Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1

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1 Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 19. Oktober 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

2 Organisatorisches Vorlesung: Mi., 7:30-9:00, KKB Übungen: Mo., 14:00-15:30, WER-1118, Dr. Ballani, 3.BWIW. Do., 9:15-10:45, PRÜ-1104, Dipl.-Math. Dietz, 3.BBWL. Do., 14:00-15:30, PRÜ-1104, Dr. Wünsche, 3.BBWL, 3.BWLRW. Fr., 11:00-12:30, HUM-1115, Dipl.-Math. Dietz, 3.BBWL. Selbststudium (Laut Modulbeschreibung zusammen für beide Semester 120 h Präsenzzeit und 150 h Selbststudium.) Information: Prüfung: Klausur 120 Minuten, zugelassen sind Taschenrechner, Bücher, Mitschriften; nicht zugelassen sind Laptops, Handys. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

3 Themenkomplexe in diesem Semester Statistische Tests. Stichprobenpläne. Varianzanalyse. Regressionsanalyse. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

4 Klausurergebnisse Statistik 1 für Betriebswirte ANOVA Table for Punkte by Fach Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Between groups 666, ,028 3,10 0,0304 Prof. Dr. Hans-Jörg Within groups Starkloff 6952,78 Statistik97 II für Betriebswirte 71,6781 Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

5 Erinnerung: Statistik I Statistische Grundsituation: Zufallsgröße X, für die die Verteilung gar nicht oder nicht vollständig bekannt ist. Bekannt: Konkrete Stichprobe (x 1,..., x n ) vom Umfang n, die als Realisierung einer mathematischen Stichprobe (X 1,..., X n ) modelliert wird (X 1,..., X n sind unabhängige Zufallsgrößen, die dieselbe Verteilung wie X besitzen). Parameterschätzungen durch Punktschätzungen mit Hilfe von Stichprobenfunktionen, z.b. falls X N(µ, σ 2 ), µ, σ 2 unbekannt: EX µ(x 1,..., x n ) = x = 1 n (x x n ) ; VarX σ 2 (x 1,..., x n ) = s 2 = 1 n 1 ((x 1 x) (x n x) 2 ). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

6 Fortsetzung Erinnerung: Statistik I Parameterschätzungen durch Intervallschätzungen mit Hilfe von Stichprobenfunktionen für die untere und obere Intervallgrenze, z.b. falls X N(µ, σ 2 ), µ, σ 2 unbekannt: Mit dem Quantil t n 1;1 α zum Niveau 1 α 2 2 der t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden gilt P ( t n 1;1 α 2 n X µ S t n 1;1 α 2 P ( X S t n 1;1 α µ X + S t n 2 n 1;1 α n 2 ) = 1 α, ) = 1 α. Damit erhält man die Formel für das (zweiseitige) Konfidenzintervall I µ für den Erwartungswert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz σ 2 zum Konfidenzniveau 1 α [ I µ = X S t n 1;1 α ; X + S ] t n 2 n 1;1 α. n 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

7 4. Grundlagen des statistischen Schließens II (Tests) 4.1 Parametertests Eine Hauptaufgabe der schließenden Statistik besteht in der Durchführung von Tests. Dabei werden Hypothesen (d.h. Annahmen, Vorgaben, etc.) über wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle mit Hilfe von Stichproben überprüft, z.b. die Einhaltung von Sollwerten, die Einhaltung von Toleranzgrenzen, die Einhaltung von Ausschusswahrscheinlichkeiten oder der Vergleich von unterschiedlichen Verfahren hinsichtlich eines (mittleren) Qualitätsparameters. Der Zufallseinfluss (man nutzt Werte einer Stichprobe zur Entscheidung, eine andere Stichprobe kann zu einer anderen Entscheidung führen) spielt eine wesentliche Rolle. Man kann keine 100%-ig richtigen Entscheidungen treffen, sondern die Entscheidungen sind immer auch mit möglichen Fehlern und entsprechenden Fehlerwahrscheinlichkeiten verbunden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

8 Beispielaufgabe: Waschmittelpackungen Bei einem Verbrauchertest für Waschmittel werde auch die Abfüllmenge kontrolliert. Dabei ergaben sich bei 10 zufällig ausgewählten 5 kg Packungen einer bestimmten Sorte folgende Abfüllmengen (in kg): 4.6, 4.95, 4.8, 4.9, 4.75, 5.05, 4.9, 5.1, 4.85, Ist auf der Basis dieser Beobachtungswerte die Auffassung vertretbar, dass die Packungen im Mittel weniger Waschmittel als angegeben enthalten? Wir modellieren die tatsächliche Abfüllmenge (in kg) einer Waschmittelpackung als Zufallsgröße X. Berechnete Schätzwerte für den Erwartungswert, die Standardabweichung und die Varianz der Merkmalsgröße sind: x = 4.885, s = 0.145, s 2 = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

