Integrieren kurz und bündig

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1 mthe online Skripten Integrieren kurz und bündig Frnz Embcher Fkultät für Mthemtik der Universität Wien E-mil: WWW: Dieses Skriptum gibt eine kompkte Einführung in die Integrlrechnung. Der Integrlbegriff Die Differentilrechung löst ds Tngentenproblem, während die Integrlrechnung mit dem Flächenproblem verknüpft ist. Ist f eine uf einem Intervll [, b] definierte reelle Funktion 2, so ist der Grph von f eine Kurve zwischen den Punkten (, f()) und (b, f(b)). Welchen Wert ht der Flächeninhlt zwischen dem Grphen und der ersten Achse? Genu genommen meinen wir den orientierten Flächeninhlt, bei dem ein Flächenstück oberhlb der ersten Achse positiv und ein Flächenstück unterhlb der ersten Achse negtiv zählt. Mn spricht zwr meist von der Fläche unter dem Grphen, meint ber dmit die Differenz Inhlt der Fläche zwischen Grph und erster Achse, die oberhlb der ersten Achse liegt, minus Inhlt der Fläche zwischen Grph und erster Achse, die unterhlb der ersten Achse liegt. Um diesen orientierten Flächeninhlt zu ermitteln, mchen wir die obere Grenze des betrchteten Intervlls vribel: Wir fixieren eine Stelle, bezeichnen den orientierten Flächeninhlt unter dem Grphen zwischen und x mit A(x) und nennen die Zuordnung A : x A(x) die Flächeninhltsfunktion. Der orientierte Flächeninhlt zwischen und b ist dnn gleich A(b). Dmit hben wir die Sche zunächst nur bennnt, nicht gelöst. Wir ändern nun die Obergrenze geringfügig, indem wir von x zu einer nhe benchbrten Stelle x + h übergehen, Siehe ds Skriptum Differenzieren kurz und bündig. 2 Wir setzen stillschweigend vorus, dss f hinreichend friedlich ist, sodss sich die folgenden mthemtischen Opertionen ohne Probleme durchführen lssen. Ds ist für prktisch lle in den bisherigen Skripten besprochenen Funktionen der Fll. Insbesondere werden wir bei der llgemeinen Diskussion des Integrlbegriffs nnehmen, dss der Grph von f eine Kurve ist. Für eine systemtische Auflistung der für Sie relevnten Funktionenklssen siehe ds Skriptum Der Funktionenzoo.

2 Integrieren kurz und bündig 2 und vergleichen A(x + h) mit A(x). Ist h >, und ist f im Intervll [x, x + h] positiv, dnn knn die Sitution wie in Abbildung illustriert werden: Die Differenz A(x + h) A(x) ist der Inhlt des schmlen Flächenstücks zwischen x und x + h. Bis uf ds durch den Grphen begrenzte Stück n der Oberseite sieht es us wie ein schmles Rechteck der Breite h und der Höhe f(x). Wir können dessen Flächeninhlt durch A(x + h) A(x) h f(x) (.) Abbildung : Um den (orientierten) Flächeninhlt zwischen dem Grphen der Funktion f und der ersten Achse zu ermitteln, wird untersucht, wie er sich ändert, wenn die Obergrenze des betrchteten Intervlls von x uf x + h geändert wird. Mit x = h wird der Inhlt A des dzugekommenden Flächenstücks ls Rechtecksfläche mit Höhe f(x) ngenähert, worus A x f(x) folgt, vgl. (.2). Im Grenzübergng h wird drus die exkte Gleichheit (.3), die Grundlge für den Huptstz der Anlysis. nnähern 3 und mchen dmit nur einen kleinen Fehler. Je kleiner h gewählt wird, umso kleiner wird die Abweichung von der ttsächlichen Fläche sein. Dividieren wir beide Seiten von (.) durch h, so erhlten wir A(x + h) A(x) f(x). (.2) h 3 Wäre f(x) im Intervll [x, x + h] negtiv, so wäre die rechte Seite von (.) utomtisch negtiv, ws genu der Idee des orientierten Flächeninhlts entspricht.

3 Integrieren kurz und bündig 3 Erkennen Sie uf der linken Seite einen lten Beknnten? Ein Differenzenquotient! Bezeichnen wir h ls x, so wird A(x + h) A(x) = A, und die linke Seite von (.2) ist dnn gerde A/ x, die Differenz der Funktionswerte von A dividiert durch die Differenz der x-werte. Ds lädt ein, den Grenzübergng h durchzuführen. Die linke Seite wird dnn zur Ableitung A (x). Auf der rechten Seite steht gr kein h, die bleibt lso, wie sie ist 4. Der springende Punkt besteht nun drin, dss ds Symbol in (.2) nch dem Grenzübergng zu einem = wird! Denn, wie bereits bemerkt: Je kleiner h ist, umso kleiner ist der Fehler, und im Grenzfll h verschwindet er gänzlich. Dieses intuitive Argument knn exkt gemcht werden, woruf wir ber hier verzichten. Wir erhlten lso ds (äußerst wichtige) Resultt: A (x) = f(x). (.3) Die Ableitung der Flächeninhltsfunktion A ist gleich der gegebenen Funktion f. Ds gibt Anlss zur Definition eines neuen Begriffs: Definition: Wir nennen eine Funktion F eine Stmmfunktion der Funktion f, wenn F = f (.4) gilt. Die Flächeninhltsfunktion A ist demnch eine Stmmfunktion von f. Wir sgen bsichtlich eine Stmmfunktion, denn f besitzt nicht nur eine einzige Stmmfunktion: Ist F eine Stmmfunktion von f, und ist c eine reelle Zhl (eine Konstnte), so ist uch die Funktion F + c eine Stmmfunktion von f, denn es gilt dnn (F + c) = F + }{{} c = F = f. (.5) Und ds sind uch schon lle Stmmfunktionen von f. Je zwei Stmmfunktionen von f unterscheiden sich nur um eine (dditive) Konstnte. Diese Aussge lässt sich leicht beweisen: Sind F und F 2 Stmmfunktionen von f (d.h. F = f und F 2 = f), so gilt (F 2 F ) = F 2 F = f f =, (.6) ws besgt, dss die Ableitung von F 2 F gleich ist. Ist die Ableitung einer Funktion in einem gnzen Intervll gleich, so ist diese Funktion gleich einer Konstnten. Nur dnn knn ihr Grph überll den Anstieg hben. Es folgt lso, dss es eine Zhl c gibt, sodss F 2 F = c und dher gilt. F 2 = F + c (.7) 4 Hätten wir die Höhe des Näherungsrechtecks mit f(x + h) nstelle von f(x) vernschlgt, so stünde uf der rechten Seite von (.2) f(x + h) sttt f(x). Auch in diesem Fll erhlten wir nch dem Grenzübergng h den Wert f(x), sofern wir (technisches Detil) vorussetzen, dss f stetig ist. Ds Gleiche gilt, wenn ls Höhe des Rechtecks ein Zwischenwert gewählt wird, etw der Mittelwert 2 (f(x) + f(x + h)).

