Anmerkung: Eine Tabelle zum Arbeiten mit der Standardnormalverteilung ist z. B. unter der Adresse

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1 Übung 9 Anmerkung: Eine Tabelle zum Arbeiten mit der Standardnormalverteilung ist z. B. unter der Adresse zu finden. Standardnormalverteilung Aufgabe 9.1 Die Länge X (in mm) von Leiterplatten sei angenähert normalverteilt mit Erwartungswert µ = 15. Ermitteln Sie die Varianz, wenn 98% der Leiterplatten zwischen 14 mm und 16 mm lang sind. Aufgabe 9.2 Die Lebensdauer eines Computerbauteils ist annähernd normalverteilt mit einer Standardabweichung von σ = 600 h. Eine zufällige Stichprobe vom Umfang n = 36 ergibt eine durchschnittliche Lebensdauer von 3000 h. Bestimmen Sie ein 95%-iges Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter µ der Normalverteilung. Aufgabe 9.3 Aus der Produktion von Zylinderschrauben wird eine Stichprobe vom Umfang n = 25 entnommen und an jeder Schraube die Schaftlänge gemessen. Die Stichprobe ergibt x = 16 mm und s 2 = 484 µm 2. Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall für σ 2 unter der Voraussetzung, dass das Konfidenzniveau 0.99 beträgt. Aufgabe 9.4 X 1,..., X n sei eine unabhängige, identisch verteilte Stichprobe einer normalverteilten Zufallsvariablen X, von der µ und σ 2 unbekannt sind. Man bestimme ein Konfidenzintervall für µ zum Vertrauensgrad 1 α = 0.95 aus den Stichprobenwerten 104, 115, 112, 89, 94, 106, 119, 99, 102 und 90. Aufgabe 9.5 Unter 3000 Lebendgeburten wurden 1578 Knaben gezählt. Bestimmen Sie daraus ein Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit p einer Knabengeburt zu 1 α = Aufgabe 9.6 In der Vergangenheit betrug die Varianz der normalverteilten Lebensdauer einer bestimmten Batteriesorte σ 2 = 1.1 Jahre 2. Es soll nun auf Stichprobenbasis geprüft werden, ob sich durch Einführung eines kostengünstigeren Produktionsverfahrens die Varianz der Lebensdauer erhöht. Eine Stichprobe von n = 25 nach dem neuen Verfahren gefertigter Batterien liefert eine Varianz von s 2 = 1.6 Jahre 2 (Signifikanzniveau α = 0.01). Votierungswoche:

2 Übung 8 Aufgabe 8.1 Es sei f eine durch { b für a x a f(x) = 0 sonst gegebene Funktion. Ermitteln Sie a und b derart, dass f die Dichtefunktion einer Zufallsgröße mit der Varianz 1 ist. Aufgabe 8.2 Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit E(X) = 0 und Var(X) = 1. Berechnen Sie (a) P (X 2, 5), (b) P (X < 1, 5), (c) P (1, 2 X < 2, 3), (d) P ( 1, 1 X < 3). Aufgabe 8.3 Für den Gesamtwiderstand R von elektronischen Computerbauteilen einer Lieferung gleicher Bauart wird der Erwartungswert mit µ = 200 Ω und die Varianz mit δ = 5 Ω angegeben. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil fehlerhaft ist, wenn der Gesamtwiderstand R der Computerbauteile maximal um 5 Ω vom Sollwert abweichen darf? (b) Wie müssen die Toleranzgrenzen (200 ± α)ω gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines fehlerhaften Bauteils, d. h. P ( R 200 > α), kleiner als 0, 01 ist? Aufgabe 8.4 Für den Gesamtwiderstand R von elektronischen Computerbauteilen einer Lieferung gleicher Bauart wird der Erwartungswert mit µ = 200 Ω und die Varianz mit δ = 5 Ω angegeben. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil fehlerhaft ist, wenn der Gesamtwiderstand R der Computerbauteile maximal um 5 Ω vom Sollwet abweichen darf? (b) Wie müssen die Toleranzgrenzen (200 ± α)ω gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines fehlerhaften Bauteils, d. h. P ( R 200 > α), kleiner als 0, 01 ist?

