Allgemeine Mechanik Musterlösung Klausur Winter 2015.

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1 Allgemeine Mechanik Musterlösung Klausur Winter HS 2014 Prof. Thomas Gehrmann Datum: 02. Februar 2015 Kurzfragen. [20 Punkte] (a) Entscheiden Sie für die folgenden Symmetrien, ob das Noether-Theorem für sie eine entsprechende Erhaltungsgrösse vorhersagt. Wenn ja, welche, bzw. wenn nein, warum nicht? (2 Punkte) (i) Symmetrie bezüglich Rotationen um 90 um die z-achse (ii) Translationssymmetrie in x- y- und z-richtung (iii) Rotationssymmetrie um die x-achse (iv) Spiegelsymmetrie (i) No, the symmetry needs to be continuous. (ii) Yes, conservation of all components of the linear momentum. (iii) Yes, conservation of the x-component of angular momentum. (iv) No, the symmetry needs to be continuous. (b) Beschreiben Sie die Konzepte von Libration und Rotation im Hamilton-Jacobi Formalismus. Wie sind Winkel- und Wirkungsvariablen definiert? (2 Punkte) A libration describes a motion where phase space trajectories are closed, such that both coordinates are periodic in time. In a rotation, the coordinate is unbounded but the system state is the same for all q + nq 0 (n N). An action variable (Wirkungsvariable) is defined as the area within the libration curve or under one cycle of the roation curve: J i := p i dq i. (L.1) cycle An angle variable w i (Winkelvariable) is the canonically conjugate variable. (c) Wie ist der Trägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung definiert? Was sind die Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen eines starren Körpers? (2 Punkte) The moment of inertia tensor is defined as Θ ij := d 3 xρ( x) ( x 2 ) δ ij x i x j. (L.2) The principal axes are given by the coordinate system in which this tensor is diagonal. The principal moments of inertia are the diagonal entries in this system. (Alternative: principal moments of inertia are eigenvalues and principal axes are the eigenvectors of ˆΘ.) (d) Wie transformieren ein (i) Skalar, (ii) ein kontravarianter Vektor und (iii) ein kovarianter Tensor (2. Stufe) unter der Lorentz-Transformation? Definieren Sie allgemein ko- und kontravariante Vektoren. (2 Punkte) 1

2 A scalar is invariant under a Lorentz transformation, a contravariant vector transforms like a ν = L ν µa µ, a covariant tensor (2 nd rank) transforms like T µν = L κ µ L λ ν T κλ. In general, a vector that transforms like a ν = ( x ν / x µ )a µ under a coordinate transformation is called contravariant and one that transforms like a ν = ( x µ / x ν )a µ is called covariant. (e) Gegeben sei die Langrangefunktion (i) Gibt es zyklische Koordinaten? L(x, θ, ẋ, θ) = M 2 ẋ2 + m 2 l2 θ2 + mẋl θ cos θ + mgl cos θ. (1) (ii) Falls ja, wie sehen die zugehörigen Konstanten der Bewegung aus? (iii) Ist die Gesamtenergie erhalten? (2 Punkte) (i) x is a cyclic coordinate because L x = 0. (ii) The corresponding constant of motion is given by the canonical momentum p x = L ẋ = Mẋ + ml θ cos θ. (L.3) (iii) The energy is conserved due to L t = 0. (f) f(p, q, t) und g(p, q, t) seien Funktionen im Phasenraum, wobei p und q kanonisch konjugierte Variablen sind. (i) Definieren Sie die Poissonklammer [f, g]. (ii) Drücken Sie die Bewegungsgleichung für f(p, q) mit Hilfe von Poissonklammern aus, wenn H(p, q) die Hamiltonfunktion des Systems ist. (1 Punkt) (i) The Poisson bracket is defined by [f, g] f g q p f g p q. (L.4) (ii) The equation of motion can then be written as df dt = [f, H] + f t. (L.5) (g) Erklären Sie den Begriff Phasenraum und formulieren Sie den Satz von Liouville. (2 Punkte) 2