4 Integrieren kurz und bündig 4 Nun können wir ds Flächenproblem lösen: Ist F eine beliebige Stmmfunktion von f, so gibt es eine Zhl c, so dss F = A + c ist, d.h. es gilt F (x) = A(x) + c für lle x im betrchteten Bereich. Dmit wird ( ) ( ) F (b) F () = A(b) + c A() + c = A(b) A() = A(b), (.8) wobei wir die offensichtliche Ttsche benutzt hben, dss A() = ist. (.8) ist folglich gleich dem gesuchten orientierten Flächeninhlt zwischen und b. Wir schreiben ihn in der Form b f(x) dx (.9) n und nennen ihn ds bestimmte Integrl der Funktion f über ds Intervll [, b] (oder kurz von bis b ). heißt untere Integrtionsgrenze (kurz untere Grenze ), b heißt obere Integrtionsgrenze ( obere Grenze ). Ds Intervll [, b] heißt Integrtionsbereich. Die Funktion f (bzw. der Funktionsterm f(x) in (.9)) heißt Integrnd, ds Symbol x in (.9) heißt Integrtionsvrible. Wir können nun unser Ergebnis (.8) so formulieren: Ist F eine (beliebige) Stmmfunktion von f, so gilt b f(x) dx = F (b) F (). (.) Diese Aussge heißt zu Recht Huptstz der Anlysis (oder Huptstz der Differentilund Integrlrechnung). Sie führt die Flächenberechnung zurück uf ds Auffinden einer Stmmfunktion, d.h. einer Funktion F, deren Ableitung f ist. Die Differenz F (b) F () wird meist in der Form F (x) ngeschrieben, womit der Huptstz die Form b b f(x) dx = F (x) b (.) nnimmt. Eine weitere Form, ihn nzuschreiben, ist b F (x) dx = F (b) F (). (.2) Bechten Sie, dss ds Symbol f nun nicht mehr vorkommt! Diese Form zeigt m direktesten: Wnn immer es gelingt, den Integrnden ls Ableitung zu schreiben, knn ds bestimmte Integrl durch simples Einsetzen der Grenzen berechnet werden. Um lso den orientierten Flächeninhlt zu berechnen, muss zuerst eine Stmmfunktion gefunden werden. Als Symbol für die llgemeine Stmmfunktion von f ist die Schreibweise f(x) dx (.3) üblich. Sie wird ls unbestimmtes Integrl bezeichnet.

5 Integrieren kurz und bündig 5 Beispiel: Mit F definiert durch F (x) = x3 3 ist F (x) = ( ) x 3 = x2 = x 2. Definieren wir lso f durch f(x) = x 2, so ist F eine Stmmfunktion von f. Jede ndere Stmmfunktion von f unterscheidet sich von F nur um eine (dditive) Konstnte. In diesem Sinn ist es üblich, x 2 dx = x3 3 + C (.4) zu schreiben, wobei C eine beliebige reelle Zhl ist, die Integrtionskonstnte heißt. (.4) stellt gewissermßen die Menge ller Stmmfunktionen von f dr. Die Integrtionskonstnte drf in mnchen Zusmmenhängen nicht vergessen werden. Beim Berechnen von bestimmten Integrlen llerdings kommt es uf ihren Wert nicht n, d sie beim Bilden der Differenz in (.) herusfällt. Dher ist mn nicht immer so diszipliniert und schreibt sttt (.4) mnchml einfch x 2 dx = x3 3. (.5) Mn muss ber im Auge behlten, dss (.5) dnn nicht die llgemeine, sondern nur eine spezielle Stmmfunktion von f bezeichnet. Auch Computerlgebr- Systeme, die uns beim Integrieren helfen, geben in der Regel nur eine Stmmfunktion us. Dieses Beispiel zeigt, dss wir bereits in der Lge sind, die Stmmfunktionen vieler Funktionen nzugeben, nämlich ll jener Funktionen, die uns bisher ls Ableitungen begegnet sind 5. So gilt beispielsweise worus im Umkehrschluss folgt sin (x) = cos(x), (.6) cos(x) dx = sin(x) + C. (.7) Wollen wir den Flächeninhlt unter dem Grphen der Cosinusfunktion zwischen den Nullstellen π und π wissen (siehe Abbildung 2), so nutzen wir die Stmmfunktion (.7). D es 2 2 beim Berechnen eines bestimmten Integrls nicht uf den Wert der Integrtionskonstnte C nkommt, ignorieren wir sie und schreiben π/2 π/2 cos(x) dx = sin(x) π/2 π/2 ( π ) ( = sin sin π ) = ( ) = 2. (.8) 2 2 Ein nderes Beispiel (bsierend druf, dss die Ableitung von cos(x) gleich sin(x) ist) ist 2 π sin(x) dx = cos(x) 2 π = cos(2 π) + cos() = + =. (.9) 5 Und zwr im Skriptum Differenzieren kurz und bündig.

6 Integrieren kurz und bündig 6 Sehen Sie sich den Grphen der Sinusfunktion in Abbildung 3 n, um dieses Ergebnis zu verstehen! Abbildung 2: Der durch (.8) usgedrückte Flächeninhlt zwischen den Nullstellen π 2 und π 2 der Cosinusfunktion. Abbildung 3: Der durch (.9) usgedrückte orientierte Flächeninhlt über eine gnze Periode der Sinusfunktion. Mnchml ist es bequem, für die obere Grenze eines bestimmten Integrls einen Wert zuzulssen, der kleiner ls die untere Grenze ist. Ein physiklisches Beispiel dfür, ds nebenbei uch zeigt, dss Integrle nicht nur für Flächenberechnungen genutzt werden können: Die Arbeit, die zu verrichten ist, um einen Körper, uf den eine von der Ortskoordinte x bhängige Krft f wirkt, von x nch x zu bewegen, ist durch x W = x f(x) dx (.2)

