Trignonometrische Funktionen 6a

Transkript

1 Schuljahr 2015/16 Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, November 23, 2015

2 Winkelmaße Winkelmaß bis 6. Klasse: Grad (0 360 ) Willkürlich festgelegt weil 360 durch viele Zahlen ohne Rest teilbar ist. Winkelmaß ab 6. Klasse: Bogenmaß (0 rad 2π rad ) Bezug zum (Einheits )Kreis. (Natürlich bezüglich der Ableitung von trigonometrischen Funktionen; 7. Klasse)

3 Umrechnung und Bogenlänge

4 Drehbewegungen I Drehwinkel: Maß des bei der Bewegung zurückgelegten Winkels. Positiver Drehsinn (gegen Uhrzeigersinn): z.b. 60. Negativer Drehsinn (im Uhrzeigersinn): z.b. 60.

5 Drehbewegungen II Der Drehwinkel kann auch größer als 360 bzw. 2π sein. Z.B. 540 bzw 3π. Dies entspricht voller Drehung.

6 Sinus sin := { R [ 1, 1] R x sin x Nullstellen: sin x = 0 x = k π mit k Z. = sin( 3π) = sin( 2π) = sin( π) = sin(0) = sin(π) = sin(2π) = Schranken: ( x R): 1 sin x 1. Monotonie: sin x ist streng monoton steigend in [ π 2, π 2 ]. sin x ist streng monoton fallend in [ π 2, 3π 2 ].

7 Cosinus cos := { R [ 1, 1] R x cos x Nullstellen: cos x = 0 x = π 2 + k π mit k Z. = cos( 3π 2 ) = cos( π 2 ) = sin( π 2 ) = cos( 3π 2 ) = cos( 5π 2 ) = Schranken: ( x R): 1 cos x 1. Monotonie: cos x ist streng monoton steigend in [π, 2π]. cos x ist streng monoton fallend in [0, π].

8 Einschub: Gerade und ungerade Funktionen Eine reelle Funktion f : M R heißt gerade genau dann, wenn f ( x) = f (x) für alle x R. Bsp: f (x) = x 2 ist eine gerade Funktion. Beweis: Sei x R. Dann gilt f ( x) = ( x) 2 = x 2 = f (x). ungerade genau dann, wenn f ( x) = f (x) für alle x R. Bsp: f (x) = x 3 ist eine ungerade Funktion. Beweis: Sei x R. Dann gilt f ( x) = ( x) 3 = = x 3 = f (x). Trigonometrische Funktionen: cos x ist gerade, d.h. cos( x) = cos(x) für alle x R. sin x ist ungerade, d.h. sin( x) = sin(x) für alle x R.

9 Einschub: Gerade und ungerade Funktionen

10 Periodizität Definition Eine relle Funktion f : R R heißt periodisch 1, wenn es ein p R + gibt, sodass f (x) = f (x + p) für alle x R. sin x ist periodisch mit der Periode 2πk, k N\{0}. cos x ist periodisch mit der Periode 2πk, k N\{0}. 1 Vorsicht: Im Buch ist ein zwar bessere und also umständlichere aber in der Schule wenig relevante Definition zu finden! Weil wir aber keine z.b. Fourieranalysis betreiben, brauchen wir sie nicht!

11 Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus Es gibt VIELE Zusammenhänge. Für uns soll im Moment nur relevant sein: Für alle x R gilt: cos x = sin(x + π 2 ) bzw. sin x = cos(x π 2 ). oder im Gradmaß ausgedrückt: cos x = sin(x + 90 ) bzw. sin x = cos(x 90 ).

12 Veränderung von Funktionen Sinus a sin(bx + c) + d a Amplitude b Änderung der Periodenlänge c Verschiebung in x Richtung (Phasenverschiebung) d Verschiebung in y Richtung

13 Veränderung von Funktionen Cosinus a sin(bx + c) + d a Amplitude b Änderung der Periodenlänge c Verschiebung in x Richtung (Phasenverschiebung) d Verschiebung in y Richtung

14 Tangens tan := { R\{x R ( k Z): x = π 2 + k π} R x tan x = sin x cos x Nullstellen: tan x = 0 x = k π mit k Z. = tan( 3π) = tan( 2π) = tan( π) = tan(0) = tan(π) = tan(2π) = keine Schranken! Monotonie: tan x ist streng monoton steigend in [ π 2, π 2 ].

15 Harmonische Schwingungen Eine Schwingung wird als harmonisch bezeichnet, wenn ihr Verlauf mit einer Sinusfunktion s(t) beschrieben werden kann. r = s 0 = s(0) s(t) T f ω Es gilt: Amplitude oder maximale Auslenkung Elongation (momentane Auslenkung) Periodendauer (Dauer einer gesamten Schwinungsperiode) Frequenz (Schwingungsperioden pro Sekunde) Winkelgeschwindigkeit (pro Sekunde zurückgelegter Winkel) f = 1 T, ω = s(t), ω = 2π t T = 2π f. Bisher: Winkelmaß auf der x Achse... Jetzt: Zeit auf der x Achse...