Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den"

Transkript

1 Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht man die richtige Idee, um die Lösung zu finden. Bitte bearbeiten Sie die anderen Aufgaben zuerst. Aufgabe 1: Zeigen Sie direkt die folgende Aussage über reelle Zahlen: Wenn x > 1, so ist x + 3 > 3x +. Lösung: Wir formen die Voraussetzung um: x > 1 3x > 3 3x + 3 > x + 3 > 3x + Damit ist die Behauptung bewiesen. Aufgabe *: Zeigen Sie die Formel für die Summe der ersten n N natürlichen Zahlen direkt: k n(n + 1 Lösung: Wir benutzen einen Trick, indem wir das Doppelte der Summe berechnen und in unterschiedlicher Reihenfolge summieren. Es gilt also ( k 1 k + k ( 1 k + n k + 1 ( 1 k + n k + 1 ( 1 n n(n + 1. Universität Hamburg Tor zur Welt der Wissenschaft A. Posingies, S. Müller

2 Aufgabe 3: Zeigen Sie indirekt, dass, wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist, so auch die Zahl selbst. Also n N : n n. Lösung: Da wir die Behauptung indirekt zeigen wollen, zeigen wir n n. Sei also n, d.h. n ist ungerade. Dann gibt es k N 0 mit n k + 1. Damit gilt n (k + 1 4k + 4k + 1 (k + k + 1 l + 1, wobei l k + k. Also ist n ungerade und die Behauptung ist gezeigt. Aufgabe 4: Zeigen Sie durch Widerspruch, dass gilt. a, b R + ab a + b Lösung: Wir beweisen die Behauptung durch Widerspruch. Nehmen wir also an, dass die Behauptung nicht gilt, d.h. es gibt zwei positive reelle Zahlen a, b mit ab > a+b. Wir formen um: a + b ab > (a + b ab > 4 4ab >a + ab + b 0 >a ab + b 0 >(a b Die letzte Ungleichung steht aber im Widerspruch zu der Tatsache, dass Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sind: a R a R + 0. Also kann die Annahme nicht gelten und die Behauptung ist bewiesen. Aufgabe 5: Zeigen Sie mit vollständiger Induktion folgende Formel für die Summe der ersten n Quadrate: k n(n + 1(n + 1

3 Lösung: Beweis durch vollständige Induktion über n: Induktionsanfang: Für n 1 gilt: 1 k 1 1 1(1 + 1( + 1 Induktionsschritt: Wir schließen von n auf n + 1. Induktionsvoraussetzung: Für n gilt k Induktionsbehauptung: Für n + 1 gilt n+1 k n(n + 1(n + 1. n(n + 1(n + 1 (n + 1((n ((n Beweis der Induktionsbehauptung mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung: n+1 k k + (n + 1 n(n + 1(n + 1 (mit Induktionsvoraussetzung + (n + 1 n(n + 1(n + 1 (n n(n + 1(n (n + 1 (n + 1(n(n (n + 1 (n + 1(n + 7n + (n + 1(n + (n + 3 (n + 1((n ((n Wir haben Induktionsvoraussetzung und Induktionsschritt erfolgreich etabliert und die Behauptung somit bewiesen. Aufgabe *: Sei M eine Menge mit endlich vielen Elementen: #M n, n N 0. Erinnern Sie sich an die Potenzmenge P(M {A A M}, die Menge, die alle Teilmengen von M enthält (inklusive M und. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: #P(M n 3

