(, R [a, b], 0 f (} ud I das Ifimum Flächeihalte aller meßbare Fläche, die Teilmege vom F sid, ud S das Supremum aller Flächeihalte aller meßbare Fläche, i dee F ethalte ist. Nu ist die Differez vo rechter Seite ud liker Seite b a ( f (b f (a, somit ist S I kleier als dieser Wert, wird also für großes beliebig klei. Daher ist I = S gleich der Fläche vo F. Beispiel:i f : R >0 R >0, ist streg mooto falled, de für > gilt: <. Wie wir scho gesehe hatte ist f ( sogar bijektiv, da jedes = 0 ei multiplikatives Iverses = hat. Ist f streg mooto falled, so ist f (a streg mooto steiged. Die Fläche zwische dem Graph vo f ud [a, b] ist da (b a( f (b f (a F Dabei ist F die Fläche zwische dem Graphe vo f (a ud [a, b]. Defiitio: Sei f : [a, b] R eie streg mooto steigede Fuktio ud f ( 0 für alle [a, b]. Gibt es eie Fuktio F : [a, b] R, mit F(a = 0 ud ( f ( < F( F( < ( f ( für alle, [a, b] mit <, so ist die Fuktio F mit dieser Eigeschaft eideutig bestimmt (siehe Ahag B. Eie solche (eideutig bestimmte Fuktio ee wir die Flächefuktio vo f (auf dem Itervall [a, b]. f( ( f( ( f( Satz: Eie solche Flächefuktio eistiert ud ist eideutig bestimmt. Weiter ist die Flächefuktio F : [a, b] [0, F(b] eier icht egative, streg mootoe Fuktio, streg mooto steiged ud bijektiv auf ihr Bild. Grud: Ahag B

5 .4 Der atürliche Logarithmus Defiitio: Für eie Zahl a > ist l(a defiiert als die Fläche zwische de sekrechte Gerade = ud = a ud der Achse ud der Kurve =. Für 0 < a < wird die Fläche egativ gezählt, es ist l(a der egative Wert der Fläche uter vo = a bis =., 5, 5 f( =, 5, 5 0, 5 0, 5 f( = l(, 5, 5 Eigeschafte: l( ist streg mooto steiged (als Flächefuktio. l( = 0 3 für alle >. Ist 0 < <, so gilt ( < l( l( < ( ( < l( l( < ( Diese Fläche werde aber egativ gezählt. Multiplikatio mit liefert wieder die obige Doppelugleichug. Folgerug: l(c = l(c + l( Grud: Wir betrachte die für festes c > 0 die Fuktioe L ( := l(c l(c. Da ist L ( = l(c l(c = 0 Da gilt: L ( L ( = l(c l(c. Es ist aber auch 0 < c < c für <. Wir ersetze i de obige Ugleichuge alle durch c ud dito durch c ud erhalte: (c c < l(c l(c = c also l(c l(c l(c + l(c < (c c c ( < L ( L ( < ( Es ist auch L ( = l(c l(c = 0. Wege der Eideutigkeit gilt aber: L ( = l( also l(c l(c = l( ud damit l(c = l(c + l(. ( Folgerug: l = l( l( für = 0. Speziell: l = l(. ( ( Grud: l + l( = l = l(, also die Behauptug

6 Folgerug: l( immt beliebig große (ud kleie egative Werte a. Grud: Es ist l > 0 ud l( = l(... = l( l( = l( ud l( = l( Defiitio: Die Abbildug l : R >0 R ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildug ep : R R >0 ist die Epoetialabbildug. Schreibweise e := ep(. Recheregel:i e l( = für alle R >0 ud l(e = für alle R, da ep ud l Umkehrfuktioe voeiader sid. ii Ist a = l( (d.h. e a = ud b = l( (d.h. e b =, so gilt: iii e a+b = e l(+l( = e l( = = e a e b Defiitio: Für a R >0 ud R defiiere wir: a := e l a Bemerkug: Bis hierher hatte wir ur die Potezierug mit Brüche defiiert. Dies erlaubt u das Poteziere mit beliebige reelle Zahle. Die Potezregel: i a a = a + ii (a = a Grud: i a + = e (+ l a = e l a+ l a = e l a e l a = a a ii (a = ( e l a = e ( l a = e ( l a = a

1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.

