1. Entwicklung nach Frege. 2. Russells Theory of Logical Types. 3. The Intuitionism of Brouwer. 4. Hilbert s Programme of Metamathematics. 5.

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1 Die Philsphie der Mathematik nach Frege 1. Entwicklung nach Frege 2. Russells Thery f Lgical Types 3. The Intuitinism f Bruwer 4. Hilbert s Prgramme f Metamathematics 5. Quellen

2 1. Entwicklung nach Frege - CANTOR fand heraus, dass seine Mengenlehre (Thery f sets) eine Widersprüchlichkeit enthält: fand er das entscheidende Paradx: man nehme an, S ist die Menge aller Mengen, nach seiner eigenen Therie flgt: US S da US aber eine Menge vn Mengen ist, (nämlich die Menge aller Untermengen vn S) muss es Teilmenge der Menge aller Mengen sein, was dann bedeutet: US S Widerspruch! Therie funktiniert nicht

3 - BERTRAND RUSSELL wies FREGE auf einen weiteren Widerspruch in seinen Aximen hin: Etwas gehört zu einer Klasse, wenn es die Eigenschaften besitzt, welche die Elemente dieser Klasse ausmachen Wir nehmen die Eigenschaft: Klasse welche nicht zu sich selbst gehört Alle Elemente mit dieser Eigenschaft frmen die Klasse: Klasse, der Klassen, welche nicht zu sich selbst gehören Diese Klasse heißt K 1: Wir nehmen an, die Klasse K gehört zu sich selbst: Als hat sie die Eigenschaften der Klasse, dessen Element sie ist. Sprich: Sie gehört zur Klasse, dessen Eigenschaft es ist, nicht zu sich selbst zu gehören Widerspruch 2: Wir nehmen an, die Klasse K gehört nicht zu sich selbst: dann hat sie die Eigenschaft, der Klasse K, welche sie selbst ist, als gehört sie dch zu sich selbst das ergibt einen weiteren Widerspruch!

4 - Um dieses Dilemma zu lösen, nahm FREGE zu erst an, dass es Eigenschaften gibt, zu denen sich keine dazugehörigen Klassen finden lassen - Damit löst sich biges Dilemma, da sich keine Klasse findet zur Eigenschaft: Klasse, die nicht zu sich selbst gehört

5 - Frege war damit nicht ganz zufrieden, weitere Lösung: Er mdifizierte sein 5. Axim Tw cncepts shuld be said t have the same extensin if, and nly if, every bject which fell under the first but was nt itself the extensin f the first fell likewise under the secnd and vice versa RUSSELL und spätere Lgiker merkten jedch, dass auch diese Mdifikatin nicht genug half um dem Prblem zu entgehen - Es fanden sich weitere, die Widersprüche in den Therien RUSSELLs und FREGEs fanden, deshalb stellte RUSSELL eine neue Therie auf, Russells Thery f Lgical Types

6 2. Russells Thery f Lgical Types unterrichtete am Trinity Cllege in Cambridge - einer seiner Schüler war Wittgenstein - wllte Grundlagen der Mathematik nach lgischen Prinzipien herleiten

7 - Aussagefunktinen müssen in Typen klassifiziert werden, bezgen auf die Entitäten welche sie als Argumente zulassen - Hierarchie der Entitäten: Männer sind Individuen (Entität 0) Weisheit, weise sein (Entität 1) Kardinaltugend (kann vn Weißheit behauptet werden) (Entität 2) jedes Attribut ist vn einem höheren Typen als die Entität vn der es behauptet der verneint werden kann

8 - Russell nimmt an, dass die Attribute immer vm nächst höheren Level sein müssen - Er behauptet, dass Entitäten universell austauschbar sind (was vn einem behauptet werden kann, kann auch vn allen anderen behauptet werden) - Stellt später fest, dass es besser ist vn Typen vn Symblen, statt vn Typen vn Entitäten zu sprechen

9 3. The Intuitinism f Bruwer war Mitglied vn: Ryal Dutch Academy f Sciences, the Ryal Sciety in Lndn, die Preußische Akademie der Wissenschaften in Berlin, und der Akademie der Wissenschaften in Göttingen - Bruwer erhielt Ehrendktrtitel vn den Universitäten Osl (1929) und Cambridge (1954), wurde Ritter im Orden des hlländischen Löwen (1932) - sagt wie KANT und POINCARE, das mathematische Thereme synthetische a priri Wahrheiten sind