7 Integrieren kurz und bündig 7 gegeben 6. Hlten wir x ls Ausgngspunkt der Bewegung fest, so können wir den Körper nch rechts (x > x ), ber uch nch links (x < x ) bewegen. Dher wird festgelegt, dss b f(x) dx = f(x) dx (.2) b gelten soll. Werden die Integrtionsgrenzen vertuscht, so ändert ds Integrl sein Vorzeichen. Der Huptstz der Anlysis (.) bzw. (.) oder (.2) gilt mit dieser Konvention uch dnn, wenn b < ist. (Und für = b ist ds bestimmte Integrl gleich.) Obwohl wir der Übersicht hlber die Integrtionsvrible in den bisher ufgetretenen bestimmten Integrlen einheitlich ls x bezeichnet hben, knn uch jedes ndere Symbol dfür verwendet werden. So bedeuten beispielsweise 5 3 x 2 dx und 5 3 z 2 dz (.22) genu ds Gleiche. In technischen Anwendungen treten gnz unterschiedliche Größen ls Integrtionsvrible uf, und dher uch gnz unterschiedliche Bezeichnungen. 2 Deutung bestimmter Integrle Wir mchen nun einige Anmerkungen zur (vorstellungsmäßigen) Deutung bestimmter Integrle und wie diese Deutung in der Integrlschreibweise zum Ausdruck kommt. Ds Integrlzeichen geht uf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück, stellt ein lnggestrecktes S dr und soll ds Wort Summe usdrücken. Wieso Summe? Betrchten Sie noch einml Abbildung! Der (orientierte) Flächeninhlt des schmlen Streifens, der beim Schritt von x zu x + h dzugekommen ist, ist ungefähr gleich dem Produkt f(x) h oder, wenn wir h ls x schreiben, f(x) x. Je kleiner x ist, umso kleiner ist der reltive Fehler, den wir bei dieser Abschätzung des Streifeninhlts mchen. Nun können wir uns vorstellen, die gesmte Fläche zwischen dem Grphen von f und der ersten Achse uf diese Weise in schmle Streifen der Breite x zu zerlegen. Um nzudeuten, dss x immer kleiner gemcht wird, dmit die Abschätzung des Flächeninhlts immer genuer wird, schreibt mn dx sttt x. In der Prxis knn mn sich vorstellen, dss dx sehr klein ist. Wie in der Differentilrechnung 7 nennt mn eine solche prktisch unendlich kleine Größe uch infinitesiml. Dmit knn ds bestimmte Integrl folgendermßen gedeutet werden: Der Integrtionsbereich wird 6 In der Schule hben Sie whrscheinlich gelernt Arbeit ist gleich Krft ml Weg. Ändert sich die Krft entlng des Weges, so ist nicht klr, ws dmit gemeint ist! Mit (.2) hben Sie die genue Version des Zusmmenhngs zwischen Arbeit und Krft (in einer Dimension). Wird die Bewegung gegen die Richtung der Krft usgeführt, so ist W >. W stellt dnn die Arbeit dr, die m Körper verrichtet wird. Wird die Bewegung in Richtung der Krft usgeführt, so ist W <, ws bedeutet, dss in Whrheit keine Arbeit m Körper verrichtet wird, sondern die Energie W gewonnen werden knn. 7 Siehe ds Differenzieren kurz und bündig.

8 Integrieren kurz und bündig 8 in kleine Teilintervlle der Länge dx zerlegt. In jedem Teilintervll wählt mn ein x, sodss der (orientierte) Flächeninhlt des schmlen Streifens zwischen Grph und erster Achse, der sich uf diese Weise ergibt, durch f(x) dx ngenähert werden knn (siehe Abbildung 4). Abbildung 4: Zur Deutung des bestimmten Integrls: Die Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion f und der ersten Achse wird in schmle Streifen der Breite dx zerlegt, sodss sich ihr (orientierter) Inhlt ls Summe von Produkten Funktionswert ml dx nnähern lässt. Im Grenzfll dx ergibt sich ds bestimmte Integrl, siehe (2.). Ds bestimmte Integrl ist dnn die im Grenzfll beliebig feiner Zerlegungen, lso dx, verstndene Summe über orientierte Flächeninhlte von Rechtecken f(x) dx. (2.) Um zu unterstreichen, dss es sich bei f(x) dx ttsächlich um ein Produkt hndelt, ist hier ein Mlpunkt ngeschrieben. In diesem Sinn ist lso bei der Schreibweise für Integrle der Ausdruck f(x) dx ls Produkt zu verstehen. Diese Deutung (uf die wir im Anhng noch einml zurückkommen werden) ht einige Konsequenzen: Setzen Sie bitte beim Anschreiben von (bestimmten und unbestimmten) Integrlen richtige Klmmern, gnz so, wie Sie Klmmern setzen, um ds Produkt eines Terms mit einer Summe zu kennzeichnen. Ein Beispiel für korrekt gesetzte Klmmern ist der erste Ausdruck in (5.3) weiter unten. Nicht richtig (obwohl in mnchen Lehrbüchern verwendet) wäre die Schreibweise x 2 + sin(x) dx, (2.2) denn die würde bedeuten, dss dx nur mit sin(x) multipliziert wird, nicht ber mit x 2. Die Vorstellung von f(x) dx ls Produkt ermöglicht bei Anwendungen, in denen physiklische Einheiten vorkommen, einen einfchen Einheitencheck: So stellt beispielsweise ds

9 Integrieren kurz und bündig 9 früher erwähnte Integrl (.2) die Arbeit dr, die zu verrichten ist, um einen Körper, uf den eine Krft wirkt, zu bewegen. Der Check lutet hier Einheit der Arbeit = Einheit der Krft Einheit der Länge (2.3) (lso Joule = Newton Meter), wobei ntürlich ngenommen wird, dss x (und dmit uch dx) eine Länge ist. Überprüfungen dieser Art sind nützlich, um Fehler zu finden! So ist beispielsweise eine Formel x W = f(x) x dx (2.4) x für die gegen eine Krft f zu verrichtende Arbeit schon llein deshlb flsch, weil die linke Seite eine Arbeit drstellt, die rechte ber eine Krft ml Länge zum Qudrt, lso Arbeit ml Länge. Ds Symbol dx ist bereits in der Differentilrechnung ufgetreten. Dort konnte die Ableitung f uch ls Differentilquotient in der Form df geschrieben werden. Sowohl dx bei der Bezeichnung von Ableitungen ls uch bei der Schreibweise von bestimmten Integrlen knn mn sich dx ls eine Differenz von sehr nhe benchbrten x-werten vorstellen. Ist A die im ersten Abschnitt besprochene Flächeninhltsfunktion von f, so können wir A (x) = da dx in der Form da = A (x) dx schreiben, lso ls da = f(x) dx. Die Integrlschreibweise bezeichnet ds Bilden der Summe ll dieser kleinen (orientierten) Rechecksflächen da (im Sinn eines Grenzübergngs dx ). So gesehen bezeichnet ds Symbol dx in der Differentilrechnung und in der Integrlrechnung ds Gleiche! Mit der Interprettion von df = F (x) dx ls kleine ( infinitesimle ) Änderung des Funktionswerts einer Funktion F beim Übergng von der Stelle x zur Stelle x+dx ergibt sich eine intuitive Interprettion des Huptstzes der Anlysis in der Formulierung (.2): Die linke Seite wird gedeutet ls Summe der kleinen Änderungen, die sich ergeben, wenn x, usgehend von, schrittweise um ein kleines dx erhöht wird, bis b erreicht ist. Insgesmt ergibt sich drus die Gesmtänderung des Funktionswerts von F beim Übergng von zu b, lso die rechte Seite von (.2). 3 Wo treten Integrle uf? Wir hben den Integrlbegriff über ds Flächenproblem eingeführt. Aber uch in nderen Situtionen treten Integrle uf. Wnn immer eine Summe von Produkten Funktionswert einer bhängigen Größe kleine Änderung der unbhängigen Größe (3.) über ein Intervll der unbhängigen Größe, verstnden im Sinn eines Grenzübergngs kleine Änderung der unbhängigen Größe, gebildet wird, hndelt es sich um ein bestimmtes Integrl. Ein Beispiel dfür hben wir bereits in (.2) ngegeben. Hier einige weitere Beispiele 8 : 8 Dbei gehen wir mit Differentilen wie dt oder dv so um, wie es in technischen Anwendungen üblich ist: Wir betrchten sie ls kleine Änderungen.