1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. 1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:

Mehr

1 Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt

1 Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt Das Skalarprodukt ud das Kreuzprodukt Wir betrachte zu x = de Ausdruck y t x : = x Grud: Die rechte Seite der Gleichug ist: y t x = (y tx +... + (y ty { t x } y +... + x y x + x y (x y +... + x y x x t

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die

Mehr

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle

Mehr

Die Jensensche Ungleichung

Die Jensensche Ungleichung Die Jesesche Ugleichug Has-Gert Gräbe, Uiv Leipzig Februar 1998 1 Kovexe ud kokave Fuktioe Wir betrachte eie stetige Fuktio y = (x), die au eiem oee Itervall ]a, b[ deiiert sei möge Eie solche Fuktio köe

Mehr

5 Die komplexen Zahlen

5 Die komplexen Zahlen $Id: komplex.tex,v.6 00// :35: hk Exp $ $Id: folge.tex,v.3 00// :35:33 hk Exp hk $ 5 Die komplexe Zahle 5. Die komplexe Multiplikatio Wir hatte am Ede der letzte Sitzug die Polarkoordiate z r e(φ mit e(φ

Mehr

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion 8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k

Mehr

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen 8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2

4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 4 Adreas Gathma 1. Komplexe Zahle Bevor wir mit der komplexe Aalysis begie, wolle wir uächst die grudlegede Defiitioe ud Eigeschafte der komplexe Zahle och eimal kur wiederhole. Defiitio 1.1. Die Mege

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10. 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie

Mehr

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37 Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.

Mehr

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n) Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem

Mehr

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 = Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:

Mehr

Komplexe Zahlen. Gauss (1831) stellte eine strenge Theorie zur Begründung der komplexen Zahlen auf.

Komplexe Zahlen. Gauss (1831) stellte eine strenge Theorie zur Begründung der komplexen Zahlen auf. Komplexe Zahle Problem: x 2 + 1 = 0 ist i R icht lösbar. Zur Geschichte: Cardao 1501-1576: Auflösug quadratischer ud kubischer Gleichuge. Empfehlug: Reche z.b. mit 1 wie mit gewöhliche Zahle. Descartes

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Stetigkeit und Differenzierbarkeit Didaktik der Mathematik der Sek II Umkehrfuktioe Ableitugsregel für Umkehrfuktioe (Umkehrregel) Beispiele für die Awedug der Umkehrregel Stetigkeit ud Differezierbarkeit Neuma/Roder Umkehrfuktio Fuktio

Mehr

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt

Mehr

Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014

Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014 Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2014 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a b b a, ab ba.

Mehr

LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018

LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018 LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge

Mehr

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...

KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung... KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4

Mehr

KAPITEL 1. Komplexe Zahlen. 1.1 Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen Was sind komplexe Zahlen? Komplexe Zahlenebene...

KAPITEL 1. Komplexe Zahlen. 1.1 Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen Was sind komplexe Zahlen? Komplexe Zahlenebene... KAPITEL 1 Komplexe Zahle 1.1 Lerziele im Abschitt: Komplexe Zahle...................... 1. Was sid komplexe Zahle?............................. 1. Komplexe Zahleebee............................... 1. Grudrechearte

Mehr

Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen

Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen Mathematik Fuktioe Grudwisse ud Übuge Potezfuktio Hyperbel Epoetialfuktio Umkehrfuktio Stefa Gärter 004 Gr Mathematik Fuktioe Seite Grudwisse Potezfuktio Defiitio Durch die Zuordugsvorschrift f: Æ mit

Mehr

Sinus- + Cosinus-Funktion und komplexe Wurzel

Sinus- + Cosinus-Funktion und komplexe Wurzel Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS 08 09 6 Polarkoordiate Sius- + Cosius-Fuktio ud komplexe Wurzel 6.1 Im folgede seik 1 1 := {z C z = 1} der Kreis i C mit Radius 1 ud Mittelpukt 0. Wir defiiere

Mehr

Einige spezielle Funktionen: exp, ln, sin, cos etc.