3 Let f be the number of degrees of freedom of a given system. Then the phase space is defined by the 2f-dimensional space of the canonically conjugate variables (q i, p i ), which uniquely determine the state of a system at a given time t. The system in phase space at that given time t is then described by a point and its time evolution, i.e. by a trajectory in phase space. Liouville s theorem states that the volume of an ensemble of particles in phase space is constant over time. Phase space trajectories cannot cross as a consequence of the phase space volume being enclosed by phase space trajectories. (h) Wie ist die physikalische Grösse Wirkung definiert und was besagt das Hamiltonsche Prinzip? (2 Punkte) Let L be the Lagrangian and let the functional be the action of a trajectory q(t). S[q] = t2 t 1 dt L(q, q, t) (L.6) Hamilton s principle then states that trajectories are determined by the extremal condition δs[q] = 0, which is equivalent to the Lagrange equations of the second kind. (i) Die Skizze zeigt das effektive Potential U(r) = α r + L2 2µr 2 (2) des Kepler-Problems mit der Konstanten α, dem Abstand r, dem Drehimpuls L und der reduzierten Masse µ des Systems. Welche Bahnkurven kann das System als Funktion der Energie annehmen? (2 Punkte) U(r) r min r U min E > 0 : E = 0 : U min E < 0 : E = U min : E < U min : hyperbola (scattering orbit) parabola (scattering orbit) ellipse (closed orbit) circle (closed orbit) no orbit 3

4 (j) Gegeben sei der gedämpfte harmonische Oszillator ẍ + 2 λ ẋ + ω 2 0 x = 0 (3) mit der Dämpfungskonstante λ und der Eigenfrequenz ω 0. Wie sehen die drei verschiedenen Lösungen für x(t) aus? Geben Sie jeweils an, wie sich ω 0 zu λ verhält und skizzieren Sie das Amplitudenverhalten als Funktion der Zeit. (3 Punkte) For A, B R, we have (i) (ii) (iii) ( ) )) ω 0 > λ : x(t) = e (A λt cos ω0 2 λ2 t + B sin (ω 20 λ2 damped oscillation, (L.7) ω 0 < λ : x(t) = e λt ( A e λ 2 ω 2 0 t + B e λ 2 ω 2 0 t), (L.8) no oscillation (crawling motion) ω 0 = λ : x(t) = (A + B t) e λt. (L.9) no oscillation (aperiodic boundary case, critical damping) For A > 0, the amplitude as a function of time then looks as follows: Aufgabe 1. Massenpunkt auf einer Parabel [9 Punkte] Ein Massenpunkt mit Masse m ist gezwungen, sich in der xz-ebene entlang einer Parabel, gegeben durch z = Cx 2 (mit C > 0), reibungslos zu bewegen. Auf den Massenpunkt wirkt die Schwerkraft in negative z-richtung. 4

5 (a) Formulieren Sie die Zwangsbedingung und schreiben Sie die Lagrangegleichungen 1. Art für x und z auf. Eliminieren Sie die Zwangskraft und z, um eine Bewegungsgleichung für x zu erhalten. (3 Punkte) (b) Betrachten Sie kleine Auslenkungen (nur lineare Terme in der Bewegungsgleichung) und geben Sie dafür die allgemeine Lösung x(t) an. (2 Punkte) (c) Wählen Sie x als verallgemeinerte Koordinate und geben Sie die Lagrangefunktion an. Stellen Sie die Lagrangegleichung 2. Art auf und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich. (2 Punkte) (d) Finden Sie den kanonischen Impuls p zu x und leiten Sie die Hamiltonfunktion H(x, p) her. Vereinfachen Sie diese. (2 Punkte) (a) The constraint is F (x, z) = Cx 2 z = 0. The Lagrange equations of the first type are then: mẍ = λ F x = 2λCx m z = mg + λ F z = mg λ z = Cx 2 (L.10) (L.11) (L.12) From the Eq. L.12 follows ż = 2Cxẋ and z = 2Cxẍ + 2Cẋ 2. We plug this into Eq. L.11 obtaining λ = mg 2mCxẍ 2mCẋ 2 (L.13) which we plug in into L.10 leading to ẍ = 2λCx m = 2gCx 4C2 x 2 ẍ 4C 2 xẋ 2 (L.14) (b) For small displacements we neglect the non-linear terms in L.14. Then ẍ = 2gCx The general solution reads x = A cos( 2gCt + φ), where A and φ are constants to be defined. (L.15) (L.16) (c) The kinetic energy is T = 1 2 mẋ mż2 = m 2 (1 + 4C2 x 2 )ẋ 2 (L.17) and the potential energy is Then the Lagrange function is U = mgz = mgcx 2 (L.18) L = T U = m 2 (1 + 4C2 x 2 )ẋ 2 mgcx 2 (L.19) The equations of motion (Lagrange equations of the second type) read 0 = d L dt ẋ L x = d ( m(1 + 4C 2 x 2 )ẋ ) 4mC 2 xẋ 2 + 2mgCx (L.20) dt 5