10 Integrieren kurz und bündig Während eines kleinen Zeitintervlls dt ändert sich die Ortskoordinte x eines bewegten Körpers um dx = v dt, wobei v seine Geschwindigkeit ist. Drus folgt: Ist der zeitliche Verluf v(t) der Geschwindigkeit eines Körpers beknnt, so legt dieser zwischen zwei Zeitpunkten t und t die Strecke t t v(t) dt (3.2) zurück 9. (3.2) knn ls orientierter Flächeninhlt unter dem Grphen der Funktion t v(t) in einem Zeit-Geschwindigkeit-Digrmm ngesehen werden. Wird ds Volumen V eines Gses geändert (d.h. wird es komprimiert oder lässt mn es expndieren), und findet kein Wärmeustusch mit der Umgebung sttt, so ändert sich dessen innere Energie U. Für eine kleine Volumsänderung dv ist diese Änderung (gemäß dem ersten Huptstz der Wärmelehre) durch du = p dv gegeben, wobei p der Druck des Gses ist. Wird ds Volumen von V uf V geändert, so ist die Änderung der inneren Energie gleich V V p(v ) dv, (3.3) wobei p(v ) der Druck ist, der herrscht, wenn ds Gs ds Volumen V einnimmt. (3.3) knn ls minus der orientierte Flächeninhlt unter dem Grphen der Funktion V p(v ) in einem Volumen-Druck-Digrmm ngesehen werden. Wird ein Kondenstor der Kpzität C gelden oder entlden, so ist dmit ein Ldungsfluss verbunden, der einer Stromstärke I entspricht. Während eines kleinen Zeitintervlls dt ändert sich die Spnnung U m Kondenstor um du = I dt. Ist der zeitliche Verluf I(t) der Stromstärke beknnt, so ist der zeitliche Verluf der Spnnung C durch U(t) = U() + C t I(τ) dτ (3.4) gegeben, wobei U() die Spnnung zum Zeitpunkt t = ist. Bechten Sie, dss die Integrtionsvrible hier mit τ bezeichnet wurde, weil ds Symbol t (ds j die obere Grenze drstellt) bereits besetzt ist. Ds Integrl in (3.4) knn ls orientierter Flächeninhlt unter dem Grphen der Funktion t I(t) in einem Zeit-Stromstärke-Digrmm C ngesehen werden. Ein sehr breites Feld, in dem Integrle uftreten, und ds in prktisch lle technischen Anwendungsgebiete hineinreicht, ist ds der Differentilgleichungen. Viele Lösungen von Differentilgleichungen können ls Integrle usgedrückt werden. Wir gehen uf dieses Them hier nicht weiter ein. 9 Genuer formuliert: (3.2) ist die Differenz Ortskoordinte zur Zeit t minus Ortskoordinte zur Zeit t.

11 Integrieren kurz und bündig 4 Stmmfunktionen einiger elementrer Funktionen Gehen wir die im Skriptum Differenzieren kurz und bündig ngegebenen Ableitungen elementrer Funktionen durch und drehen die Reihenfolge um, so können wir sogleich einige oft benötigte Stmmfunktionen notieren. Dbei hben wir d und dort kleine Anpssungen vorgenommen : f(x) f(x) dx Anmerkung x r x r+ x r + + C ln ( x ) + C für r R mit r -Symbol nur für x < relevnt sin(x) cos(x) + C cos(x) cos 2 (x) x 2 sin(x) + C tn(x) + C sin(x) + C sin(x) = cos(x) + π 2 + x 2 tn(x) + C e x x sinh(x) e x + C x + C für R mit > und ln() cosh(x) + C cosh(x) sinh(x) + C Als Spezilfll der ersten Regel für r = 2 erhlten wir (.4). Weitere Spezilfälle für r =, 2 r = und r = 2 ergeben sich zu 2 x /2 dx = 2 3 x3/2 + C, x /2 dx = 2 x /2 + C, x 2 dx = x + C, (4.) Zum Beispiel wurde die Beziehung cos (x) = sin(x) in der leicht vriierten Form ( cos(x)) = sin(x) benutzt, um die Stmmfunktion der Sinusfunktion ngeben zu können.

12 Integrieren kurz und bündig 2 ws wir uch in der Form x dx = 2 3 x3/2 + C, x dx = 2 x + C, x 2 dx = x + C (4.2) schreiben können. Ist der Integrnd ein Bruchterm, so knn ds Symbol dx uch in den Zähler geschrieben werden. So schreibt mn etw ds mittlere der Integrle in (4.2) uch in der Form dx (4.3) x n. Bei der Benutzung ll dieser Formeln zur Berechnung bestimmter Integrle ist zu bechten, dss sich innerhlb des Integrtionsbereichs keine Stelle befinden drf, n der der Integrnd nicht definiert ist. So ist beispielsweise die Berechnung b x 2 dx = x b = ( b ) = b (4.4) nur dnn korrekt, wenn und b beide positiv oder beide negtiv sind. Ist hingegen negtiv und b positiv, so liegt die Unendlichkeitsstelle innerhlb des Intervlls [, b], und folglich ist (4.4) in diesem Fll nicht nwendbr. 5 Elementre Eigenschften des Integrls Bei der Berechnung bestimmter und unbestimmter Integrle von Funktionen, die us Funktionen zusmmengesetzt sind, deren Stmmfunktionen wir bereits kennen, helfen einige elementre Schverhlte, die unmittelbr us der Definition des Integrls folgen. Etws usgefeiltere Methoden werden im druffolgenden Abschnitt besprochen. Integrl einer Summe: Es gilt ( f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx (5.) und b ( ) b f(x) + g(x) dx = f(x) dx + b g(x) dx. (5.2) In Worten: Ds Integrl einer Summe ist die Summe der Integrle. Beispiel 2 : ( x 2 + sin(x)) dx = x 2 dx + sin(x) dx = x3 3 cos(x) + C. (5.3) In (5.) schreiben wir uf der rechten Seite keine Integrtionskonstnte n, d ohnehin in den beiden unbestimmten Integrlen Integrtionskonstnten enthlten sind. 2 Von jedem der beiden unbestimmten Integrle zwischen den Gleichheitszeichen kommt eine Integrtionskonstnte. Deren Summe, die j wieder nur eine frei wählbre Konstnte ist, wurde mit C bezeichnet.

13 Integrieren kurz und bündig 3 Integrl eines Vielfchen: Ist c eine reelle Zhl (lso eine Konstnte), so gilt c f(x) dx = c f(x) dx (5.4) und b b c f(x) dx = c f(x) dx. (5.5) In Worten: Ds Integrl eines Vielfchen ist ds Vielfche des Integrls. Beispiel 3 : 6 x 2 dx = 6 x 2 dx = 6 x3 3 + C = 2 x3 + C. (5.6) Integrl einer Linerkombintion: Eine Linerkombintion von Funktionen ist eine Summe us Vielfchen, beispielsweise eine Funktion der Form r f + s g, wobei f und g Funktionen und r und s reelle Zhlen sind. Aus den beiden vorngegngenen Regeln folgt, dss ds Integrl einer Linerkombintion die Linerkombintion der Integrle ist: ( r f(x) + s g(x)) dx = r f(x) dx + s g(x) dx (5.7) und b ( ) b r f(x) + s g(x) dx = r b f(x) dx + s g(x) dx, (5.8) und entsprechende Regeln gelten für Linerkombintionen mit mehr ls zwei Summnden. Beispiel: ( 6 x 2 5 sin(x)) dx = 6 x 2 dx 5 sin(x) dx = = 6 x cos(x) + C = 2 x3 + 5 cos(x) + C. (5.9) Für Integrle von Produkten, Quotienten und Verkettungen von Funktionen stehen keine einfchen Regeln zur Verfügung, die immer fuktionieren würden. Dieser Unterschied zur Differentilrechnung (wo es eine Produktregel, eine Quotientenregel und eine Kettenregel zur Berechnung der Ableitung gibt) mcht ds Integrieren zu einer schwierigeren Angelegenheit ls ds Differenzieren. Für ds Integrieren gibt es kein Kochrezept, ds immer nwendbr 3 Vom Integrl x 2 dx kommt eine Integrtionskonstnte, deren 6-fches j wieder nur eine frei wählbre Konstnte ist, die wir mit C bezeichnen.