Einige spezielle Funktionen: exp, ln, sin, cos etc. Kapitel 5 Eiige spezielle Fuktioe: exp, l, si, cos etc. 5.1 Expoetialfuktio ud Logarithmus 18.11.03 Die überaus wichtige Expoetialfuktio soll u etwas geauer diskutiert werde. Die ursprügliche Defiitio.0

Mehr

Konvexität und Ungleichungen

Konvexität und Ungleichungen Koveität ud Ugleichuge Tag der Mathematik 2003 Holger Stepha Weierstraß Istitut für Agewadte Aalysis ud Stochastik http://www.wias-berli.de/people/stepha = Für mathematisch iteressierte Schüler = Folie

Mehr

KAPITEL 2. Zahlenfolgen

KAPITEL 2. Zahlenfolgen KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................

Mehr

Lösungen zu den Aufgaben zu Mathematik I. w w w f f f f w w f f w w f f w f w w f w w w w f f w w w w w w. s = p q p q erhalten wir folgende Tabelle:

Lösungen zu den Aufgaben zu Mathematik I. w w w f f f f w w f f w w f f w f w w f w w w w f f w w w w w w. s = p q p q erhalten wir folgende Tabelle: TEIL B Lösuge zu de Aufgabe zu Mathematik I.. Logik... A B A B A B A B A B w w w f f f f w f f w f w w f w f w w f w f f f w w w w A B A B B A B [ ] ( A B) ( A B) A ( ) ( ) A B A B A w w w f f f f w w

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium

Mehr

Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen

Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge

Mehr

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002 Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2

Mehr

Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2013

Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2013 Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2013 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir Überblick Mittelwertsatz Differetialrechug Natürliche Zahle Iduktiosprizip Kombiatorik Körper

Mehr

D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2

D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2 D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes

Mehr

5-1 Elementare Zahlentheorie

5-1 Elementare Zahlentheorie 5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie

Mehr

Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD.

Einführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD. ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow Ihalt Eiführede

Mehr

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...

Mehr

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik

Mehr

Grundkurs Mathematik II

Grundkurs Mathematik II Prof. Dr. H. Breer Osabrück SS 2017 Grudkurs Mathematik II Vorlesug 48 Itervallschachteluge Eie weitere Möglichkeit, reelle Zahle zu beschreibe, eizuführe, zu approximiere ud recherisch zu hadhabe, wird

Mehr

Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +

Mehr

Aufgaben zur Analysis I

Aufgaben zur Analysis I Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.

Mehr

2 Konvergenz von Folgen

2 Konvergenz von Folgen Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge

Mehr

so spricht man von einer kommutativen Gruppe oder auch abelschen Gruppe.

so spricht man von einer kommutativen Gruppe oder auch abelschen Gruppe. Defiitioe ud Aussage zu ruppe Michael ortma Eie ruppe ist ei geordetes Paar (, ). Dabei ist eie icht-leere Mege, ist eie Verküpfug (Abbildug), wobei ma i.a. a b oder gar ur ab statt ( a, b) schreibt. Es

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt

Mehr

Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch

Aufgrund der Körperaxiome ist jedoch Hiweise: Der Doppelstrich // steht für eie Kommetarzeile. Tipp- ud Rechtschreibfehler köe trotz mehrfacher Kotrolle icht hudertprozetig vermiede werde. Die selbst erstellte Lösugsasätze orietiere sich

Mehr

Komplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind:

Komplexe Zahlen. Lernziele dieses Abschnitts sind: KAPITEL 1 Komplexe Zahle Lerziele dieses Abschitts sid: (1) Aalytische ud geometrische Darstellug komplexer Zahle, () Grudrechearte fur komplexe Zahle, (3) Kojugatio ud Betrag komplexer Zahle, (4) Losug

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

Übersicht Integralrechnung

Übersicht Integralrechnung Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die

Mehr

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln

Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln 6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel

Mehr

Einheitswurzeln und Polynome

Einheitswurzeln und Polynome Eiheitswurzel ud Polyome Axel Schüler, Mathematisches Istitut, Uiv. Leipzig mailto:schueler@mathematik.ui-leipzig.de Grüheide, 1.3.2000 Kojugatio ud Betrag Spiegelt ma eie komplexe Zahl z = a+b i a der

Mehr

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 3..05 Höhere Mathemati für die Fachrichtug Physi Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Vorbemerug

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 3 Stetigkeit. 3.1 Reelle und komplexe Funktionen

Inhaltsverzeichnis. 3 Stetigkeit. 3.1 Reelle und komplexe Funktionen Ihaltsverzeichis 3 Stetigkeit 1 3.1 Reelle ud komplexe Fuktioe........................ 1 3. Grezwerte vo Fuktioe.......................... 3.3 Eiseitige oder ueigetliche Grezwerte................... 3

Mehr

KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).

KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ). KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio

Mehr

5.7. Aufgaben zu Folgen

5.7. Aufgaben zu Folgen 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2 Aalysis I Ei Lerbuch für de safte Wechsel vo der Schule zur Ui Lösuge der Übugsaufgabe vo Kapitel zu... Ma zeige: Jede Teilfolge eier Umordug eier Folge ka als Umordug eier Teilfolge geschriebe werde.

Mehr

5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt

5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Prof. Dr. Berd Dreseler 5 Folge 5.1 Kovergez vo Folge Defiitio: Eie Folge a heißt koverge t, we es eie Zahl a mit folgeder Eigeschaft gibt: Zu jedem 0 existiert ei N so, daß a a für alle > N Die Zahl a

Mehr

Grundbegriffe der Differentialrechnung

Grundbegriffe der Differentialrechnung Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Mathematik für Ökoome 1 Dr. Thomas Zehrt Grudbegriffe der Differetialrechug Referez: Gauglhofer, M. ud Müller, H.: Mathematik für Ökoome, Bad 1, 17.

Mehr

Mathematik I - Woche 12 & 13

Mathematik I - Woche 12 & 13 Mathematik I - Woche 12 & 13 Philip Müller 1 Komplexe Zahle Die komplexe Zahle sid eie Erweiterug der reelle Zahle. Mit ihe zu reche braucht Gewöhug, sehr viele Dige, die ma über Zahle zu wisse glaubt

Mehr

1 Elementare Zahlentheorie. 0. Grundbegriffe

1 Elementare Zahlentheorie. 0. Grundbegriffe Elemetare Zahletheorie 0 Grudbegriffe 0 Teilbarkeit i N Mit N (oder auch ur N, zumidest i dieser Vorlesug werde die Mege {,, } der gaze Zahle bezeichet; wir ee diese Zahle die atürliche Zahle Wir verwede

Mehr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:

Mehr

Mathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder

Mathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder Mathematik Abiturwisse Script vo Michael Telgkamp Vorlesug Dr. Bruder . Eiführug Abiturwisse Mathematik / 9. Zahlebereiche: N atürliche Zahle Z gaze Zahle Q ratioale Zahle R reelle Zahle C komplee Zahle

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n, f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug

Mehr

Bitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann

Bitte schicken Sie mir eine E-mail, wenn Sie einen Fehler gefunden haben 1. Moritz Kaßmann Das folgede Skript zur Vorlesug Spezielle Aspekte der Aalysis für Studierede des Lehramts a Grud, Haupt ud Realschule wird fortlaufed aktualisiert ud verädert werde. Das Skript ethält bei weitem icht alle

Mehr

Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik

Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog M. Sc. Adreas Hirsch WS 204/5 24.0.204 Höhere Mathematik I (Aalysis) für die Fachrichtug Iformatik Lösugsvorschlag

Mehr

Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1

Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1 Istitut für Aalysis ud Algebra Mathematik I für Studierede der E-Techik Prof Dr Volker Bach WiSe 06/7 M Sc Birgit Komader M Sc Christoph Brauer Theme: Groe Übug - Lösuge Vollstädige Iduktio - Teleskopsumme

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

Übungen zu Analysis in einer Variable für das Lehramt SS 2016

Übungen zu Analysis in einer Variable für das Lehramt SS 2016 Übuge zu Aalysis i eier Variable für das Lehramt SS 06 Christoph Baxa ) Drei Lehramtsstudete mache gemeisam Urlaub im Süde. Da sie weig Geld habe, suche sie eie billige Uterkuft. Tatsächlich fide sie ei