4 Lösung: Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion über n #M. Induktionsanfang: Für n 0 gilt, dass M. Also ist #P(M #{ } 1 0. Induktionsschritt: Wir schließen von n auf n + 1. Induktionsvoraussetzung: Für eine Menge M mit n Elementen gilt #P(M n. Induktionsbehautung: Für eine Menge M mit n + 1 Elementen gilt #P(M n+1. Beweis der Induktionsbehauptung mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung: Sei M eine Menge mit n + 1 Elementen und sei a M eines dieser Elemente. Dann gilt P(M {A A M a A} {A A M a A} {A A M \ {a}} {A A M a A} P(M \ {a} {A A M a A} P(M \ {a} {A {a} A P(M \ {a}} Wir wissen nach Induktionsvoraussetzung #P(M \ {a} n, da #M \ {a} n. Also folgt #P(M #P(M \ {a} + #{A {a} A P(M \ {a}} (#P(M \ {a} n n+1 Wir haben Induktionsvoraussetzung und Induktionsschritt erfolgreich etabliert und die Behauptung somit bewiesen. Aufgabe 7: Finden Sie den Fehler in folgendem Beweis: Behauptung: Alles was nicht rot ist, ist blau. Beweis: Wir werden die Behauptung durch Widerspruch beweisen. Nehmen wir also die Negation der Behauptung an: Alles was rot ist, ist blau. Dies ist aber ein Widerspruch zur Eindeutigkeit der Farbe. Also kann die Annahme nicht gelten und die Behauptung ist bewiesen. Lösung: Hier wird die Verneinung falsch gebildet: Die Negation von Alles was nicht rot ist, ist blau. ist Es gibt Dinge, die weder rot noch blau sind. Aufgabe 8: Finden Sie den Fehler in folgendem Beweis: Behauptung: Die Summe von zwei ganzen Zahlen ist Null. Beweis: Zu zeigen ist also: a, b Z a + b 0. Seien also a und b beliebige ganze 4

5 Zahlen und c a + b ihre Summe. a + b c ac + bc c ac + bc + a + ab c + a + ab ac + bc + a + ab c a + ab c(a + b c + a + ab a + ab c(a + b c + a + ab ac a + ab ac c(a + b c + a(a + b c a(a + b c c + a a c 0 Lösung: In der dritten Zeile von unten wird durch Null geteilt: a + b c 0, da nach Voraussetzung a + b c ist. Dies ist keine Äquivalenzumformung. Man kann noch ein paar weitere Dinge anmerken: Gleich in der zweiten Zeile wird mit c multipliziert. Dies ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn c 0. Außerdem ist das Addieren von a +ab in Zeile drei und ac in Zeile sechs offensichtlich nur zur Verwirrung des Lesers da: Im Beweis wird dadurch kein Fortschritt erzielt. Aufgabe 9: Finden Sie den Fehler in folgendem Beweis: Behauptung: Ein Krokodil ist länger als breit. Beweis: Wir zeigen die Behauptung in zwei Schritten. (1 Ein Krokodil ist länger als grün: Das Krokodil ist oben und unten lang, aber nur oben grün. ( Ein Krokodil ist grüner als breit: Das Krokodil ist grün entlang der Länge und der Breite, aber nur breit entlang der Breite. Da das Krokodil nun länger als grün und grüner als breit ist, ist es länger als breit und die Behauptung ist bewiesen. Lösung: Dieser Beweis ist dermaßen absurd, dass man kaum sagen kann, wo das Problem genau liegt. Eine Erkenntnis aus diesem Beweis soll sein: Nur weil die Argumentationsfolge auf eine wahre Aussage führt, sind die einzelnen Schritte noch nicht korrekt. Man kann also auf falsche Art und Weise eine richtige Aussage herleiten. Ein Beweis ist das dann nicht. Auf der formalen Ebene ist zu sagen: Man kann Grünheit (von dem auch unklar ist, was es genau ist sicher nicht vernünftig mit Länge und Breite vergleichen. Also ist der Satz: 5

6 Ein Krokodil ist länger als grün. gar keine Aussage im Sinne der Aussagenlogik; er hat keinen bestimmbaren Wahrheitswert. Außerdem sollen einen ins Stutzen bringen, dass man mit der selben Methode auch das Gegenteil beweisen kann: Ein Krokodil ist breiter als lang. Die beiden Aussagen können nicht beide wahr sein. Zum zweiten Beweis: (1 Ein Krokodil ist breiter als grün: Das Krokodil ist oben und unten breit, aber nur oben grün. ( Ein Krokodil ist grüner als lang: Das Krokodil ist grün entlang der Länge und der Breite, aber nur lang entlang der Länge. Also ist ein Krokodil breiter als lang.

