Erfüllt eine Funktion f für eine feste positive Zahl p und sämtliche Werte t des Definitionsbereichs die Gleichung

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1 34 Schwingungen Im Zusammenhang mit Polardarstellungen trifft man häufig auf Funktionen, die Schwingungen beschreiben und deshalb für den Ingenieur von besonderer Wichtigkeit sind Fast alle in der Praxis auftretenden Schwingung sind periodisch Anschaulich meint man damit Funktionen, die sich "immer wiederholen" Für ihre exakte Beschreibung braucht man den Begriff der Perioden Erfüllt eine Funktion f für eine feste positive Zahl p und sämtliche Werte t des Definitionsbereichs die Gleichung f ( t + p ) = f( t ), so nennt man f periodisch mit Periode p Diese Zahl ist nicht eindeutig bestimmt: Mit p ist auch n mal p für jede natürliche Zahl n wieder eine Periode Offenbar ändert eine Verschiebung entlang der x-achse nichts an der Periode: f ( s + t + p ) = f ( s + t ) Die wichtigsten Beispiele periodischer Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen Beispiel 1: Sinus und Cosinus haben die kleinste Periode 2 π, während Tangens und Cotangens die kleinste Periode π haben (Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind nur in Teilbereichen definiert und nicht periodisch!) Beispiel 2: Die (untere) Gaußklammer ordnet jeder reellen Zahl t die größte ganze Zahl unterhalb (oder gleich) t zu: [ t ] = max { n : n ganzzahlig, n t } Diese Funktion (bei MAPLE mit floor bezeichnet) ist eine nicht periodische Treppenfunktion Dagegen ist die Sägezahnfunktion w(t) = t [t] periodisch mit Periode 1

2 Perioden zusammengesetzter Funktionen Ist f periodisch mit Periode p, so auch jede zusammengesetzte Funktion g o f mit g o f (t) = g ( f( t )) Beispiel 3: Die Rechteckfunktion r( t ) = signum ( sin( t )) hat ebenfalls die Periode 2 π : Beispiel 4: Verkleinerung der Periode Die kleinste Periode der zusammengesetzten Funktion g o f kann aber auch echt kleiner als die von f sein Nimmt man etwa f( t ) = sin( t ) und g( x ) = x, 1 x 2 so hat die Funktion g ( sin( t )) = tan( t ) ebenso wie die Funktion sin(t) die kleinste Periode π

3 Periodizität beobachtet man besonders gut bei Drehbewegungen Beispiel 5: Mondphasen Die Periode einer Umdrehung des Mondes um die Erde beträgt ungefähr einen Monat Die Größe der beschatteten Fläche ist proportional zu der Fläche unter einer Sinuskurve

4 Periodische komplexwertige Funktionen sind zb die von der Polardarstellung bekannten Funktionen f( t) = r e ( i ( ω t + φ ) ) = r e ( ) i φ e ( ) i ω t = h( t) + i k( t ), wobei ω, φ und r feste reelle Zahlen mit r > 0 sind Diese Funktionen beschreiben Kreisbahnen in der Ebene Reine Schwingungen Der Realteil der obigen komplexen Funktion f( t ) lautet h( t) = r cos ( ω t + φ) und wird als harmonische oder reine Schwingung bezeichnet Man nennt r die Amplitude, Wegen ist ω die Kreisfrequenz, ω ν = die Frequenz, 2 π φ die (Null-)Phase 2 π f t + = r e ( i ( ω t + 2 π + φ ) ) = r e ( i ( ω t + φ )) = f( t ) und ω 2 π h t + = h( t ) ω 2 π 1 = ω ν die Periode oder Schwingungsdauer Solche Schwingungen spielen in vielen technischen und physikalischen Bereichen eine ganz wesentliche Rolle, zum Beispiel in der Mechanik, Elektrotechnik, Optik, Akustik und Atomphysik Beachten Sie, dass auch der Imaginärteil der Funktion f( t) = r e ( i ( ω t + φ ) ), also π 1 k( t ) = r sin ( ω t + φ) = r cos ω t + φ = h t 2 4 v eine harmonische Schwingung ist, allerdings mit um π 2 verschobener Phase Streckungen und Stauchungen Hat eine Funktion f die Periode p, so sind für beliebige Konstanten c > 0 und d auch die Funktionen d f( c t ) periodisch, und zwar mit Periode p/c Der Faktor d verändert die Amplitude, aber nicht die Periode! Die durch g(t) = d f( d t ) beschriebene Kurve ist stets ähnlich zu der durch f(t) beschriebenen, wobei der Streckfaktor d ist