14 Integrieren kurz und bündig 4 wäre. Es gibt sogr (viele) Funktionen, deren Stmmfunktionen sich nicht durch geschlossene Terme usdrücken lssen, lso durch Terme, die us uns beknnten Funktionstermen ufgebut sind. Beispiele dfür sind sin(x) e x2 dx und dx. (5.) x Werden derrtige Integrle oft benötigt, so gibt mn den Funktionen, die sie drstellen, eigene Nmen (wie beispielsweise Fehlerfunktion in der Sttistik wichtig und Integrlsinus für Funktionen, die mit Hilfe der Stmmfunktionen in (5.) gebildet werden) und berechnet ihre Funktionswerte mit eigens dfür geschffenen numerischen Methoden (ntürlich m Computer). Ein weiteres Beispiel für ein Integrl, ds nicht geschlossen durch elementre Funktionen usgedrückt werden knn, ist ds Integrl (6.8), (6.9), ds wir später besprechen werden. Eine letzte Eigenschft des bestimmten Integrls, die wir in diesem Abschnitt erwähnen, ist b f(x) dx + c f(x) dx = c f(x) dx. (5.) b Für < b < c besgt diese Beziehung, dss der (orientierte) Flächeninhlt im Intervll [, c] uch erhlten werden knn, indem mn ihn für [, b] und [b, c] getrennt berechnet und die beiden Anteile ddiert (siehe Abbildung 5). Ds wird unter nderem benutzt, um Integrle über stückweise termdefinierte Funktionen 4 zu berechnen. Mit (.2) gilt (5.) für beliebige, b, c R. Abbildung 5: Illustrtion zu (5.) für < b < c. Der (orientierte) Flächeninhlt zwischen Grph (rote Linie) und erster Achse im Intervll [, c] ist die Summe der entsprechenden (orientierten) Flächeninhlte in den Intervllen [, b] und [b, c]. 4 Siehe ds Skriptum Der Funktionenzoo.

15 Integrieren kurz und bündig 5 6 Einige Integrtionsmethoden Wie bereits erwähnt, ist ds Integrieren schwieriger ls ds Differenzieren, d es kein Kochrezept für Integrle von Produkten und Verkettungen gibt. Mnchml gelingt es, Stmmfunktionen zu errten, ber für den Fll, dss ds nicht klppt, stehen einige Regeln, die unter Umständen weiterhelfen, zur Verfügung. Zuvor ber ein Tipp, den Sie immer befolgen können: Integrieren mit dem Computer: Zögern Sie nicht, beim Integrieren die Hilfe des Computers in Anspruch zu nehmen! Computerlgebr-Systeme (wie Mthemtic oder GeoGebr) hben viele Integrtionsverfhren und die Erfhrung von Genertionen eingebut, um sowohl unbestimmte ls uch bestimmte Integrle zu berechnen. Wenn Sie Ihre Berechnungen lieber uf dem Ppier usführen, können Sie die Stmmfunktionen, die diese Progrmme usgeben, überprüfen, indem Sie sie differenzieren. Flls einml kein befriedigendes Ergebnis usgegeben, sondern lediglich die Eingbe wiederholt (Mthemtic) oder ein Frgezeichen usgegeben wird (GeoGebr), so können Sie relistischerweise dvon usgehen, dss Sie ebenflls keine Stmmfunktion finden werden! In den meisten dieser Fälle wird es dnn gr keinen geschlossenen Term für sie geben. Wird sttt eines Funktionsterms ein (Ihnen unbeknnter) Funktionsnme usgegeben, so können Sie eine der vielen Quellen im WWW nutzen, um sich über die betreffende Funktion zu informieren. Fzit: Mchen Sie sich bitte dmit vertrut, wie ds Integrieren mit dem Computerwerkzeug Ihrer Whl durchgeführt wird! Konsultieren Sie den Rest dieses Abschnitts, wenn Sie kompliziertere Integrle ls die bisher besprochenen uf dem Ppier berechnen müssen und es erst ml ohne Computer probieren wollen! Substitutionsmethode für unbestimmte Integrle: Die Substitutionsmethode besteht drin, bei der Berechnung eines (bestimmten oder unbestimmten) Integrls nstelle der (ls x bezeichneten) Vrible eine ndere Vrible (wir nennen sie u) einzuführen, mit deren Hilfe es sich leichter berechnen lässt. (Es wird lso die Vrible x durch eine neue Vrible u ersetzt substituiert, worus sich der Nme dieser Methode erklärt). Im Idelfll hndelt es sich beim Übergng von der Vrible x zur Vrible u um eine Vriblentrnsformtion, d.h. um eine umkehrbre Entsprechung x u. Jedem Wert von x entspricht dnn ein Wert von u und umgekehrt. Ist diese Bedingung erfüllt, so ist es möglich, whlweise u ls Funktion von x ufzufssen oder x ls Funktion von u. Wir werden im Folgenden die Substitutionsmethode für diesen Fll besprechen und dnch uf den Fll eingehen, dss der Übergng von x zu u nicht umkehrbr ist. Dbei behndeln wir zuerst unbestimmte Integrle und im druffolgenden Punkt bestimmte Integrle. Die Methode der Vriblentrnsformtion (wir nennen sie Methode ) sei nhnd eines Beispiels demonstriert: Angenommen, wir stehen vor der Aufgbe, ds unbestimmte Integrl x sin(x 2 ) dx zu berechnen, und hben die Vermutung (oder Hoffnung), dss sich die Integrtion vereinfchen wird, wenn u = x 2 ls neue Vrible verwendet wird. Dmit diese Beziehung umgekehrt werden knn, müssen wir uns uf einen der Bereiche