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6. Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 013/14. Oktober 013 Vorkurs Informatik WS 013/14 1/1 Vollständige Induktion Vorkurs Informatik WS 013/14 /1 Ziel

Mehr

Vorlesung. Vollständige Induktion 1

Vorlesung. Vollständige Induktion 1 WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen

Mehr

Vorkurs Beweisführung

Vorkurs Beweisführung Vorkurs Beweisführung Fachschaft Mathematik und Informatik 30.08.2013 Agenda 1 Einleitung 2 Direkter Beweis 3 Widerspruchsbeweis 4 Vollständige Induktion 5 Aussagen widerlegen 6 Gleichheit von Mengen 7

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n

Mehr

Angewandte Mathematik und Programmierung

Angewandte Mathematik und Programmierung Angewandte Mathematik und Programmierung Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu mathematischen Rechnens WS 2013/14 Inhalt Übungserklärung* Beweis durch Vollständige Induktion 2

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 30. September 008 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. n : (n N! n

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 30. September 008 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Kantonsschule Olten Hardwald 4600 Olten Vollständige Induktion Andreas Stoll Andreas Pulfer Erfänzungsfach Anwendungen der Mathematik (2017/18) 1 Beweisen 1.1 Axiome und Prämissen Bei einem Beweis wird

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Mathematische Beweistechniken Vorkurs Informatik SoSe13 10. April 013 Mathematische Beweistechniken Ziel Mathematische Beweistechniken Ziel beweise, dass eine Aussage A(n) für alle n N gilt. Beispiel Für

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 8 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P13) Primfaktorzerlegungen Die Primfaktorzerlegungen lauten: a) 66 =

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation

Mehr

1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:

1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: Lösung 1. Übung Elemente der Algebra WS017/18 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (e) {(x,y) IR 3x+4y 1}.

Mehr

3 Vollständige Induktion

3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

Logik/Beweistechniken

Logik/Beweistechniken Mathematikvorkurs bei Marcos Soriano Logik/Beweistechniken erstellt von: Daniel Edler -II- Inhaltsverzeichnis 1 Logik/Beweistechniken 1 1.1 Allgemeine Vorgehensweise......................... 1 2 Konjunktion/Disjunktion

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Aussage P(n) für alle n N wahr ist. Anders ausgedrückt: Es gilt n N : P(n) Hierzu können wir die Technik der vollständigen Induktion verwenden. Wir zeigen, dass

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Elementare Beweistechniken

Elementare Beweistechniken Elementare Beweistechniken Beispiel: Satzform (Pythagoras) Voraussetzung: Gegeben sei ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, die Länge der Hypothenuse sei c und die Längen der anderen Seiten seien a und

Mehr

Universität Innsbruck WS 2013/2014. Brückenkurs. Formale Konzepte. 3. Auflage. Harald Zankl. 15. Januar 2014

Universität Innsbruck WS 2013/2014. Brückenkurs. Formale Konzepte. 3. Auflage. Harald Zankl. 15. Januar 2014 Universität Innsbruck WS 013/014 Brückenkurs Formale Konzepte 3. Auflage Harald Zankl 15. Januar 014 Institut für Informatik Innsbruck, Österreich Inhaltsverzeichnis 1 Definition, Satz, Beweis 1.1 Aufgaben................................

Mehr

Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann

Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion Robert Klinzmann 3. Mai 00 Reihen / Partialsummen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Das Prinzip der vollständigen Induktion 3 3 Herleitung der Gauß schen

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe

Mehr

1 Das Prinzip der vollständigen Induktion

1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 1 1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 1.1 Etwas Logik Wir nennen eine Formel oder einen Satz der Alltagssprache eine Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Die Formeln 2 = 3, 2 4, 5 5 sind

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 2. Beweistechniken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 18. Februar 2015 Beweis Beweis Ein Beweis leitet die Korrektheit einer mathematischen Aussage aus einer Menge von

Mehr

Kapitel 1. Grundlegendes

Kapitel 1. Grundlegendes Kapitel 1 Grundlegendes Abschnitt 1.4 Vollständige Induktion Charakterisierung der natürlichen Zahlen Die Menge N 0 = {0, 1, 2, 3,...} der natürlichen Zahlen läßt sich wie folgt charakterisieren: 1. 0

Mehr

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 1. Grundlagen Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen Peter Buchholz 2016 MafI 2 Grundlagen 7 1.1 Was ist Analysis? Analysis ist

Mehr

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen . Grundlagen Gliederung. Was ist Analysis?.2 Aussagen und Mengen.3 Natürliche Zahlen.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen. Was ist Analysis? Analysis ist neben der linearen Algebra ein Grundpfeiler der Mathematik!