3 Aufgabe 8.5 Ein Automat fertigt Lüfter für PC s, deren Durchmesser eine normalverteilte Zufallsgröße mit µ = 40 mm und σ = 0.5 mm ist. Der Toleranzbereich sei [38, 8 mm; 41, 0 mm]. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein gefertigter Lüfter normgerecht ist? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 3 ausgewählten Lüftern höchstens 2 normgerecht sind? (c) Wie viel Prozent der gefertigten Lüfter sind mindestens 38, 6 mm lang? (d) Für welchen Wert b gilt P (39, 2 X < b) = 0, 9370? (e) Für welchen Wert c gilt P ( X µ < c) = 0, 95? (f) Wie groß ist der normgerechte Anteil, wenn sich der Wert µ im Laufe der Zeit auf 40, 2 mm verschiebt? Aufgabe 8.6 Die Länge X (in mm) von Leiterplatten für Computer sei angenähert normalverteilt mit µ = 15. Ermitteln Sie die Varianz, wenn 98% der Leiterplatten zwischen 14 mm und 16 mm lang sind. Votierungswoche:

4 Übung 7 Aufgabe 7.1 Eine biologische Kreuzung gelingt nur in 5% aller angesetzten Versuche. Wie viel Versuche sind anzusetzen, damit mit 99% Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal die Kreuzung gelingt? Aufgabe 7.2 Ein Computerhersteller erhält regelmäßig Lieferungen, die aus jeweils N = 100 Erzeugnissen bestehen. Aus statistischen Unterlagen geht hervor, dass die Zahl der in einer Lieferung enthaltenen Ausschussstücke eine binomial verteilte mit den Parametern n = 2 und p = 0, 1 Zufallsvariable ist. Einer Lieferung mit unbekanntem Ausschussanteil werden m = 10 Qualitätskontrollproben ohne Zurücklegen entnommen. Die gesamte Lieferung wird nur dann angenommen, wenn alle m = 10 Erzeugnisse qualitätsgerecht sind. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Lieferung k = 0, 1, 2 Ausschussstücke enthält? (b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Lieferung angenommen wird. (c) Wie viel Sendungen muss der Computerhersteller durchschnittlich erhalten, damit insgesamt ein Ausschussstück erwartet werden muss? Aufgabe 7.3 Die Lebensdauer X (in Zeiteinheiten) einer Sorte von Bauteilen eines Computers kann durch die Dichtefunktion { 0 für x 0 f(x) = 0, 06 x 2 e 0,02 x3 für x > 0 beschrieben werden. (a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein solches Bauelement mindestens 2 Zeiteinheiten ausfallfrei arbeitet? (c) Welche Zeit überleben 90% der Bauelemente? Aufgabe 7.4 In einer Werkstatt einer Computerfirma unterliege die zufällige Reparaturzeit eines Computers einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 0, 5. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zur Reparatur eines beliebigen Computers mindestens 3 Stunden aufgewendet werden müssen.

5 (b) Wie viele Stunden werden im Durchschnitt zur Reparatur eines Computers benötigt? Aufgabe 7.5 Eine Maschine produziert Gehäuseteile eines Computers mit einem Ausschussanteil von 9%. (a) Nach welcher Verteilung bestimmt sich die Anzahl der brauchbaren Gehäuseteile in einer Anzahl n von produzierten Gehäuseteilen. (b) Berechnen Sie mit einer geeigneten Näherung die Wahrscheinlichkeit für 110 oder mehr brauchbare Gehäuseteile in einer Produktion von 1000 Gehäuseteilen. Begründen Sie: Warum dürfen Sie die Näherung verwenden? Aufgabe 7.6 In einem großen Netzwerk treten pro Tag im Durchschnitt 16 Störungen auf. Man kann annehmen, dass die Anzahl der Störungen poissonverteilt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass pro Tag mehr als 20 Störungen auftreten? Votierungswoche:

6 Übung 6 Aufgabe 6.1 Die Intaktwahrscheinlichkeit bezogen auf die Zeit t betragen für zwei unabhängig voneinander arbeitende Computernetze 0, 9 bzw. 0, 8. Sei X die Zufallsvariable für die Anzahl der in der Zeit t intakten Computernetze. Ermitteln Sie (a) die Verteilungsfunktion F (x), (b) den Erwartungswert E(X) und die Varianz V (X), (c) die Wahrscheinlichkeit, dass in der Zeit t wenigstens ein Computernetz intakt ist. Aufgabe 6.2 Gegeben ist die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen 0 für t < 0 0, 1 für 0 t < 2 F (t) = 0, 4 für 2 t < 4. 0, 8 für 4 t < 6 1 für t 6 Berechnen Sie: P (1 < X 4); P (1 X 4); P (X 3); E(X) und V (X). Aufgabe 6.3 Die Auswahlwahrscheinlichkeiten bezogen auf ein bestimmtes Zeitintervall betragen für drei voneinander unabhängig arbeitende Computer 0, 1; 0, 2 bzw. 0, 3. Sei X die Zufallsvariable für die Anzahl der in diesem Zeitraum ausfallenden Computer. Bestimmen Sie (a) die Verteilung von X, (b) E(X) und V (X), (c) die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Computer ausfällt. Aufgabe 6.4 Vier gleiche Bauteile für Computer haben die gleiche Zuverlässigkeit von 0, 9. Mit X wird die Anzahl der funktionstüchtigen Bauteile bezeichnet. (a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wenigstens zwei Bauteile funktionstüchtig sind?