6 We differentiate and cancel m (1 + 4C 2 x 2 )ẍ + 8C 2 xẋ 2 4C 2 xẋ 2 + 2gCx = 0 (L.21) The resulting equation reduces to Eq. L.14 (d) The canonical momentum is p = L ẋ = m(1 + 4C2 x 2 )ẋ (L.22) We express the speed ẋ in terms of the momentum p ẋ = m(1 + 4C 2 x 2 ). (L.23) The Hamilton function reads then H = pẋ L = p 2 p 2 m(1 + 4C 2 x 2 ) m 2 (1 + 4C2 x 2 ) ( ) p 2 m(1 + 4C 2 x 2 + mgcx 2 (L.24) ) = 1 2 m(1 + 4C 2 x 2 ) + mgcx2 (L.25) (L.26) Aufgabe 2. Federpendel [10 Punkte] Eine Masse m hängt an einer Feder mit Federkonstante k und Gleichgewichtslänge a. Das andere Ende der Feder hängt an einem Nagel, sodass sie in der xz-ebene schwingen kann. Die Schwerkraft wirkt in negative z-richtung. z x ϕ l m (a) Zeigen Sie, dass die Lagrangefunktion des Federpendels durch L = 1 2 m ( l2 + l 2 ϕ 2) 1 2 k (l a)2 + mgl cos ϕ (4) gegeben ist, wobei l die Länge der Feder und ϕ der Winkel zwischen der Feder und der z-achse ist (siehe Abbildung). (2 Punkte) (b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Pendels auf, und bestimmen Sie die zwei Gleichgewichtspunkte der Masse. (3 Punkte) (c) Analysieren Sie die Stabilität bezüglich kleiner Variationen der beiden Gleichgewichtspunkte. (3 Punkte) (d) Bestimmen Sie die beiden Eigenfrequenzen der Schwingungen um die stabile Gleichgewichtslage (für kleine Auslenkungen). (2 Punkte) 6

7 (a) The position and velocity of the mass are given by x = l sin ϕ, ẋ = l sin ϕ + l ϕ cos ϕ, (L.27) y = 0, ẏ = 0, (L.28) z = l cos ϕ, ż = l cos ϕ + l ϕ sin ϕ. (L.29) It follows that the kinetic energy is T = 1 2 m ( ẋ 2 + ż 2) = 1 2 m ( l2 + l 2 ϕ 2). (L.30) The potential energy is divided into two parts: the gravitational potential V pot = mgz = mgl cos ϕ, and the elastic potential V el = 1 2 k l2 = 1 2 k (l a)2. The Lagrangian is then L = T V el V pot = 1 2 m ( l2 + l 2 ϕ 2) 1 2 k (l a)2 + mgl cos ϕ. (L.31) (b) The equations of motions are d ( ml2 ϕ ) + mgl sin ϕ = 0 (L.32) dt d ( ) m l ml ϕ 2 + k (l a) mg cos ϕ = 0, (L.33) dt which simplify to l ϕ = 2 l ϕ g sin ϕ (L.34) l = l ϕ 2 k (l a) + g cos ϕ. m (L.35) Setting ϕ = ϕ = l = l = 0, we find 0 = sin ϕ (L.36) 0 = k (l a) g cos ϕ. (L.37) m Hence the equilibrium points are (ϕ 0, l 0 ) = ( 0, a + mg ) k, and (ϕ0, l 0 ) = ( π, a mg ) k. (c) We expand the solution around the equilibrium points, i.e. ϕ = ϕ 0 + δϕ and l = l 0 + δl. The expansion to the linear terms of the equations of motion is then δ ϕ = g l 0 δϕ (L.38) δ l = k m δl, (L.39) where the minus sign in the first equation holds for the ϕ 0 = 0 case, while the plus sign holds for the ϕ 0 = π case. The solution of δl is stable in both cases (oscillation). On the other hand the solution of δϕ is stable for ϕ 0 = 0 (oscillation), while it is unstable for ϕ 0 = π (exponential increasing solution). Hence the equilibrium point (ϕ 0, l 0 ) = ( 0, a + mg ) ( k is stable and (ϕ0, l 0 ) = π, a mg ) k is unstable. ( ) 1 (d) From L.38 we find that the frequency of the pendulum is ω p = a g + m k, while from L.39 we find that the frequency of the spring is ω s = k m. 7