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17 Themen

Mehr

Beweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2014

Beweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2014 Vorkurs Informatik SoSe14 07. April 2014 Wozu Beweise in der Informatik? Quelle:http://www.capcomespace.net Motivation Wozu Beweise in der Informatik? Quelle: http://www.nileguide.com Wozu Beweise in der

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Hinweise zur Logik. Ergänzung zu den Übungen Mathematische Grundlagen der Ökonomie am 22. Oktober 2009

Hinweise zur Logik. Ergänzung zu den Übungen Mathematische Grundlagen der Ökonomie am 22. Oktober 2009 Hinweise zur Logik Ergänzung zu den Übungen Mathematische Grundlagen der Ökonomie am 22. Oktober 2009 Im folgenden soll an einige Grundsätze logisch korrekter Argumentation erinnert werden. Ihre Bedeutung

Mehr

Summenzeichen. Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik. Bettina Bieri

Summenzeichen. Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik. Bettina Bieri Summenzeichen Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik Bettina Bieri 24. Juli 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Summenzeichen 1 1.1 Der Aufbau des Summenzeichens................ 1 1.1.1 Aufgaben.........................

Mehr

Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung

Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Mathematisches Institut II.06.004 Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 3: Elementare Beweismethoden: Direkter Beweis,

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1.1 ( Punkte) Schreiben Sie die Definitionen von Injektivität und Surjektivität einer Funktion als prädikatenlogische Formeln auf. Lösung

Mehr

II. Wissenschaftliche Argumentation

II. Wissenschaftliche Argumentation Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist

Mehr

Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion c 2004 by Rainer Müller - http://www.emath.de 1 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Einleitung In der Mathematik gibt es im Prinzip drei grundlegende Beweismethoden, mit denen man versucht,

Mehr

Vertiefungskurs Mathematik

Vertiefungskurs Mathematik Vertiefungskurs Mathematik Anforderungen für das Universitäts-Zertifikat im Schuljahr 01/13 Grundvoraussetzung: Teilnahme am Vertiefungskurs Mathematik in Klasse 11. Inhaltliche Voraussetzungen: Aussagenlogik

Mehr

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17 Blatt Nr. 3 Prof. F. Merkl Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 206/7 Aufgabe Das Guthaben G setzt sich zusammen aus der Summe aller bisherigen Einzahlungen multipliziert mit ( + p) k, wobei

Mehr

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester vom 15. Januar 2006

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester vom 15. Januar 2006 Prof. E.-W. Zink Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester 2005-06 vom 15. Januar 2006 2te, korrigierte und erweiterte

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober

Mehr

Grundlegendes der Mathematik

Grundlegendes der Mathematik Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

VORKURS MATHEMATIK. 0 a + 1 b = ( 4/7)c. und addiere die zweite Gleichung zur Ersten: 1 a + 0 b = (3/7)c

VORKURS MATHEMATIK. 0 a + 1 b = ( 4/7)c. und addiere die zweite Gleichung zur Ersten: 1 a + 0 b = (3/7)c VORKURS MATHEMATIK DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA Freitag: Lineare Gleichungssysteme, Mengen, Logik, Induktion Nachdem wir gestern eine kurze Einführung in die Vektorgeometrie

Mehr

typische Beweismuster Allgemeine Hilfe Beweistechniken WS2014/ Januar 2015 R. Düffel Beweistechniken

typische Beweismuster Allgemeine Hilfe Beweistechniken WS2014/ Januar 2015 R. Düffel Beweistechniken Beweistechniken Ronja Düffel WS2014/15 13. Januar 2015 Warum ist Beweisen so schwierig? unsere natürliche Sprache ist oft mehrdeutig wir sind in unserem Alltag von logischen Fehlschlüssen umgeben Logik

