Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau

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1 Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau 1

2 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft die Form: Wenn, dann B. - als Formel: B Mathematischer Beweis - bzgl. eines vorgegebenen xiomensystems - mit Hilfe von Inferenzregeln 2

3 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Direkter Beweis: nnahme: gilt. Benutze, xiome, und Inferenzregeln um B zu beweisen. 3

4 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Direkter Beweis: nnahme: gilt. Benutze, xiome, und Inferenzregeln um B zu beweisen. Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist stets ungerade. n ungerade n 2 ungerade. 4

5 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Direkter Beweis: nnahme: gilt. Benutze, xiome, und Inferenzregeln um B zu beweisen. Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist stets ungerade. Beweis: Es sei n eine ungerade natürliche Zahl. Dann lässt sich n darstellen als n = 2k + 1, wobei k eine natürliche Zahl oder Null ist. Daraus folgt mit Hilfe der ersten binomischen Formel n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k) + 1. us der Möglichkeit, n 2 so darzustellen folgt, dass n 2 ungerade ist. 5

6 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Beweis durch Kontraposition: Beweis von B. - Beweis durch Widerspruch: Beweise dass B falsch 6

7 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Beweis durch Kontraposition: Beweis von B. - Beweis durch Widerspruch: Beweise dass B falsch Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl, so ist diese gerade. n gerade und n = k N k gerade Beweis durch Kontraposition: Zu zeigen: n = k N und k ungerade n ungerade. 7

8 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen der Form B (Wenn, dann B) - Beweis durch Kontraposition: Beweis von B. - Beweis durch Widerspruch: Beweise dass B falsch Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl, so ist diese gerade. Beweis: ngenommen, n = k wäre ungerade. Dann ist wegen der bereits bewiesenen Behauptung auch k 2 = n ungerade, und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass n gerade ist. lso ist die getroffene nnahme falsch, d.h., n ist gerade. 8

9 Grundlegende Beweisstrategien Mathematische ussagen, die nicht die Form B haben - Äquivalenzbeweis ( B) ( genau dann, wenn B) Beweise dass B und dass B. (Wenn, dann B, und wenn B, dann.) 9

10 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass 1 B,..., n B, wobei 1 n wahr 10

11 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass 1 B,..., n B, wobei 1 n wahr Behauptung: Jede Primzahl p 3 hat die Form p = 4 k±1 mit einer natürlichen Zahl k. Beweis: Man unterscheidet folgende vier Fälle für die Zahl p, von denen immer genau einer eintritt: 1. p = 4k 2. p = 4k p = 4k p = 4k + 3 = 4(k + 1) 1 Im ersten dieser Fälle ist p durch 4 teilbar und damit keine Primzahl, im dritten Fall ist p durch 2 teilbar und somit ebenfalls keine Primzahl. lso muss einer der Fälle zwei oder vier eintreten, das heißt p hat die Form p = 4 k ± 1 mit einer natürlichen Zahl k. 11

12 Grundlegende Beweisstrategien - Beweis durch Fallunterscheidung Um B zu beweisen, beweise dass 1 B,..., n B, wobei 1 n wahr Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollständig sein muss, aber die untersuchten Fälle sich nicht gegenseitig ausschließen müssen. 12

13 Grundlegende Beweisstrategien ussagen mit Quantoren x U : (p(x) q(x)) Wähle a beliebig aus U. Beweis der Implikation p(a) q(a). Da a beliebig gewählt werden kann, folgt x U : p(x) q(x) 13

14 Grundlegende Beweisstrategien ussagen mit Quantoren x U : (p(x) q(x)) Wähle a beliebig aus U. Beweis der Implikation p(a) q(a). Da a beliebig gewählt werden kann, folgt x U : p(x) q(x) Behauptung: n N : (n ist gerade und n ist eine natürliche Zahl {z } p(n) n ist gerade). {z } q(n) Beweis: Sei n beliebig aus N. Wir zeigen, dass wenn n gerade ist und n eine natürliche Zahl ist, dann n gerade ist (das wurde auf Seite 6 bewiesen). 14

15 Grundlegende Beweisstrategien ussagen mit Quantoren E x (p(x) q(x)) x Sei a ein geeignetes Element aus U. Beweis der Implikation p(a) q(a). Damit folgt E y (x, y) E x U : p(x) q(x). 15

16 Grundlegende Beweisstrategien Beweise mittels Vollständiger Induktion 16

17 Induktion Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik 17

18 Induktion Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik Einfache Version Induktion über die natürlichen Zahlen N (natural induction) 18

19 Induktion Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik Einfache Version Induktion über die natürlichen Zahlen N (natural induction) Generalization Noethersche Induktion (noetherian induction/ induction over well-founded partially ordered sets) 19

20 Emmy Noether Geboren 1882 in Erlangen Gestorben 1934 in Princeton (US) Mitbegründerin der modernen lgebra 20

21 Emmy Noether Geboren 1882 in Erlangen Gestorben 1934 in Princeton (US) Mitbegründerin der modernen lgebra llgemein heißt eine geordnete algebraische Struktur noethersch, wenn es in ihr keine unendlich absteigenden Ketten gibt. 21

22 Induktion über die natürlichen Zahlen Idee: Definition der natürlichen Zahlen (1) (2) (3) (4) (5) 0 ist eine natürliche Zahl Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger S(n) us S(n) = S(m) folgt n = m 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. 22

23 Induktion über die natürlichen Zahlen (5) Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. X Menge: Falls 0 X, und n N : n X n + 1 X so n N : n X 23

24 Induktion über die natürlichen Zahlen (5) Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. X Menge: Falls 0 X, und n N : n X n + 1 X so n N : n X Induktionssatz Gelten die beiden ussagen: - p(0) und - n N : p(n) p(n + 1), dann gilt auch n N : p(n). 24

25 Induktion über die natürlichen Zahlen (5) Jede Menge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle natürlichen Zahlen. X Menge: Falls 0 X, und n N : n X n + 1 X so n N : n X Induktionssatz Gelten die beiden ussagen: - p(0) und Induktionsbasis - n N : p(n) p(n + 1), Induktionsschritt dann gilt auch n N : p(n). 25

26 Induktion über die natürlichen Zahlen Struktur eines Induktionsbeweises (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) (2) Induktionsschritt: Beweise p(n) p(n + 1) für ein beliebiges n N 26

27 Induktion über die natürlichen Zahlen Struktur eines Induktionsbeweises (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes n N gilt p(n) (3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus der Induktionsvoraussetzung p(n) 27

28 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 X Für alle n N, (2i + 1) = n 2. i=0 28

29 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 X Für alle n N, (2i + 1) = n 2 n 1. X p(n) : (2i + 1) = n 2 i=0 (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) n = 0: 0 = 0 2 i=0 29

30 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 X Für alle n N, (2i + 1) = n 2 n 1. X p(n) : (2i + 1) = n 2 i=0 (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) OK (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes i=0 n N gilt p(n): n 1 X (2i + 1) = n 2 i=0 30

31 Beispiel Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n 2. n 1 X Für alle n N, (2i + 1) = n 2 n 1. X p(n) : (2i + 1) = n 2 i=0 (1) Induktionsbasis: Beweise p(0) OK (2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebig gewähltes n 1 X n N gilt p(n): (2i + 1) = n 2 (3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus p(n) nx p(n + 1) : (2i + 1) = (n + 1) 2. i=0 i=0 i=0 Beweis: nx Xn 1 (2i + 1) = ( (2i + 1)) + (2n + 1) p(n) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2. i=0 i=0 31

32 Verallgemeinerte vollständige Induktion Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n + 1) dann gilt die ussage n N : p(n). 32

33 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n + 1) dann gilt die ussage n N : p(n). Äquivalent Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : ( k N : (k < n + 1 p(k)) p(n + 1)) dann gilt die ussage n N : p(n). 33

34 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Verallgemeinerte vollständige Induktion Gelten die beiden ussagen: p(0) und n N : p(0) p(1) p(n) p(n + 1) dann gilt die ussage n N : p(n). Äquivalent Gilt die ussage: n N : ( dann gilt die ussage k N : (k < n p(k)) p(n)) n N : p(n). 34

35 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Beweis: Zu zeigen: P Q Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass Q P nnahme: Q := ( n N : p(n)) E n N : p(n). > wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >.... Sei Y = {n N p(n)} =. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h. m(m Y ( k N : (k < m k Y))) = P. E 35

36 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Beweis: Zu zeigen: P Q Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass Q P nnahme: Q := ( n N : p(n)) E n N : p(n). > wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >.... Sei Y = {n N p(n)} =. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h. m(m Y ( k N : (k < m k Y))) = P. E 36

37 Wohlfundierte (Noethersche) Induktion Theorem: Falls dann gilt n N : ( n N : p(n) k N : (k < n p(k)) p(n)) P Q Verallgemeinerung - beliebige Menge statt N - < partielle Ordnung auf - < wohlfundiert (es gibt keine unendliche Folge x 1,...,x n,... mit x 1 > x 2 > > x n >... ) 37

38 Binäre Relationen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine Teilmenge von. R binäre Relation: R. Statt (x,y) R schreiben wir: R(x,y) oder xry. 38