8 Aufgabe 3. Raumstation [8 Punkte] Eine Raumstation hat die Form eines dünnen Torus ( Donut die Dicke des Rings kann vernachlässigt werden) und dreht sich um ihre Symmetrieachse, sodass die wahrgenommene Beschleunigung im Ring gerade der Schwerkraft g entspricht. Der Radius der Raumstation ist R und deren gesamte Masse M ist im äusseren Ring konzentriert. (a) Zeigen Sie, dass der Trägheitstensor der Raumstation durch ˆΘ = δ ij Θ i mit Θ 3 = MR 2 und Θ 1 = Θ 2 = 1 2 Θ 3 gegeben ist. (2 Punkte) (b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit und den Drehimpuls der Raumstation. (1 Punkt) Zu einem Zeitpunkt wird ein Raumschiff vom äusseren Ring der Raumstation in einer Richtung parallel zur deren Drehachse abgeschossen, wobei ihr ein Impuls I in die entgegengesetzte Richtung zugeführt wird, siehe auch Abbildung 1. Die Massenänderung der Raumstation soll vernachlässigt werden. Abbildung 1: Raumstation in der Form eines Torus mit Radius R und Masse M. Der Impuls I wird der Raumstation am äusseren Ring in einer Richtung parallel zur deren Drehachse zugeführt. (c) Berechnen Sie den Drehimpuls nach dem Abschuss. Nehmen Sie dabei an, dass der Abschuss am Punkt (R, 0, 0) erfolgt. (1 Punkte) (d) Wie verhält sich die Präzessionsachse zur Richtung des Drehimpulses? Berechnen Sie den Öffnungswinkel des Präzessionskegels und die Präzessionsfrequenz. (3 Punkte) (e) Hat sich die Eigenrotation verändert? Warum, bzw. warum nicht? (1 Punkt) (a) The space station is two dimensional so one of the main axes must be perpendicular to the plane in which the space station lies. It also has rotational symmetry in that plane so any axis perpendicular to the symmetry axis (in a body centered coordinate system) is also a main axis. It follows that the moment of inertia tensor is diagonal with at least Θ 1 = Θ 2. The moment of inertia with respect to the symmetry axis is Θ 3 = MR 2 and with respect to a perpendicular axis we have Θ 1,2 = 1 2 Θ 3. (b) Before the ejection of the space ship the space station is spinning around its symmetry axis z (in the body centered coordinate system xyz) with an angular velocity ω z such that g = Rω 2 z. This leads to ω z = g/r and L = Θ 3 ω z z. (c) Assuming that the momentum I is transferred to the space station in (R, 0, 0) the added angular momentum is given by RI y. The angular momentum with respect to the center 8

9 of mass after the ejection can thus be written as L 0 = Θ 3 ω z z + RI y = Θ 3 ω z z Θ 3ω y y L Z, (L.40) where ω y = 2RI Θ 3. Since no other torques act on the station L 0 is conserved and Z defines a fixed direction in space and since it is different from the symmetry axis z, the symmetry axis z of the station will precess around it. (d) The angle between the precession angle and the symmetry axis is φ = arctan RI Θ 3 ω z = arctan RI MR 2 g/r = arctan I M gr. (L.41) To determine the precession frequency we express the total rotation vector ω in the basis of the symmetry axis z and the precession axis Z: ω = ω z z + ω y y = ω z z + 2RI Θ 3 The precession velocity is L Z Θ 3 ω z z RI Ω = 2 L Θ 3 = 2 = ω z z + 2 L Θ 3 Z ωz z + Ω Z. (L.42) ω 2 z + ω y 2 2 = 2ω z cos φ. (L.43) (e) From eq. (L.42) we see that the spin of the space station is reversed compared to before the ejection but the frequency of proper rotation around the symmetry axis is still ω z since the added angular momentum was perpendicular to the z axis. Aufgabe 4. Hamilton-Formalismus [4 Punkte] Gegeben sei die Hamiltonfunktion eines Systems mit zwei Freiheitsgraden r und s: H(r, p r, s, p s ) = p2 s 2m + (p s p r ) m 2 mω2 0s 2. (5) (a) Bestimmen Sie die kanonischen (Hamiltonschen) Gleichungen, und geben Sie die kanonischen Impulse p r (ṙ, ṡ) und p s (ṙ, ṡ) an. (2 Punkte) (b) Berechnen Sie r(t) und s(t) (allgemeine Lösung). Hinweis. Zeigen Sie zunächst, dass s + 2ω 2 0s = 0. (2 Punkte) (a) From Hamilton s equations q = H p q, ṗ q = H q q {r, s} (L.44) we obtain mṙ = p r p s mṡ = 2p s p r, (L.45) ṗ r = 0 ṗ s = mω 2 0s. (L.46) 9