9 Mathematische Überlegungen zur Beispielaufgabe Wir nehmen an, diese Zufallsgröße X ist normalverteilt (Addition vieler kleiner zufälliger Schwankungen im Abfüllprozess und zentraler Grenzwertsatz). Der Erwartungswert µ ist unbekannt. Zur Vereinfachung nehmen wir an, die Varianz sei σ 2 = Zu überprüfen ist die Richtigkeit der Vermutung, dass der Erwartungswert µ kleiner ist als der Sollwert µ 0 = 5. Dies kann aber nicht einfach aus der Tatsache gefolgert werden. x = < 5 = µ 0 Man kann schließlich zufällig eine Stichprobe mit geringen Abfüllmengen erwischt haben. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

10 Grundlegende Überlegungen zu statistischen Tests I Aufstellen der Hypothesen: man formuliert 2 komplementäre Hypothesen, die Nullhypothese H 0 und die Alternativhypothese H A (oft auch mit H 1 bezeichnet) z.b. H 0 : µ = µ 0 und H A : µ µ 0 oder H 0 : µ µ 0 und H A : µ < µ 0. Beachte: Die Hypothese, die statistisch abgesichert werden soll, sollte als Alternativhypothese formuliert werden! 2 mögliche Entscheidungen beim Testen: 1. H 0 wird verworfen: Es gibt in der erhobenen Stichprobe starke Hinweise darauf, dass H 0 nicht gelten kann, also H A gelten muss. Diese Hinweise sind so stark, dass man nicht von einem zufälligen Zustandekommen ausgehen kann. 2. H 0 wird nicht verworfen: Man hat keine Hinweise gefunden, die gegen H 0 sprechen. Alle aufgetretenen Effekte könnten genauso gut zufallsbedingt sein. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

11 Grundlegende Überlegungen zu statistischen Tests II Statistisches Testproblem: Aufgabenstellung, zwischen der Gültigkeit von H 0 und H A zu unterscheiden. Statistischer Test: formale Entscheidungsregel für eine der 2 Möglichkeiten. Mögliche Fehler beim Testen: Fehler 1. Art: man verwirft H0, obwohl H 0 richtig ist; Fehler 2. Art: man verwirft H0 nicht, obwohl H 0 falsch ist. Tests sind so zu konstruieren, dass beide Fehler möglichst klein sind. Aber: Es können nicht beide Fehler gleichzeitig kontrolliert werden. Man gibt sich eine (relativ kleine) obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art vor, die nicht überschritten werden soll das sogenannte Signifikanzniveau α. Übliche Werte für das Signifikanzniveau α sind 0.05 oder Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

12 Grundlegende Überlegungen zu statistischen Tests III In der Regel wird ein statistischer Test so konstruiert, dass er unter allen Tests, für die die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art das gegebene Signifikanzniveau nicht überschreitet, den Fehler 2. Art minimiert. Wie erhält man eine Entscheidungsregel für ein gegebenes Testproblem? Im obigen Beispiel würde man intuitiv so vorgehen: Hypothesen: H 0 : µ µ 0 = 5, H A : µ < 5 ; liegt der Schätzwert x für µ über oder nur knapp unter µ0 = 5, so kann man nicht mit hinreichender Sicherheit schließen, dass H 0 : µ µ 0 = 5 nicht gilt; liegt hingegen x unter einem kritischen Wert deutlich unter µ 0 = 5, so kann man die Nullhypothese verwerfen. Wie weit der kritische Wert unter µ 0 liegen muss, hängt vom Signifikanzniveau α ab. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

13 Allgemeine Struktur der Entscheidungsregel Testgröße T : ist eine Stichprobenfunktion (d.h. eine Funktion der mathematischen Stichprobe X 1,..., X n ), also eine Zufallsgröße; ist bei Parametertests oft eine Schätzfunktion für den zu testenden Parameter oder davon abgeleitet (im Beispiel X ); die Verteilung von T bei Gültigkeit der Nullhypothese muss bekannt sein; setzt man statt der mathematischen Stichprobe eine konkrete Stichprobe x 1,..., x n ein, so erhält man eine reelle Zahl t als Realisierung der Zufallsgröße T. Kritischer Bereich K α (auch Ablehnungsbereich) : ist von α abhängig; wird so konstruiert, dass P(T Kα H 0 ) α gilt; im Beispiel ist Kα = {t R : t < t α }, wobei t α der oben erwähnte kritische Wert ist. Die Entscheidung lautet dann: ist t K α, so wird H 0 andernfalls nicht. verworfen, Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

14 Allgemeiner Testablauf Alternative Entscheidungsregel (zumeist in statistischer Software umgesetzt): Berechnung eines p-werts : p = min{α : t Kα } ; H 0 wird verworfen, wenn p α, bei p > α wird H 0 beibehalten. Allgemeiner Ablauf eines statistischen Tests: 1. Aufstellen der Hypothesen 2. Festlegen des Signifikanzniveaus α 3. Bestimmen der Testgröße T 4. Berechnung der Realisierung t der Testgröße T auf der Basis der konkreten Stichprobe (x 1,..., x n ) 5. Bestimmen des kritischen Bereichs K α bzw. des p-wertes 6. Testentscheidung: t K α p α Ablehnung von H 0 ; t K α p > α Stichprobe spricht nicht gegen H 0. Neben der formalen Testentscheidung sollte noch eine inhaltliche Aussage entsprechend der Aufgabenstellung getroffen werden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

15 Interpretation der Testergebnisse Beim Testen wird nur die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kontrolliert, d.h. P(H 0 ablehnen H 0 wahr) α. Wenn also H 0 tatsächlich gilt, wird man sich nur in α 100% der Fälle für H A entscheiden. Die Entscheidung für H A ist in diesem Sinn statistisch abgesichert. Bei einer Entscheidung gegen H 0 und damit für H A spricht man von einem signifikanten Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art wird erst einmal nicht kontrolliert. Eine Entscheidung H 0 beizubehalten ist nicht statistisch abgesichert. Kann man H 0 nicht verwerfen, bedeutet das daher nicht, dass man sich aktiv für H 0 entscheidet; es spricht nur nichts gegen H 0. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

16 Einfluss verschiedener Größen auf das Ergebnis eines Tests Einfluss von α (andere Parameter fest): Für kleiner werdende Werte α wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kleiner, d.h. H 0 wird weniger häufig abgelehnt, falls H 0 tatsächlich zutrifft. Je kleiner α ist, desto kleiner ist der kritische Bereich. Einfluss von n (andere Parameter fest): Für größer werdende Werte n werden die Schätzungen auf Basis von erwartungstreuen und konsistenten Schätzgrößen genauer und man wird öfters richtig entscheiden. Insbesondere wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kleiner und damit wird man öfter die Nullhypothese H 0 ablehnen, wenn sie falsch ist. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

17 Konfidenzintervalle und Parametertests Eine Hypothese über einen Parameter einer Verteilung heißt einfach, wenn durch sie nur ein Element der Parametermenge festgelegt wird (z.b. µ = µ 0 ), sonst heißt eine Hypothese zusammengesetzt. Ein Konfidenzintervall mit Konfidenzniveau 1 α für einen Parameter enthält genau diejenigen Werte des Parameters, für die die einfache Nullhypothese zu diesem Parameter mit einem Signifikanzniveau α nicht abgelehnt wird. Im Folgenden sollen einige wichtige Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten kurz vorgestellt werden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

18 Mittelwerttest bei bekanntem σ (Gauß-Test) Annahme: X N(µ, σ 2 ), σ 2 bekannt. Zweiseitiger Test Hypothesen: H 0 : µ = µ 0, H A : µ µ 0. ( ) Unter H 0 gilt: X N µ 0, σ2 n. X µ 0 Testgröße: T = n N(0, 1). σ Kritischer Bereich: Kα = {t R : t > z 1 α/2 }. Einseitige Tests Im Fall von H0 : µ µ 0, H A : µ < µ 0 gilt K α = {t R : t < z α = z 1 α }. Im Fall von H0 : µ µ 0, H A : µ > µ 0 gilt K α = {t R : t > z 1 α }. Die Tests sind für große Werte n (n 30) auch ohne Normalverteilungsvoraussetzung anwendbar. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

19 Mittelwerttest bei unbekanntem σ ( t Test ) Annahme: X N(µ, σ 2 ), σ 2 unbekannt. Zweiseitiger Test Hypothesen: H 0 : µ = µ 0, H A : µ µ 0. X µ 0 Testgröße: T = n tn 1 (t Verteilung mit n 1 S Freiheitsgraden). Kritischer Bereich: Kα = {t R : t > t n 1;1 α/2 }. Einseitige Tests Im Fall von H0 : µ µ 0, H A : µ < µ 0 gilt K α = {t R : t < t n 1;α = t n 1;1 α }. Im Fall von H 0 : µ µ 0, H A : µ > µ 0 gilt K α = {t R : t > t n 1;1 α }. Die Tests sind für große Werte n (n 30) auch ohne Normalverteilungsvoraussetzung anwendbar. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

20 Streuungstest Annahme: X N(µ, σ 2 ), Zweiseitiger Test ( χ 2 Streuungstest ) µ unbekannt. Hypothesen: H0 : σ = σ 0, H A : σ σ 0. (n 1)S 2 Testgröße: T = χ 2 n 1 (χ 2 -Verteilung mit n 1 Freiheitsgraden). σ 2 0 Kritischer Bereich: K α = {t R : t < χ 2 n 1;α/2 } {t R : t > χ2 n 1;1 α/2 } Einseitige Tests Im Fall von H0 : σ σ 0, H A : σ < σ 0 gilt K α = {t R : t < χ 2 n 1;α}. Im Fall von H0 : σ σ 0, H A : σ > σ 0 gilt K α = {t R : t > χ 2 n 1;1 α}. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

21 Mittelwertvergleich bei gleichen (unbekannten) Varianzen ( doppelter t Test ) Geg.: zwei unabh. Merkmale X 1 N(µ 1, σ 2 ), X 2 N(µ 2, σ 2 ) ; entsprechend zwei Stichproben vom Umfang n 1 und n 2 mit arithmetischen Mittelwerten X 1 und X 2 und Stichprobenvarianzen S 2 1 und S 2 2. Voraussetzung: beide Varianzen sind gleich σ 2, σ 2 ist unbekannt. Hypothesen: H 0 : µ 1 = µ 2, H A : µ 1 µ 2 (zweiseitiger Test). X 1 X 2 n1 n Testgröße: T = 2. (n1 1)S1 2+(n 2 1)S2 2 n 1 + n 2 n 1 +n 2 2 Im Fall von n 1 = n 2 = n gilt T = X 1 X 2 S1 2 + S 2 2 n. Kritischer Bereich: K α = {t R : t > t n1 +n 2 2;1 α/2}. Die Tests sind für große Werte n 1, n 2 (Faustregel: n 1, n 2 30) auch ohne Normalverteilungsvoraussetzung anwendbar. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

22 Mittelwertvergleich bei möglicherweise ungleichen Varianzen ( Welch-Test ) Geg.: Zwei unabh. Merkmale X 1 N(µ 1, σ 2 1 ), X 2 N(µ 2, σ 2 2 ) ; entsprechend zwei Stichproben vom Umfang n 1 und n 2 mit arithmetischen Mittelwerten X 1 und X 2 und Stichprobenvarianzen S 2 1 und S 2 2. Voraussetzung: σ1 2, σ2 2 sind unbekannt. Hypothesen: H 0 : µ 1 = µ 2, H A : µ 1 µ 2 (zweiseitiger Test). Testgröße: T = X 1 X 2 S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 Kritischer Bereich: K α = {t R : t > t m;1 α/2 }, m = 1 n 1 1 ( S 1 2 ) 2 n1 + S2 2 n2 ( ) S n 1 n 2 1 ( S 2 2 n 2 ) 2 Bemerkung: Dies ist ein approximativer Test. int (Abrundung zur ganzen Zahl) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

23 Streuungsvergleich ( F Test ) Geg.: Zwei unabh. Merkmale X 1 N(µ 1, σ 2 1 ), X 2 N(µ 2, σ 2 2 ) ; entsprechend zwei Stichproben vom Umfang n 1 und n 2 mit Stichprobenvarianzen S 2 1 und S 2 2. Voraussetzung: µ 1, µ 2 unbekannt. Hypothesen: H 0 : σ 2 1 = σ2 2, H A : σ 2 1 σ2 2 (zweiseitiger Test). Testgröße: T = S 2 1 S 2 2. Kritischer Bereich: K α = {t > 0 : t < F n1 1;n 2 1;α/2} {t > 0 : t > F n1 1;n 2 1;1 α/2} (Quantile der F Verteilung mit (n 1 1; n 2 1)-Freiheitsgraden). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

24 Beispiel: Analyseverfahren Verfahren 1 : x 1 = 0.99, s 1 = , n 1 = , 0.99, 1.02, 0.97, 1.00, 0.94, 0.98, 1.00, 1.01, 0.98 Verfahren 2 : x 2 = 1.00, s 2 = , n 2 = , 1.02, 1.04, 1.00, 1.06, 0.96, 1.02, 0.90, 0.98, 1.04 H 0 : µ 1 = 1.00, H A : µ , α = H 0 : σ , H A : σ 1 > 0.01, α = H 0 : σ 2 1 = σ2 2, H A : σ 2 1 σ2 2, α = H 0 : µ 1 = µ 2, H A : µ 1 µ 2, α = 0.05 (Welch-Test). Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 1 Version: 18. Oktober

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