Mehr

3. Taylorformel und Taylorreihen

3. Taylorformel und Taylorreihen Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I

Mehr

Abschlussprüfung 2010 an den Realschulen in Bayern

Abschlussprüfung 2010 an den Realschulen in Bayern Prüfugsdauer: 50 Miute Abschlussprüfug 00 a de Realschule i Bayer Mathematik I Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabe A A.0 I eiem Hadbuch zur Wetterkude fide Sie im Kapitel Erdatmosphäre die

Mehr

4. Der Weierstraßsche Approximationssatz

4. Der Weierstraßsche Approximationssatz H.J. Oberle Approximatio WS 213/14 4. Der Weierstraßsche Approximatiossatz Wir gebe i diesem Abschitt eie ostrutive Beweis des Weierstraßsche Approximatiossatzes, der mit de so geate Berstei-Polyome (Felix

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker I (Witersemester 00/004) Aufgabeblatt 7 (5. Dezember

Mehr

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $

$Id: komplex.tex,v /04/13 15:09:53 hk Exp $ Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe

Mehr

Computer-Graphik II Verallgemeinerte Baryzentrische Koordinaten

Computer-Graphik II Verallgemeinerte Baryzentrische Koordinaten 4/22/10 lausthal omputer-raphik II Verallgemeierte Baryzetrische Koordiate. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Verallgemeieruge der baryzetr. Koord. 1. Was macht ma im 2D bei (kovexe)

Mehr

6.3 Folgen und Reihen

6.3 Folgen und Reihen 63 Folge ud Reihe Folge sid ichts aderes als Fuktioe f vo der Mege N {,,, 3, } der atürliche Zahle oder vo eiem ihrer Edabschitte N m { m, m +, m +, } i irgedeie Mege Ma schreibt i diesem Fall meist f

Mehr

Dirichlet-Reihen II. 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen

Dirichlet-Reihen II. 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen Vortrag zum Semiar zur Fuktioetheorie, 7.2.2007 Holger Witermayr I diesem Vortrag werde wir Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe erarbeite ud eie Vergleich zu Potezreihe ziehe. Ei weiteres Ziel dieses

Mehr

Prüfungsaufgaben der Abschlussprüfung an Realschulen in Bayern! mit ausführlichen Musterlösungen. und Querverweise auf Theoriedateien der Mathe-CD

Prüfungsaufgaben der Abschlussprüfung an Realschulen in Bayern! mit ausführlichen Musterlösungen. und Querverweise auf Theoriedateien der Mathe-CD Vektor-Geometrie Koordiategeometrie Prüfugsaufgabe uter Verwedug vo Abbildugsgleichuge Prüfugsaufgabe der Abschlussprüfug a Realschule i Bayer! mit ausführliche Musterlösuge ud Querverweise auf Theoriedateie

Mehr

Numerische Integration (s. auch Applet auf

Numerische Integration (s. auch Applet auf Numerische Itegratio (s. auch Applet auf www.mathematik.ch) Voraussetzuge ud Zielsetzug Voraussetzug: Eie Fuktio f sei auf dem abgeschlossee Itervall I = [a,b] stetig. b Gesucht: Bestimmtes Itegral J =

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009 Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge

Mehr

1 Vollständige Induktion

1 Vollständige Induktion 1 Vollstädige Idutio 1.1 Idutiosbeweise Das Beweisprizip der vollstädige Idutio ist eies der wichtigste Hilfsmittel der Mathemati icht ur der Aalysis. Es fidet Verwedug bei pratische alle Aussage, die

Mehr

VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA

VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Motag: Zahle, Variable, Algebraische Maipulatio Zahlemege. Die atürliche Zahle hat der liebe Gott gemacht. Alles adere ist

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für

Mehr

Proseminar: Mathematisches Problemlösen. Ungleichungen 2. Pierre Schmidt. Vortragstermin: 19. Juni Fakultät für Mathematik

Proseminar: Mathematisches Problemlösen. Ungleichungen 2. Pierre Schmidt. Vortragstermin: 19. Juni Fakultät für Mathematik Prosemiar: Mathematisches Problemlöse Ugleichuge Pierre Schmidt Vortragstermi: 19. Jui 015 Übugsleiteri: Dr. Natalia Griberg Fakultät für Mathematik Karlsruher Istitut für Techologie Ihaltsverzeichis 1

Mehr

Empirische Verteilungsfunktion

Empirische Verteilungsfunktion KAPITEL 3 Empirische Verteilugsfuktio 3.1. Empirische Verteilugsfuktio Seie X 1,..., X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable mit theoretischer Verteilugsfuktio F (t) = P[X i t]. Es sei (x 1,...,

Mehr

6.4. Intervalle und Inhalte

6.4. Intervalle und Inhalte 6.4. Itervalle ud Ihalte Vo zetraler Bedeutug für die Igeieurmathematik (ud icht ur dort) ist die Berechug vo Läge, Flächeihalte ud Volumia. Die Grudidee ist dabei, die gesuchte Größe durch Summe vo leicht

Mehr

10 Aussagen mit Quantoren und

10 Aussagen mit Quantoren und 0 Aussage mit Quatore ud 0.6. Eisatz vo (bereits bekater) Eistezaussage Bisher hatte wir Eistezbeweise geführt, idem wir ei passedes Objekt agegebe habe ( Setze... ). Stattdesse ka ma auch auf bereits

Mehr

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug

Mehr

Übungsaufgaben mit Lösungen

Übungsaufgaben mit Lösungen Dr. O. Wittich Aache,. September 7 S. Bleß, M. Sc. Aalysis Übugsaufgabe mit Lösuge im Vorkurs Mathematik 7, RWTH Aache Uiversity Itervalle, Beschräktheit, Maxima, Miima Aufgabe Bestimme Sie jeweils, ob

Mehr

1.1 Mengensysteme. Ω Grundmenge, 2 Ω Potenzmenge, A 2 Ω Mengensystem. Definition 1.1: a) A stabil ( stabil, \-stabil), wenn für A, B A auch A B A

1.1 Mengensysteme. Ω Grundmenge, 2 Ω Potenzmenge, A 2 Ω Mengensystem. Definition 1.1: a) A stabil ( stabil, \-stabil), wenn für A, B A auch A B A 1.1 Megesysteme Grudmege, 2 Potezmege, A 2 Megesystem Defiitio 1.1: a) A stabil ( stabil, \-stabil), we für A, B A auch A B A (A B A, A\B A). b) A heißt Halbrig, we i) A ii) A ist stabil iii) A, B A es

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen. Mathematische Grundlagen. Beispiel. Beispiel. Lösung einer quadratischen Gleichung:

Gleichungen und Ungleichungen. Mathematische Grundlagen. Beispiel. Beispiel. Lösung einer quadratischen Gleichung: Gleichuge ud Ugleichuge Mathematische Grudlage Das Hadout ist Bestadteil der Vortragsfolie zur Höhere Mathemati; siehe die Hiweise auf der Iteretseite wwwimgui-stuttgartde/lstnumgeomod/vhm/ für Erläuteruge

Mehr

1. Mathematikschulaufgabe

1. Mathematikschulaufgabe .0 Die Pukte P(0/-7) ud Q(5/-) liege auf eier ach ute geöffete Normalparabel p. G< x. Bereche die Gleichug der Parabel p. (Ergebis: y = - x + 6x - 7 ). Bestimme die Koordiate des Parabel-Scheitels. Gib

Mehr

Klausur 1 über Folgen

Klausur 1 über Folgen www.mathe-aufgabe.com Klausur über Folge Hiweis: Der GTR darf für alle Aufgabe eigesetzt werde. Aufgabe : Bestimme eie explizite ud eie rekursive Darstellug! a) für eie arithmetische Folge mit a = 6, ;

Mehr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr

Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische

Mehr

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen . Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.

Mehr

Rotationsvolumina Auf den Spuren von Pappus und Guldin

Rotationsvolumina Auf den Spuren von Pappus und Guldin Rotatiosvolumia Auf de Spure vo Pappus ud Guldi Gegebe sei ei Kreis mit Radius r, desse Mittelpukt um a aus dem Ursprug eies kartesische Koordiatesystems i Richtug der Ordiate verschobe sei. Die Kreisfläche

Mehr