10 Solving {p r, p q } from (L.45) we obtain p r = m(2ṙ + ṡ), p s = m(ṙ + ṡ). (L.47) (L.48) (b) Doing first the time derivative in (L.45) and then inserting (L.46) we obtain m r = ṗ r ṗ s m r = mω2 0 s m s = 2ṗ s ṗ r m s = 2mω0 2s r = ω0 2s s + 2ω0 2s = 0. (L.49) For s we have the equation of an harmonic oscillator s + 2ω0 2 s = 0. The solution is s(t) = s 0 cos( 2ω 0 t ψ 0 ), (L.50) where s 0, ψ 0 are constants of integration. The solution of r is obtained integrating twice r = ω 2 0 s(t) ṙ(t) = v 0 + ω 2 0 r(t) = r 0 + t t where r 0, v 0 are constants of integration. 0 0 dt s(t ) = v 0 + ω 0s 0 2 sin( 2ω 0 t ψ 0 ), (L.51) dt ṙ(t ) = r 0 + v 0 t s 0 2 cos( 2ω 0 t ψ 0 ), (L.52) Aufgabe 5. Geodäte [8 Punkte] Gesucht ist die Gleichung für den kürzesten Weg (Geodäte) zwischen zwei Punkten A und B auf der Oberfläche eines Kegels der durch x = z cos θ, y = z sin θ definiert ist. Abbildung 2: Geodäte auf der Kegeloberfläche. 10

11 (a) Zeigen Sie (ds) 2 = 2(dz) 2 + z 2 (dθ) 2, wobei ds das Längenelement einer Linie auf der Kegelfläche ist. (2 Punkte) (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Variationsprinzips eine DGL für θ(z) für die Geodäte, und berechnen Sie deren allgemeine Es gilt du = arctan u u 2 1. (3 Punkte) 4 u 2 (c) Bringen Sie schliesslich das Ergebnis in die Form z(θ) und vereinfachen Sie die trigonometrischen Funktionen soweit wie möglich. (3 Punkte) (a) Partial derivatives: x z = cos θ y z = sin θ x = z cos θ y = z sin θ (L.53) (L.54) (L.55) (L.56) (L.57) (L.58) Differentials: x = z sin θ θ (L.59) y θ = z cos θ dx = cos θdz z sin θdθ dy = sin θdz + z cos θdθ (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 = 2(dz) 2 + z 2 (dθ) 2 (L.60) (L.61) (L.62) (L.63) (L.64) (b) S = B A = 2(dz) 2 + z 2 (dθ) 2 = 2 + z 2 (θ ) 2 dz (L.65) Denoting the integrand f(z, θ, θ ) the condition for minimising the path is: ( ) d f dz θ = f (L.66) θ ( ) d 2θ z 2 dz 2 = 0 (L.67) 2 + z 2 (θ ) 2 θ z z 2 (θ ) 2 = C = const (L.68) θ z 2 = C 2 + z 2 (θ ) 2 (L.69) (θ ) 2 (z 4 C 2 z 2 ) = 2C 2 (L.70) 2C θ = (L.71) z 4 C 2 z 2 11

12 Changing the variables z = Cu and using the integral given in the hint we obtain θ(z) = 2 arctan z 2 C θ 0 (L.72) (c) Now we simplify to obtain z(θ) z 2 arctan z 2 C 2 1 = 1 2 (θ θ 0 ) C 2 1 = tan z 2 C 2 = tan2 z(θ) = C = (L.73) ( ) 1 2 (θ θ 0 ) (L.74) ( ) 1 2 (θ θ 0 ) + 1 = tan 2 (Ω) + 1 (L.75) tan 2 (Ω) + 1 (L.76) C ( ) (L.77) cos 2 1 (θ θ 0 ) 12