16 Integrieren kurz und bündig 6 x oder x beschränken. Wir wählen den Bereich x, in dem die Umkehrtrnsformtion durch x = u gegeben ist 5. Der springende Punkt besteht nun drin, durch die Berechnung einer Ableitung dx durch u und du uszudrücken 6 : du dx = d dx x2 = 2 x = 2 u, dher dx = du 2 u. (6.) Die gleiche Umrechnungsformel knn uch so erzielt werden: dx du = d du u = 2 du, dher dx = u 2 u. (6.2) Nun können wir ds Integrl gänzlich durch die Vrible u usdrücken: u x sin(x 2 du ) dx = sin(u) 2 u = sin(u) du = 2 = 2 cos(u) + C = 2 cos(x2 ) + C. (6.3) Im letzten Schritt wurde ds Ergebnis wieder durch die ursprüngliche Vrible x usgedrückt. Sehen Sie sich genu n, wie sich die Vereinfchung ergeben ht: Es konnte u gegen gekürzt werden. Die gleiche Methode hätte beim Integrl sin(x 2 ) dx keine u Vereinfchung gebrcht. (Versuchen Sie es!) Ds in (6.3) erzielte Ergebnis gilt zunächst nur im Bereich x. Wenden Sie zur Übung die gleiche Methode für den Bereich x n! Ds Ergebnis wird (durch x usgedrückt) der gleiche Term sein 7. Besonders häufig benutzte Vriblentrnsformtionen sind (mit Konstnten c und k, wobei k ): Dmit berechnen wir beispielsweise dx = (mit u = x 4) = (x 4) 2 sin(3 x) dx = (mit u = 3 x) = u = x + c, worus folgt: dx = du (6.4) u = k x, worus folgt: dx = du k. (6.5) du u = 2 u + C = x 4 + C (6.6) sin(u) du 3 = sin(u) du = 3 = 3 cos(u) + C = cos(3 x) + C (6.7) 3 e x dx = (mit u = x) = e u du = e u + C = e x + C. (6.8) 5 Im Bereich x würde sie x = u luten. 6 Hier zeigt sich gnz prktisch, dss wie bereits erwähnt die Symbole dx und du beim Differenzieren und beim Integrieren im Grunde ds Gleiche bedeuten. 7 Eine ndere Methode, ds einzusehen, besteht drin, die Beziehung d dx ( 2 cos(x2 ) ) = x sin(x 2 ) zu überprüfen. Sie gilt gnz llgemein, lso uch im Bereich x. Wären wir durch ein bisschen Probieren uf diese Beziehung gestoßen, so hätten wir die gesuchte Stmmfunktion sogleich geknnt und uns die Vriblentrnsformtion spren können! Viele mthemtische Ergebnisse können uf unterschiedlichen Wegen erzielt werden!

17 Integrieren kurz und bündig 7 Mit ein bisschen tril nd error knn mn diese Stmmfunktionen ber uch errten 8. Wir wollen nun noch eine etws llgemeinere Vrinte der Substitutionsmethode, die wir Methode 2 nennen, besprechen: Bisher hben wir vorusgesetzt, dss der Übergng von x zur neuen Vrible u im betrchteten Bereich umkehrbr ist. Mnchml kommt mn uch ohne diese Vorussetzung us. Betrchten wir ein Integrl der Form g(u(x)) u (x) dx, (6.9) wobei g und u Funktionen sind. Ist G eine Stmmfunktion von g, so gilt (gemäß der Kettenregel) d dx G(u(x)) = G (u(x)) u (x) = g(u(x)) u (x), (6.) ws genu gleich dem Integrnden von (6.9) ist. Dmit ist eine Stmmfunktion gefunden, und ds Integrl knn berechnet werden: g(u(x)) u (x) dx = G(u(x)) + C. (6.) Um dieses Ergebnis zu erhlten, knn forml uch so vorgegngen werden: Zunächst wird du dx = u (x) zu dx = du (6.2) u (x) umgeformt. Wird im Integrnden nstelle von g(u(x)) einfch g(u) geschrieben, vereinfcht sich ds Integrl folgendermßen: g(u(x)) u (x) dx = g(u) u du (x) u (x) = g(u) du = G(u) + C, (6.3) ws nun wieder ls G(u(x))+C geschrieben werden knn. Bechten Sie, wie die zunächst verbliebene x-abhängigkeit weggefllen ist: Es konnte u (x) gegen gekürzt werden. u (x) An keiner Stelle wurde vorusgesetzt, dss die Funktion u umkehrbr ist. Wird die Struktur des Integrnden in (6.9) gleich von Beginn n erknnt, muss mn nicht so vorgehen, d sich die Lösung mit (6.) j ohnehin sofort ergibt. Aber bei komplizierteren Integrnden knn es uch ml pssieren, dss mn einen Kndidten für u(x) erkennt, ber nicht sicher ist, ob die Gesmtstruktur des Integrls wirklich von der Form (6.9) ist. In einem solchen Fll knn ds Integrl zunächst mit Hilfe von (6.2) umgeschrieben werden. Dnn muss versucht werden, ob die Sche ufgeht: Wenn die verbleibenden, noch von x bhängigen Teilusdrücke im Integrnden entweder im betrchteten Bereich ls Funktionen von u(x) geschrieben werden können oder sich heruskürzen, ergibt sich ein Integrl, in dem nur mehr die Vrible u vorkommt. Auf ds Integrl x sin(x 2 ) dx, 8 Sie können sich gnz llgemein mit Hilfe der Kettenregel dvon überzeugen, dss eine Stmmfunktion von f(k x + c) durch F (k x + c) gegeben ist, wenn F (x) eine Stmmfunktion von f(x) ist. k

18 Integrieren kurz und bündig 8 ds wir in (6.3) bereits berechnet hben, ngewndt, sieht Methode 2 so us: Mit u(x) = x 2 wird du = u (x) dx = 2 x dx, dher dx = du 2 x. (6.4) Ds wird in ds Integrl eingesetzt (und x 2 durch u ersetzt): x sin(x 2 ) dx = x sin(u) du 2 x = sin(u) du = 2 = 2 cos(u) + C = 2 cos(x2 ) + C. (6.5) Im letzten Schritt wurde u wieder durch x 2 ersetzt. Es ergibt sich ds gleiche Ergebnis wie in (6.3), ber ufgrund der geänderten Art der Argumenttion wissen wir nun, dss es gnz llgemein gilt, während (6.3) nur für den Bereich x gewonnen wurde. Der entscheidende Unterschied ist, dss wir bei der Vorgngsweise in (6.5) nicht druf ngewiesen sind, x durch u uszudrücken, dss lso die Entscheidung, ob x = u oder x = u gesetzt werden soll, gr nicht notwendig wr. Die beiden Methoden sind eng verwndt. Flls beim Versuch, Methode 2 nzuwenden, im betrchteten Bereich die Umkehrfunktion u von u existiert, so knn mit Hilfe der Identität x = u (u(x)) (6.6) jede verbleibende x-abhängigkeit im Integrnden ls Funktion von u(x) geschrieben werden. In diesem Fll reduziert sich Methode 2 uf Methode, d.h. uf eine Vriblentrnsformtion x u, wie sie zuvor besprochen wurde. Flls u ber im betrchteten Bereich keine Umkehrfunktion besitzt und dennoch im Integrnden eine Abhängigkeit von x verbleibt, die nicht ls Funktion von u(x) usgedrückt werden knn, funktioniert Methode 2 nicht. Sehen wir uns ds nhnd unseres letzten Beispiels x 2 sin(x 4 ) dx n: Wir setzen (vermuten) in diesem Fll u(x) = x 4 und berechnen Dmit wird du = u (x) dx = 4 x 3 dx, dher dx = du 4 x 3. (6.7) x 2 sin(x 4 ) dx = x 2 sin(u) du 4 x = 3 4 sin(u) du x. (6.8) Ds verbleibende x im Integrnden knn nun nicht mehr ls Funktion von u usgedrückt werden. Methode 2 mit u(x) = x 4 funktioniert hier nicht! Wir können uns ber uf den Bereich x beschränken (lso zu Methode zurückkehren). In diesem Bereich lässt sich die Beziehung u = x 4 zu x = u /4 umkehren 9, und wir können ds Integrl in die Form sin(u) du 4 x = sin(u) du 4 u = u /4 sin(u) du (6.9) /4 4 bringen. Leider ist hier trotzdem Endsttion, denn ds uf diese Weise erhltene Integrl ist nicht einfcher ls ds ursprüngliche! 9 Bechten Sie: Im Bereich x wäre x = u /4 zu setzen.