39 Partielle Ordnungen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine partielle Ordnung gdw. R ist reflexiv: R ist transitiv: R ist antisymmetrisch x (xrx) x,y,z (xry yrz xrz) x,y (xry yrx x = y) 39

40 Partielle Ordnungen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine partielle Ordnung gdw. R ist reflexiv: R ist transitiv: R ist antisymmetrisch x (xrx) x,y,z (xry yrz xrz) x,y (xry yrx x = y) Dann heißt (,R) eine partiell geordnete Menge 40

41 Partielle Ordnungen Definition: Eine binäre Relation R über einer Menge ist eine partielle Ordnung gdw. R ist reflexiv: R ist transitiv: R ist antisymmetrisch Beispiele: (N, ) x (xrx) x,y,z (xry yrz xrz) x,y (xry yrx x = y) (,R), wobei = {0, a,b,1} und R = {(0,0),(0, a), (0,1),(a, a), (a, 1),(b,b),(b,1),(1, 1)} R partielle Ordnung: a und b in R unvergleichbar. 41

42 Totale Ordnungen Definition: Sei (, R) eine partiell geordnete Menge. R ist eine totale Ordnung gdw. R(x,y) oder R(y, x) für alle x,y. 42

43 Minimum Definition: Sei (, R) eine partiell geordnete Menge. Sei, und m. m ist ein Minimales Element von, gdw.: es gibt kein x mit x m,x m. 43

44 Minimum Definition: Sei (, R) eine partiell geordnete Menge. Sei, und m. m ist ein Minimales Element von, gdw.: es gibt kein x mit x m,x m. Beispiele: (N, ). Sei = {3,5,7,9} N. 3 ist ein Minimales Element von. Sei (,R) wobei = {a, b,c,d} und R = {(a, a), (a, b),(c,c),(c,b), (c,d),(e,e),(e,d),(b,b),(d, d)} Sei = {a, b,c}. hat zwei minimale Elemente: a und c. 44

45 Wohlfundierte partielle Ordnungen Sei (, ) eine partiell geordnete Menge. Definition: x < y gdw.: (x y und x y) (für x,y ) 45

46 Wohlfundierte partielle Ordnungen Sei (, ) eine partiell geordnete Menge. Definition: x < y gdw.: (x y und x y) (für x,y ) Definition (Noethersch / wohlfundiert) (, ) heißt noethersch (oder wohlfundiert) gdw.: Es gibt keine unendlich absteigende Kette in, das heißt: Es gibt keine unendliche Folge (x i ) i N, mit x i für alle i N und x i+1 < x i für alle i N. 46

47 Wohlfundierte partielle Ordnungen Sei (, ) eine partiell geordnete Menge. Definition: x < y gdw.: (x y und x y) (für x,y ) Definition (Noethersch / wohlfundiert) (, ) heißt noethersch (oder wohlfundiert) gdw.: Es gibt keine unendlich absteigende Kette in, das heißt: Es gibt keine unendliche Folge (x i ) i N, mit x i für alle i N und x i+1 < x i für alle i N. (Unendlich aufsteigende Ketten sind zulässig) 47

48 Beispiele (N, ) is wohlfundiert (Z, ) ist nicht wohlfundiert (0 { 1 n n N}, ) ist nicht wohlfundiert (R, ) ist nicht wohlfundiert 48

49 Wohlfundierte partielle Ordnungen Lemma. (, ) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von hat (mindestens) ein Minimales Element. 49

50 Wohlfundierte partielle Ordnungen Lemma. (, ) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von hat (mindestens) ein Minimales Element. Beweis: Statt P Q, beweisen wir Q P. Sei nicht-leere Teilmenge von, die kein minimales Element enthält. Sei x 1. Da x 1 nicht minimal ist, gibt es x 2 mit x 2 < x 1. Da x 2 nicht minimal ist, gibt es x 3 mit x 3 < x 2 < x 1. Wir können deswegen eine unendliche absteigende Kette von Elementen aus bilden, d.h. ist nicht noethersch. 50

51 Wohlfundierte partielle Ordnungen Lemma. (, ) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von hat (mindestens) ein Minimales Element. Beweis: Statt P Q, beweisen wir wieder Q P. nnahme: (, ) ist nicht noethersch, d.h. es gibt eine unendliche Folge (x i ) i N, mit x i für alle i N und x i+1 < x i für alle i N. Sei = {x i i N}. Wir zeigen, dass keinen minimalen Element hat: Sei a. Dann a = x i für einen i N. Dann ist x i+1 < a; deshalb kann a nicht minimal sein. 51

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