10 - Bestand im Gegensatz zu FREGE, WHITEHEAD und RUSSELL darauf, dass die Arithmetik und alle anderen Arten der Mathematik durch die Intuitin entstehen sllten: ne-intuitinism cnsiders the falling apart f the mments f life int qualitatively different parts, t be re-united nly while remaining seperated by time, as the fundamental phenmenn f the human intellect - Leider stellt BROUWER nie direkt dar was er unter Intuitin versteht, jedch lehnt er alles ab, was mit der Idee eines tatsächlichen Unendlichem zu tun haben könnte bzw. die Existenz eines Slchen.

11 - (Diskussin): Er bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen als ffen, ständig wachsend und niemals am Ende, man kann sie nur verstehen, wenn man ihren Aufbau versteht. - vertritt die Ansicht, dass Mathematik und die Beweise nicht an eine bestimmte Sprache gebunden sind, speziell der Frmalisierung misstraut er - glaubt, dass ein knstruktiver Beweis eine Durchführung eines Experimentes im Geiste sei

12 - Beispiel: (A. HEYTING, Schüler BROUWERs) 2+2=3+1 sllte gelesen werden als: Ich untersuchte die mentalen Knstruktinen 2+2 und 3+1 und habe herausgefunden, dass sie zum gleichen Ergebnis führen. - ab 1918 prduziert er mehrere Arbeiten die seine Ansicht verbreiteten, gegen das Prinzip des ausgeschlssenen Dritten ( Jede Aussage ist entweder wahr der falsch ) - Mathematik, welche aus der Intuitin entsteht, erfrdert kein lgisches System, sndern dient eher als Quelle der mathematischen Prinzipien, da diese Prinzipien erst ausgedrückt werden dürfen, wenn ihre Gültigkeit durch die entsprechende Intuitin gerechtfertigt ist.

13 - Es existiert keine sichere (math.) Sprache, welche Missverständnisse kmplett vermeidet, deshalb ist es mühsam auf eine vllständige Frmalisierung zu hffen. - HEYTING hat 1930 flgende 11 Axime aufgestellt (BROUWER sah sie als zutreffend für die Intuitive Mathematik, dieser Zeit): 1. p ( p. p) 2. ( p. q) ( q. p) 3. ( p q) [( p. r) ( q. r)] 4.[( p q).( q r)] ( p r ) 5. q ( p q) 6.[ p.( p q)] q 7. p ( p q) 8. ( p q) ( q p) 9.[( p r).( q r)] [( p q) r] 10. p ( p q) 11.[( p q).( p q)] p neues Symbl für die Negatin: statt ~ kamen (alle) schn mal in der klassischen Lgik vr

14 vn BROUWER abgewiesene Prinzipien können nicht erstellt werden: p p und p - keine disjunktive Prpsitin zugelassen, slange nicht eine Disjunktin beweisbar ist - GÖDEL fand heraus, dass dieses Aximensystem durch Einführen der Zeichen und, dch wieder klassische lgische Axime hat: P Q ( P. Q) P Q ( P. Q) durch Einsetzen und Vertauschen mit HEYTINGS Aximen, kann man alle Axime der klassischen Lgik erhalten, auch das des ausgeschlssenen Dritten: P P und der Eliminierung der dppelten Negatin: P P

15 das wllte BROUWER ja gerade Vermeiden Gödel hat damit nachgewiesen, dass BROUWER das Prinzip des ausgeschlssenen Dritten, nicht eliminiert hat, sndern lediglich sagen kann, dass er es nicht anwendet, weil er es z.b. für nicht nötig erachtet. Gödel erkannte, dass man die HEYTING-Axime als Abkürzung für kmplizierte klassische Axime verstehen kann: Heytings Ausdruck P PQ. P Q P Q Klassischer Ausdruck ~ P P. Q P Q P Q dabei steht für man kann demnstrieren, dass

16 - Damit wird HEYTINGS System sehr ähnlich zu LEWIS System S4, mit dem einzigen Unterschied dass hier man kann demnstrieren, dass statt ntwendig verwendet wird. - HEYTINGS System ist streng genmmen gar kein lgisches System, sndern es erfrdert sgar ein klassisches lgisches System - Insfern war der intuitive Weg ein Weg, der nicht zum grßen Ziel, des knstruktiven Beweises, führte, sndern er musste dann immer Einschränkungen hinnehmen, wie z. B. den Ausschluss vm Prinzip des ausgeschlssenen Dritten.

