Testen von Hypothesen eine Anwendung der Binomialverteilung

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1 Hebet Saube - Hebet.Saube@t-online.de Testen von Hypothesen eine Anwendung de Binomialveteilung I. Einseitige Test eine Hypothese Von einem Wüfel wid vemutet, daß e öftes die Sechs liefet, als es bei einem Laplace- Wüfel zu ewaten ist. Es soll ein Test entwofen weden, um die Hypothese, es handele sich um einen Laplace-Wüfel, zu untesuchen. Dazu wid geplant, den Wüfel n= mal zu wefen und dabei die Zufallsvaiable X=Anzahl de aufgetetenen Sechsen zu betachten. Sei : "Es handelt sich um einen Laplace-Wüfel." (p({}) =/) die Nullhypothese. Sei H : "Die Sechs escheint zu häufig." (p({}) > /) die Gegenhypothese. Mit eine zunächst willkülich festgelegten Zahl k, etwa k=5, wid die folgende Entscheidungsegel festgelegt: X k X > k wid akzeptiet. H wid akzeptiet. Das so gebildete Uteil kann natülich falsch sein: Fehle. At: Es handelt sich in Wiklichkeit um einen Laplace-Wüfel, abe X > k, und H wid also fälschlicheweise akzeptiet. Fehle. At: Es handelt sich in Wiklichkeit um keinen Laplace-Wüfel, abe X k und wid also fälschlicheweise akzeptiet. Es ist kla, daß die Göße diese Fehle duch die Wahl von k beeinflußt wid, deshalb ist es wichtig, diese Fehle zu beechnen, um sie duch eine geeignete Wahl von k klein zu halten. Bezeichne den Fehle. At, dann gilt: P (X k) H F (k) % n F (k) : p k i n i i p ( p) n i p=/ n= k= Das heißt: Mit eine Wahscheinlichkeit von.9% wid ein Laplace-Wüfel itümlicheweise fü einen gefälschten Wüfel gehalten. Diese Fehlewahscheinlichkeit ist also vetetba klein. Hebet Saube Testen von Hypothesen

2 Den Fehle. At zu beechnen ist schwieig, weil man die Wahscheinlichkeit p fü eine Sechs nicht kennt. Nehmen wi an, de Wüfel sei gefälscht und es gelte p({}) =.. Dann gilt: H. Fehle. At =: P ( X k) F ( k). 95 = 9.5%. Das bedeutet, daß auch ein gefälschte Wüfel mit de Wahscheinlichkeit von 9.5% noch itümlicheweise fü einen echten Laplace-Wüfel gehalten wid. Wenn ein Uteil mit einem solch goßen Fehle behaftet ist, ist es natülich fast wetlos. Es ist offensichtlich, daß de Fehle. At klein wid, wenn k göße gewählt wid. De Fehle.At jedoch kann pinzipiell nicht duch k kontolliet weden, da die Wahscheinlichkeit fü die Sechs bei einem gefälschten Wüfel nicht bekannt ist p=. n= k= p=.3 n= k=5.75 Man muß deshalb die Entscheidungsegel abänden: X k wid nicht abgelehnt. X > k wid abgelehnt ( = H wid akzeptiet.) Nu wenn die Vesuchseihe meh als k Sechsen egeben hat, (Man sagt dann: "De Test zeigt ein signifikantes Egebnis.") kann man also eine paktisch bauchbae Schlußfolgeung aus dem Test ziehen: Es handelt sich mit einem möglichen Fehle von.9% um einen gefälschten Wüfel. Im andeen Fall ist keine Aussage möglich (Häufig findet man jedoch auch die iige Meinung, de Test habe gezeigt, daß de Wüfel nicht gefälscht sei.). Bei de paktischen Planung eines Tests gibt man häufig eine obee Schanke, etwa =5% fü den Fehle.At vo, und bestimmt dann die kleinste Zahl k, fü die de Fehle.At höchstens gleich ist: P ( X k) F ( k) F H ( k) 95% k min 3 Egeben sich bei dem Vesuch also meh als 3 Sechsen, so kann man auf dem Signifikanzniveau 5% (mit eine Sicheheit von mindestens 95%) sagen, daß de Wüfel gefälscht ist. Andee Vesuchsegebnisse bezeichnet man als nicht signifikant (auf dem Niveau von 5%) und es ist keine Schlußfolgeung möglich. Diese Test heißt einseitig, weil de Ablehnungsbeeich [k+, k+,... ] nu auf eine Seite des Ewatungswetes von X liegt. Man wählte hie diesen Test deshalb, weil von vonheein vemutet wude, daß die Sechs zu häufig auftat. Hätte man nu vemutet, daß die Wahscheinlichkeit fü eine Sechs von / veschieden ist, so hätte man einen Hebet Saube Testen von Hypothesen

3 Ablehnungsbeeich wählen müssen, de auf beiden Seiten des Ewatungswetes von X gelegen ist. II. Zweiseitige Test eine Hypothese Von einem Wüfel wid vemutet, daß e die Sechs mit eine Wahscheinlichkeit liefet, die nicht gleich / ist, wie es bei einem Laplace-Wüfel zu ewaten wäe. Es soll ein Test entwofen weden, um die Hypothese, es handele sich um einen Laplace-Wüfel, zu untesuchen. Es wid wiede geplant, den Wüfel n= mal zu wefen und dabei die Zufallsvaiable X=Anzahl de aufgetetenen Sechsen zu betachten. Sei : "Es handelt sich um einen Laplace-Wüfel." Sei H : "Es handelt sich um keinen Laplace-Wüfel." (p({})=/) die Nullhypothese. (p({}) /) die Gegenhypothese. Da hie, andes als im voangegangen Beispiel, auch bedacht weden muß, daß de Wüfel vielleicht zu selten eine Sechs poduziet, muß de Ablehnungsbeeich de Nullhypothese auf beiden Seiten des Ewatungswetes fü X eines Laplace-Wüfels gelegen sein (zweiseitige Test). Das heißt, wenn entwede seh wenige ode seh viele Sechsen aufteten, weden wi die Nullhypothese vewefen. De Ablehnungsbeeich ist also von de Fom: [,,...k l ] [k, k +,...]. Bei de Planung des Tests gibt man sich wiede eine obee Schanke (z.b. = 5%) fü den Fehle. At an. Es soll also gelten: 5% = P ( X k k X) F ( k ) F ( k ). H l l Es gibt nun viele Möglichkeiten, k l und k so zu wählen, daß diese Bedingung efüllt ist: Wenn die linke Teilmenge klein gehalten wid (k l klein), dann kann man die echte Teilmenge etwas göße wählen (k klein) ode umgekeht. Man wüde jedoch nu dann diese beiden Teilmengen unsymmetisch wählen, wenn man a pioi schon eine Vemutung übe die At de Fälschung des Wüfels hat. Wenn man glaubt, daß de Wüfel ehe zu häufig als zu selten die Sechs liefet, dann sollte man die echte Teilmenge des Ablehnungsbeeiches göße und die linke kleine wählen. Das bedeutet, daß die linke Teilmenge lee sein sollte, wenn man annimmt, es komme nu in Fage, daß de Wüfel entwede echt sei ode e zu viele Sechsen poduziee. Dann handelt es sich wiede um den vohe diskutieten einseitigen Test. Ist a pioi keine Infomation übe die mögliche At de Fälschung des Wüfels vohanden, so wählt man k l und k symmetisch. Das heißt: Die Ungleichungen.5% = PH ( X k und 5 P k X l ). % H ( ) sollten efüllt sein. l. 5 F ( k ) und. 5 F ( k ) 9 k und k 4 l Hebet Saube Testen von Hypothesen 3

4 De Ablehnungsbeeich fü die Nullhypothese lautet jetzt [,,..9] [5,,.. ]. Ehält man also bei Wüfen eine Anzahl von Sechsen, die in diese Menge fällt, so kann man bei eine Sicheheit von 95% behaupten, de Wüfel sei gefälscht. III. Konstuktion eines Tests Welchen Einfluß hat die Wahl de Fehleschanke bzw. de Zahl k (beim oben beschiebenen einseitigen Test) auf die Aussagekaft eines Testegebnisses? Dazu stelle man sich vo, daß viele, unbekannte Wüfel daaufhin getestet weden, ob sie zu häufig die Sechs liefen. Je göße nun k gewählt wid, desto kleine ist de Fehle. At; das heißt, daß man nu seh selten einen echten Wüfel itümlicheweise fü einen gefälschten hält. Ode, positiv ausgedückt: Fast jede als gefälscht gehaltene Wüfel ist tatsächlich gefälscht. Ekauft wid diese elative Sicheheit des Uteils duch eine hohe Rate von Wüfeln, die nicht als gefälscht ekannt weden, obwohl sie es sind (goße Fehle. At). Es gibt duchaus eale Situationen, in denen ein solches Testvehalten sinnvoll ist: Betachtet man ein Geichtsvefahen als einen Test (Nullhypothese: "De Angeklagte ist unschuldig."), so ist es geade wünschenswet, daß eine etwaige Veuteilung des Angeklagten (Die Nullhypothese wid abgelehnt.) nu dann efolgt, wenn das Geicht sich seine Sache seh siche ist (De Fehle. At sollte seh klein sein.). De Gundsatz "in dubio po eo" dückt geade aus, daß wi beeit sind, goße Fehle. At hinzunehmen. Je kleine k gewählt wid, desto göße wid de Fehle. At, und de Fehle. At wid kleine. In einem solchen Fall zeigt de Test seh häufig ein signifikantes Egebnis: Viele Wüfel weden, vielleicht auch itümlicheweise, als gefälscht eklät. In den andeen Fällen abe, wenn de Test kein signifikantes Egebnis zeigt, sind die Wüfel echt ode nu schwach gefälscht (p({}) = / + ). Ein solches Testvehalten ist zum Beispiel bei eine Kebsvosogeuntesuchung (Nullhypothese: "De Patient ist gesund.") ewünscht: Bei möglichst wenigen Menschen sollte die einfache Vosogeuntesuchung eine beeits vohandene Ekankung unekannt lassen. De hohe Fehle. At (Relativ viele Menschen ehalten die zunächst beunuhigende Nachicht, ekankt zu sein, obwohl sie es tatsächlich nicht sind.) ist in diese Situation vetetba, denn eine nachfolgende genauee Gewebeuntesuchung, die man aus Zeit- und Kostengünden nicht bei allen Testpesonen anwenden will, wid bald fü Klaheit sogen. Die Fehleschanke kann also nicht mathematisch beechnet weden, sonden entscheidend fü ihe Wahl ist die Absicht, die mit dem Test vebunden ist. Abschließend soll die Konstuktion eines Tests anhand eines Beispieles eläutet weden. In einem Spielkasino wid ein Spiel mit einem Wüfel angeboten, das an zwanzig veschiedenen Tischen gleichzeitig gespielt wid. Nachdem einige Kunden de Polizei von spektakuläen Spielvelusten beichtet haben, vemutet de Kommissa, dass einige de benutzten Wüfel keine Laplacewüfel sind, sonden so gefälscht sind, dass sie a) die Sechs nu mit eine Wahscheinlichkeit ezeugen, die unte / liegt. b) die Sechs mit eine Wahscheinlichkeit ezeugen, die göße als / ist. c) die Sechs mit eine Wahscheinlichkeit ezeugen, die ungleich / ist. Hebet Saube Testen von Hypothesen 4

5 Anstatt nun alle Angestelle des Spielkasinos zu vehaften und die Wüfel zu beschlagnahmen, um die Pesonen zu vehöen und die Wüfel auf mögliche Bleieinlagen zu untesuchen, dieses Vogehen escheint angesichts bloße Vedächtigungen als unangemessen, ewägt de Kommissa, einen Test duchzufühen. Dazu sollen seine Mitabeiten die Egebnisse von 5 Wüfen eines jeden de zwanzig eingesetzten Wüfel notieen, um in Abhängigkeit diese Egebnisse zu entscheiden, auf welchen Angestellten des Kasinos und auf welchen Wüfel e seine Untesuchungen konzentieen sollte. In den Fällen a) ode b) (Es liegt ein Vowissen übe die At de möglichen Fälschung vo.) wählt also de Kommissa eine natüliche Zahl k mit k 5 und stellt dann die folgende Entscheidungsegel auf: Fü den Fall a) X k wid abgelehnt ( = H wid akzeptiet.) X > k wid nicht abgelehnt. ist wiede die Nullhypothese: Es handelt sich um einen Laplace-Wüfel. Nun muss de Kommissa entscheiden, welchen Wet e fü k nehmen soll. Bei einem Laplace-Wüfel wäe zu ewaten, dass etwa 8 Sechsen bei 5 Wüfen escheinen. Wenn e also fü k den Wet 4 einsetzt, so wid es bei einem ungefälschten Wüfel nu selten passieen, dass so wenige Sechsen escheinen und e deshalb fälschlicheweise fü einen gefälschten Wüfel gehalten wid. De Fehle este At ist also klein: F 5 (4).43%. Selbst wenn also alle zwanzig eingesetzten Wüfel echt sind, wid e nu etwa einen ode zwei davon (.43% von ) nach seinem Test fü unecht halten. Die Gefah sich in de Öffentlichkeit duch voschnelle, letztlich ungeechtfetigte, voläufige Festnahmen zu diskeditieen ist bei diese Wahl von k fü den Kommissa also vetetba klein. De Peis fü diese Sicheheit ist jedoch ein goße Fehle zweite At: Nehmen wi an, de im Spielkasino eingesetzten Wüfel seien so gefälscht, dass sie die Sechs nu mit eine Wahscheinlichkeit / zeigen. Dann gilt 5 = F (4) =5.88%. De Kommissa muss damit echnen, dass etwa 5 ode (5.88% von ) de tatsächlich gefälschten Wüfel bei diese Wahl k=4 von seinem Test nicht entdeckt weden. Wäen die Wüfel nicht ganz so stak gefälscht (Wahscheinlichkeit fü eine Sechs = /8), dann sähe die Bilanz fü den Kommissa noch schlechte aus: Dann entkämen 7.54% also etwa 7 ode 8 de angenommenen gefälschten Wüfel unekannt. Um den Wet von k festzulegen, muss de Kommissa also zuest entscheiden, ob es ihm wichtige ist, möglichst keinen Kasinoangestellten zu unecht zu vedächtigen, dann muss e fü k einen kleinen Wet wählen; viele Gaune weden ihm so jedoch entwischen. Ode möchte e möglichst viele Ganoven entlaven, dann wid e fü k gößee Wete einsetzen. Viele Unschuldige weden dann jedoch auch vedächtigt. Da de Fehle zweite At pinzipiell unkontollieba ist, setzt sich de Kommissa also eine obee Schanke fü den Fehle este At gemäß seine Testabsichten und bestimmt dann den dazu gehöigen gößtmöglichen Wet fü k: Als Beispiel gehen wi von 5% als obee Schanke fü den 5 Fehle este At aus. 5% F (k) k = 5. Im Fall b) X k wid abgelehnt ( = H wid akzeptiet.) Hebet Saube Testen von Hypothesen 5

6 X < k wid nicht abgelehnt, veläuft die Agumentation ähnlich zu de im Fall a). Zum Signifikanzniveau 5% findet de Kommissa den kleinstmöglichen Wet fü k aus de Bedingung: 5 5% F (k ) k =. Hat de Kommissa im Fall c) kein Vowissen übe die At, wie die Wüfel gefälscht sind, dann wid e, weitehin zu dem Signifikanzniveau 5%, einen symmetischen Ablehnungsbeeich fü die Nullhypothese wählen: Die Entscheidungsegel lautet dann: X k l k X wid abgelehnt ( = H wid akzeptiet.) k l < X < k wid nicht abgelehnt, 5 7.5% F (k) k = 4, und 5 7.5% F (k ) k = 3. Duch einen Vegleich mit dem Egebnis im Fall a) bzw. im Fall b) ekennt man hie soga mathematische Günde dafü, dass die Emittlungen in eine Spielhölle um so efolgeiche sind, je meh zuteffendes Vowissen übe die At de Fälschung (Wahscheinlichkeit de Sechs ist ehöht ode eniedigt) vohanden ist. Hebet Saube Testen von Hypothesen