5 Beispiel 5: Wellenfunktionen Das Bild der Funktion sin( 2 t ) entsteht aus sin( t ) durch Zusammenschieben in Richtung der x-achse, und daraus sin( 2 t ) 2 t durch anschließendes Zusammenschieben in Richtung der y-achse Hier einige weitere harmonische Schwingungen: Die Funktionen sin( n t ) n für n = 1,,10: Summe und Überlagerung (Superposition) Die Summe von Funktionen beschreibt mathematisch die Überlagerung der zugehörigen Kurven Die Summe von periodischen Funktionen ist im allgemeinen nicht mehr periodisch! Für die Praxis von besonderer Bedeutung ist die Überlagerung zweier oder mehrerer Schwingungen

6 Beispiel 6: Eine nichtperiodische Überlagerung periodischer Schwingungen Die Funktion sin( t ) + sin( π t ) ist nicht periodisch, weil π irrational ist! Haben allerdings die beteiligten Schwingungen die gleiche Frequenz bzw Periode, so ist auch die Überlagerung wieder eine harmonische Schwingung der gleichen Frequenz bzw Periode Allgemeiner gilt das nützliche Superpositionsprinzip Besitzen die Perioden p 1 und p 2 zweier periodischer Funktionen f 1 und f 2 ein rationales Verhältnis, etwa p 1 n 1 = p 2 n 2 mit natürlichen Zahlen n 1 und n 2, so ist die Summenfunktion f 1 + f 2 wieder periodisch, und zwar mit Periode Denn es gilt ja p = n 2 p 1 = n 1 p 2 f 1 ( t + n 2 p 1 ) + f 2 ( t + n 1 p 2 ) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) Natürlich kann die kleinste Periode der Summenfunktion kleiner als p sein Im Extremfall ist die Summe ja sogar möglicherweise die Nullfunktion! Beispiel 7: Überlagerung von Sägezahnfunktionen Das Superpositionsprinzip findet auch Anwendung bei anderen Funktionen als Schwingungen, etwa den Sägezahnfunktionen f n ( t ) = n t [ n t ] mit der Periode 1 n Beispielsweise ist die kleinste Periode von gleich 1 f 2 ( t ) f 3 ( t ) = [ 3 t ] [ 2 t] t

7 Amplitude und Phase von überlagerten Schwingungen berechnet man am bequemsten mittels komplexer Polardarstellung: ( i φ ) k ( i ω t ) h k ( t) = r k cos ( ω t + φ k ) = Re( r k e e ) (k = 1, 2) Summation ergibt: ( i φ ) 1 ( i ω t ) e e + ( i φ ) ( i φ ) ) 2 ( i ω t ) 1 r 2 e e = ( e + r 2 e( ) Die Realteile beschreiben dann die Überlagerung cos ( ω t + φ 1 ) + r 2 cos ( ω t + φ 2 ) = r cos ( ω t + φ ) i φ 2 e ( i ω t ) Dabei berechnet man die neue Amplitude und den neuen Phasenwinkel φ folgendermaßen: ( ) e i φ 1 r 2 e( ) + i φ 2 = x + i y = r e ( ) i φ, x = cos( φ 1 ) + r 2 cos( φ 2 ) und y = sin( φ 1 ) + r 2 sin( φ 2 ) Umrechnung in Polarkoordinaten ergibt r = x 2 + y 2 = + + cos( φ ) = 2 r 2 2 cos( φ 1 ) + r 2 cos( φ 2 ) r 2 r 2 cos ( φ 1 φ 2 ) Die neue Amplitude ist also die dritte Seite in einem Dreieck mit den alten Amplituden als Seiten und der Phasendifferenz als Zwischenwinkel Die Superposition zweier reiner Schwingungen mit rationalem Periodenverhältnis ergibt eine periodische (im allgemeinen nicht reine) Schwingung Beispiel 6: Summen von Cosinus-Funktionen ω 1 = 1, = 1, φ 1 = 1 ω 2 = 1, r 2 = 2, φ 2 = 0 h 1 ( t ) = cos ( t + 1 ), h 2 ( t ) = 2 cos( t ), h( t ) = cos ( t + 1 ) + 2 cos( t) x = cos( 1 ) + 2, y = sin( 1 ), r = , φ =

8 h 1 ( t ) = cos( t ), h 2 ( t ) = cos( 5 t ), h( t ) = cos( t ) + cos( 5 t) Summenformeln Zur Vorbereitung brauchen wir noch einige Varianten der Gleichung von Euler-DeMoivre-Laplace (1) e ( i φ ) = cos( φ) + i sin( φ ) (2) e ( ) i φ = (3) e ( i φ) + e ( i φ ) = 2 cos( φ ) (4) e ( ) (5) 1 + e ( i φ ) = 2 e i φ 2 cos φ 2 cos( φ) i sin( φ ) i φ e ( ) (6) 1 e ( i φ ) i φ = 2 i sin( φ ) = 2 i e i φ 2 sin φ 2 Gleichung (5) ergibt sich aus (3), indem man φ durch φ 2 ersetzt und mit 2 e Analog gewinnt man (6) aus (4) i φ 2 multipliziert Mit Hilfe der Gleichungen (3) und (4) lassen sich alle trigonometrsichen Funktionen auf die komplexe Exponentialfunktion e ( i φ) zurückführen Superposition verschobener Wellen In vielen physikalischen und technischen Situationen werden mehrere Schwingungen gleicher Amplitude, die um Vielfache einer gemeinsamen Phase verschoben sind, überlagert Das ist rechnerisch schon etwas trickreicher und benutzt geometrische ReihenWir betrachten eine von 1 verschiedene Einheitswurzel w = e ( i φ ) Die (n + 1)-fache Superposition (geometrische Reihe)

9 g( t ) = r e ( i ω t ) + r e ( i ( ω t + φ ) ) + + r e ( i ( ω t + n φ) ) = r e ( i ω t ) (1 + w + + w n ) = r e ( i ω t ) 1 n + 1 ) w( 1 w läßt sich nach der obigen Formel (6) mit Hilfe des halben Winkels ψ = φ 2 umschreiben zu mit g( t) = r e ( i ( ω t + n ψ ) ) sin ( ( n + 1) ψ ) = R e i ( ω t + n ψ ) sin( ψ ) R = r sin (( n + 1) ψ ) sin( ψ) Für die Realteile bedeutet das r cos( ω t) + r cos ( ω t + φ ) ++ r cos ( ω t + n φ ) = R cos ( ω t + n ψ ), also eine Schwingung mit der gleichen Kreisfrequenz ω, aber der neuen Phase Φ = n ψ und der neuen Amplitude R Entsprechend liefert der Vergleich der Imaginärteile die Formel r sin( ω t) + r sin ( ω t + φ ) ++ r sin ( ω t + n φ ) = R sin ( ω t + n ψ ) Beispiel 7: Summe von Schwingungen mit verschobener Phase π 1 r = 1, ω = π, φ =, ν =, Periode = n = 9, Φ = 9 π, R = 2 4

10 Modulierte Schwingungen Die Überlagerung zweier komplexer Schwingungsfunktionen (mit eventuell sogar komplexen Amplituden a 1 und a 2 ) kann man als Produkt in der folgenden Form schreiben: ( i ω t ) ( i ω t ) 1 2 e + r 2 e = r( t) e mit einer variablen Amplitude i ( ω ω ) t r( t ) = e + r 2 e i ( ω + ω ) t i ( ω ω ) t Die überlagerte Schwingung hat das arithmetische Mittel + ω 1 ω 2 2 als "Grundfrequenz", jedoch wird die Amplitude "moduliert" Von besonderem Interesse bei akustischen Problemen (Schallwellen!) sind sogenannte Schwebungen Hier sind die beiden Einzelfrequenzen zwar nicht gleich, liegen aber sehr nahe beieinander Deshalb ändert sich die Amplitude mit der Schwebungsfrequenz ω 1 ω 2 2 π Beispiel 8: Zwei Schwebungen h( t ) = cos( ω 1 t ) + cos( ω 2 t ) = 2 cos ( ω 1 ω ) 2 t cos ( ω 1 + ω ) 2 t 2 2 ω 1 = 9, ω 2 = 10 ω 1 = 49, ω 2 = 50 Die äußere "einhüllende" Randkurve wird jeweils beschrieben durch die Funktion + cos t 2