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Vollständige Induktion Aussageformen mit natürlichen Zahlen als Parametern kann man mit vollständiger Induktion beweisen. Ist A(n) eine von n N abhängige Aussage, so sind dazu die folgenden beiden Beweisschritte

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion

Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion Lo sungen zu U bungsblatt Mathematik fu r Ingenieure Maschinenbauer und Sicherheitstechniker), 1. Semester, bei Prof. Dr. G. Herbort im WiSe1/14 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 05.11.1 Themen: Kubische Gleichungen,

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2

Vorkurs Mathematik für Informatiker 6 Logik, Teil 2 6 Logik, Teil 2 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 6: Logik, Teil 2 1 Aussagenformen Aussage mit Parameter (zum Beispiel x) Aussage wahr oder falsch abhängig vom Parameter

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Kombinatorik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente 2 Teil 1 Endliche Mengen Eine endliche Menge M ist eine Menge,

Mehr

Mathematik I 1. Scheinklausur

Mathematik I 1. Scheinklausur Mathematik I 1. Scheinklausur 2.12.2006 Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Matrikelnummer: Bearbeitungszeit: 120 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Keine Bei den Aufgaben 1,2,4,5,9,und 10 wird nur die

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Rhetorik und Argumentationstheorie.

Rhetorik und Argumentationstheorie. Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

Mathematik und Logik

Mathematik und Logik Mathematik und Logik 5. Übungsaufgaben 2006-11-21 1. Beweisen Sie, daß die Aussage allgemeingültig ist. A = A Beweis. Dies ist ein Spezialfall von (((A = B) = B) = B) = (A = B), was wir wie folgt beweisen.

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler wi Wirtschaft Pearson Studium Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Das Übungsbuch von Nils Heidenreich, Fred Böker, Britta Schnoor 1. Auflage Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Heidenreich

Mehr

Kettenbrüche. dar, und allgemein: a 1 + 1

Kettenbrüche. dar, und allgemein: a 1 + 1 Kettenbrüche Um die Verfahren der höheren Mathematik besser verstehen zu können, ist es ratsam, sich über die verwendeten Zahlen Gedanken zu machen. Der Grieche Hippasos (5. Jahrh. v. Chr.) entdeckte,

Mehr

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2

Mehr

1 Übersicht Induktion

1 Übersicht Induktion Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Dipl.-Inform. Markus Bender 0.11.01 (v1.3) 1 Übersicht Induktion 1.1 Allgemeines Unter einem induktiven Vorgehen versteht

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen

Mehr

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg Universität Freiburg 26.10.2011 Vollständige Induktion Wir unterbrechen jetzt die Diskussion der Axiome der reellen Zahlen, um das Beweisverfahren der vollständigen Induktion kennenzulernen. Wir setzen

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Vollständige Induktion F. Lemmermeyer. Januar 04 Aussagen, die für alle natürlichen Zahlen gelten, kann man oft mit vollständiger Induktion beweisen. Das Vorgehen ist dabei folgendes:. Man zeigt, dass

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen):

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS14 F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): a) Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden, wenn

Mehr

2 Der Beweis. Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises

2 Der Beweis. Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises 2 Der Beweis Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises Satz und Beweis Ein mathematischer Satz besteht aus einer Voraussetzung und einer Behauptung. Satz und Beweis Ein mathematischer

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 1 Kapitel 1: Aussagen, Mengen

Mehr

Vorlesung. Beweise und Logisches Schließen

Vorlesung. Beweise und Logisches Schließen Vorlesung Beweise und Logisches Schließen Der folgende Abschnitt dient nur zur Wiederholung des Stoffes der ersten Vorlesung und sollten nur genannt bzw. Teilweise schon vor der Vorlesung angeschrieben

Mehr

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten:

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten: Aufgabe 1 Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen. a) Beschränktheit? Die Folge ( ) n N mit = n + ( 1) n ist nach unten beschränkt, denn es gilt n + ( 1) n n 1 1 für alle n N. Allerdings ist die