7 Aufgabe 6.5 Eine Lieferung von 100 Disketten, die 10 fehlerhafte Disketten enthält, wird einer Qualitätskontrolle unterzogen. Hierzu werden 5 der 100 Disketten herausgegriffen und überprüft. Die Lieferung wird zurückgeschickt, wenn unter den 5 geprüften Disketten mehr als eine fehlerhaft ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung zurückgeschickt? Aufgabe 6.6 Ein Computernetz besteht besteht aus 10 unabhängig voneinander arbeitenden Computern. Jeder dieser 10 Computer fällt in der Zeit T mit der Wahrscheinlichkeit 0, 05 aus. Mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschew soll die Wahrscheinlichkeit dafür abgeschätzt werden, dass der absolute Betrag der Differenz zwischen der Zahl der ausgefallenen Computer und dem Erwartungswert dieser Zufallsvariablen größer als 2 ist. Votierungswoche:

8 Übung 5 Aufgabe 5.1 Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Seien A das Ereignis Der rote Würfel zeigt eine gerade Zahl, B das Ereignis Der blaue Würfel zeigt eine gerade Zahl und C das Ereignis Die Augensumme ist eine ungerade Zahl. Sind die Ereignisse A, B und C paarweise unabhängig? Sind die Ereignisse A, B und C unabhängig? Aufgabe 5.2 Eine Firma stellt Computerbauteile her, von denen bekannt ist, dass 96% der hergestellten Bauteile normgerecht arbeiten. Eine Qualitätskontrolle gibt ein normgerecht arbeitendes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 und ein nichtnormgerecht arbeitendes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 zum Einbau frei. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein von der Kontrolle freigegebenes Bauteil normgerecht arbeitet. Aufgabe 5.3 Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 7 zu werfen unter der Bedingung, dass wenigstens einmal die Augenzahl 3 geworfen wird? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 7 ist, falls die Augensumme ungerade ist? Aufgabe 5.4 An einem Rechnerpraktikum nehmen 100 Studenten teil, von denen 55 Informatik und 45 Computervisualistik studieren. Zur Lösung einer Aufgabe können die Studenten zwei verschiedene Programme nutzen. Für das erste Programm entscheiden sich 40 Computervisualisten und 20 Informatiker. Alle anderen wählen das zweite Programm. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein Computervisualistikstudent für das erste Programm entscheidet. (b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Informatikstudent das erste Programm benutzt. (c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Benutzer des zweiten Programmes Informatik studiert. Aufgabe 5.5 Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B A mit 0 < P (B) < 1. Beweisen Sie: Aus P (A B) = P (A) P (B) folgt P (A B) = P (A B).

9 Aufgabe 5.6 Für eine Firma werden drei Großrechner gekauft. Diese haben unterschiedliche Qualitätseigenschaften. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese länger als 4000 Stunden ausfallfrei arbeiten, betragen 0, 8; 0, 7; 0, 6. Sei X die Anzahl der Großrechner, die länger als 4000 Stunden ausfallfrei arbeiten. Bestimmen Sie (a) die Verteilung von X, (b) die Verteilungsfunktion, (c) den Graph der Verteilungsfunktion, (d) P (X 1). Votierungswoche:

10 Übung 4 Aufgabe 4.1 Ein Computernetz besteht aus 4 Computerarbeitsplätzen. C i bedeute, dass der i-te Computerarbeitsplatz funktionstüchtig ist (i = 1, 2, 3, 4). Erfassen Sie die Ereignisse: (a) Alle 4 Computerarbeitsplätze sind funktionstüchtig. (b) Genau 3 Computer arbeiten. (c) Mindestens ein Computerarbeitsplatz fällt aus. (d) Höchstens ein Computer fällt aus. (e) Nur der 3. Computer fällt aus. Aufgabe 4.2 Ein System (Zuverlässigkeitsersatzschaltung) hat folgende Struktur: (a) (b) A i bedeute, dass das i-te Bauelement während der Zeit t nicht ausfällt und S, dass das System nicht ausfällt. Drücken Sie die Ereignisse S und S durch die Ereignisse A i und Āi aus.

