Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.

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1 Vo der relative Häufigkeit zur Wahrscheilichkeit Es werde 20 Schüler befragt, ob sie ei Hady besitze. Das Ergebis der Umfrage lautet: Vo 20 Schüler besitze 99 ei Hady. Ereigis E: Schüler besitzt ei Hady Die absolute Häufigkeit H des Ereigisses E beträgt i diesem Fall 99. Das ist die Azahl der Fälle, i dee E eitritt. Der Stichprobeumfag beträgt i diesem Fall 20. HE 99 Die relative Häufigkeit vo E ist gegebe durch he 0, Allgemei gilt: absolute Häufigkeit des Ereigisses Relative Häufigkeit eies Ereigisses Stichprobeumfag Formal: h E H Übug: Bestimme Sie die relative Häufigkeit des Gegeereigisses E ud bilde Sie die Summe aus h E ud h E Lösug: Das Gegeereigis lautet E : Schüler besitzt kei Hady HE 2 Damit beträgt die relative Häufigkeit vo E he 0,75 20 Summe: h E h E 0,825 0,75 Merke: Für ei Ereigis E ud sei Gegeereigisses E gilt: h E h E

2 Defiitio der Wahrscheilichkeit Bei der Defiitio der Wahrscheilichkeit uterscheidet ma zwische der klassische Defiitio ud der statistische Defiitio. klassische Wahrscheilichkeit am Beispiel eies ideale Würfels Bei eiem ideale Würfel geht ma davo aus, das jede Zahl zwische ud 6 die gleiche Chace zum Auftrete hat. Wir defiiere das Ereigis E: Die gewürfelte Zahl ist eie 6 Die Wahrscheilichkeit für das Auftrete dieser Zahl wird wie folgt defiiert: Azahl der zu E gehörige Ergebisse p PE Azahl aller mögliche Ergebisse Für de Würfel bedeutet das, zu E gehört ur ei Ergebis, ämlich die Zahl 6. Die Azahl aller mögliche Ergebisse sid die Zahle vo bis 6, also gibt es 6 mögliche Ergebisse. Damit gilt für die Wahrscheilichkeit, eie 6 zu würfel Azahl der zu E gehörige Ergebisse p PE 0,6 Azahl aller mögliche Ergebisse 6 Übug: Bereche Sie die Wahrscheilichkeit für das Auftrete eier gerade Zahl größer als 2 bei eimaligem würfel. Lösug: Die Ergebismege besteht aus 6 mögliche Ergebisse: S ;2;;4;5;6 Die Ereigismege besteht aus 2 mögliche Ergebisse: E 4;6 Damit gilt für die Wahrscheilichkeit, eie gerade Zahl zu würfel, die größer 2 als 2 ist: p PE 0, 6

3 statistische Wahrscheilichkeit am Beispiel vo Heftzweckewürfe Wirft ma eie Heftzwecke, so ka sie etweder auf de Rücke falle oder seitlich liege bleibe. Ma ka icht davo ausgehe, dass hier die Chace gleich sid. Die Ursache liegt i der Herstellug der Heftzwecke. Es ka sei, das der Rücke sehr massiv oder weiger massiv gefertigt ist. Um hier eie Wahrscheilichkeitsaussage zu treffe, muss experimetiert werde. Experimet: Eie Heftzwecke wird 00 mal geworfe, die relative Häufigkeite werde berechet. Ergebis: Ereigis Summe absolute Häufigkeit i relative Häufigkeit i he i 0,44 0,56 relative Häufigkeit i % 44% 56% 00% Die Erfahrug zeigt, dass mit steigeder Versuchszahl der Wert der relative Häufigkeit immer mehr eiem Edwert äher kommt, er pedelt sich ei. Diese Edwert et ma statistische Wahrscheilichkeit. Um für user Experimet eie verüftige Wahrscheilichkeitsaussage zu treffe, müsste wir diese Versuch sehr oft wiederhole. Wird die Azahl der Versuche wie z.b. beim Würfel immer höher gewählt, streut die relative Häufigkeit für das Auftrete eier bestimmte Augezahl immer eger um eie bestimmte Wert, beim Würfel um de Wert /6. Die statistische Wahrscheilichkeit wird daher als Grezwert defiiert, die Azahl der Versuche soll gege uedlich strebe: HE p PE lim mit als Azahl der Versuche ud mit H E als absolute Häufigkeit Merke: Die Wahrscheilichkeit ist die beste Vorhersage für die zu erwartede relative Häufigkeit des bestimmte Ereigisses bei eiem Zufallsversuch.

4 Ei Versuch soll verdeutliche, dass sich die relative Häufigkeit vo Ereigisse auf eie bestimmte Wert eipedelt, we die Azahl der Versuche ur groß geug ist. Versuch: Werfe Sie 0 Heftzwecke gleichzeitig ud merke Sie sich die Azahl des Ereigisses. E: Die Hertzwecke liegt auf dem Rücke. Führe Sie diese Versuch isgesamt 0 mal durch. Die Versuchsdurchführug soll als gleichwertig mit dem Versuch eie Heftzwecke 00 mal zu werfe agesehe werde. Trage Sie die kumulierte absolute Häufigkeit i die Tabelle ei ud bereche Sie die relative Häufigkeite. Versuch Nr i H E kumuliert HE he 0,5 0,45 0,7 0,5 0,6 0,42 0,4 0,4 0,4 0,44 i Wird dieser Versuch vo mehrere Persoe uter gleiche Bediguge durchgeführt, so ka das als gleichbedeuted mit eier Erhöhug der Azahl der Versuche gewertet werde. Eie Aufsummierug der Ergebisse vo z. B. 0 Versuchspersoe ist gleichbedeuted mit eier Vergrößerug der Azahl der Versuche auf 000 Bereche Sie auch hier die relative Häufigkeite. Perso Nr i H E H E kumuliert i HE he 0,44 0,4 0,4 0,4 0,446 0,452 0,46 0,46 0,457 0,455 Trage Sie die relative Häufigkeite i ei Diagramm ei ud betrachte Sie die Etwicklug der Relative Häufigkeite. Gebe Sie ei Itervall a, auf welches sich die relative Häufigkeite eizupedel scheie. Kommetiere Sie de Ausgag des Experimetes.

5 rel_h Versuche 00 Die relative Häufigkeite scheie sich auf das Itervall I 0,45;0,46 eizupedel. Das Experimet verdeutlicht, das bei eier gerige Azahl vo Versuche die relative Häufigkeit stark um eie bestimmte Wert pedelt. Je größer die Azahl der Versuche wird, desto mehr ähert sich der Wert der relative Häufigkeit eiem bestimmte Wert. Dieser Wert ka als statistische Wahrscheilichkeit für das Auftrete des Ereigisses E gedeutet werde. Für user Beispiel bedeutet das, dass die Wahrscheilichkeit dafür, dass die Heftzwecke auf dem Rücke liegt zwische de Werte 0,45 ud 0,46 zu fide ist. Für das Gegeereigis (Heftzwecke liegt auf der Seite) liegt die Wahrscheilichkeit zwische de Werte 0,54 ud 0,55. Das bedeutet, die verwedete Heftzwecke hat für das Auftrete beider Ereigisse (Rücke oder Seite) ugleiche Wahrscheilichkeite.

6 Beispiel: Das ebestehede Glücksrad hat sechs Sektore, teils uterschiedlicher Größe. Die Ergebismege S besteht aus 6 mögliche Ergebisse: S ;2;;4;5;6 Wir defiiere zwei Ereigisse: A: Die Nummer ist gerade A 2;4;6 B: Der Sektor ist gelb B ;;5 We das Glücksrad auf eiem der Sektore 2, 4 oder 6 stehe bleibt, sagt ma, dass das Ereigis A eigetrete ist. Bleibt der Zeiger auf Sektor, oder 5 stehe, tritt Ereigis B ei Zuerst betrachte wir die Wahrscheilichkeite der Elemetarereigisse. P P P2 P4 P5 P Die Wahrscheilichkeit für das Eitrete des Ereigisses A ka wie folgt berechet werde: 7 PA P2;4;6 P2 P4 P Die Wahrscheilichkeit für das Eitrete des Ereigisses B ka wie folgt berechet werde: 5 PB P;;5 P P P Übug: Ermittel Sie die Wahrscheilichkeit für das Gegeereigis vo A Lösug: Die Ergebismege S besteht aus de Zahle, 2,, 4, 5 ud 6 Zum Ereigis A gehöre die gerade Zahle 2, 4 ud 6. Das Gegeereigis zu A fidet ma über die Differezmegebildug. A S \ A ;;5 Zufälliger Weise ist das gerade die Ereigismege B, dere Wert scho zu 5 PB bestimmt wurde. 2 Eie weitere Lösugsmöglichkeit für das Gegeereigis A vo A: 7 5 P A P A 2 2 Die Wahrscheilichkeit für die Ergebismege S ist immer, also PS Das leuchtet auch sofort ei, de ei Elemetarergebis tritt immer auf, z. B. bei eiem Würfel erscheit immer eie Zahl.

7 Zusammefassug elemetarer Eigeschafte. Ist S e ;e 2 ;e ;...;e die Ergebismege eies Zufallsexperimetes, wobei e ;e 2 ;e ;...;e dere Elemetarereigisse sid, z.b. beim Würfel die Zahle, 2,, 4, 5, ud 6 so gilt für die Wahrscheilichkeit P 0 Pei für alle i vo bis. Das bedeutet, die Wahrscheilichkeit für das eitrete eies Ereigisses liegt immer zwische 0 ud ud ka icht egativ sei. Pe... P P S P e P e PA P A 2 e Für das Gegeereigis vo A, also für A gilt immer: i Elemetare Summeregel Für ei umögliches Ergebis, z.b. beim 6-er Würfel eie 7 zu würfel gilt: P 0 Übug: Ei Würfel wird eimal geworfe. Folgede Ereigisse werde festgelegt. A: Die Augezahl ist kleier als 4 B: Die Augezahl ist eie ugerade Zahl C: [ 4 ; 5 ] a) E A B Bestimme Sie P E ud beschreibe Sie E mit Worte. b) c) d) E2 A B Bestimme Sie P E ud beschreibe Sie E mit Worte. 2 2 E A B Bestimme Sie P E ud beschreibe Sie E mit Worte. E4 A C Bestimme Sie P E ud beschreibe Sie E mit Worte. 4 4

8 Lösug: a) A ;2; B ;;5 E A B ; PE P P 6 6 E : Die Augezahl ist kleier als 4 ud eie ugerade Zahl. b) A ;2; B ;;5 E A B ;2;;5 2 PE2 P P2 P P E : Die Augezahl ist kleier als 4 oder eie ugerade Zahl. 2 c) E A B 5 A ;2; A 4;5;6 Die Augezahl ist größer als 2 B ;;5 Die Augezahl ist eie ugerde Zahl PE P5 6 E : Die Augezahl ist größer als ud eie ugerade Zahl. d) A ;2; C 4;5 E4 A C PE P 0 Laplace- Experimete 4 4 E : Die Augezahl ist kleier als 4 ud 4 oder 5 Ei solches Ereigis et ma uvereibar, daher ist die Wahrscheilichkeit für das auftrete vo E gleich Null. Wir habe bisher zwei verschiedee Arte vo Zufallsversuche kee gelert.. solche, mit gleicher Wahrscheilichkeitsverteilug. 2. solche mit ugleicher Wahrscheilichkeitsverteilug. Zur erste Gruppe gehörte: - Werfe eies Würfels - Werfe eier Müze - Drehe eies Glücksrades mit gleich große Segmete Zur zweite Gruppe gehörte: - Werfe eier Heftzwecke - Drehe eies Glücksrades mit ugleich große Segmete 4

9 Laplace- Experimet Habe alle mögliche Ergebisse eies Zufallsversuches (erste Gruppe) die gleiche Wahrscheilichkeit, da spricht ma vo eiem Laplace- Experimet. We ma also jedem Ergebis die Wahrscheilichkeit p Azahl aller mögliche Ergebisse zuordet, da ist dies eie Modell- Aahme (Laplace- Modell) Bei eiem Laplace- Experimet gilt für die Wahrscheilichkeit P E eies Ereigisses: PE Azahl der zu E gehörige Ergebisse Azahl aller mögliche Ergebisse Übug: Lösug: Übug: Ei Glücksrad hat 0 gleiche Sektore. E : Zeiger bleibt auf eier durch teilbare Zahl stehe. Bestimme Sie PE. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass der Zeiger auf eier Zahl stehe bleibt, die icht durch teilbar ist? S ;2;;4;5;6;7;8;9;0 E ;6;9 P E 0, 0 P E P E 0, 0,7 I eier Ure befide sich 2 schwarze ud rote Kugel. Es wird eimal gezoge. a) Mit welcher Wahrscheilichkeit ist die gezogee Kugel schwarz? b) Wie viele schwarze Kugel müsse midestes i der Ure liege, so dass die Wahrscheilichkeit, eie schwarze Kugel zu ziehe, größer als 0,7 ist?

10 Lösug: a) Lösug mittels Baumdiagramm 2/5 /5 Die Wahrscheilichkeit eie schwarze Kugel zu ziehe ist 2/5, die eie rote zu ziehe ist /5. Die Wahrscheilichkeite werde a die jeweilige Pfade geschriebe. b) I der Ure seie x schwarze ud rote Kugel. Isgesamt befide sich i der Ure also x + Kugel. E: die gezogee Kugel ist schwarz Asatz: P E 0,7 x x 0,7 PE x x x x 0,7 0,7x 2, 0,7x 0,x 2, : 0, x 7 Es müsse also midestes 8 schwarze Kugel i der Ure liege, damit eie solche mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 0,7 gezoge wird.