Mehr

40. Österreichische Mathematik-Olympiade Kurswettbewerb Lösungen

40. Österreichische Mathematik-Olympiade Kurswettbewerb Lösungen 40. Österreichische Mathematik-Olympiade Kurswettbewerb Lösungen TU Graz, 29. Mai 2009 1. Für welche Primzahlen p ist 2p + 1 die dritte Potenz einer natürlichen Zahl? Lösung. Es soll also gelten 2p + 1

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Seite 1 Klaus Messner, klaus_messner@web.de Seite 2 Problem: Problem Man hat eine Aussage (z.b. eine Formel) und soll zeigen, dass diese Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Beispiel: Es soll gezeigt

Mehr

Übungen Mathematik I, M

Übungen Mathematik I, M Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0) 09.0.0. Kommissar K hat 3 Tatverdächtige P, Q und R. Er weiß: (a) Wenn sich Q oder R als Täter herausstellen, dann ist P unschuldig.

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Beweise und Beweisstrategien andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015 Hinweis zu den Folien Diese Folien sind

Mehr

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1.

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 22 Kapitel 1 Aussagen und Mengen 1.1 Aussagen Wir definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr w) oder falsch f) also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 2 ist eine

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Vollständige Induktion Aktualisiert: 1 Dezember 01 vers 100 Eine der wichtigsten Beweistechniken der Mathematik überhaupt ist die (vollständige) Induktion Wir nehmen

Mehr

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Fachbereich Mathematik PD Dr. P. Ne WS 007/008 6.1.007 8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Zur Erinnerung, die Formel für die Taylorreihe um die Stelle x 0 lautet f(x) n0 f (n) (x 0 ) (x x 0 )

Mehr

Folgen und endliche Summen

Folgen und endliche Summen Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 3 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P4) Wir betrachten die Menge M := P({1, 2, 3, 4}). Dann gilt 1 / M,

Mehr

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte

Mehr

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft

Mehr

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung

Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. Aufgaben mit Musterlösung Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen Aufgaben mit Musterlösung 21. März 2011 Tanja Geib 1 Aufgabe 1 Geben Sie zu B = {0, 2, 4} und

Mehr

Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent.

Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen Vektorraums (V,+, ). Dann sind die folgende Aussagen äquivalent. Definition der Basis Def. Es sei (V,+, ) ein nichttrivialer Vektorraum. Die Menge A V heißt eine Basis-Menge, falls sie (a) linear unabhängig ist und (b) span(a) = V. Satz 7. A sei eine Teilmenge des nichttrivialen

Mehr

Übungen zum Vorkurs Mathematik

Übungen zum Vorkurs Mathematik Übungen zum Vorkurs Mathematik Blatt 1 W.S.2009/2010 - Ernst Bönecke Aufgaben zur Aussagenlogik 1.) Seien A, B, C Aussagen. Beweisen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass folgende Aussagen stets wahr

Mehr

b liegt zwischen a und c.

b liegt zwischen a und c. 2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

HEUTE. Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch

HEUTE. Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch 04.11.05 1 HEUTE 04.11.05 3 Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch die Rundungsfunktionen und modulo

Mehr

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben

Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken. Übungsaufgaben Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik Einführung in das mathematische Denken Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe 1. Schreiben Sie folgende

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen

Mehr

< hergeleitet. < war nach 1.9 mit Hilfe von Rechenregeln für

< hergeleitet. < war nach 1.9 mit Hilfe von Rechenregeln für 2 Angeordnete Körper 2.1 Grundrechenregeln für < in einem angeordneten Körper 2.3 Weitere Rechenregeln für < und 2.4 Positive und negative Elemente 2.5 Ungleichung des arithmetischen Mittels 2.7 Betrag

Mehr

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Kapitel 11 Beweisführung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Grundsätzlich: ein mathematischer Satz ist eine Aussage der Form wenn... gilt,

Mehr

Zusammenfassung: Beweisverfahren

Zusammenfassung: Beweisverfahren LGÖ Ks VMa 11 Schuljahr 216/217 Zusammenfassung: Beweisverfahren Inhaltsverzeichnis Teilbarkeitslehre... 1 Mathematische Sätze... 1 Bedingungen für innere Extremstellen... 3 Beweisverfahren... 3 Für Experten...

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr