Testen von Hypothesen, Beurteilende Statistik

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1 Testen von Hypothesen, Beurteilende Statistik Was ist ein Test? Ein Test ist ein Verfahren, mit dem man anhand von Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Vermutung trifft. Hypothesen sind Annahmen bzw. Vermutungen über Zusammenhänge von interessierenden Sachverhalten. Im Mathematikunterricht ist eine Hypothese eine Vermutung über die (unbekannte) Treffer Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bzw. Stichprobenergebnisses. In einem Test werden zwei Hypothesen gegeneinander ausgespielt: Die Nullhypothese und die Gegenhypothese oder Alternativhypothese. Man wählt i.a. als Alternativhypothese das, was man vermutet und bestätigt haben will und als Nullhypothese das, was abgelehnt werden soll. Hypothesen der Form H: p=p (die durch genau einen Wert festgelegt sind) heißen einfache Hypothesen, Hypothesen der Form p p heißen zusammengesetzte Hypothesen. In einem Test soll geprüft werden, ob die Hypothese, die man gemacht hat, zutreffend ist oder nicht. Dazu macht man ein Experiment und stellt fest, ob die Beobachtungen mit der Hypothese vereinbar sind oder nicht. Man kann dabei wie bei allen Problemen in der Statistik keine 1%ige Aussage über die Wahrheit einer Hypothese machen, sondern nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit. Die Nullhypothese wird überprüft und der Ablehnungsbereich für den Extremfall bestimmt. enngroessen: p ist die unbekannte Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis E p ist die vermutete Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis E H ist die zulässige Hypothese, die Menge aller Werte, die p annehmen kann H : p = p ist die Nullhypothese, dies ist eine ausgezeichnete Teilmenge von H (Wert(e), die man für p vermutet). Das was man widerlegen moechte H1 : Ist die Gegenhypothese oder auch Alternativhypothese mit H1 = H \ H Das was man bestaetigt haben moechte, was man vermutet X ist die Zufallsvariable dafür, wie oft das Ereignis E bei n Zufallsexperimenten eintritt. X nimmt Werte aus M = {, 1,,..., n} an und ist dann Bionominalverteilt ist die Menge der Werte von X, bei deren Eintreten H angenommen wird (== Annahmebereich) ist die Menge der Werte von X, bei deren Eintreten H abgelehnt wird (== Ablehnungsbereich) Die Summe aus und entspricht dem Wertebereich von X (M = {, 1,,..., n})

2 Annahme von H Ablehnung von H H wahr Richtig Falsch Fehler 1. Art (Irrtumswahrscheinlichkeit) Risiko 1. Art H falsch H 1 wahr Falsch Fehler. Art Risiko. Art Richtig Fehler 1. Art: H wird abgelehnt, obwohl H wahr ist Risiko 1. Art: Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (== Irrtumswahrscheinlichkeit Fehler. Art: H wird angenommen, obwohl H falsch ist Risiko. Art: Wahrscheinlichkeit für einen Fehler. Art α ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, Signifikanzniveau (== Risiko 1. Art; Wahrscheinlichkeit, dass H wahr ist aber dennoch abgelehnt wird)

3 Testen von Hypothesen Alternativtest o Zwei einfache Hypothesen: H : p = p und H 1 : p = p 1 p < p 1 : Somit ist µ < µ 1, kleine Werte von X sprechen fuer H Entscheidungsregel Annahmebereich =... k 1 x ) x > k) = 1 x k 1) [ ] = [ k... n] x k 1) > 1 α binomcdf k 1) 1 α p > p 1 : Somit ist µ > µ 1, grosse Werte von X sprechen fuer H Entscheidungsregel Annahmebereich = x ) [ k n] = [... k] x k) binomcdf k)

4 Signifikanztest o Zusammengesetzte, gerichtete Hypothese H : p p und H 1 : p < p (Linksseitiger Test) Entscheidungsregel Annahmebereich = [ k... n] = [... k 1] x ) x k 1) binomcdf k 1) Wahrscheinlichkeit muss < α, deshalb k aus Tabelle abrunden o Zusammengesetzte, gerichtete Hypothese H : p p und H 1 : p > p (Rechtsseitiger Test) Entscheidungsregel Annahmebereich = [... k] = [ k n] x ) x k + 1) 1 x k) x k) 1 α binomcdf k) 1 α Wahrscheinlichkeit muss 1 α, deshalb k aus Tabelle aufrunden o Zusammengesetzte, ungerichtete Hypothese H : p = p und H1: p p (Zweiseitiger Test) Entscheidungsregel Annahmebereich x ) x k 1 x k = α 1) binomcdf k α ) 1 binomcdf k 1 [ k1... k ] = [... k 1] [ k n] α 1) α ) 1 1 ( Linksseitige Grenze) (Re chtsseitige Grenze)

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