17 4. Hilbert s Prgramme f Metamathematics - E. ZERMELO schlug neues Aximensystem vr, um (CANTORs) Mengenlehre vn Paradxien zu befreien - Er knnte nicht sicherstellen, dass es knsistent war, schlss jedch die Widersprüche der letzten Jahre aus. - Er erlaubt nicht mehr beliebige Mengen, nur slche, dessen Existenz durch seine Axime belegt werden kann.

18 - AXIOME: (I) Axim f Definiteness: 2 Mengen sind identisch, wenn alles was Element der einen Menge, auch Element der anderen Menge ist (II) Axim f Elementary Sets: Im Bereich (Dmain) der Mengen existiert eine Menge, welche die leere Menge als Inhalt hat; wenn das Element A Element der Menge ist, ist auch {A} (Menge die nur aus A besteht) Element der Menge (III) Axim f Subsets: Elemente der Menge M können unterschieden werden, b sie eine gewissen Eigenschaft haben. Es existiert dann eine Teilmenge L, L M, in der alle, aber nur diese Elemente sind, welche die Eigenschaft haben (IV) Axim f the Pwer Set: enthält alle Teilmengen vn S

19 (V) Axim f the Unin Set: Menge S, es existiert eine Menge L, welche alle Elemente, die Elemente der Elemente der Menge S sind, enthält (VI) Axim f Chice: alle Elemente der Menge S schließen sich gegenseitig aus, alle sind ungleich der leeren Menge. Dann existiert eine Teilmenge der Vereinigungsmenge welche jeweils ein Element der Elemente vn S hat - er limitierte die Mengen auf Mengen, welche nicht zu grß sind - Bereich der Mengen darf selbst keine Menge sein - Vn Neumann ergänzte, dass die Mengen sehr grß werden dürfen. Bis zur Menge vn Allem, die nicht Teilmenge/Element vn irgendetwas sein darf

20 - Hilbert wllte Arithmetik nicht auf Lgik reduzieren, sndern beide aufeinander aufbauen, damit sie zusammen genmmen frei vn Widersprüchen sind - Glaubte an aximatische Methde ( lgisch unangreifbar, fruchtbar, think with knwledge f what ne is abut, leaves the advantages f disbelief ) On the Infinte : Therie des tatsächlich Unbegrenztem ( the mst admirable flwering f the mathematical spirit ) Jedes mathematische Prblem ist lösbar Stimmt mit BROUWER überein über die Vrmachtstellung der Intuitin und des knstruktiven Arguments

21 Findet Begründungen durch: direct reflectins n cntent that prceeds withut aximatic assumptins but by means f thught-experiments n bjects imagined in full cncreteness and by the use f mathematical inductin sehr ähnlich zu BROUWER - Unterschiede: klassische Mathematik mit idealen Theremen ist unerreichbar durch finitary methds, sllte als wertvll bewahrt werden, wenn die Knsistenz der Axime vn denen sie abgeleitet ist durch finitary argument bewiesen werden kann - Möchte ein System bestehend aus: Therie der Zahlen Klassischer Analyse

22 Mengenlehre basierend auf: beschränktem Kalkül der Aussagefunktinen Freges Aximen der Identität Aximen vn Nummern/Zahlen (z.b. Pean) Aximen der Zugehörigkeit (Zermel) Oder gleichmächtige System sllte insgesamt knsistent sein, Einzelteile sind relativ unwichtig (z.b. ihre Abhängigkeit) - nach Beweis der Knsistenz der Axime der knstruktiven Methden ließ er sich hinreißen nicht knstruktive Methden als Weiterführung der knstruktiven Methden zu behandeln - die knstruktive Mathematik ermöglicht Einblicke in ein spezielles Themengebiet

23 - keine Garantie, dass Thereme, welche hne diese Einsicht erlangt werden, das selbe Themengebiet behandeln Zweifel daran b man HILBERTs Methden knsequent anwenden kann trieb die Frschung in die richtige Richtung, zu den deduktiven Systemen

24 5. Quellen - William and Martha Kneale Develpment f Lgic - Internet:

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