19 Integrieren kurz und bündig 9 Substitutionsmethode für bestimmte Integrle: Soll ein bestimmtes Integrl berechnet werden, für ds die Stmmfunktion durch eine Trnsformtion uf eine neue Vrible u gefunden werden knn, so muss mn die Stmmfunktion nicht unbedingt durch die ursprüngliche Vrible x usdrücken. Es genügt, die Integrtionsgrenzen in die entsprechenden Werte von u umzurechnen. Ds gilt sowohl für Methode ls uch für Methode 2. Lutet die Substitution beispielsweise u = 3 x, und sind die Grenzen (lso x untere Grenze = ) und 2 (lso x obere Grenze = 2), so ist u untere Grenze = 3 = und u obere Grenze = 3 2 = 6. Dmit können wir beispielsweise berechnen 2 e 3 x dx = (mit u = 3 x) = 6 e u du 3 = 3 6 e u du = = 3 eu 6 = 3 ( e 6 e ) = 3 ( e 6 ), (6.2) ohne die Stmmfunktion 3 eu wieder durch x usdrücken zu müssen. Um in der Schreibweise gnz deutlich zu mchen, dss die Grenzen jetzt nicht für x, sondern für u eingesetzt werden, können Sie u = 6 3 eu u = sttt 6 3 eu (6.2) schreiben. Eine solche Nottion ist insbesondere dnn prktisch, wenn in einer Anwendungssitution unterschiedliche Symbole vorkommen, von denen eines die Integrtionsvrible bezeichnet und die nderen lediglich Konstnten sind. So ist beispielsweise klr, ws mit e r s s = (6.22) s = gemeint ist (nämlich e r ), während ds bei der Schreibweise nicht der Fll ist. e r s (6.23) Methode der prtiellen Integrtion: Ist F eine Stmmfunktion von f, und ist g eine weitere Funktion, so gilt ufgrund der Produktregel ( F (x) g(x)) = F (x) g(x) + F (x) g (x) = f(x) g(x) + F (x) g (x). (6.24) Dher ist F (x) g(x) eine Stmmfunktion von f(x) g(x) + F (x) g (x), und es gilt ( f(x) g(x) + F (x) g (x)) dx = F (x) g(x) + C. (6.25) Ds schreiben wir in die Form f(x) g(x) dx = F (x) g(x) F (x) g (x) dx (6.26)

20 Integrieren kurz und bündig 2 um (wobei wir nun die Integrtionskonstnte weglssen, weil eine solche ohnehin im Integrl uf der rechten Seite enthlten ist). Formel (6.26) wird vor llem dnn ngewndt, wenn sich ds Integrl uf der rechten Seite einfcher berechnen lässt ls ds uf der linken. Diese Methode heißt prtielle Integrtion. Sehen Sie sich die Struktur von (6.26) genu n: Es ist ds Integrl eines Produkts zu berechnen. Ist die Stmmfunktion eines der beiden Fktoren beknnt, und ergibt sich eine Vereinfchung, wenn dieser Fktor durch seine Stmmfunktion und der ndere Fktor durch seine Ableitung ersetzt wird, so knn die Methode der prtiellen Integrtion ngewndt werden. Wir illustrieren ds nhnd eines Beispiels: Wir sollen sin(x) x dx berechnen. Mit f(x) = sin(x) und g(x) = x ist F (x) = cos(x) und g (x) =. Dmit wird sin(x) x dx = cos(x) x + cos(x) dx = cos(x) x + sin(x) + C. (6.27) Integrl erfolgreich berechnet! Aber Achtung: Ist die Aufgbe gestellt, x sin(x) dx zu berechnen (die gleiche Aufgbe wie zuvor, nur nders ngeschrieben), so bringt es nichts, f(x) = x und g(x) = sin(x) zu setzen, denn dnn hndelt mn sich ein Integrl über x 2 cos(x) ein. Beim prtiellen Integrieren ist lso zuerst zu überlegen, welcher Fktor die Rolle von f(x) und welcher die Rolle von g(x) spielen soll! Besonders reizvoll nimmt sich diese Methode us, wenn sie uf ds unbestimmte Integrl sin(x) cos(x) dx ngewndt wird. Mit f(x) = sin(x) und g(x) = cos(x) erhlten wir zunächst sin(x) cos(x) dx = cos(x) cos(x) ( cos(x))( sin(x)) dx = = cos 2 (x) cos(x) sin(x) dx. (6.28) Nun steht ds zu berechnende Integrl uch rechts vom letzten Gleichheitszeichen, llerdings (und glücklicherweise) mit einem Minuszeichen! Bezeichnen wir es mit I, so gilt lso I = cos 2 (x) I, (6.29) ws wir ls Gleichung für I uffssen, die sofort gelöst werden knn: Wir ddieren I zu beiden Seiten dieser Beziehung, dividieren dnch beide Seiten durch 2 und erhlten sin(x) cos(x) dx = 2 cos2 (x) + C, (6.3) wobei wir pflichtbewusst wieder die Integrtionskonstnte dzugeschrieben hben. Für bestimmte Integrle ist die prtielle Integrtion gemäß der Formel durchzuführen. b f(x) g(x) dx = F (x) g(x) b b F (x) g (x) dx (6.3)

21 Integrieren kurz und bündig 2 7 Uneigentliche Integrle Bisher hben wir ls Integrtionsbereiche beschränkte Intervlle betrchtet, und in unseren Beispielen wr der Integrnd im gesmten Integrtionsbereich einschließlich der Integrtionsgrenzen endlich. Beides ist nicht unbedingt erforderlich, wie die beiden folgenden Beispiele zeigen: Ds bestimmte Integrl dx x = 2 x = lim x x + =, (7.) bei dessen Berechnung im letzten Schritt nicht geschrieben, sondern ein Grenzübergng durchgeführt wurde, stellt die Berechnung des Inhlts einer Fläche dr, die sich (für beliebig große x-werte) bis ins Unendliche erstreckt. (Siehe Abbildung 6, links oben: Ds Flächenstück, ds sich nch rechts bis ins Unendliche erstreckt, ht einen endlichen Flächeninhlt.) Ds bestimmte Integrl dx = 2 x = 2 2 = (7.2) x stellt ebenflls die Berechnung des Inhlts einer Fläche dr, die sich ber nun für Werte x bis ins Unendliche erstreckt. (Siehe Abbildung 6, rechts oben: Ds Flächenstück, ds sich nch oben bis ins Unendliche erstreckt, ht einen endlichen Flächeninhlt.) Integrle dieser Art heißen uneigentliche Integrle. Nicht jedes uneigentliche Integrl führt uf einen endlichen Wert, wie die Beispiele und dx x = ln(x) = lim ln(x) ln() = (7.3) x dx x = ln(x) = ln() lim ln(x) = (7.4) x zeigen 2. (Siehe Abbildung 6, unten: Beide Flächenstücke, die sich nch rechts und nch oben bis ins Unendliche erstrecken, hben einen unendlich großen Flächeninhlt.) 2 Lesen Sie im Skriptum Exponentil- und Logrithmusfunktionen und ihre Grphen nch, wenn Ihnen nicht klr ist, wrum ln() nicht existiert, und wrum ln(x), slopp usgedrückt, gegen strebt, wenn x von positiven Werten her der Stelle beliebig nhe rückt!

22 Integrieren kurz und bündig 22 Abbildung 6: Durch uneigentliche Integrle berechnete Flächeninhlte: Links oben: Der Inhlt des hervorgehobenen (bis ins Unendliche reichenden) Flächenstücks ist endlich und durch (7.) gegeben. Rechts oben: Der Inhlt des hervorgehobenen (bis ins Unendliche reichenden) Flächenstücks ist endlich und durch (7.2) gegeben. Links unten: Der Inhlt des hervorgehobenen (bis ins Unendliche reichenden) Flächenstücks ist unendlich. Siehe (7.3). Rechts unten: Der Inhlt des hervorgehobenen (bis ins Unendliche reichenden) Flächenstücks ist unendlich. Siehe (7.4). Zwei weitere, für Anwendungen wichtige uneigentliche Integrle sind e x dx = und e x2 dx = π 2. (7.5) Ds erste lässt sich mit den uns zur Verfügung stehenden Methoden leicht berechnen (versuchen Sie es!). Die Begründung des zweiten geht über den Stoff dieses Skriptums hinus.

23 Integrieren kurz und bündig 23 8 Anhng: Riemnnsche Summen Abbildung 7: Eine Riemnnsche Summe: Der Integrtionsbereich [, b] wird in n Teilintervlle zerlegt (hier ist n = 6 gewählt), und innerhlb jedes Teilintervlls wird eine beliebige Stelle gewählt, deren Funktionswert die Höhe eines Rechtecks bestimmt. Der (orientierte) Gesmtflächeninhlt dieser Rechtecke ist eine Riemnnsche Summe. Ist f eine integrierbre Funktion, so strebt sie im Grenzübergng n gegen ds bestimmte Integrl. Wir hben uns bei der Definition des Integrlbegriffs uf unsere Intuition über den Verluf von Funktionsgrphen verlssen. Hier zum Abschluss dieses Skriptums die genue Definition des bestimmten Integrls: Um zunächst eine Annäherung n den orientierten Flächeninhlt zwischen Grph und erster Achse zu finden, unterteilen wir ds Intervll [, b] in n gleich große Teilintervlle 2, wobei wir ihre Anzhl n offen lssen. Jedes Teilintervll ht demnch die Länge h = b n. (8.) 2 Die folgende Konstruktion knn uch für Teilintervlle unterschiedlicher Länge durchgeführt werden, ber wir wollen unsere Beschreibung so einfch wie möglich hlten.

24 Integrieren kurz und bündig 24 In jedem dieser n Teilintervlle wählen wir eine Stelle und bezeichnen diese Stellen mit x, x 2,..., x n. In Abbildung 7 ist eine solche Sitution für n = 6 drgestellt. Die Approximtion des orientierten Flächeninhlts ls Summe (orientierter) Rechtecksflächen f(x ) h + f(x 2 ) h + + f(x n ) h (8.2) oder, kompkter mit dem Summensymbol ngeschrieben 22, n f(x k ) h (8.3) k= heißt Riemnnsche Summe. Flls nun im Grenzübergng n (d.h. bei immer feiner werdender Unterteilung des Integrtionsbereichs) die Riemnnsche Summe (8.2) stets gegen ein und dieselbe Zhl K strebt, und zwr unbhängig dvon, wie die Zwischenstellen x, x 2,..., x n gewählt werden, so nennen wir die Funktion f (Riemnn-)integrierbr und bezeichnen die Zhl K ls ds (Riemnn-)Integrl von f über ds Intervll [, b]. Für eine sehr feine Unterteilung des Integrtionsbereichs ist dnn b f(x) dx n f(x k ) h. (8.4) Hier begegnen wir wieder der bereits im zweiten Abschnitt diskutierten Deutung des bestimmten Integrls ls (Grenzwert einer) Summe von Produkten. Ds Integrlzeichen dem Bilden der Summe über die n Teilintervlle: b k= b entspricht n. (8.5) Der Integrnd f(x) entspricht den Funktionswerten f(x k ) n den in den Teilintervllen gewählten Stellen x k und dmit der Höhe der einzelnen Rechtecke in Abbildung 7: k= f(x) f(x k ). (8.6) Ds Symbol dx entspricht der Länge h der Teilintervlle und dmit der Breite der Rechtecke in Abbildung 7: dx h. (8.7) Ds Produkt f(x) dx schließlich entspricht dem (orientierten) Flächeninhlt f(x k ) h der einzelnen Rechtecke in Abbildung 7: f(x) dx f(x k ) h. (8.8) 22 Diese Schreibweise für Summen wurde im Skriptum Der binomische Lehrstz und die Binomilkoeffizienten verwendet.

25 Integrieren kurz und bündig 25 Mnchml werden die Zwischenstellen x, x 2,..., x n so gewählt, dss jeder ihrer Funktionswerte eine untere Schrnke der uf ds betreffende Teilintervll eingeschränkten Funktion f ist (dnn heißt (8.2) eine Untersumme) oder dss jeder ihrer Funktionswerte eine obere Schrnke der uf ds betreffende Teilintervll eingeschränkten Funktion f ist (dnn heißt (8.2) eine Obersumme). Es ist dnn jede Untersumme kleiner-gleich jeder Obersumme. Die Funktion f ist genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn zwischen die Menge der Untersummen und die Menge der Obersummen genu eine Zhl psst diese ist dnn ds bestimmte Integrl. Diese Betrchtungen hben nicht nur theoretischen Wert, sondern sind uch von prktischer Relevnz: Flls in einer Anwendung ein bestimmtes Integrl uftritt, bei dem lle zuvor besprochenen Integrtionsmethoden versgen (z.b. weil es keinen geschlossenen Term für die Stmmfunktion gibt), so knn mn numerische Methoden nwenden, um seinen Wert zu berechnen. Die einfchste besteht drin, eine Riemnnsche Summe der Form (8.2) zu berechnen (wobei jede der Zwischenstellen x, x 2,..., x n entweder m linken oder m rechten Rnd oder genu in der Mitte des entsprechenden Teilintervlls gewählt wird) eine leichte Aufgbe für einen Computer! Die Theorie grntiert uns dnn, dss für hinreichend großes n die Abweichung dieser Näherung vom whren Wert des Integrls beliebig klein wird. Es ist fst überflüssig, hinzuzufügen, dss Computerlgebr-Systeme uch die Kunst des numerischen Integrierens beherrschen. Dieses Skriptum wurde erstellt im Juli 25 im Rhmen des Projekts Entwicklung und Durchführung von Qulitätssicherungsmßnhmen in Brückenkursen ( einer Koopertion von mthe online ( mit der Fchhochschule Technikum Wien ( Überrbeitet im November 25 unter Mitwirkung von Hrld Stockinger. Die Skripten-Seite finden Sie unter