P A P( A B) Definition Wahrscheinlichkeit

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1 Unabhaengige Ereignisse edingte Wahrscheinlichkeit Definition Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtmenge der Ergebnisse nzahl fuer Ereignis guenstige Faelle nzahl aller moeglichen Faelle Wahrscheinlichkeiten im aumdiagramm

2 Vierfeldertafel Summe Summe

3 Unabhaengige Ereignisse Haengen Ereignisse nicht voneinander ab, sind diese voneinander unabhaengig. Dies ist beim Ziehen mit Zuruecklegen und dem Wuerfeln eines Wuerfels der Fall. ei der usfuehrung eines Ereignisses liegt immer der nfangszustand vor. Die einzelnen Stufen des aumdiagramms sind somit auch nicht von den vorgehenden Stufen abhaengig. Wahrscheinlichkeit, dass eintritt, nachdem bereits eingetreten ist Wahrscheinlichkeit, dass nicht eintritt, nachdem bereits eingetreten ist Wahrscheinlichkeit, dass eintritt, nachdem bereits nicht eingetreten ist Wahrscheinlichkeit, dass nicht eintritt, nachdem bereits nicht eingetreten ist Entsprechend den fadregeln lassen sich die Wahrscheinlichkeiten fuer die Ereignisse berechnen: * * * * * * * *

4 bhaengige Ereignisse Haengen Ereignisse voneinander ab, sind diese voneinander abhaengig. Dies ist beim Ziehen ohne Zuruecklegen der Fall. ei der usfuehrung eines Ereignisses liegt immer ein anderer Zustand vor. Die einzelnen Stufen des aumdiagramms sind somit von den vorgehenden Stufen abhaengig edingte Wahrscheinlichkeit Die bedingten Wahrscheinlichkeiten lassen sich ueber den Satz von ayes, abgeleitet von den fadregeln, berechnen Wahrscheinlichkeit, dass eintritt, nachdem bereits eingetreten ist Wahrscheinlichkeit, dass nicht eintritt, nachdem bereits eingetreten ist Wahrscheinlichkeit, dass eintritt, nachdem bereits nicht eingetreten ist Wahrscheinlichkeit, dass nicht eintritt, nachdem bereits nicht eingetreten ist

5 eispiel: edingte Wahrscheinlichkeit Eine Urne enthaelt 00 Kugeln. 0 Kugeln bestehen aus Holz, 30 Kugeln sind aus Kunststoff. 5 der Holzkugeln sind mit der Farbe rot gestrichen und 45 sind gruen. 0 der Kunststoffkugeln sind rot und 0 sind gruen. us der Urne wird nun eine Kunststoffkugel gezogen, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel gruen ist? nhand der ngaben lassen sich folgende Ereignisse definieren: : Kugel aus Holz : Kugel aus Kunststoff : Kugel ist rot : Kugel ist gruen Nachdem diese Ereignisse definiert sind, laesst sich die Vierfeldertafel erstellen. rot 5 Holz 00 0 Kunststoff 00 gruen Summe Summe Im aumdiagramm laesst sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit veranschaulichen erechnen laesst sie sich mit edingte Wahrscheinlichkeit ,66 66, %

6 eispiel: edingte Wahrscheinlichkeit Eine Urne enthaelt drei gruene und zwei rote Kugeln. Ohne Zuruecklegen werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass a beide Kugeln gruen sind b im zweiten Zug eine gruene Kugel gezogen wird, wenn bekannt ist, dass im ersten Zug ebenfalls eine gruene Kugel gezogen wurde. 4 rr 5 r 3 4 rg gg g 4 gr a 3 6 gg * 0,3 30 % b Nachdem im ersten Zug bereits eine gruene Kugel gezogen wurde, sind im zweiten Zug noch zwei gruene Kugeln nzahl Guenstige Faelle von insgesamt vier verbleibenden Kugeln nzahl Moegliche Faelle in der Urne enthalten. g O nzahl Guenstige Faelle g 0,5 50 % nzahl aller Moeglichen Faelle 4 Hier ist nach der edingten Wahrscheinlichkeit gefragt. 3 * gg 5 4 g g 50 % g 3 5

7 Satz von ayes ei Kenntnis von einer bedingten Wahrscheinlichkeit laesst sich bei stochastisch abhaengigen Ereignissen die inverse bedingte Wahrscheinlichkeit mithilfe des Satz von ayes berechnen. : edingte Wahrscheinlichkeit fuer Ereignis mit der Kenntnis, dass Ereignis bereits eingetreten ist : edingte Wahrscheinlichkeit fuer Ereignis mit der Kenntnis, dass Ereignis bereits eingetreten ist : Totale Wahrscheinlichkeit fuer Ereignis : Totale Wahrscheinlichkeit fuer Ereignis, : Wahrscheinlichkeit fuer das Eintreten der Ereignisse und ufgrund der roduktregel laesst sich die Wahrscheinlichkeit fuer die Ereignisse und berechnen: * * ufgrund der Summenregel laesst sich die totale Wahrscheinlichkeit fuer das jeweilige Ereignis beziehungsweise berechnen: * * * * Satz von ayes: * * * * * * * * * * * *

8 eispiel: Satz von ayes In zwei Urnen und befinden sich jeweils zehn Kugeln. In Urne sind sieben rote und drei weisse Kugeln, in Urne eine rote und neun weisse. Es wird nun eine beliebige Kugel aus einer zufaellig gewaehlten Urne gezogen. nders ausgedrueckt: Ob aus Urne oder gezogen wird, ist a priori gleich wahrscheinlich. Das Ergebnis der Ziehung ist: Die Kugel ist rot. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese rote Kugel aus Urne stammt. Zuerst werden die Ereignisse Gezogene Kugel stammt aus Urne und Ereignis Gezogene Kugel stammt aus Urne definiert. Es handelt sich zwar um ein Einstufiges Experiment, da nur einmalig gezogen wird, da aber die Farbe der gezogenen Kugel ebenfalls relevant ist, wird der Vorgang als Zweistufiges Experiment interpretiert. Das Ereignis entspricht dabei einer roten Kugel, das Ereignis W einer weissen Kugel. Somit koennen dann folgende Wahrscheinlichkeiten, wie das entsprechende aumdiagramm erstellt werden. 3 W 0 W W 0 9 W 0 W W 0 eide Urnen haben priori die gleiche Wahrscheinlichkeit In Urne befinden sich zehn Kugeln, wovon sieben rot sind 0 In Urne befinden sich zehn Kugeln, wovon eine rot ist 0

9 edingte Wahrscheinlichkeit, dass die rote gezogene Kugel aus Urne stammt 8,5% * 0 * 0 * * * * *

Die Kugeln tragen zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen. Merkmal I Ausprägung Merkmal II Ausprägung. A: Holz B: rot A: Kunststoff B: grün

Die Kugeln tragen zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen. Merkmal I Ausprägung Merkmal II Ausprägung. A: Holz B: rot A: Kunststoff B: grün R. rinkmann http://brinkmann-du.de Seite 6..00 edingte Wahrscheinlichkeit ei mehrmaligem Würfeln hängt die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zwischen und 6 zu werfen nicht von dem vorherigen Ergebnis

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