11 Aufgabe 4.3 Der Name einer Variablen in einem C-Programm ist ein Wort über dem Alphabet A, das aus Kleinbuchstaben, Großbuchstaben, Ziffern und einem Unterstrich besteht. Der erste Buchstabe des Wortes darf keine Ziffer sein. Wieviele verschiedene Variablennamen in C sind möglich, wenn eine Variable durch die ersten 8 Zeichen festgelegt ist? (Beachte: Es sind auch Namen mit weniger als 8 Zeichen zulässig!) Aufgabe 4.4 Eine Lieferung von 30 Computern, die durch ihre Fabrikationsnummer unterscheidbar sind, enthält 6 fehlerhafte Geräte. (a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Computer aus der Lieferung zu prüfen? (b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Computer aus der Lieferung zu prüfen, die genau zwei fehlerhafte Computer enthalten? (c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Computer aus der Lieferung zu prüfen, die höchstens ein fehlerhaftes Stück enthalten? Aufgabe 4.5 Zum Bau eines Computerchips werden 4 gleichartige Bauelemente benötigt. Von 12 vorhandenen Bauteilen sind 2 defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den 4 ausgewählten Bauteilen (a) kein defektes, (b) genau ein defektes, (c) 2 defekte Bauteile? Aufgabe 4.6 Eine aus 100 Produkten bestehende Serie wird folgendermaßen getestet: Es werden nacheinander zufällig und ohne Zurücklegen 5 Produkte ausgewählt. Die Serie gilt als unbrauchbar, wenn mindestens eines der ausgewählten Produkte unbrauchbar ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Unbrauchbarkeit der Serie, falls sie 5% unbrauchbare Produkte enthält? Votierungswoche:

12 Übung 3 Aufgabe 3.1 Berechnen Sie das Integral f für folgende Funktionen Q f : R3 R: (a) f(x, y, z) = z2 xy mit Q = [0, 2] [0, 3] [ 1, 1], (b) f(x, y, z) = xy2 mit Q = [0, 1] [ 1, 2] [0, 1]. Aufgabe 3.2 (a) Zeichnen Sie die Gebiete, deren Flächen durch folgende Integrale ausgedrückt werden: (i) 2 x 2 1 dxdy (ii) 0 dydx 0 x 2 y 2 4 (b) Ermitteln Sie die zu (i) und (ii) gehörenden Integrale durch Veränderung der Reihenfolge der Integration. (c) Berechnen Sie die Flächen. 2y 1+x2. Berechnen Sie das Inte- Aufgabe 3.3 Sei f : R2 R mit f(x, y) = gral f über dem Normalbereich D D = {(x, y) R2 : 0 x 2, x y x2}. Skizzieren Sie den Normalbereich D. Aufgabe 3.4 Berechnen Sie das Integral e x+y d x auf dem Dreieck D R2 D mit den Eckpunkten (1, 1), (1, 2) und (2, 2). Aufgabe 3.5 Berechnen Sie das Volumen der Menge D = {(x, y, z) R3 : 0 x 4, x 1 y x + 3, 0 z x + y + 4}. Aufgabe 3.6 Berechnen Sie das Integral f(x)dx für die Funktion D f : R3 R mit f(x, y, z) = xyz für D = {(x, y, z) T R3 : 1 x 4, x y 2x, 0 z xy}. Votierungswoche:

13 Übung 2 Aufgabe 2.1 Berechnen Sie die zweiten partiellen Ableitungen für (a) f(x, y) = sin(x sin y), (b) f(x, y, z) = x y+z. Aufgabe 2.2 Berechnen Sie die Jacobi-Matrix und die Hesse-Matrix für (a) f(x, y) = sin(x sin y), (b) f(x, y, z) = x y+z. Aufgabe 2.3 Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte der Funktion f : R2 R mit f(x, y) = x4 + y4 4a 2 xy + 8a4 in Abhängigkeit des Parameters a R mit a 0. Aufgabe 2.4 Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte der Funktion f : R2 R mit f(x, y) = x3 + 8y3 6xy + 1. Aufgabe 2.5 In einem Produktionsprozess läßt sich die Abhängigkeit der Produktionskosten K (in Geldeinheiten) von den Produktionsmengen q 1, q 2 und q 3 (in Mengeneinheiten) dreier Produkte durch den folgenden Zusammenhang beschreiben: K(q 1, q 2, q 3 ) = 10 + q ln(q 1 q 2 ) + p 2 2 3q 2 + 2q 3 2. Bestimmen Sie die optimalen Produktionsmengen q 1, q 2 und q 3, so dass die Kostenfunktion K(q 1, q 2, q 3 ) ein Minimum annimmt. Aufgabe 2.6 Welche Punkte der Parabel y = 2 x2 haben minimalen Abstand zum Nullpunkt, d. h. gesucht sind die Minimalpunkte der Funktion f : R2 R mit f(x, y) = x2 + y2 unter der Nebenbedingung y + x2 2 = 0. Votierungswoche:

14 Übung 1 Aufgabe 1.1 Ermitteln Sie den Definitionsbereich D folgender Funktion f : D R2 R: (a) f(x, y) = xy y x (b) f(x, y) = x + x2 y2 (c) f(x, y) = x y Aufgabe 1.2 Zeigen Sie die Konvergenz der Folge {a k } im R3, wobei a k = a k 1 a k 2 a k 3 R3 mit a k 1 = ( k k+2 )k, a k 2 = (k k2 1) k und a k 3 = k sin 1 k diese Folge auch im Q3? gelte. Konvergiert Aufgabe 1.3 Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen von (a) f(x, y) = x y + y x (b) f(x, y) = ln( x y) (c) u(x, t) = 2x t x+2t (d) c(a, b, α) = a2 + b2 2ab cos α. Aufgabe 1.4 Gegeben sei die Funktion f : R3 R mit f(x 1, x 2, x 3 ) = x x x 3 2. Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Gleichung: ( ) ( ) f(x1, x 2, x 3 ) f(x1, x 2, x 3 ) x x 2 ( f(x1, x 2, x 3 ) x 3 ) 2 = 1. Aufgabe 1.5 Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion f : R2 R mit f(x, y) = ln(e x + e y ) in Richtung der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten. Aufgabe 1.6 Sei f : R2 R mit f(x, y) = (y x2)(y 3x2). (a) Berechnen Sie den Gradienten von f und zeigen Sie, dass dieser nur im Punkt (0, 0) verschwindet. (b) Zeigen Sie, dass die Hesse-Matrix H f (0, 0) positiv definit ist. Votierungswoche:

15 Übung 0 Aufgabe 0.1 Gegeben seien die Funktionen f = R >0 R mit f(x) = 1+ln x x und g : R\{0} R mit g(x) = (1 + 5 x )2x. (a) Untersuchen Sie f(x) auf relative Extremwerte. (b) Bestimmen Sie lim x g(x). Aufgabe 0.2 Zeigen Sie, dass die Funktion s : D R mit s(t) = 1 ds t ln ct ; c R der Gleichung t dt + s = ts2 genügt. Aufgabe 0.3 Gegeben sei die Funktion g = R R mit g(x) = 2e x2. (a) Bestimmen Sie mithilfe der Substitution t = x2 eine Stammfunktion der Funktion f(x) = x g(x). (b) Bestimmen Sie z. B. mithilfe der partiellen Integration eine Stammfunktion der Funktion h(x) = x2 f(x). (c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral 0 h(x)dx. Aufgabe 0.4 Von der Bewegung eines Massenpunktes im R3 sei bekannt, dass die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt t 0 gleich v(t) = (e t/2, 2e t/2, 3e t/2 ) ist. Bestimmen Sie den Ort des Massenpunktes zur Zeit t, wenn er zur Zeit t 0 = 0 im Punkt (2, 1, 0) startet. Aufgabe 0.5 Ermitteln Sie im Falle ihrer Existenz den Wert folgender uneigentlicher Integrale: (a) (c) 1 xe ( x2) dx 1 1 dx x (b) (d) 1 e 1 ln x x2 dx 1 x(ln(x))2 dx. Aufgabe 0.6 Gegeben sei die Funktion f : R2 R mit f(x, y) = xe 2y ye 2x. Bestimmen Sie die erste Ableitung y = dy dx von y an der Stelle x 0 = 0 aus der Gleichung f(x, y) = 0 mithilfe der Gleichung f f xdx + y dy = 0. Votierungswoche: